IL NUMEROIL NUMERO

…qualche idea…

Michele PicottiLiceo Pedagogico e delle Scienze SocialiCarlo Montanari Verona

Da dove partire?

• Storia

• Etologia

• Forme

• Contare

• Numerazioni

• Idea intuitiva

• Definizione formale

Un po’ di storia

• Gli animali sanno «contare»?

• I numeri delle popolazioni primitive

N = {1; 2; MOLTI}

+ 1 2 M

1 2 M M

2 M M M

M M M M

E se provassimo a sottrarre?

L’aritmetica dei Greci

• Manca un segno che indichi zero• Sviluppo modesto dell’aritmetica:

mancano simboli appositi per le cifre.

= 1 = 2 = 3 = 4

= 30 = 200

=30+2=32

I Romani

Sistema di numerazione additivo sottrattivo:

quando una cifra “piccola” precede una cifra

“grande” occorre sottrarre anziché sommare.

Lo zero

Arriva dal lontano oriente

sungasunga: termine indiano che letteralmente significa «vuoto»

tradotto con

as sifr as sifr dagli arabi

cifra cifra in Italia: la cifra per eccellenza

NirvanaNirvana

L’annullamento, uno dei capisaldi della dottrina Buddhista

vuoto

mancanza di oggetti

mancanza di grandezze

Il bisogno di andare oltre N

• Egiziani • Sumeri• Arabi

0 1 2 3 N

| | | |

0,5 1,25 7/4 19/11

Qa

rNrQa

• Arabi

0 1 2

N

-2 -1

Z

rZ

Analisi delle operazioni nei diversi insiemi numerici

• In N + , x sempre lecite – , : no!

• In Z + , x, – sempre lecite : no! Z amplia N

• In Qa

+ , x , : sempre lecite – no! Qa amplia N

• In Q+ , x , : , – sempre lecite Q amplia N Q amplia Qa

• Che operazione resta fuori?

La densità in Q

5

2

4

3

40

23

243

52

rQ?

4

3

5

2

40

23|

?

8

63

243

4023

rQ

• Ma allora TUTTITUTTI i numeri trovano posto

sulla retta dei numeri razionali?

• Ciò è quanto credevano i pitagorici….

211 22

Per il Teorema di Pitagora

• Dal punto di vista geometrico quella intersezione tra arco di circonferenza e rQ

esiste.

• Dal punto di vista aritmetico un punto su rQ non c’è.

Non esiste un numero razionale:

2

2n

m

Oltre Q verso R

• La continuità:

cosa significa intuitivamente che una linea è continua?

Numeri con la virgola (Qa)

• Numeri con una quantità finitafinita di cifre dopo la virgola

• Numeri con una quantità infinitainfinita di cifre dopo la virgola che si ripetono con regolarità (periodici)

...43430343434343,1340,1

• Numeri che hanno infinitinfinite cifre dopo la virgola ma che nonnon si ripetono con regolarità:non si ottengono dividendo tra loro due naturali o due razionali.

Si indicano con simboli:

5 945,23,34,1,3,2,

Senza questi la semiretta r dei numeri “non si riempie”!E’ densa ma non continuacontinua

La numerazione posizionale

• Esiste una cifra per indicare l’assenza di elementi

• Una cifra cambia di valore a seconda della posizione che occupa

• Il numero delle cifre usate indica la BASE

Nome Base dieci

Base due

Base cinque

Base dodici

Zero 0 0 0 0

Uno 1 1 1 1

Due 2 1010 2 2

Tre 3 11 3 3

Quattro 4 100 4 4

Cinque 5 101 10 5

Sei 6 110 11 6

Sette 7 111 12 7

Otto 8 1000 13 8

Nome Base dieci

Base due

Base cinque

Base dodici

Nove 9 1001 14 9

Dieci 1010 1010 20 AA

Undici 11 1011 21 BB

Dodici 12 1100 22 1010

Tredici 13 1101 23 11

Quattordici 14 1110 24 12

Quindici 15 1111 30 13

Sedici 16 10000 31 14

Cento 100 110100 400 84

Le «forme» dei numeri (Pitagora)

• Un numero n al quadrato è uguale alla somma dei primi n dispari consecutivi

• Ogni numero dispari nasce dalla differenza dei quadrati di numeri consecutivi

25 = 1+3+5+7+936 =……………

Numeri triangolari

Ogni numero triangolare è della forma

2

)1( nn

2

)1( nn

I numeri primi

• Sono i numeri divisibili esattamente per due numeri

• Sono infiniti?

• Non è ancora stata formulata una legge che descriva tutti i numeri primi

• 1 è numero primo?

Il crivello di Eratostene (III sec. A.C.)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

La congettura di Goldbach

Ogni numero pari maggiore di 2 è uguale alla somma di due numeri primi

4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3

12 = 7+5 14 = 11+3 16 = 11+5 ……