IL NUMEROIL NUMERO
…qualche idea…
Michele PicottiLiceo Pedagogico e delle Scienze SocialiCarlo Montanari Verona
Da dove partire?
• Storia
• Etologia
• Forme
• Contare
• Numerazioni
• Idea intuitiva
• Definizione formale
Un po’ di storia
• Gli animali sanno «contare»?
• I numeri delle popolazioni primitive
N = {1; 2; MOLTI}
+ 1 2 M
1 2 M M
2 M M M
M M M M
E se provassimo a sottrarre?
L’aritmetica dei Greci
• Manca un segno che indichi zero• Sviluppo modesto dell’aritmetica:
mancano simboli appositi per le cifre.
= 1 = 2 = 3 = 4
= 30 = 200
=30+2=32
I Romani
Sistema di numerazione additivo sottrattivo:
quando una cifra “piccola” precede una cifra
“grande” occorre sottrarre anziché sommare.
Lo zero
Arriva dal lontano oriente
sungasunga: termine indiano che letteralmente significa «vuoto»
tradotto con
as sifr as sifr dagli arabi
cifra cifra in Italia: la cifra per eccellenza
NirvanaNirvana
L’annullamento, uno dei capisaldi della dottrina Buddhista
vuoto
mancanza di oggetti
mancanza di grandezze
Il bisogno di andare oltre N
• Egiziani • Sumeri• Arabi
0 1 2 3 N
| | | |
0,5 1,25 7/4 19/11
Qa
rNrQa
• Arabi
0 1 2
N
-2 -1
Z
rZ
Analisi delle operazioni nei diversi insiemi numerici
• In N + , x sempre lecite – , : no!
• In Z + , x, – sempre lecite : no! Z amplia N
• In Qa
+ , x , : sempre lecite – no! Qa amplia N
• In Q+ , x , : , – sempre lecite Q amplia N Q amplia Qa
• Che operazione resta fuori?
La densità in Q
5
2
4
3
40
23
243
52
rQ?
4
3
5
2
40
23|
?
8
63
243
4023
rQ
• Ma allora TUTTITUTTI i numeri trovano posto
sulla retta dei numeri razionali?
• Ciò è quanto credevano i pitagorici….
211 22
Per il Teorema di Pitagora
• Dal punto di vista geometrico quella intersezione tra arco di circonferenza e rQ
esiste.
• Dal punto di vista aritmetico un punto su rQ non c’è.
Non esiste un numero razionale:
2
2n
m
Oltre Q verso R
• La continuità:
cosa significa intuitivamente che una linea è continua?
Numeri con la virgola (Qa)
• Numeri con una quantità finitafinita di cifre dopo la virgola
• Numeri con una quantità infinitainfinita di cifre dopo la virgola che si ripetono con regolarità (periodici)
...43430343434343,1340,1
• Numeri che hanno infinitinfinite cifre dopo la virgola ma che nonnon si ripetono con regolarità:non si ottengono dividendo tra loro due naturali o due razionali.
Si indicano con simboli:
5 945,23,34,1,3,2,
Senza questi la semiretta r dei numeri “non si riempie”!E’ densa ma non continuacontinua
La numerazione posizionale
• Esiste una cifra per indicare l’assenza di elementi
• Una cifra cambia di valore a seconda della posizione che occupa
• Il numero delle cifre usate indica la BASE
Nome Base dieci
Base due
Base cinque
Base dodici
Zero 0 0 0 0
Uno 1 1 1 1
Due 2 1010 2 2
Tre 3 11 3 3
Quattro 4 100 4 4
Cinque 5 101 10 5
Sei 6 110 11 6
Sette 7 111 12 7
Otto 8 1000 13 8
Nome Base dieci
Base due
Base cinque
Base dodici
Nove 9 1001 14 9
Dieci 1010 1010 20 AA
Undici 11 1011 21 BB
Dodici 12 1100 22 1010
Tredici 13 1101 23 11
Quattordici 14 1110 24 12
Quindici 15 1111 30 13
Sedici 16 10000 31 14
Cento 100 110100 400 84
Le «forme» dei numeri (Pitagora)
• Un numero n al quadrato è uguale alla somma dei primi n dispari consecutivi
• Ogni numero dispari nasce dalla differenza dei quadrati di numeri consecutivi
25 = 1+3+5+7+936 =……………
Numeri triangolari
Ogni numero triangolare è della forma
2
)1( nn
2
)1( nn
I numeri primi
• Sono i numeri divisibili esattamente per due numeri
• Sono infiniti?
• Non è ancora stata formulata una legge che descriva tutti i numeri primi
• 1 è numero primo?
Il crivello di Eratostene (III sec. A.C.)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
La congettura di Goldbach
Ogni numero pari maggiore di 2 è uguale alla somma di due numeri primi
4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3
12 = 7+5 14 = 11+3 16 = 11+5 ……