I frattali e le curve della natura

Osserviamo la natura

I frattali e le curve della natura

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SONO QUESTE ALCUNE FORME CHEPOSSONO ESSERE SPIEGATE

CON UNA PARTE DI MATEMATICADETTA GEOMETRIA DEI FRATTALI

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dal latino fractus, che vuol dire interrotto.

Frattale

Curva inconsueta con un proprio ordine interno

Origine: prima metà del 19° secolo

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Alcuni studiosi , David Hilbert, Giuseppe Peano, George Cantor e successivamente Von Koch e Gaston Julia, rivolsero i loro studi sui caratteri di continuità e regolarità di alcune curve e sulla dimensione di uno spazio matematico.

Tali indagini non condussero alla rappresentazioni grafica delle stesse curve.

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La curva di Hilbert

Al limite la curva attraverserà ogni punto del quadrato

Coerente con la scoperta di Cantor: un quadrato unitario non contiene più punti di

un segmento unitario

Costruzione con macro in Cabri

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La curva di Von Koch

Non possiede nessuna tangenteDati due punti , la lunghezza dell’arco

compresa fra i due punti è infinita

Costruzione con macro in Cabri

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Caratteristiche 1) Autosimilarità: la figura F è unione

di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.

La curva itera il medesimo andamento a tutte le possibili scale di grandezza

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Conseguenza:• la lunghezza di un qualsiasi

segmento staccato lungo tali curve tende all’ infinito.

una curva frattale, ad esempio contenuta in un piano non può essere pensata perfettamente coincidente con questo e quindi ha dimensione minore di 2; tuttavia “riempie” il piano in una maniera del tutto inconsueta da dover pensare di non avere la dimensione di una qualunque linea, ovvero 1.

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B. B. Mandelbrot, autorevole matematico di origine polacca diede impulso allo studio dei frattali e quindi della “geometria dei frattali”.

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Con l’avvento degli elaboratori elettronici è stato possibile visualizzare efficacemente tali figure e in tempi ragionevoli.

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Mandelbrot, nel 1980 sviluppò un nuovo insieme frattale , oggi noto con il nome di Insieme di Mandelbrot, in cui la complessità è estremamente elevata.

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Per "disegnare" un frattale attraverso un elaboratore, è necessario precisare il numero massimo di iterazioni: un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni

Con l'aiuto dei calcolatori e utilizzando opportunamente i colori è possibile ottenere immagini molto suggestive di questi frattali.

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L'insieme di Mandelbrot si presenta come un otto tozzo disposto in orizzontale, coperto di pretuberanze e simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.

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Ogni pretuberanza è una sottile figura di forma molto simile a quella generatrice.

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Zoomando ancora su ciascuna di queste pretuberanze comprare una miriade di filamenti arricciati e annodati che si estende in file a spirale.

Ingrandendo un ricciolo compaiono coppie di spirali unite da ponti di “filigrana”.

Nell’ingrandimento di un ponte spuntano dal suo centro due riccioli; Al centro di questo centrosi ritrova un’altra versione dell’insieme di Mandelbrot.

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In sostanza i frattali non si esprimono mediante figure primarie,

si esprimono mediante algoritmi,

cioè procedure geometriche o algebriche tradotte in immagini col computer

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Il caos non è

confusione irregolarità

È

complessità con un ordine interno

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La spirale è quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto. È una struttura molto diffusa in natura: dai cicloni alle galassie, dalle corna d'alcuni animali (come i montoni) fino alle conchiglie, dal moto dei cicloni alla molecola del DNA, dai fiori di girasole fino alle zanne degli elefanti.

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La spirale è quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto.

La spirale è alla base del mondo vivente: il nucleo cellulare (costituito da una lunga catena a spirale, il DNA) ; la galassia a spirale.

Con le spirali si possono creare dei frattali.

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Nel 1957 A. E. Bosman con La geometria nel pianeta: un campo miracoloso di ricerca .Albero di pitagora

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La forma avvolta non è altro che una spirale

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la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura è il risultato di una semplice operazione, la biforcazione di un segmento.

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Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: i crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.

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Consideriamo un pendolo che oscilli nell’aria: il suo moto si smorza progressivamente, con oscillazioni sempre più piccole, fino a esaurirsi

nella quiete.Tutte le orbite finiscono nel punto di equilibrio del pendolo; esso è dunque l’attrattore del sistema. gli attrattori sono costituiti da

curve regolari, dette cicli limite, oppure, nel

caso dei sistemi caotici, delle strutture ancor più insolite

detti attrattori strani.

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Lorenz: stava lavorando ad un modello atmosferico nato appunto dallo studio dell’insorgere della turbolenza in un fluido. Questo sistema fisico dissipativo presenta un attrattore strano, detto attrattore di Lorenz, che sembra avere la forma di una striscia di carta attorcigliata (come il nastro di Moebius) ma che in effetti non è "solida", ma piuttosto formata da tantissimi filamenti, cioè con la tipica struttura infinitamente complessa dei frattali. Per la forma a farfalla di tale modulo si denominò tale situazione effetto farfalla.

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“...Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari.....la varietà di configurazioni è una sfida a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come informi, a investigare la morfologia dell’amorfo....”(Mandelbrot)

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Grazie dell’attenzione