Mandelbrot e la geometria della natura: i frattali di Franco Federici Teoria e tecniche del problem...
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Mandelbrot e la Mandelbrot e la geometria della geometria della natura: natura: i frattali i frattali di Franco Federici di Franco Federici Teoria e tecniche del problem Teoria e tecniche del problem solving solving 12/04/2006 12/04/2006
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Mandelbrot e la Mandelbrot e la geometria della natura:geometria della natura:
i frattalii frattali
di Franco Federicidi Franco Federici
Teoria e tecniche del problem solvingTeoria e tecniche del problem solving
12/04/200612/04/2006
BenoBenoît Mandelbrotît Mandelbrot
Factotum della matematicaFactotum della matematica
Interesse verso la scienza economica: Interesse verso la scienza economica: studio sulla distribuzione di redditi grandi e studio sulla distribuzione di redditi grandi e piccoli in un’economiapiccoli in un’economia
I prezzi del cotone: la visione tradizionale I prezzi del cotone: la visione tradizionale degli economisti e le immagini mentali con degli economisti e le immagini mentali con fenomeni casuali e stocasticifenomeni casuali e stocastici
Il computer e i datiIl computer e i dati
BenoBenoît Mandelbrotît Mandelbrot
Economisti tradizionali: piccole variazioni Economisti tradizionali: piccole variazioni transitorie insignificanti (rumore) e forze transitorie insignificanti (rumore) e forze macroeconomiche profondemacroeconomiche profonde
Mandelbrot: nessuna dicotomia, ma un Mandelbrot: nessuna dicotomia, ma un unico quadro unitario, strutture che unico quadro unitario, strutture che passano da una scala all’altrapassano da una scala all’altra
Variazioni di prezzo casuali e imprevedibiliVariazioni di prezzo casuali e imprevedibili
Invarianza di scalaInvarianza di scala
BenoBenoît Mandelbrot: la vitaît Mandelbrot: la vita
Ai margini della scienza ortodossaAi margini della scienza ortodossa
Nella storia del caos trovò la propria viaNella storia del caos trovò la propria via
Immagine della realtà tradotta in una Immagine della realtà tradotta in una geometria perfettamente sviluppatageometria perfettamente sviluppata
La vita di Parigi: l’La vita di Parigi: l’École Normale École Normale Supérieure e l’École PolytechniqueSupérieure e l’École Polytechnique
Problema analitico:manipolazione di formeProblema analitico:manipolazione di forme
Gli studi in USAGli studi in USA
T.J.Watson Research Center IBMT.J.Watson Research Center IBM
La linguistica matematicaLa linguistica matematica
La teoria dei giochiLa teoria dei giochi
Studi economici: i prezzi delle merciStudi economici: i prezzi delle merci
Il rumore delle linee telefoniche: casuale Il rumore delle linee telefoniche: casuale ma con gruppi di errorima con gruppi di errori
Distribuzione complessaDistribuzione complessa
Il rumore delle linee telefonicheIl rumore delle linee telefoniche
Rapporto geometrico coerente e Rapporto geometrico coerente e proporzione costante tra le raffiche di proporzione costante tra le raffiche di errori e gli spazi di trasmissione pulitaerrori e gli spazi di trasmissione pulita
La polvere di CantorLa polvere di Cantor
Descrizione astratta ma importante per il Descrizione astratta ma importante per il controllo degli erroricontrollo degli errori
Utilizzare un segnale modesto con Utilizzare un segnale modesto con ridondanza anziché aumentarne l’intensitàridondanza anziché aumentarne l’intensità
La nuova geometriaLa nuova geometria
Le piene e le secche dei fiumiLe piene e le secche dei fiumi
Effetto Noè ed effetto GiuseppeEffetto Noè ed effetto Giuseppe
Noè=discontinuità, Giuseppe=persistenzaNoè=discontinuità, Giuseppe=persistenza
Irregolarità, errori, polvere di Cantor: come Irregolarità, errori, polvere di Cantor: come spiegare la complessità (spiegare la complessità (≠ Euclide)≠ Euclide)
La geometria del contorto, dell’intrecciatoLa geometria del contorto, dell’intrecciato
Le imperfezioni: le chiavi dell’essenza di Le imperfezioni: le chiavi dell’essenza di una cosauna cosa
La linea di costaLa linea di costa
““How long is the Coast of Britain?”How long is the Coast of Britain?”
La linea di costa: infinitamente lunga ma La linea di costa: infinitamente lunga ma dipendente dalla lunghezza del righellodipendente dalla lunghezza del righello
Il pedone e il satelliteIl pedone e il satellite
Le misurazioni dovrebbero convergere…Le misurazioni dovrebbero convergere…
……ma ma ↓ ↓ scala della misurazione scala della misurazione ↑↑ senza senza limite la lunghezza di costa limite la lunghezza di costa
La dimensioneLa dimensione
Le misure euclidee non colgono l’essenza Le misure euclidee non colgono l’essenza delle forme irregolaridelle forme irregolari
L’idea della dimensioneL’idea della dimensione
Prospettive macro e microscopicheProspettive macro e microscopiche
La vaghezza sull’interpostoLa vaghezza sull’interposto
La dimensione frazionariaLa dimensione frazionaria
L’irregolarità: costante a scale diverseL’irregolarità: costante a scale diverse
I frattaliI frattali
19751975Fractus, frangere, rompereFractus, frangere, rompereFrattura, frazione: la nascita dei frattaliFrattura, frazione: la nascita dei frattaliUn modo per vedere l’infinitoUn modo per vedere l’infinitoTriangolo Triangolo curva di Kock (fiocco di neve) curva di Kock (fiocco di neve)Curva continua che non interseca mai se Curva continua che non interseca mai se stessa e con lunghezza infinitastessa e con lunghezza infinitaParadosso: lunghezza infinita in spazio Paradosso: lunghezza infinita in spazio finitofinito
L’autosomiglianzaL’autosomiglianza
Caratterizzazione e descrizione precisa Caratterizzazione e descrizione precisa della dimensione frattaledella dimensione frattale
Risorse di calcolo e intuizioniRisorse di calcolo e intuizioni
Strutture irregolari in processi naturali e Strutture irregolari in processi naturali e forme infinitamente complesse: la qualità forme infinitamente complesse: la qualità dell’autosomiglianzadell’autosomiglianza
Frattale significa simile a séFrattale significa simile a sé
L’autosomiglianzaL’autosomiglianza
Omotetia interna: la simmetria da una Omotetia interna: la simmetria da una scala a un’altrascala a un’altra
Ricorsione: una struttura all’interno di Ricorsione: una struttura all’interno di un’altraun’altra
Particolari di scale sempre più piccole e Particolari di scale sempre più piccole e con certe misurazioni costanticon certe misurazioni costanti
Forme simili a se stesse a qualsiasi Forme simili a se stesse a qualsiasi ingrandimentoingrandimento
L’utilità dei frattaliL’utilità dei frattali
Lo studio sui terremotiLo studio sui terremoti
Christopher Scholz: riflessione sui frattaliChristopher Scholz: riflessione sui frattali
Il problema dei terremotiIl problema dei terremoti
La distribuzione segue un modello di La distribuzione segue un modello di invarianza di scalainvarianza di scala
Perché questa regolarità?Perché questa regolarità?
Le superficiLe superfici
Scholz: interesse nelle superficiScholz: interesse nelle superfici
Geometria frattale: un aiuto per gli Geometria frattale: un aiuto per gli scienziati che studiavano i modi in cui le scienziati che studiavano i modi in cui le cose che si fondono insieme, ecc.cose che si fondono insieme, ecc.
I geofisici: descrizione della superficie I geofisici: descrizione della superficie della Terra (faglie, fratture, …)della Terra (faglie, fratture, …)
Faglie e frattureFaglie e fratture
La chiave di qualsiasi buona descrizioneLa chiave di qualsiasi buona descrizione
Il flusso dei fluidi nel suoloIl flusso dei fluidi nel suolo
Il comportamento dei terremotiIl comportamento dei terremoti
Comprendere la superficie è fondamentaleComprendere la superficie è fondamentale
Nessun sistema di riferimentoNessun sistema di riferimento
La TerraLa Terra
Le superfici sono formeLe superfici sono forme
La superficie della TerraLa superficie della Terra
La scalaLa scala
Scholz: geometria frattale come modo per Scholz: geometria frattale come modo per descrivere l’irregolarità della superficie descrivere l’irregolarità della superficie terrestreterrestre
Le applicazioni frattaliLe applicazioni frattali
Problemi connessi alle proprietà di Problemi connessi alle proprietà di superfici in contatto fra lorosuperfici in contatto fra loro
Le superfici in contatto tra loro non si Le superfici in contatto tra loro non si toccano dappertutto (irregolarità)toccano dappertutto (irregolarità)
Effetto Humpty-DumptyEffetto Humpty-Dumpty
Scala macro e microscopicaScala macro e microscopica
Gli Gli aficionadosaficionados
Scholz: uno dei pochi che adottò i frattaliScholz: uno dei pochi che adottò i frattali
Piccolo pubblico di adepti dei frattali o Piccolo pubblico di adepti dei frattali o pubblico più vasto di geofisicipubblico più vasto di geofisici
<<E’ un singolo modello che ci permette di <<E’ un singolo modello che ci permette di far fronte alla varietà di dimensioni far fronte alla varietà di dimensioni mutevoli della Terra>>mutevoli della Terra>>
Grandezza e durataGrandezza e durata
Quanto è grande? Quanto tempo dura?Quanto è grande? Quanto tempo dura?
Lo studio degli animali e degli umani: Lo studio degli animali e degli umani: dipendenza dalla scaladipendenza dalla scala
Fisica dei terremoti, nubi, uragani: Fisica dei terremoti, nubi, uragani: indipendenza dalla scalaindipendenza dalla scala
La ricerca della scala come distrazioneLa ricerca della scala come distrazione
Le categorie traggono in ingannoLe categorie traggono in inganno
AdimensionalitàAdimensionalità
I vasi sanguigni: la presenza dei frattaliI vasi sanguigni: la presenza dei frattali
Nessuna cellula dista da un vaso Nessuna cellula dista da un vaso sanguigno più di tre o quattro cellulesanguigno più di tre o quattro cellule
I polmoniI polmoni
L’approccio degli anatomisti e l’approccio L’approccio degli anatomisti e l’approccio frattalefrattale
Il corpo umano frattaleIl corpo umano frattale
Organizzazione frattaleOrganizzazione frattale
Dotto biliare nel fegato, fibre nel cuore, …Dotto biliare nel fegato, fibre nel cuore, …
La rete di His-PurkyneLa rete di His-Purkyne
I cardiologi del caos: spettro di frequenza I cardiologi del caos: spettro di frequenza delle pulsazioni analogo a quello dei delle pulsazioni analogo a quello dei terremotiterremoti
Il corpo umano frattaleIl corpo umano frattale
Sviluppo dell’architettura?Sviluppo dell’architettura?
Trasformazioni semplici in Kock, Peano e Trasformazioni semplici in Kock, Peano e istruzioni codificate nei geni di un organismoistruzioni codificate nei geni di un organismo
DNA: biforcazione e sviluppo DNA: biforcazione e sviluppo
Altre applicazioniAltre applicazioni
Il piumino d’oca sinteticoIl piumino d’oca sintetico
Gli alberi botaniciGli alberi botanici
Al di là di un’eccezioneAl di là di un’eccezione
ApprezzamentiApprezzamenti
Un modo di descrizione, calcolo, Un modo di descrizione, calcolo, riflessione su forme irregolari e riflessione su forme irregolari e frammentate, frastagliate e spezzateframmentate, frastagliate e spezzate
Struttura organizzativa dietro la Struttura organizzativa dietro la complicazione delle formecomplicazione delle forme
Exxon, General Electric, HollywoodExxon, General Electric, Hollywood
Modelli di May e Yorke: regolarità Modelli di May e Yorke: regolarità insospettate, descritte da invar. di scalainsospettate, descritte da invar. di scala
Mandelbrot e i fisiciMandelbrot e i fisici
Furono i fisici a creare la scienza del caosFurono i fisici a creare la scienza del caos
Mandelbrot fornì il linguaggio e un Mandelbrot fornì il linguaggio e un catalogo di immagini della naturacatalogo di immagini della natura
Mandelbrot e i fisiciMandelbrot e i fisici
Il programma matematico descriveva Il programma matematico descriveva meglio di quanto non spiegassemeglio di quanto non spiegasse
Gli scienziati fecero predizioni…Gli scienziati fecero predizioni…
……ma i fisici volevano sapere di più: ma i fisici volevano sapere di più: volevano sapere perchévolevano sapere perché
La grande sfidaLa grande sfida
In natura c’erano forme che attendevano In natura c’erano forme che attendevano di essere rivelatedi essere rivelate
Attrattori strani frattaliAttrattori strani frattali
David Ruelle e Florins TakensDavid Ruelle e Florins Takens
Il fenomeno della turbolenzaIl fenomeno della turbolenza
Un attrattore strano è un sottoinsieme di Un attrattore strano è un sottoinsieme di punti nello spazio delle fasi di natura punti nello spazio delle fasi di natura diversa da quella degli oggetti euclideidiversa da quella degli oggetti euclidei
Dimensione non intera, ma frattaleDimensione non intera, ma frattale
Attrattore caotico Attrattore caotico ≠ attrattore strano≠ attrattore strano
Topologicamente diversiTopologicamente diversi
Attrattori strani frattaliAttrattori strani frattali
Caotico: si fa riferimento alla dinamica Caotico: si fa riferimento alla dinamica caotica del sistema in cui si origina caotica del sistema in cui si origina l’attrattore (sensibile dipendenza dalle l’attrattore (sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali e orbite confinate)condizioni iniziali e orbite confinate)
Strano: ci si riferisce alle proprietà Strano: ci si riferisce alle proprietà geometriche (frattale)geometriche (frattale)
Caoticità e forma geometrica sono due Caoticità e forma geometrica sono due prospettive diverse per definire lo stesso prospettive diverse per definire lo stesso oggetto o sono due cose diverse?oggetto o sono due cose diverse?
Attrattori strani frattaliAttrattori strani frattali
Perlopiù gli attrattori caotici sono strani e Perlopiù gli attrattori caotici sono strani e gli attrattori strani sono caotici, idea che è gli attrattori strani sono caotici, idea che è all’origine dell’identificazione comune dei all’origine dell’identificazione comune dei due concetti, ma…due concetti, ma…
……sono stati descritti casi di attrattori strani sono stati descritti casi di attrattori strani non caotici e casi di caotici non straninon caotici e casi di caotici non strani
La turbolenzaLa turbolenza
La linea di demarcazione dei fisiciLa linea di demarcazione dei fisici
Interesse nell’eliminare la turbolenza Interesse nell’eliminare la turbolenza considerata spesso come un disastroconsiderata spesso come un disastro
Grande interesseGrande interesse
La turbolenzaLa turbolenza
E’ un grande disordine a tutte le scaleE’ un grande disordine a tutte le scale
E’ instabilitàE’ instabilità
Grande dissipazione di energiaGrande dissipazione di energia
E’ movimento diventato casualeE’ movimento diventato casuale
Regolare Regolare turbolento ? turbolento ?
Tutte le regole sembrano venir menoTutte le regole sembrano venir meno
Il fumo di sigarettaIl fumo di sigaretta
La comparsa dei frattaliLa comparsa dei frattali
I fluidi e i vorticiI fluidi e i vortici
A ogni scala, in un vortice turbolento si A ogni scala, in un vortice turbolento si trovano nuove regioni di flusso calmotrovano nuove regioni di flusso calmo
Omogeneità Omogeneità intermittenza intermittenza
Aspetto altamente frattale: regioni Aspetto altamente frattale: regioni frammiste di irregolarità e regolarità a frammiste di irregolarità e regolarità a scale che vanno dal grande al piccoloscale che vanno dal grande al piccolo
L’inizio della turbolenzaL’inizio della turbolenza
Passaggio da regolarità a turbolenzaPassaggio da regolarità a turbolenza
Transizioni di faseTransizioni di fase
Caos: comportamento macroscopico Caos: comportamento macroscopico difficile da predire sulla base di particolari difficile da predire sulla base di particolari microscopicimicroscopici
Studi quantitativiStudi quantitativi
1973: Harry Swinney e Jerry Gollub1973: Harry Swinney e Jerry Gollub
Flusso fra cilindri rotanti (di Couette-Taylor)Flusso fra cilindri rotanti (di Couette-Taylor)
L’esperimento si rivelò inefficaceL’esperimento si rivelò inefficace
Il flusso diventava caoticoIl flusso diventava caotico
David Ruelle e Floris TakensDavid Ruelle e Floris Takens
Ruelle e TakensRuelle e Takens: On the Nature of : On the Nature of TurbolenceTurbolence
Un’alternativa alla concezione tradizionaleUn’alternativa alla concezione tradizionale
L’attrattore stranoL’attrattore strano
Vive nello spazio delle fasiVive nello spazio delle fasi
Una delle invenzioni più efficaci della Una delle invenzioni più efficaci della scienza modernascienza moderna
Punti fissiPunti fissi
Cicli limiteCicli limite
Sistemi complessi con molte variabili Sistemi complessi con molte variabili indipendenti indipendenti spazio delle fasi di spazio delle fasi di dimensioni infinitedimensioni infinite
Un punto fisso?Un punto fisso?
Ruelle: strutture visibili nel moto turbolento Ruelle: strutture visibili nel moto turbolento riflettevano strutture spiegate da leggi riflettevano strutture spiegate da leggi ancora sconosciuteancora sconosciute
Dissipazione di energia in un flusso Dissipazione di energia in un flusso turbolento verso un attrattore…turbolento verso un attrattore…
……non un punto fissonon un punto fisso
Nel sistema entrava e usciva energiaNel sistema entrava e usciva energia
Un ciclo limite?Un ciclo limite?
Similarità al pendolo con molla e attritoSimilarità al pendolo con molla e attrito
Ma è veramente così?Ma è veramente così?
La turbolenza in un fluido era cosa diversaLa turbolenza in un fluido era cosa diversa
Turbolenza come rumore biancoTurbolenza come rumore bianco
Serve un altro tipo di attrattoreServe un altro tipo di attrattore
Stabile, con un n° piccolo di dimensioni, Stabile, con un n° piccolo di dimensioni, non periodiconon periodico
Un rompicapoUn rompicapo
Il precedenteIl precedente
Edward Lorenz (1963)Edward Lorenz (1963)
Il primo attrattore stranoIl primo attrattore strano
Curve e spirali infinitamente profonde, che Curve e spirali infinitamente profonde, che non si univano mai e mai si intersecavanonon si univano mai e mai si intersecavano
Ma all’interno di uno spazio finitoMa all’interno di uno spazio finito
<<l’apparente contraddizione>><<l’apparente contraddizione>>
La millefoglie e le superfici infiniteLa millefoglie e le superfici infinite
Gli sviluppiGli sviluppi
Tentativi teorici e ricerca sperimentaleTentativi teorici e ricerca sperimentaleDisegnare immagini di attrattori strani: la Disegnare immagini di attrattori strani: la tecnica della proiezione e…tecnica della proiezione e…la mappa di Poincaréla mappa di PoincaréSi toglie all’attrattore una dimensione, Si toglie all’attrattore una dimensione, trasformando una linea continua in una trasformando una linea continua in una collezione di punticollezione di puntiIl processo è un campionamento Il processo è un campionamento intermittente dello stato di un sistemaintermittente dello stato di un sistema
Michel HénonMichel Hénon
L’attrattore strano più illuminante e più L’attrattore strano più illuminante e più semplicesemplice
Meccanica celeste Meccanica celeste ≠ sistemi terrestri≠ sistemi terrestri
Conservazione e dissipazioneConservazione e dissipazione
Il sistema solare è stabile?Il sistema solare è stabile?
Modelli delle orbite delle stelle attorno al Modelli delle orbite delle stelle attorno al centro della loro galassiacentro della loro galassia
Michel HénonMichel Hénon
Visualizzazione delle orbite stellari Visualizzazione delle orbite stellari attraverso una particolare mappa:attraverso una particolare mappa:
XXn+1n+1=1-=1-ααxxnn22+y+yn n e y e yn+1n+1==ββxxnn
L’emergenza di una distribuzione regolare L’emergenza di una distribuzione regolare
Orbite non completamente regolari, ma Orbite non completamente regolari, ma che possono essere predetteche possono essere predette
Orbite periodicheOrbite periodiche
Completo disordine e resti di ordineCompleto disordine e resti di ordine
Gli attrattori di HénonGli attrattori di Hénon
La mappa del fornaioLa mappa del fornaio
Le matrioskeLe matrioske
Impossibilità di predizioneImpossibilità di predizione
Attrattore stranoAttrattore strano
No path-dependencyNo path-dependency
La “stranezza” dappertuttoLa “stranezza” dappertutto……dovunque c’era casualitàdovunque c’era casualità
Nessuno aveva visto realmente un Nessuno aveva visto realmente un attrattore strano in laboratorio e…attrattore strano in laboratorio e…
……nessuno sapeva come misurarne le nessuno sapeva come misurarne le proprietàproprietà
Era solo chiaro che era frattaleEra solo chiaro che era frattale
Proprietà comuni in sistemi non lineari?Proprietà comuni in sistemi non lineari?
Ogni sistema lineare era a se stanteOgni sistema lineare era a se stante
L’universo frattaleL’universo frattale
Luciano PietroneroLuciano Pietronero
L’universo ha una struttura frattale L’universo ha una struttura frattale irregolare, disuniforme, con immani regioni irregolare, disuniforme, con immani regioni vuotevuote
Il frattale di JuliaIl frattale di Julia
Frattali deterministici…Frattali deterministici…
……e stocasticie stocastici
L’universo frattaleL’universo frattale
Massa dei solidi pieni: V = LMassa dei solidi pieni: V = L33
Frattali solidi includono molti vuotiFrattali solidi includono molti vuoti
Massa proporzionale alla “dimensione Massa proporzionale alla “dimensione frattale”frattale”
Con D=2, d = LCon D=2, d = L22/L/L33 = 1/L = 1/L
La scoperta della frattalità delle strutture La scoperta della frattalità delle strutture cosmichecosmiche
L’universo frattaleL’universo frattale
L’assunto della cosmologia: galassie L’assunto della cosmologia: galassie distribuite in modo uniforme e isotropo, distribuite in modo uniforme e isotropo, visibili in ugual quantità da qualunque visibili in ugual quantità da qualunque direzione si guardidirezione si guardi
Fisica statistica: densità delle galassie è Fisica statistica: densità delle galassie è autosimile (cosmo frattale)autosimile (cosmo frattale)
La legge di potenza d = KSLa legge di potenza d = KS-b-b
Distribuzioni prive di scalaDistribuzioni prive di scala
L’universo frattaleL’universo frattale
Perché la notte è buia?Perché la notte è buia?
Perché non è sempre giorno?Perché non è sempre giorno?
Varie risposteVarie risposte
Risposta “frattale”: la densità decresce con Risposta “frattale”: la densità decresce con la distanza e quindi non ci arriva luce da la distanza e quindi non ci arriva luce da vaste zone vuotevaste zone vuote
Ancora misteri…Ancora misteri…
BibliografiaBibliografia
James Gleick, “Caos”, BUR Biblioteca Universale Rizzoli James Gleick, “Caos”, BUR Biblioteca Universale Rizzoli (2000)(2000)
Cristoforo S. Bertuglia e Franco Vaio,Cristoforo S. Bertuglia e Franco Vaio,
“ “Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali”, Bollati Boringhieri (2003)sistemi naturali e sociali”, Bollati Boringhieri (2003)
Luciano Pietronero, “La scoperta dei frattali cosmici”, Luciano Pietronero, “La scoperta dei frattali cosmici”, http://www.auruncatellus.it/terzapaginavaccafrattali.htmhttp://www.auruncatellus.it/terzapaginavaccafrattali.htm
