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Formulario per la risoluzione dei Triangoli – LabTopoMorea – prof. Fabio Anderlini

FORMULARIO DEI TRIANGOLI

RISOLUZIONE TRIANGOLI GENERICI

OP= 1

PP’= sen

OP’= cos

QQ’= tan =

TT’= cotan =

Teorema di Pitagora

Definizione seno

Definizione coseno

Definizione tangente

Consideriano il triangolo OPP’ sulla circonferenza goniometrica (R=1) e l’angolo , avremo che:

− il cateto opposto ( è PP’

− il cateto adiacente ( è OP’

− l’ipotenusa ( è OP

Esistono infiniti triangoli rettangoli simili a OPP’, i cui elementi si ricavano con le 4 formule sopra

riportate.

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Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, retto in C, utilizzando la convenzione della figura:

a cateto opposto ad , b cateto opposto ad , si possono presentare quattro casi principali.

1. Noti i due cateti: a e b:

2. Noti i due cateti: a e b:

3. Noti un cateto: a e l’ipotenusa c:

(l’uso della funzione inversa arcsen è lecita, perché la IIa soluzione non esiste, infatti nel triangolo

rettangolo tutti gli angoli sono acuti).

4. Noti un cateto a e l’angolo :

5. Noti l’ipotenusa c e l’angolo :

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RISOLUZIONE TRIANGOLI GENERICI

Le pagine seguenti contengono le più note formule della geometria piana, per la risoluzione dei triangoli generici,

la maggior parte delle relazioni utilizzano funzioni trigonometriche.

Viene adottata la seguente terminologia: i lati del triangolo a = BC, b = CA, c = AB; gli angoli α, β, γ, sui vertici A,

B e C. Inoltre, R è il raggio della circonferenza circoscritta, r è il raggio della rirconferenza inscritta, ρa = rex-a,

ρb = rex-b e ρc = rex-c il raggio delle circonferenze ex-inscritte tangenti rispettivamente ai lati a, b, c (e ai

prolungamenti degli altri due lati) del triangolo ABC. Viene indicato con P (maiuscolo) il perimetro, si indica con p

(minuscolo) il semiperimetro del triangolo ABC. Infine l'area del triangolo ABC è indicata con A(ABC)

o S, tutti gli altri termini saranno definiti nelle parti successive in cui verranno utilizzati.

Elementi delle circonferenze notevoli dei triangoli

R = raggio della circonferenza circoscritta

r = raggio della circonferenza inscritta

ρa = rex-a = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato a=BC, e ai prolungamenti dei lati b=AC e c=AB

ρb = rex-b = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato b=AC, e ai prolungamenti dei lati a=BC e c=AB

ρc = rex-c = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato c=AB, e ai prolungamenti dei lati b=AC e a=BC

Elementi notevoli dei triangoli: le MEDIANE

ma = mediana del lato a = BC, uscente dal vertice A (cade nel punto medio di BC)

mb = mediana del lato b = AC, uscente dal vertice B (cade nel punto medio di AC)

mc = mediana del lato c = AB, uscente dal vertice C (cade nel punto medio di AB)

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Elementi notevoli dei triangoli: le BISETTRICI

wa = bisettrice dell’angolo α nel vertice A, cade in un punto generico del lato a = BC (divide l’angolo α in due parti uguali)

wb = bisettrice dell’angolo β nel vertice B, cade in un punto generico del lato b = AC (divide l’angolo β in due parti uguali)

wc = bisettrice dell’angolo γ nel vertice C, cade in un punto generico del lato c = AB (divide l’angolo γ in due parti uguali)

Elementi notevoli dei triangoli: le ALTEZZE

ha = altezza dal vertice A, cade perpendicolarmente sul lato a = BC (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato a)

hb = altezza dal vertice B, cade perpendicolarmente sul lato b = AC (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato b)

hc = altezza dal vertice C, cade perpendicolarmente sul lato c = AB (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato c)

Somma degli angoli di un POLIGONO (con n lati)

(Formula valida per qualsiasi figura piana chiusa con n numero vertici)

ANGOLI di un TRIANGOLO Somma degli angoli di un triangolo è pari all’angolo piatto.

In un triangolo un angolo e la somma degli altri due sono supplementari (somma è l’angolo piatto).

PERIMETRO P di un TRIANGOLO Calcolo del PERIMETRO P di un TRIANGOLO P = a + b + c Calcolo del SEMIPERIMETRO p di un TRIANGOLO = P = a + b + c

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Calcolo dell’AREA A(ABC) (o SUPERFICIE) S di un TRIANGOLO Formula di Erone

Formula: “semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso”

Formula da adottare noti: “un lato e due angoli” (vedi paragrafo relativo al teorema dei seni)

Formula: “semiprodotto di un lato (base) per la rispettiva altezza”

(vedi paragrafo relativo alla definizione di altezza)

Formula della superficie contenente il raggio delle circonferenze notevoli del triangolo (vedi paragrafo relativo alla definizione degli elementi delle circonferenze notevoli)

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Teorema dei Seni (o Teorema della corda o di Eulero) Permette di trovare:

un lato quando si conoscono un lato e due angoli un angolo quando si conoscono due lati e un angolo opposto (a un dei lati noti).

ATTENZIONE quando si calcola un angolo con la funzione inversa arcsen , si hanno due possibili soluzioni:

(nel I° quadrante , valore che viene restituito dalla calcolatrice)

(nel II° quadrante , valore che deve essere calcolato con la relazione: )

entrambe potenziali soluzioni del nostro triangolo, e vanno indagate tutte e due.

Se: α= = 90° = 100g (il triangolo è rettangolo)

Teorema della corda (o di Eulero)

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Teorema del Coseno (o di Carnot) Teorema di Pitagora esteso

Permette di trovare: un lato quando si conoscono due lati e l’angolo compreso

un angolo quando si conoscono tre lati ATTENZIONE quando si deve calcolare un angolo, se possibile, è preferibile utilizzare la funzione inversa arccos ,

così non si hanno ambiguità (no IIa soluzione);

− il coseno è positivo nel I° quadrante (0≤ ≤ )

− il cseno è negativo nel II° quadrante < ≤

Se: α= = 90° = 100g (il triangolo è rettangolo) - Teorema di Pitagora

l’ultimo termine si annulla

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Teorema delle Tangenti (o di Nepero) In un triangolo qualsiasi la somma di due lati sta alla loro differenza, come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza. Formule adatte al calcolo logaritmico.

Permettono di ricavare la differenza di due angoli [es: ( , mentre la somma è [es: ( ] direttamente

ottenibile se è noto. In tal modo ri ricavano .

Se: α= = 90° = 100g (il triangolo è rettangolo)

Formule di Delambre (o di Mollweide)

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Formule con il semiperimetro

Formule di Briggs Permettono di trovare gli angoli di un triangolo, quando si conoscono i lati.

Formule adatte al calcolo logaritmico.

Teorema delle Proiezioni

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Calcolo delle MEDIANE ma = mediana del lato a = BC, uscente dal vertice A (cade mel punto medio di BC)

mb = mediana del lato b = AC, uscente dal vertice B (cade mel punto medio di AC)

mc = mediana del lato c = AB, uscente dal vertice C (cade mel punto medio di AB)

(LE MEDIANE SI INCONTRANO NEL BARICENTRO , SEMPRE INTERNO AL TRIANGOLO. IL CENTRO DI MASSA DIVIDE LE MEDIANE IN RAPPORTO 2:1 SI TROVA SEMPRE AD 1/3 DELL’ALTEZZA)

) = )=

) )

) = ) =

) )

) = )=

) )

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Calcolo delle BISETTRICI wa = bisettrice dell’angolo α in A, cade sul lato a = BC (divide l’angolo α in due parti uguali)

wb = bisettrice dell’angolo β nel vertice B, cade sul lato b = AC (divide l’angolo β in due parti uguali)

wc = bisettrice dell’angolo γ nel vertice C, cade sul lato c = AB (divide l’angolo γ in due parti uguali)

(LE BISETTRICI SI INCONTRANO NELL’INCENTRO, SEMPRE INTERNO AL TRIANGOLO. CENTRO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA)

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Calcolo delle ALTEZZE ha = altezza dal vertice A, cade perpendicolarmente sul lato a = BC (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato a)

hb = altezza dal vertice B, cade perpendicolarmente sul lato b = AC (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato b)

hc = altezza dal vertice C, cade perpendicolarmente sul lato c = AB (forma un angolo di π/2=90°=100g con il lato c)

(LE ALTEZZE SI INCONTRANO NELL’ORTOCENTRO, SEMPRE INTERNO SE IL TRIANGOLO È ACUTANGOLO, ESTERNO SE OTTUSANGOLO, SE TRIANGOLO È RETTO COINCIDE CON ANGOLO RETTO)

(ρι = raggio circonferenza ex-inscritta relativa al pedice).

Se il triangolo ABC ha un angolo retto (es.: γ= = 90° = 100g) allora:

(Nel caso in cui l’angolo retto è uno degli altri angoli, basta ruotare le lettere relative ai lati).

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Calcolo degli Elementi delle circonferenze notevoli dei triangoli R = raggio della circonferenza circoscritta r = raggio della circonferenza inscritta

ρa = rex-a = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato a=BC, e ai prolungamenti dei lati b=AC e c=AB

ρb = rex-b = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato b=AC, e ai prolungamenti dei lati a=BC e c=AB

ρc = rex-c = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato c=AB, e ai prolungamenti dei lati b=AC e a=BC

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Formule, per determinare il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.

=

=

Importante è sempre vera la seguente disegualianza: 2r ≤R. Se 2r =R il triangolo ABC è equilatero.

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Formule, per determinare il raggio delle circonferenze ex-inscritte al triangolo ABC.

ρa = rex-a = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato a=BC, e ai prolungamenti dei lati b=AC e c=AB

ρb = rex-b = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato b=AC, e ai prolungamenti dei lati a=BC e c=AB

ρc = rex-c = raggio della circonferenza ex-inscritta tangente al lato c=AB, e ai prolungamenti dei lati b=AC e a=BC