FORMULARIO DI MATEMATICA - salvemini.na.it · 1 formulario di matematica sommario algebra .....2
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1
FORMULARIO DI
MATEMATICA Sommario
ALGEBRA ......................................................................................................................... 2
DISEQUAZIONI ................................................................................................................ 5
GEOMETRIA .................................................................................................................... 6
GEOMETRIA ANALITICA .................................................................................................. 7
FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI ......................................................................... 9
TRIGONOMETRIA .......................................................................................................... 11
CALCOLO COMBINATORIO ........................................................................................... 12
PROBABILITA’ ................................................................................................................ 12
PERCENTUALI ................................................................................................................ 12
PROGRESSIONI .............................................................................................................. 12
LOGICA .......................................................................................................................... 13
STATISTICA .................................................................................................................... 13
2
ALGEBRA
INSIEMI NUMERICI
POTENZE
PRODOTTI NOTEVOLI
POTENZA
DEL BINOMIO n! = 1·2· … ·n
SCOMPOSIZIONI
3
EQUAZIONI DI 1° GRADO
DISEQUAZIO
NI DI 1° GRADO
SISTEMI LINEARI
VALORE ASSOLUTO
OPERAZIONI CON I
RADICALI
RAZIONALIZ ZAZIONI
0
0
a
a
sea
seaa
a
ab
a
a
a
b
a
b
a
ab
a
a
a
b
a
b n mn
n mn
n mn
n mn m
0x = 0 indeterminata – 0x = b impossibile
4
RADICALI DOPPI
EQUAZIONI DI
2° GRADO COMPLETE ax2+bx+c=0
EQUAZIONI DI
2° GRADO INCOMPLETE
Relazione tra coefficienti e
radici e scomposizio
ne ax2+bx+c=0
Equazioni binomie
axn+ c=0
Equazioni trinomie
ax2n+bxn + c=0 t = xn at2 + bt + c = 0 Risolvi ed applica metodi delle equazioni binomie
a
acbb
a
bx
2
4
2
2
a
acbb
a
b
x
2
2242
a
bx
x
baxxbxax
2
12
0
0)(
a
cx 2
a
cx
se –c/a < 0
Spuria Pura
soluznoa
ca
cx
a
cn
0
0n pari
n dispari n
a
cx
5
DISEQUAZIONI
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO
DISEQUAZIONI DI GRADO > 2
E FRATTE
Studiare i segni dei fattori
..
0)(
0)(
xB
xA
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Un sistema di disequazioni contiene n disequazioni da risolvere singolarmente:
La soluzione del sistema è l’intersezione delle soluzioni delle
singole disequazioni: S = S1 S2 …
Grafico:
UNIONE DI DISEQUAZIONI
( A(X) <≤ >≥0 ) U (B(x) <≤ >≥0) Soluzione S = S1 U S2 Grafico:
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON RADICE QUADRATA
(C.E.: A(x) 0)
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON MODULO
0)(
0)(
)(
)()(
xA
xA
xA
xAxA
Le soluzioni sono gli intervalli
con i segni richiesti
Sempre > 0 ! Studiare ≥0 se è P(x) ≤≥0
Per le fratte ≥0 solo al Numeratore
6
GEOMETRIA
PUNTI NOTEVOLI DI UN
TRIANGOLO (intersezione di
..) Altezze Bisettrici Mediane Assi Bisettrici angoli esterni
POLIGONO DI n LATI
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI= (n – 2)· 180°
ANGOLO DI UN POLIGONO REGOLARE (LATI E ANGOLI UGUALI) = n
n 180)2(
CIRCONFERENZA
Un quadrilatero è: INSCRIVIBILE se gli angoli opposti sono supplementari, CIRCOSCRIVIBILE se ha uguali le somme dei lati opposti .
CONVERSIONI MISURE ANGOLI
AREE DI FIGURE PIANE
TEOREMI SUI TRIANGOLI
RETTANGOLI
APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI
PITAGORA QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO
SOLIDI
L’asse di un corda passa per il centro.
Raggio e retta tangente sono perpendicolari.
L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda è la metà
dell’angolo al centro corrispondente
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
AH = (AB·AC)/BC
TEOREMA DI PITAGORA: AB2 + AC2 = BC2
I° TEOREMA DI EUCLIDE: AB2 = BH·BC AC2 = CH·BC
II° TEOREMA DI EUCLIDE: AH2 = BH·HC
2ld 3
2
lh
Teorema di Eulero
Facce + Vertici – Spigoli = 2
7
GEOMETRIA ANALITICA
DISTANZA e PUNTO MEDIO
TRA 2 PUNTI A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)
Equazione della RETTA
Coefficiente Angolare
Parallelismo e Perpendicolarità
Retta passante per 2 punti
A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)
Fasci
DISTANZA PUNTO - RETTA
CIRCONFERENZA
CIRCONFERENZA E RETTA
12'''' yyBA
12'' xxBA 212
2
12 yyxxAB
2;
2
2121 yyxxM
Intercetta
a
cq
a
bm
Coeff. angolare
qmxy
Forma esplicita Forma implicita
0 cbxax
12
12
xx
yym
mm
1' 'mm
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
);( 00 yxA
22);(
ba
cbyaxrAd
oo
0 cbxax
2;
2
baC
cba
cr
22
22
22
8
PARABOLA con asse //
asse y
PARABOLA con asse //
asse x
Ellisse con i fuochi sull’asse x
Ellisse con i fuochi sull’asse y
Iperbole con i fuochi sull’asse x
Iperbole con i fuochi sull’asse y
Altre equazioni dell’iperbole
a
bxa
2:
aa
bF
4
1;
2
aa
bV
4;
2 ayd
4
1:
a
b
aF
2;
4
1
a
bya
2:
axd
4
1:
a
b
aV
2;
4
9
FUNZIONI – ESPONENZIALI LOGARITMI
DEFINIZIONE DI FUNZIONE
“Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B
una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento xA uno ed un
solo elemento yB.” Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive :
f : A B ; f : xA yB; oppure y = f (x) L’elemento x si chiama variabile indipendente o argomento della funzione. L’elemento Y si chiama variabile dipendente o immagine (in corrispondenza di x) della funzione. L’insieme A dei valori x per i quali esiste il corrispondente valore della y si dice campo di esistenza o insieme di definizione o dominio della funzione. L’insieme f(A) di tutti gli elementi associati ai valori di A si chiama codominio della funzione.
FUNZIONI INVERTIBILI
Una funzione f si dice biettiva sul codominio B se ogni elemento di B è associato una sola volta ad un elemento di A.
Una funzione biettiva è anche invertibile : cioè se f : x A y B è biettiva e associamo ad ogni valore y del codominio l’elemento x del dominio otteniamo una nuova funzione detta funzione inversa :
f -1 : y B x A.
FUNZIONI COMPOSTE
Siano date due funzioni f: x A y B e g: y C z D. Se B e C hanno elementi comuni sia I = B C
(intersezione di B e C). Dato che ad ogni elemento x associato ad un elemento y = f(x) I si può associare l’elemento g(y) = g(f(x)) associato ad f(x) si forma la funzione composta z = f•g(x) = g(y) = g(f(x)) : AD. Il dominio della funzione composta può anche non coincidere con l’insieme A ma esserne un sottoinsieme.
CLASSIFICAZIONE
CALCOLO DEL
DOMINIO
FUNZIONI MONOTONE
Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2)
Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se: x1 < x2 f(x1) f(x2)
FUNZIONI
PARI, Una funzione y = f (x) si dice pari se: f(-x) = f(x) x A
Una funzione y = f (x) si dice dispari se: f(-x) = -f(x) x A
10
DISPARI PERIODICHE
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT)
Funzione esponenziale
Funzione logaritmica
PROPRIETA’ DI ESPONENZIALI E LOGARITMI
Equazioni esponenziali
Disequazioni esponenziali
Equazioni logaritmiche
Disequazioni logaritmiche
)()()()( xgxfaa xgxf 0
0
log)(
)(
N
N
Nxf
eimpossibilNa
a
xf
10
1
)()()(
)()()()( )()(
a
a
xgxf
xgxfaa xgxf
0)( NeimpossibilNa xf 0)( NRxNa xf
10
1
log)()(
log)()()()(
a
a
N
N
xf
xfNa
a
axf
)()(
0)(
0)(
)(log)(log
xgxf
xg
xf
xgxf aa
Naaxf
xfNxf
)(
0)()(log
10
1
)()()(
)()()(
0)(
0)(
)(log)()(log
a
a
xgxf
xgxf
xg
xf
xgxf aa
10
1
)()(
)()(
0)(
0)(
)()(log
a
a
axf
axf
xg
xf
Nxf
N
Na
11
TRIGONOMETRIA
ANGOLI
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
RELAZIONI FONDAMENTALI ARCHI ASSOCIATI
ANGOLI ELEMENTARI
FORMULE GONIOMETRICHE
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Teorema dei Triangoli
rettangoli e della corda
a = c sen = c cos
b = c sen = c cos AB = 2r sen
a = b tg = b cotg
b = a tg = c cotg
Triangoli qualunque
AREA DEL TRIANGOLO A = 2
1 a b sen = 2
1 a c sen = 2
1 b c sen
TEOREMA DEI SENI rsen
c
sen
b
sen
a2
TEOREMA DEL COSENO O DI CARNOT
a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + c2 – 2ac cos
:180: rg
r
g
180
180
g
r
g = 360-esima
parte angolo giro
12
CALCOLO COMBINATORIO n fattoriale n! = n·(n-1)·…·1
DISPOSIZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Dn,k = n·(n-1)·…·(n-k+1)
PERMUTAZIONI SEMPLICI (CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI): Pn = Dn,n = n!
COMBINAZIONI SEMPLICI (NON CONTA L’ORDINE SENZA RIPETIZIONI):
Cn,k =
DISPOSIZIONI con RIPETEZIONE (CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Drn,k = nk
COMBINAZIONI con RIPETEZIONE (NON CONTA L’ORDINE CON RIPETIZIONI): Cn,k =
PROBABILITA’
Probabilità di un evento E p(E) =
Probabilità dell’evento contrario E p(E) = 1 – p(E)
Probabilità dell’unione di eventi p(E1 E2) =
p(E1) + p(E1) – p(E1 E2) Probabilità dell’unione di eventi incompatibili p(E1 E2) = p(E1) + p(E1)
Probabilità composta di eventi indipendenti p(E1 E2) = p(E1 ) · p(E2)
Probabilità condizionale p(E/F) =
Probabilità composta di eventi dipendenti p(E F) = p(E/F) · p(F) Prova ripetuta n volte
Sia p la probabilità che E si verifichi una volta. La probabilità che E si verichi k volte su n è
PERCENTUALI
VARIAZIONE PERCENTUALE
CALCOLO DEL VALORE FINALE
PROGRESSIONI Termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d e
termine iniziale a0. an = a0 + (n-1)·d
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica Sn =
Termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione r e termine iniziale a0. an = a0·rn
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LOGICA
STATISTICA
CONNETTIVI LOGICI
REGOLE DI DEDUZIONE
Modus Ponens Modus Tollens
Leggi di De Morgan
Frequenza relativa
f = F / T (Frequenza / Totale dati)
Indici di posizione centrale
Indici di dispersione