Formulario Idraulica

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    CONDOTTE IN PRESSIONE

    Lidraulica, quella scienza che si occupa dello studio dei fluidi in genere ma in particolare di

    quella classe denominata col nome di LIQUIDO, ovvero dei fluidi incomprimibili. Lo studio si

    occupa sia di capire cosa avviene ad un liquido che si trova sia in condizioni di staticit che in

    moto, moto che pu avvenire come corrente in pressione o come flusso che scorre a pelo libero.

    Lo studio delle condizioni statiche o di moto di un fluido viene fatto mediante la risoluzione di due

    importanti equazioni:

    Lequazione dellequilibrio mobile di Navier-Stokes

    Lequazione di continuit

    PARTE I

    Allequazione di Navier-Stokes si arriva effettuando un bilancio delle forze agenti

    Sul volumetto dv di lati: dx1, dx2, dx3.

    Le forze agenti sono:

    - di massa- dinerzia

    - di superficieForza di massa: dalla F = m a si ottiene

    fdxdxdxFm *321 dove f nel campo gravitazionale pari allaccelerazione gravitazionale g

    Forze dinerzia che tengono conto delle accelerazioni del fluido

    In direzione non verticale ovvero:

    dt

    dudxdxdxFi *321

    Formule salienti di Idraulica

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    Forze di superficie che tengono conto del fatto che il volumetto a contatto con

    la massa fluida totale sottoposto a scambi con lo stesso ovvero:

    Sulla superficie del volumetto di normale x1:

    1*32 dxdxFs ovviamente sulla superficie di eguale normale ( lopposta ) lo sforzo sar differente:

    11

    11'1 dx

    x

    e questo vale per tutte le superfici del volumetto.

    La risultante Rs sar:

    3213

    3

    2

    2

    1

    1dxdxdx

    xxxRs

    Considerando lequilibrio del volumetto stesso, dalla: Fm + Fi + Rs = 0

    Otteniamo:

    03213

    3

    2

    2

    1

    1*321*321

    dxdxdxxxxdt

    dudxdxdxfdxdxdx

    e quindi:

    03

    3

    2

    2

    1

    1**

    xxxdt

    duf

    considerando il tensori degli sforzi:

    333231

    232221

    131211

    T

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    e poich

    333231

    232221

    131211

    )

    321

    ()

    3

    3

    2

    2

    1

    1(

    xxxxxx

    pfpadiv T = pfpa - Tfacendo opportune sostituzioni si arriva allequazione di Navier-Stokes:

    02 fu

    p

    dt

    du

    considerando che laccelerazione dipende dal tempo ma anche dalle coordinate

    ovvero possiamo considerarla come somma di una accelerazione locale ed una convettiva ovvero:

    dt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    u

    t

    u

    dt

    du 3

    3

    2

    2

    1

    1

    e sostituendo ad f laccelerazione gravitazionale come:

    321 x

    zg

    x

    zg

    x

    zgg

    e quindi considerando un fluido newtoniano pesante:

    CASI PARTICOLARI

    LIQUIDO FERMO ( u = 0 )

    lacqua contenuta da un recipiente, caso di idrostatica

    ugdt

    du

    g

    pzgrad

    21)(

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    implica che : 0)(

    pzgrad

    Discerne lespressione per calcolare la pressione per un punto avente un certo affondamento:

    se z2 - z1 = h

    PatmPh

    h

    z1z2

    2

    1

    Patm

    z=0

    Se il fluido in moto, possiamo considerare :

    linee di flusso:

    linviluppo dei vettori velocit in un istante t

    traiettorie:

    linsieme dei punti occupati successivamente durante il moto.

    2)(1)(

    pzpz

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    Abbiamo gi visto lequazione indefinita di Navier-Stokes

    Indefinita poich vale solo puntualmente.

    Bisogna integrarla ad un volume generico W contenuto in unarea A generica.

    A

    Si integra lequazione:

    )3

    3

    2

    2

    1

    1(

    xxxdt

    duf

    otteniamo:

    0)3

    3

    2

    2

    1

    1(

    dwxxxdwdt

    dudwf

    WWW

    poich:

    dt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    u

    t

    u

    dt

    du 3

    3

    2

    2

    1

    1

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    Avremo che:

    0)3

    3

    2

    2

    1

    1(

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    dwxxx

    dwdt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    u

    dt

    dx

    x

    udwt

    uG

    W

    WW

    Se il moto permanente le forze dinerzia locali sono nulle,se inoltre il moto rettilineo uniforme anche le forze dinerzia convettive sono nulle.

    Per dare una espressione pi semplice allequazione si applica la formula di Green:

    dove:

    un la componente di u sulla normale n

    n lo sforzo agente sullarea dA di normale n

    Au

    n

    dA

    dA

    n

    u

    n

    un

    0

    dAndAuudwt

    uG

    AA

    n

    W

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    Quindi passiamo da una forma indefinita ( locale )

    )3

    3

    2

    2

    1

    1(

    xxxdt

    duf

    ad una forma globale:

    0

    dAndAuudwt

    uG

    AA

    n

    W

    dove:

    G il peso del fluido contenuto allinterno dellarea A

    dwt

    u

    W

    = I forza dinerzia locale

    AndAuu

    = M flusso di quantit di moto

    dAn

    A

    = risultante delle forze di superficie che il resto del fluido applica sullasuperficie A

    Nel caso di Idrostatica:

    I = 0

    M = 0

    n coincide con la pressione

    RECIPIENTE CON DUE LIQUIDI DIFFERENTI

    Vediamo adesso cosa avviene nel caso di un recipiente che contiene due fluidi differenti:

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    per ogni liquido vale lespressione dellidrostatica:

    In questo caso il p.c.i del liquido pi sopra noto ma non lo quello del liquido sotto

    Per, possiamo per considerare il punto di contatto

    appartenente sia ad uno che allaltro liquido.

    Quindi dalleguaglianza:

    2211 hh

    2

    112

    hh

    P.c.i 1

    z=0

    1h1 h2

    2

    P.c.i 2

    2)(1)(

    pz

    pz

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    Si pu ricavare la quota del pelo libero in ogni caso mediante un piezometro,

    ovvero un tubicino a diametro non di capillarit.

    Quando esso viene collegato al serbatoio, il liquido risalire il piezometro fino alla quota p.c.i. del

    recipiente anche se esso un serbatoio in pressione.

    SPINTA SULLE SUPERFICI DI UN RECIPIENTE

    Spinta su superficie non inclinata

    Prendiamo inizialmente un serbatoio di forma semplice ( parallelepipedo ):

    si dimostra che, sul recipiente, il fluido esercita appunto delle spinte ovvero delle forze rivolte verso

    le pareti; la spinta applicata su una superficie sar una:

    dAd spinta infinitesima su una porzione di superficie

    Bisogna allora integrare a tutta la superficie A

    Otteniamo che ( applicata la formula di Green ):

    AAA zdAndAnndA la spinta su una superficie verticale un vettore che ha:

    MODULO DIREZIONE normale alla superficie VERSO dallinterno verso lesterno.

    La spinta sar applicata su un punto che spostato dal baricentro dellarea di una certa eccentricitcome per la spinta che vedremo sulla superficie inclinata.

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    Spinta su superficie inclinata di un angolo

    poich la superficie inclinata, dobbiamo considerare che:

    dA

    baricentro

    ZoZ

    p.c.i.

    r

    z = r cos

    quindi la spinta sar in modulo pari a:

    ArdAn cos

    r dA rappresenta il momento statico della superficie A rispetto alla

    traccia della linea di sponda .

    Zo laltezza del baricentro geometrico di A

    r0 laltezza del baricentro di dA.

    Quindi A ArrdA 0 Ma ( r0 cos ) = Zo

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    In tutto avremo che, la spinta su superficie inclinata pari in modulo a:

    AnpAzn 00

    la spinta in questo caso, non applicata sul baricentro della superficie,essa sar applicata ad una distanza dalla traccia della linea di sponda pari a:

    M

    Iry 00 allora leccentricit della spinta sar pari a : M

    Ie 0

    dove:

    r0 la distanza dalla traccia del baricentro geometrico

    I0 il momento dinerzia baricentrico (gabellato a seconda della sezione )

    M il momento statico M = r0 A

    Se la superficie A parallela al p.c.i. implica che:

    0r quindi avremo che la spinta applicata al baricentro della sezione poich:

    000

    00

    0 0 rrIrMIry

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    Spinta su superficie curva

    Questa volta, il calcolo della spinta un p differente;

    questa volta infatti, il versore normale n, variabile in direzione e quindi non possiamo

    metterlo a coefficiente dellintegrale.

    Allora si procede in modo differente:

    Considerando il volume del recipiente delimitato dalla superficie curva ( B ) e

    dalla superficie verticale che chiude quella curva ( A ).

    Si applica lequazione globale:

    B

    G

    A

    C

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    La spinta sar uguale ad:

    0S

    applicando lequazione globale si ricava che:

    0101 0 GG equazione vettoriale

    quindi sommando i vettori G e 1 otteniamo la spinta in :

    -direzione

    -verso

    -modulo

    S G

    N.B.

    il peso G sar pari al prodotto del volume e della densit

    1 una spinta su superficie verticale e si ottiene dalla :

    )(11 ACA

    dove: 1 laffondamento dal pelo libero del baricentro dellarea A(AC).

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    PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA

    La retta di azione della spinta passer per il centro della curva La spinta applicata nel punto intersezione fra la retta dazione

    di 1 e la superficie curva.

    B

    G

    A

    C

    Vediamo adesso come cambiano le cose se la superficie curva ha concavit apposta a quella

    precedente come quella della successiva figura:

    B

    G

    A

    C

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    In questo caso si ipotizza il volume allesterno della curva anchesso pieno di liquido avente lo

    stesso peso specifico, successivamente si applica il bilancio delle forze applicate sul volume fittizio

    come nel caso precedente, ma in questo caso avremo che:

    oS e da questo discerne che:

    1 GS Analogo discorso viene fatto per il punto di applicazione:

    B

    G

    A

    C

    Il metodo appena visto, ha una limitazione poich il calcolo non pu essere applicato quando la

    superficie curva ha una linea di contorno che non giace su di un unico piano.

    II metodo del calcolo della spinta.

    Questo metodo consiste nel calcolare la spinta mediante le loro componenti:

    Sy e Sx

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    Componente verticale Sy

    Si procede isolando il volume di liquido contenuto come in figura:

    Poich questo metodo pu essere applicato quando la superficie curva ha una linea di contorno che

    non giace su di un unico piano in genere la superficie laterale data dalla porzione compresa fra

    superficie curva e p.c.i. delle infinite generatrici appoggiate alla curva stessa.

    B

    AB

    A

    AB

    G

    Considereremo il

    volume , racchiusodalle superfici:

    Curva (in verde)

    Dal p.c.i (in

    celeste)

    Dalla superficie

    laterale formatadalle:

    A,B,C e D

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    ABicaliparetiverticp SySySySy .)..(

    ma Syp.c.i. nulla poich Prel = 0

    Sy delle pareti verticali anchessa nulla

    Le AB si bilanciano

    Allora lunica spinta agente sulla superficie curva il peso G

    Sy = G

    La componente verticale della spinta sar in direzione:

    concorde con G se il volume isolato realediscorde con G se il volume isolato fittizio.

    S

    y

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    Componente orizzontale Sx:

    Si procede isolando il volume di liquido contenuto delimitato da :

    un piano verticale a distanza arbitraria dalla superficie curva AB

    la superficie laterale data dalla porzione compresa fra superficie curva e il piano verticale scelto

    delle infinite generatrici orizzontali appoggiate alla curva stessa.

    A

    B

    C

    D

    Piano verticale a distanza arbitraria

    Per il bilancio sul volume avremo che:

    AB = CD (In modulo )

    Allora : Sx = AB = CD (In modulo )

    Sy = CD

    La componente orizzontale della spinta sar in direzione:

    verso lesterno se il recipiente in pressione

    verso linterno se esso in depressione

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    BILANCIO DI MASSA ( equazione di continuit )

    Attraverso un volume di controllo dw si ha un passaggio di massa totale pari a:

    dtdxdxdxx

    udtdxdxdx

    x

    uudtdxdxu 321

    1

    132)1

    1

    11(321

    in tutto avremo che:

    dtdxdxdxudivdtdxdxdxx

    u

    x

    u

    x

    u321)(321

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    La variazione allinterno del volumetto dv :

    dtt

    dxdxdxdtt

    dxdxdx

    321

    )321(

    In tutto allora avremo che:

    dtt

    dxdxdxdtdxdxdxudiv

    321321)(

    poich un liquido ha densit costante, avremo che:

    nota come equazione di continuit.

    Lequazione di continuit applicata a un tubo di flusso ci da come risultato che:

    La portata rimane costante lungo il percorso ovvero:

    0

    s

    Qse il fluido perfetto avremo che:

    0ds

    dQ

    div u = 0

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    Questo implica che per pi sezioni trasversali la portata resta costante lungo s e quindi:

    se la sezione diminuisce deve aumentare la velocit media.

    E questo poich A

    QVm

    Ovvero se A1 < A2 < A3 implica che : V1 > V2 > V3.

    A1 A2A3

    Abbiamo visto lequazione di Navier-Stokes per fluido pesante ed incomprimibile:

    ds

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    ugdt

    du

    g

    pzgrad

    21)(

    Fluidi perfetti ( viscosit nulla )

    Se il fluido inoltre perfetto, ovvero a viscosit nulla, avremo che:

    Nota come relazione di

    EULERO

    Spesso conviene scomporre lequazione di Navier-Stokes secondo una terna detta intrinseca

    Questa terna caratterizzata da tre assi:

    s asse che varia nel tempo, restando sempre tangente alla traiettoria del flusso.

    n asse sempre normale allasse s diretto ovvero nella direzione centripeta dellaccelerazione

    b asse bitangente, ovvero normale al piano ( s , n ).

    Secondo questa terna, lequazione di Navier-Stokes, viene scomposta in tre equazioni scalari:

    Asse sdt

    du

    g

    pz

    s

    1)(

    Asse nr

    u

    g

    pz

    n

    21

    )(

    Asse b 0)(

    pz

    b

    Se la corrente lineare, anche 0)(

    pz

    n;

    dt

    du

    g

    p

    zgrad

    1

    )(

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    La relazione di EULERO, pu essere espressa in modo differente tenuto in conto il fatto che

    Laccelerazione du/dt in realt la somma di due componenti:

    accelerazione locale:t

    u

    accelerazione convettiva:b

    u

    n

    u

    s

    u

    nel caso di condotta lineare avremo che:

    dt

    ds

    s

    u

    t

    u

    dt

    du

    In tutto, otteniamo lequazione indefinita del moto di un fluido perfetto, incomprimibile, pesante

    Che si muove lungo una traiettoria generica s.

    b

    n

    s

    )2(

    1)(

    2

    g

    u

    sdt

    du

    g

    pz

    s

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    penergia di potenziale di movimento

    )(pz lenergia potenziale totale

    g

    V

    2

    2

    rappresenta lenergia cinetica

    Allora le equazioni di Bernoulli, esprime il fatto che, in una corrente lineare di fluido perfetto,

    newtoniano e incomprimibile non si dissipa il cos detto carico totale.

    ( il fluido perfetto se ha viscosit nulla e quindi non si esplicano sforzi tangenziali )

    MOTO LAMINARE E MOTO TURBOLENTO

    Si suppone di immettere una goccia di colorante in un fluido in moto

    Definiamo moto laminare se la goccia definisce una traiettoria lineare

    che non perde la propria individualit.

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    Definiamo invece, moto turbolento, il moto nel quale la goccia perde

    la propria individualit colorando pi o meno uniformemente tutto il fluido.

    Possiamo conoscere la caratteristica del moto mediante il valore di Raynolds :

    definito il numero di Raynolds Re come :

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    uDRe

    dove

    u la velocit media

    D il diametro della condotta

    la viscosit cinematica

    Se: Re < 2000 il moto sar laminare

    Re > 3000 il moto sar turbolento.

    Fluidi reali ( a viscosit non nulla )

    Abbiamo visto che lequazione di Navier-Stokes per i fluidi perfetti si riduce allequazione diBernoulli

    Che esprime il fatto che il carico totale di una corrente in moto, se il fluido perfetto, non subisce

    dissipazioni di alcun genere ovvero, la linea dei carichi totali una retta orizzontale.

    Adesso osserviamo cosa avviene nel caso pi semplice di moto di un fluido reale e vedremo che

    a causa del fatto che la viscosit adesso non pi nulla, si hanno dissipazioni di carico.

    MOTO LAMINARE LINEARE DI FLUIDO REALE

    In moto uniforme in una condotta a sezione circolare

    Per un fluido reale lequazione di Navier-Stokes assume una forma differente:

    )3

    1

    2

    1

    1

    1()(

    1

    222

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    g

    pz

    x

    Ma pi conveniente esprimerla in coordinate polari ( r, ), poich si ha simmetria rispetto allarotazione ovvero, lequazione vale per tutti i punti di una circonferenza di raggio ri .

    Essa diventa:

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    )1()(

    1 dr

    dur

    dr

    d

    rg

    pz

    xi

    x3

    x1

    x2

    ri

    Nel caso di fluido reale la viscosit non nulla e continua a comparire nellequazione di Navier-

    Stokes

    0)3

    1

    2

    1

    1

    1()(

    1

    222

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    g

    pz

    x

    ed inoltre, la linea dei carichi totali non pi orizzontale cos come la piezometrica,

    e quindi subisce un abbassamento:

    Il rapporto fra labbassamento del p.c.i. ed il percorso dx si chiama cadente piezometrica

    e si indica con J ( iota )

    1

    )(

    dx

    pzd

    J

    Questo fenomeno causato dalla non idealit del fluido e quindi la cadente sarproporzionale alla viscosit dello stesso, infatti:

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    )3

    1

    2

    1

    1

    1(

    222

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    gJ

    Se facciamo riferimento alla terna intrinseca e consideriamo che il moto uniforme della corrente

    avviene nella sola direzione x1 come si nota dalla figura,

    possiamo dire che:

    01

    10

    1

    12

    x

    u

    x

    u

    e quindi avremo che:

    )

    3

    1

    2

    1(

    22

    x

    u

    x

    u

    g

    J

    E questo si traduce in coordinate polari con la:

    dr

    dur

    dr

    d

    rgJ

    11

    poich:

    Jg

    J ed inoltre : xdr

    rdu

    Avremo che:

    X

    X

    X

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    29/56

    dxrdrJ

    Per tutta la sezione bisogna integrare questultima fra 0 ed r e fra 0 e x :

    xr

    dxrdrJ

    00

    otteniamo quindi una equazione differenziale:

    drdurrJ

    2

    2

    separando le variabili:

    dudrr

    rJ

    2

    2

    la quale va integrata:

    ur

    D

    durdrJ0

    2

    2

    e questa ci da la relazione definitiva:

    )4

    (4

    22rDJ

    u

    nota come equazione della distribuzione delle velocit per un fluido reale

    in moto in condotta circolare di diametro D.

    ( lequazione da luogo ad un paraboloide )

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    30/56

    Sostituendo i valori di r si nota che a causa della viscosit, il fluido che lambisce le pareti della

    condotta ha velocit nulla; di contro la velocit massima si raggiunge al centro .

    Infatti per r = 0 otteniamo :

    16

    2

    max

    JDV

    La velocit media sar pari a :

    322

    1

    4

    22

    max2

    2

    0 JDVD

    dr

    A

    udA

    A

    QVm

    D

    A

    Vm

    Vmax

    dallespressione della Vm si ricava che:

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    31/56

    2

    32

    D

    VmJ

    effettuando opportune sostituzioni si ottiene che:

    gD

    Vm

    gD

    Vm

    gJ

    2Re

    64

    2

    3222

    per comodit si usa indicare con il rapporto :

    Re64

    Si ottiene che la cadente sar pari a :

    g

    Vm

    DJ

    2

    2

    nota come relazione di Darcy-Weisbach.

    Sforzo in condotta a sezione circolare

    Per un fluido reale pesante in moto in una condotta a sezione circolare, sussiste simmetria a parit

    di raggio ed inoltre gli sforzi tangenziali sono uguali fra loro, ovvero:

    2112 )2

    1(

    x

    u

    quindi ha senso parlare di un unico sforzo :

    dr

    du

    in funzione del raggio avremo che:

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    32/56

    Jr

    2

    detto questo avremo che, lo sforzo alle pareti massimo mentre al centro del flusso, esso nulloed per questo che si realizza la massima velocit al centro e velocit nulla alla parete.

    Vmax

    Vm

    max

    =0

    RICAPITOLANDO

    Da notare che:

    JD4

    max

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    33/56

    Per una corrente in pressione di fluido reale che scorre in una condotta a sezione

    circolare di moto uniforme si ha che :

    lequazione della distribuzione delle velocit :

    La linea dei carichi totali e la piezometrica non sono orizzontali

    si ha infatti una cadente data dalla:

    Ricordando che Re il numero di Raynolds dato dalla:

    VmD

    Re

    posto

    Re

    64

    si ottiene lespressione di Darcy-Weisbach

    Si dimostrato che la relazione di Darcy-Weisbach, pu essere applicata

    a moti laminari uniformi differenti da quelli in condotta a sezione circolare, quali:

    )4

    (4

    22rDJ

    u

    g

    Vm

    DJ

    2

    1

    Re

    64 2

    g

    Vm

    DJ

    2

    2

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    34/56

    b) moto laminare fra due lastre parallele ed infinite

    c) moto laminare che avviene a superficie liberaapportando la modifica del numeratore dellindice

    infatti parleremo di :

    ReRe

    64 n

    nel caso di condotta a sezione circolare avevamo che:

    D il diametro ed n = 64

    nel caso b)

    D =

    diametro

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    35/56

    D la distanza fra le lastre ed n = 24

    Nel caso c)

    D laltezza della corrente ed n = 3

    MOTO TURBOLENTO UNIFORME DI FLUIDO REALE

    D ladistanza

    fra le

    lastre

    D

    laltezza

    della

    corrente

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    36/56

    Nel caso in cui il moto sia turbolento, se supponiamo di fare delle fotografie

    del sistema in istanti generici t, si nota che in ogni istante, sia la velocit che la pressione

    hanno delle disposizioni sempre differenti ed impossibile fornire una espressione

    matematica che lega le variazioni di velocit e pressione per i vari istanti;

    questo vuol dire che, sia la velocit che la pressione, sono delle variabili casuali.

    Allora si deve adottare un procedimento di tipo statistico.

    Si ipotizza che il vettore velocit sia dato dalla somma di due vettori:

    'uuu ovvero come somma di un vettore velocit medio e del vettore u che lo scostamento

    istantaneo dal valore medio.

    In vari istanti, per un punto p, il vettore velocit assume differenti valori in modulo verso e

    direzione,ed per questo che possiamo esprimere il vettore u come somma vettoriale di un

    vettore che rappresenta la media di tutti i vettori velocit e del vettore che rappresenta appunto lo

    scostamento di u dal valore medio.

    Il vettore medio delle velocit, sar dato da:

    2

    2

    1

    t

    t

    udtT

    u

    Il discorso della media e dello scostamento pu essere meglio compreso se facciamo riferimento

    alla pressione anzich al vettore velocit: Sperimentalmente si osserva che il vettore velocit, da

    luogo a variazioni, istante per istante, del tutto casuali, per questo motivo, un grafico sul piano (

    tempo, pressione ) risulta discontinuo e casuale.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    37/56

    Dt1

    dt1 dt2

    Dt2

    Pressione

    tempo

    Se prendiamo due intervallini temporali, piccoli ( dt1 e dt2 ) i due valori medi della pressione sono

    molto differenti;

    se invece, consideriamo due intervalli pi grandi ( Dt1 e Dt2 ) i due valori medi saranno

    sensibilmente pi simili.

    Tornando al discorso del vettore velocit possiamo capire che la risoluzione del problema consistenel fare una media appropriata; il problema fu risolto da Raynolds che sostitu nellequazione di

    Navier-Stokes, i valori di velocit e pressione come somma dei valori medi e degli scostamenti e

    successivamente effettuando una media generale.

    Le equazioni che vennero tratte da Raynolds sono conosciute come: RANS (Raynolds Avarage

    Navier-Stokes )

    ovvero equazioni di Navier-Stokes mediate alla Raynolds.

    Si considerano infatti i valori: )'( ii uu ed )'( ii pp

    Successivamente si considerano le medie temporali ovvero: t

    uu ii

    )'(( media generale )

    Avremo che:t

    u

    t

    u

    t

    uuiiii

    ')'(dove il secondo termine nullo.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    38/56

    Si ottiene allora che 11 uu

    Sostituendo nellequazione otteniamo:

    0)3

    1

    2

    1

    1

    1(

    1

    1)3

    3

    12

    2

    11

    1

    1(

    12

    2

    2

    2

    2

    2

    f

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    x

    p

    gu

    x

    uu

    x

    uu

    x

    u

    t

    u

    ricordando che la media della somma di due valori medi pari alla somma dei valori medi stessi

    e che la media di un termine fluttuante ( scostamento ) nulla si ricava una nuova espressione

    dellequazione di Navier-Stokes:

    Ovvero dallequazione generale dellequilibrio dinamico di Navier-Stokes che scritta in formacontratta era:

    013

    1

    3

    12

    2

    i

    j j j

    i

    i

    j

    j

    ii fx

    u

    x

    pu

    x

    u

    t

    u

    con i che va da 1 a 3

    Si passa alla stessa equazione mediata alla Raynolds:

    01''3

    1

    3

    12

    2

    i

    j j j

    i

    ij

    ji

    j

    jii fx

    u

    x

    p

    x

    uu

    x

    uu

    t

    u

    dove il termine

    j

    ji

    j

    ji

    x

    uu

    x

    uu ''

    un termine convettivo.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    39/56

    Per il moto turbolento di un fluido reale allora bisogna risolvere un sistema di 4 equazioni scalari

    dato dalle tre proiezioni scalari dellequazione di Navier-Stokes mediata alla Raynolds e da quella

    di continuit.

    01''3

    1

    3

    12

    2

    i

    j j j

    i

    ij

    ji

    j

    jii fx

    uxp

    xuu

    xuu

    tu

    tre equazioni in x1, x2 e x3

    0

    i

    j

    x

    u

    equazione di continuit.

    PARTE II

    Nell equazione mediata alla Raynolds compare il termine: '' ji uu Questo termine rappresenta la correlazione fra le componenti fluttuanti della velocit.

    Esso assume significato fisico se moltiplicato per la densit del fluido:

    '' ji uu infatti rappresenta linsieme degli sforzi turbolenti o sforzi di Raynolds.

    Ci vuol dire che in tutto si avranno degli sforzi viscosi ma anche degli sforzi aggiuntivi che danno

    luogo alle turbolenze del moto; possiamo considerare questi nuovi sforzi nel tensore:

    Ttot = T - Tr

    333231

    232221

    131211

    T

    2

    2

    2

    3'2'3'1'3'

    3'2'2'1'2'

    3'1'2'1'1'

    uuuuu

    uuuuu

    uuuuu

    Tr

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    40/56

    Quindi lequazione di Navier-Stokes diventa:

    )()( rTTdivugradut

    uf

    poich in forma estesa lequazione assume una forma troppo complicata e quindi il sistema delle

    sue tre proiezioni insieme allequazione di continuit diventa molto complesso da risolvere, si

    procede utilizzando dei modelli di turbolenza che legano gli sforzi di Raynolds con i valori medi

    della velocit e della pressione.

    MODELLI DI TURBOLENZA

    Bisogna precisare che in presenza di regime turbolento:

    non si pu parlare fisicamente di moto uniforme; esso una pura astrazione, ovvero si intende permoto turbolento uniforme, il moto calcolato mediante i valori medi ma fisicamente esso non pu

    esistere.

    Il concetto di traiettorie rettilinee si riferisce soltanto alla traiettoria media delle velocit

    Poich il moto uniforme turbolento appena descritto, un moto di media la curva delle

    distribuzioni delle velocit sar sensibilmente piatto come si pu notare dalla figura:

    Vmax

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    41/56

    CONSIDERIAMO IL MOTO TURBOLENTO IN CONDOTTA CIRCOLARE

    Se facciamo riferimento alla condotta cilindrica, si nota che:

    032

    032

    2

    2

    2

    2

    ii

    implica

    ii x

    u

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    Con i che va da 1 a 2

    Lequazione di Raynolds allora si riduce ad una sola equazione scalare in X1 ( direzione del moto ):

    3

    31

    2

    21

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    ''

    3

    1

    2

    1

    1

    111)

    2

    1(

    1 x

    uu

    x

    uu

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    gt

    u

    gg

    upz

    x

    nella quale :

    Jpp

    zx

    )(

    1 ovvero la cadente piezometrica

    Jtg

    upzx

    )21(

    1

    2

    ovvero la cadente della linea dei carichi totali

    Questa espressione va integrata allarea A contenente un volume W, applicando il lemma di

    Green considerando il perimetro bagnato p, considerando inoltre nellintegrazione della u

    media di un coefficiente di ragguaglio per utilizzare la velocit media Vm; facendo opportunipassaggi si ottiene unespressione definitiva:

    dpuunu

    AtVm

    ggVmpz

    xp

    '2'1111)2(1

    2

    dove:

    n

    u

    1

    lo sforzo viscoso

    2'1' uu lo sforzo turbolento.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    42/56

    Indichiamo con il valore mediato dello sforzo tangenziale in un punto della superficiedel cilindretto di raggio r esso sar pari a:

    2'1'10 uunu

    Come gi detto, in una condotta cilindrica, sussiste simmetria assiale e quindi lo sforzo tangenziale

    risulta essere distribuito uniformemente allinterno della condotta ed in particolare avremo che :

    p

    mdp

    p0,0

    1

    mediante questo passaggio, possiamo scrivere lequazione di Raynolds come:

    A

    p

    g

    Vmpz

    x

    0

    2

    )2

    (1

    Allora nel caso in cui il moto sia uniforme avremo che:

    A

    pJJtJp

    0

    e quindi la cadente piezometrica coincide con quella della linea dei carichi totali.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    43/56

    CASI PRATICI

    Supponiamo di avere due recipienti, e di conoscere il dislivello fra loro e le caratteristiche della

    condotta che supponiamo fatta da un unico tubo; a questo punto si presentano due casi differenti:

    - il moto che si sviluppa, laminare- il moto che si sviluppa, turbolento.

    L

    MOTO LAMINARE

    Poich il rapporto fra il dislivello e la lunghezza della condotta ci da la cadente J e quindi dalla

    relazione di Darcy-Weisbach possibile ricavare la velocit media :

    g

    Vm

    DJ

    L 2

    2

    nella quale lunica incognita la velocit media.

    Dalla velocit Vm possibile ricavare la portata Q poich:

    Q = Vm A;

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    44/56

    MOTO TURBOLENTO

    Se il moto turbolento, dobbiamo conoscere : , D e Vm ed inoltre la scabrezza della condotta.

    Infatti in una condotta la determinazione degli sforzi dipende dalla scabrezza della condotta, poich

    si possono sviluppare sforzi viscosi e turbolenti e la loro distribuzione varia; bisogna tenere semprein considerazione il fatto che in ogni caso si ha la presenza di un substrato limite viscoso pi o

    meno esteso.

    Possiamo suddividere il fluido in moto in vari filetti, da quello pi vicino alla parete, a quello pi

    interno che quello pi veloce come si nota dalla figura:

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    45/56

    La turbolenza, come si nota dalla figura successiva, si esplica ad una certa distanza dal bordo

    poich sussiste il substrato limite viscoso:

    possiamo notare che avremo delle componenti del moto parallele al moto stesso ( in nero ) e delle

    componenti di turbolenza ( in giallo ) ma sempre presenta il substrato limite viscoso ( in blu ) cheviene disturbato dalle turbolenze in modo praticamente nullo.

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    46/56

    Dalla figura successiva si nota come vengano distribuiti i due sforzi in base al tipo di moto:

    Moto turbolento

    Moto laminare

    Moto puramente turbolento

    sforzo viscoso

    sforzo turbolento

    Lo sforzo allora sar per il moto turbolento pari a :

    2'1'1

    0 uun

    u

    Per il moto laminare invece:

    n

    u

    10

    Lo sforzo in ogni caso si pu esprimere indipendentemente dal tipo di regime mediante la:

    Jr

    2

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    47/56

    IN DEFINITIVA:

    Per moto laminare abbiamo utilizzato la relazione di Darcy-Weisbach per risolvere il problema, per

    il moto turbolento, possiamo fare riferimento alla stessa equazione ma con qualche modifica:

    Infatti in questo caso lindice non dipende dal solo numero di Raynolds:

    )(Re,D

    dove il rapporto /D la scabrezza relativa.Allora adesso bisogna trovare una relazione che lega le tre grandezze : , /D e ReSostituendo lespressione generale dello sforzo nella relazione di Darcy si ottiene unequazioneimportante:

    2

    08

    1Vm

    dalla quale si ricava la seguente:Vm

    8

    0

    se indichiamo con: *0 u

    Otteniamo la relazione di partenza per trovare il legame fra le tre grandezze:

    A

    dAu

    u

    A *

    1

    8

    11

    Da questa si ricavano le cos dette leggi di resistenza

    LEGGI DI RESISTENZA

    Per trovare la legge di resistenza bisogna fare una distinzione fondamentale, infatti le varierelazioni vennero ricavate differentemente per:

    - tubi lisci- tubi artificialmente scabri- tubi commerciali

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    48/56

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    49/56

    Che integrata da luogo alla distribuzione della velocit media per tubo liscio:

    tyk

    uyu cosln

    *)(

    Ma in realt da studi successivi, si capito che bisogna tenere conto del substrato limiteviscoso; la relazione esatta della distribuzione della velocit media venne ricavata da Prandtl e

    Nikuradse valida per la regione di liquido sufficientemente lontana dal substrato limiteviscoso tale da esserne vicina per mantenere valida lipotesi della costanza dello sforzo

    turbolento :

    5,5*ln5,2)(* yy

    yu

    u

    nella quale y* detta lunghezza caratteristica data dalla:

    **

    uy

    Per il substrato limite viscoso vale invece lespressione:

    )(4

    )( yDyyJ

    yu

    ma poich y

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    50/56

    Lo spessore del substrato limite viscoso pari a :

    Re

    6,11

    0

    D

    questa espressione ci fa capire come lo spessore del substrato limite viscoso diminuisce al crescere

    di Re

    D/2

    Linea

    re

    Log

    a

    ritmico

    Facendo le opportune sostituzioni nella:

    A

    dAu

    u

    A *

    1

    8

    11

    si ottiene la legge di resistenza per i tubi lisci:

    Re

    51,2log2

    1

    si trascura il substrato limite viscoso poich le turbolenze possono essere attribuite al solo nocciolo

    di turbolenza

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    51/56

    TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI

    Per tubo artificialmente scabro, si intende un tubo liscio al quale si fa aderire uniformemente della

    sabbia monogranulare alla parete, questo esperimento venne fatto da Nikuradse per ricavare lindice

    di scabrezza d legato al diametro d dei granuli. Poich ogni granulo interferisce con la solamet del proprio diametro si considera d/2.

    Nikuradse fece vari esperimenti con tubi diversi e sabbie a granulometria diverse ed ottenne i vari

    valori della scabrezza relativa d/D.

    Egli not che se :

    Re < Rec il regime laminare e si ottiene una legge di resistenza data dalla:

    Relog64loglog

    Re Rec ma per valori di Re < Re i tubi si comportano come se fossero lisci e quindi:

    Re

    51,2log2

    1

    Re > Re la curva si stacca da quella dei tubi lisci raggiungendo un minimo e tendendo infine

    ad Re asintoticamente.

    Re > Re lindice di scabrezza perde ogni dipendenza dal numero di Raynolds e si parla diun

    Allora per:

    Rec< Re < Re la corrente in regime di tubo liscio

    Re < Re < Re la corrente in regime di transizione

    Re > Re la corrente in regime puramente turbolento

    Tutto ci venne tradotto da formule:

    per5

    *

    duil tubo si comporta come tubo liscio

    per70

    *

    dula corrente in regime di transizione

    per70

    *

    dusi ha il moto puramente turbolento

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    52/56

    Nikuradse ricav che la legge di resistenza per il moto puramente turbolento la seguente:

    75,42

    *

    ln

    18

    d

    Du

    k

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    53/56

    TUBI COMMERCIALI

    Nel tubo commerciale, ovvero i normali tubi che si trovano in vendita nei quali le asperit non sono

    uniformi nella parete ma esse variano per forma, granulometria e direzione; Nikuradse not che a

    causa di queste differenze sostanziali, era impossibile applicare le formule ricavate per i tubi

    artificialmente scabri; tuttavia egli not che se il moto puramente turbolento anche in questo caso

    lindice anche stavolta indipendente dal numero di Raynolds.

    Per questo volta la scabrezza relativa una scabrezza di media ovvero: quella uniforme ed

    omogenea che influenza il moto della corrente allo stesso modo della scabrezza reale del tubo.

    Per i tubi commerciali, otteniamo che:

    D

    71,3

    1log2

    1

    In queste espressioni abbiamo che per Altschoul

    D

    23

    Re' D

    560

    'Re'

    per Moody invece :

    D

    14Re'

    D

    200'Re'

    Furono Colebrook e White ha dare una formula generale valida per i tubi commerciali

    valida se Re > ReC :

    D

    71,3

    1

    Re

    51,2log2

    1

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    54/56

    RICAPITOLANDO

    DISTRUBUZIONI DI VELOCITA E LEGGI DI RESISTENZA

    TUBI LISCI ( velocit )

    Fuori dal substrato limite viscoso:5,5

    *ln5,2

    *

    (

    y

    y

    u

    u

    Nel substrato limite: )(4)( yDyJ

    yu

    TUBI LISCI ( legge di resistenza )

    Si trascura il substrato limite: Re

    51,2log2

    1

    TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI ( legge di resistenza )

    REGIME DI TUBO LISCIO

    Per velocit basse >> scabrezze Re

    51,2log2

    1

    REGIME DI TUBO SCABRO

    Per velocit alte scabrezze

    D71,3Re

    51,2log2

    1

    nota come Colebrook-White

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    55/56

    REGIME PURAMENTE TURBOLENTO

    Per velocit molto alte < scabrezze D71,3log2

    1

    Per il regime puramente turbolento sussistono delle formule empiriche del tipo:

    Darcy:

    5

    2

    D

    QJ

    D000042.000164.0

    Chezy : ( Ro = raggio idraulico )

    Ro

    VmJ

    2

    2

    per BAZIN :

    21

    87

    opp:

    g8

    opp:

    6

    1

    4

    Dc

  • 8/6/2019 Formulario Idraulica

    56/56

    TUBI COMMERCIALI ( legge di resistenza )

    NOTA COME COLEBROOK-WHITE

    D71,3Re

    51,2log21

    Essa pu essere scritta come:

    Dk

    JD

    kJDkQ

    '''

    ''log'

    3

    5

    con : k=-0.575; k = 0.4; k=0.269;