Corso di Tecnica delle Fondazioni

Esercitazione consolidazione

Prof. Ing. Salvatore Noè Prof. Ing. Giulio Ossich

Studente: Stefano Follador

A.A. 2010/2011

Consegna esercizio

Dati dell’esercizio:

W := 140000 KN

B := 18 m

L := 30 m

kz := 0,7E-8 cm/s

kx = ky =4*kz := 2,80E-08 cm/s

γt. drenante := 19,0 KN/m3

γargilla := 18,2 KN/m3

e0 := 0,75

Obiettivo:

1. Tracciare la curva di consolidazione naturale dovuta al solo sovraccarico

2. Progettare la consolidazione con dreni verticali per

a. t := 35 settimane;

b. maglia := quadrata;

c. dw := 16,4 cm;

3. Disegnare nuova curva di consolidazione.

Svolgimento

1. Tracciare la curva di consolidazione naturale dovuta al solo sovraccarico

Dalla prova edometrica svolta si ricavano i dati necessari per il calcolo del cedimento finale ρf al

tempo t = infinito dovuto al sovraccarico Δq per quanto riguarda lo strato di argilla.

H0 := 22 mm

[kPa] [mm]

σ'v ΔH 50 0,046 100 0,090 200 0,311 400 0,691 800 1,090 1600 1,471 3200 1,853

6400 2,244 1600 1,861 400 1,515 100 1,127

Si possono calcolare Cr, Cc, Cs, av e quindi le curve di e-log σ'v, e-σ'v,

Punto σ'v [kPa] ΔH [mm] ΔH/H0 Δe e av

1 50 0,046 0,0021 0,0037 0,7463 7,318E-05 2 100 0,090 0,0041 0,0072 0,7428 7,000E-05 3 200 0,311 0,0141 0,0247 0,7253 1,758E-04 4 400 0,691 0,0314 0,0550 0,6950 1,511E-04 5 800 1,090 0,0495 0,0867 0,6633 7,935E-05 6 1600 1,471 0,0669 0,1170 0,6330 3,788E-05 7 3200 1,853 0,0842 0,1474 0,6026 1,899E-05

8 6400 2,244 0,1020 0,1785 0,5715 9,719E-06 9 1600 1,861 0,0846 0,1480 0,6020 6,347E-06

10 400 1,515 0,0689 0,1205 0,6295 2,294E-05 11 100 1,127 0,0512 0,0896 0,6604 1,029E-04

Sono state usate le seguenti relazioni:

;

Per ogni gradino di carico

Sono stati stimati i coefficienti di ricompressione, compressione e scarico interpolando i punti nel

grafico logaritmico che appartengono alla stessa retta:

Cr 0,03501

qr 0,80817

Punto σ'v ΔH ΔH/H0 Δe e stima e scarto

1 50 0,046 0,0021 0,0037 0,7463 0,7487 5,51E-06 2 100 0,090 0,0041 0,0072 0,7428 0,7381 2,20E-05

3 200 0,311 0,0141 0,0247 0,7253 0,7276 5,51E-06

somma 3,30E-05

Cc 0,10216

qC 0,96042

Punto σ'v ΔH ΔH/H0 Δe e stima e scarto

3 200 0,311 0,0141 0,0247 0,7253 0,7253 5,21E-09 4 400 0,691 0,0314 0,0550 0,6950 0,6946 2,07E-07

5 800 1,090 0,0495 0,0867 0,6633 0,6638 2,80E-07 6 1600 1,471 0,0669 0,1170 0,6330 0,6331 6,63E-09

7 3200 1,853 0,0842 0,1474 0,6026 0,6023 8,22E-08

8 6400 2,244 0,1020 0,1785 0,5715 0,5716 3,72E-09

somma 5,85E-07

Cs 0,04571

qs 0,74843

Punto σ'v ΔH ΔH/H0 Δe e stima e scarto

8 6400 2,244 0,1020 0,1785 0,5715 0,5744 8,69E-06 9 1600 1,861 0,0846 0,1480 0,6020 0,6020 9,19E-12

10 400 1,515 0,0689 0,1205 0,6295 0,6295 6,28E-13

11 100 1,127 0,0512 0,0896 0,6604 0,6570 1,12E-05

somma 9,82E-12

I parametri qr, qc, qs servono solo per l’interpolazione, non hanno significato fisico. Con i

coefficienti Cr e Cc determino il valore della tensione di consolidazione σ'c (punto di incrocio delle

rette) per cui si passa dallo stato di sovra consolidazione (SC) allo stato di normal consolidazione

(NC). Grazie a questo valore sarà possibile determinare se il terreno allo stato naturale si trova in

uno stato di SC o NC.

Studio dello stato tensionale del terreno allo stato naturale ed effetto del sovraccarico.

È stato studiato lo stato tensionale del terreno prima nello stato naturale e poi con l’effetto del

sovraccarico Δq prodotto dalla fondazione a platea.

Per lo studio delle distribuzioni di tensioni nel terreno causate dal sovraccarico, invece di usare gli

abachi di Steinbrenner, si è preferito usare un programma scritto in matlab che implementa le

formule di Newmark per piastra rettangolare.

Tuttavia occorre segnalare che il modello di calcolo prevede che il suolo sia un semispazio

indefinito, omogeneo ed isotropo, elastico lineare e che la piastra rettangolare sia flessibile e con

carico distribuito in modo omogeneo. Tutte queste condizioni non sono rispettate dal caso in

esame, in cui troviamo che il terreno è suddiviso in 3 strati di materiale differente, con moduli di

elasticità molto probabilmente diversi. Inoltre lo strato di argilla, dove intessa conoscere la

distribuzione delle tensioni indotta dal carico, è definito e sicuramente non omogeneo, isotropo

elastico lineare; infatti come si può vedere anche dai grafici della prova edometrica, in particolare

quello in scala naturale, la rigidezza del terreno aumenta con l’aumento della tensione efficace.

Comunque queste approssimazioni risultano accettabili per la determinazione delle distribuzioni

delle tensioni nel terreno e costituiscono parte delle stesse ipotesi semplificative per l’applicazione

della consolidazione monodimensionale di Terzaghi. Inoltre anche gli abachi di Steinbrenner sono

ricavati a partire dalle stesse ipotesi semplificative.

L’equazione utilizzata fornisce la tensione verticale sullo spigolo della piastra, in funzione della

profondità. Grazie alla sovrapposizione degli effetti è possibile calcolare lo stato tensionale in

qualsiasi punto di coordinate (x, y, z).

Il calcolo è stato effettuato nel centro della piastra, il punto più sollecitato. Il carico q distribuito su

tutta la piastra è di 260 kPa.

[m] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa]

z σv u σ'v Δq

2 38,0 5,0 33,0 258,7

3 56,2 15,0 41,2 255,9

4 74,4 25,0 49,4 251,1

5 92,6 35,0 57,6 244,4

6 110,8 45,0 65,8 235,9

7 129,0 55,0 74,0 226,1

8 147,2 65,0 82,2 215,4

9 165,4 75,0 90,4 204,3

10 183,6 85,0 98,6 193,1

11 201,8 95,0 106,8 182,0

12 220,0 105,0 115,0 171,1

Δq all’istante iniziale, in condizione non drenate, viene ripreso completamente dalle pressione

neutre u in modo tale che la Δσ’ = 0, vale a dire che per il principio delle tensioni efficaci i vuoti

non diminuiscono (e = costante) e quindi il cedimento è nullo, a parte quello dovuto alla

deformazione volumetrica elastica istantanea delle particelle solide che è di poca entità rispetto al

fenomeno della consolidazione e pertanto è stato trascurato.

La sovrapressione interstiziale Δu genera un moto di filtrazione verso le zone a potenziale minore,

cioè lo strato drenante, per cui nel tempo si avrà un abbassamento graduale della pressione u fino

all’esaurimento completo di Δu con contemporaneo aumento di Δσ’ e quindi del cedimento.

Per t = infinito Δσ’ = Δq, per cui calcolo il cedimento ρf.

Poiché dall’analisi dello stato tensionale:

Allora tutto lo strato di argilla si trova in uno stato di SC.

Quindi per il calcolo di ρf si usa la relazione:

Dove H0 è l’altezza dello strato.

Si è preferito usare Cs al posto di Cr perché il campione prelevato potrebbe aver subito qualche

inevitabile disturbo, che falsano i risultati della prova. Invece il Cs è più sicuro perché si riferisce ad

un tratto vergine della prova.

Poiché lo spessore dello strato è rilevante si è deciso di eseguire il calcolo in due modi:

1. Considerare lo stato tensionale di un punto in mezzeria dello strato di argilla sotto l’asse

della piastra come rappresentativo di tutto lo strato e calcolare il cedimento.

2. Suddividere lo strato di argilla in 5 conci di altezza 2 m e sommare i cedimenti di ciascuno

per ottenere il totale.

Modo 1:

[m] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa]

z σv u σ'v Δq

7 129,0 55,0 74,0 226,1

Modo 2:

[m] [kPa] [kPa] [kPa] [kPa] [m]

z σv u σ'v Δq ρ

3 56,2 15,0 41,2 255,9 0,058101

5 92,6 35,0 57,6 244,4 0,051316

7 129,0 55,0 74,0 226,1 0,045318

9 165,4 75,0 90,4 204,3 0,039864

11 201,8 95,0 106,8 182,0 0,035045

totale 0,2296

A favore di sicurezza, si prende il più grande dei due.

Consolidamento

Le ipotesi semplificative alla base della teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi

sono:

1. Monodimensionale: cedimenti e filtrazioni in una sola direzione (verticale in questo caso);

2. Validità legge di Darcy;

3. Terreno saturo, omogeneo ed isotropo;

4. Acqua e particelle solide incomprimibili;

5. Validità del principio delle tensioni efficaci;

6. Permeabilità del terreno costante nel tempo e nello spazio;

7. Terreno elastico lineare av = costante.

Date queste ipotesi, si deve determinare il valore di av medio per uno stato delle tensioni efficaci

che varia tra 74 e 300 kPa (velori di σ’ del punto in mezzeria dello strato di argilla).

σ'v e av

stimato 74 0,7437 -

misurato 100 0,7428 3,259E-05

misurato 200 0,7253 1,758E-04

stimato 300 0,7073 1,792E-04

av medio 1,292E-04

Determinato av mi è possibile ora calcolare il coefficiente di consolidazione verticale Cv

av 1,29E-04

kz 7,00E-09 cm/s

γw 10 KN/m3

H 10

Cv 9,48E-08

Grazie alle formule di approssimazione di Brinch-Hansen posso stimare il fattore di tempo

adimensionale Tv in funzione del grado di consolidamento medio U, e da questo ricavare il tempo

necessario affinché si ottenga il grado di consolidazione pari al 99%.

Ricordando inoltre che:

Si può plottare l’andamento del cedimento in funzione del tempo. Per ottenere il cedimento pari

al 99% del grado di consolidazione senza interventi sono necessari 67,01 anni

U 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 99

Tv 0,00E+00 7,94E-03 3,17E-02 7,15E-02 1,27E-01 1,99E-01 2,90E-01 4,05E-01 5,62E-01 8,28E-01 2,00E+00

t 0,00E+00 8,37E+06 3,35E+07 7,54E+07 1,34E+08 2,10E+08 3,06E+08 4,28E+08 5,93E+08 8,73E+08 2,11E+09

t-anni 0,00 0,27 1,06 2,39 4,25 6,67 9,71 13,56 18,80 27,68 67,01

ρ(t) 0,00 2,30 4,59 6,89 9,19 11,48 13,78 16,08 18,37 20,67 22,73

In 35 settimane, pari 0,67 anni ottengo il 15,9 % della consolidazione primaria verticale.

U 15,9

Tv 1,90E-02

t 2,01E+07

t(anni) 0,67

ρ(t) 3,56

2. Progettare la consolidazione con dreni verticali

Per ottenere una consolidazione primaria complessiva dell 99% in 35 settimane, considerando che

Uv è pari al 15,9% per quella data, si deve progettare il sistema di dreni verticali per ottenere una

consolidazione primaria radiale ricavata dalla seguente relazione:

Vale a dire che i dreni verticali sono responsabili di tutto il processo di consolidazione.

Poiché il diametro dei dreni è dato del problema (dw = 16,4 cm) si deve stimare l’area di influenza

di ciascun dreno data dal diametro de, vale a dire trovare la distanza S della maglia di pali poiché,

per maglia quadrata, vale la relazione:

Valgono le seguenti relazioni:

Poiché è un problema non lineare, per trovare la soluzione si è ricorso al risolutore di excel

Termini noti Termini calcolati

t 21168000 secondi de 2,67 m

av 1,29E-04

n 16,27

kx=ky 2,80E-08 cm/s S 2,36 m

γw 10 KN/m3 Tr 1,13

Cr 3,79E-07

F 2,04

dw 16,4 cm Ur 98,8%

La maglia dei dreni verticali è quindi da S = 2,36 m.

Sono previsti quindi 135 pali drenanti, distributi in una maglia di 15x9.

3. Disegnare nuova curva di consolidazione

La nuova curva di consolidazione è:

U 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 98,80 Tr 0,00E+00 2,69E-02 5,69E-02 9,09E-02 1,30E-01 1,77E-01 2,34E-01 3,07E-01 4,10E-01 5,87E-01 1,13E+00

t 0,00E+00 5,04E+05 1,07E+06 1,71E+06 2,44E+06 3,32E+06 4,39E+06 5,76E+06 7,70E+06 1,10E+07 2,12E+07

t-anni 0,00 0,02 0,03 0,05 0,08 0,11 0,14 0,18 0,24 0,35 0,67

ρ(t) 0,00 2,30 4,59 6,89 9,19 11,48 13,78 16,08 18,37 20,67 22,69