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Debora Botturi Laboratorio di Sistemi e Segnali

Analisi Numerica

Debora BotturiALTAIR

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Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni

Metodologia Generale

Integrazione Numerica

Serie di Taylor

Integrazione di Runge-Kutta

Risposta del Sistema


Introduzione


Introduzione

● Argomenti

● Osservazioni



Serie di Taylor




Argomenti

Rappresentazione di sistemi con variabili di stato;

Tecniche di integrazione numerica

Obiettivo: risolvere sistemi di equazioni differenziali con metodinumerici.


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● Argomenti

● Osservazioni



Serie di Taylor




Osservazioni

Non é sempre pratico analizzare le equazioni differenzialiattraverso la loro forma esplicita

In tali casi possono essere usati metodi numerici pertrovare una soluzione per un’equazione differenziale

La soluzione trovata é generalmente in forma di grafico odinsieme di numeriTali soluzioni possono quindi essere usate per analizzarecasi di studio specifici

La soluzione é data velocemente grazie alle tecniche usate(iterative che puntano all’azzeramento dell’errore)

Ma senza una rappresentazione esplicita il sistema non puóessere capito e manipolato


Introduzione


● Rappresentazione a stati


● Esempio

● Esercizio

● Esempio

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● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor






Introduzione




● Esempio

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● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Rappresentazione a stati

Il processo generale per analizzare un sistema prevede:Mettere le equazioni in forma standard (variabili di stato)Integrarle con un metodo numerico

Ad ogni istante di tempo un sistema ha uno stato

Per identificare le variabili di stato si usano i seguenti fattoriLe variabili dovrebbero descrivere gli elementi cheimmagazzinano energiaLe variabili devono essere indipendentiGli stati dovrebbero descrivere gli elementi del sistema


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● Esempio

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● Esempio

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Serie di Taylor




Rappresentazione a stati

Gli stati del sistema vengono usati per scrivereun’equazione del primo ordine lineare:

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

x = vettore degli statiu = vettore di inputA = matrice di transizione relativa agli statiB = matrice che relaziona l’input all’outputy = valore che puó essere trovato direttamenteC = matrice di transizione relativa agli statiD = matrice che relaziona l’input all’output

L’equazione di output non é sempre richiesta, ma puóessere usata per calcolare nuovi valori di output


Introduzione




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Serie di Taylor




Esempio

Nota: per avere un insieme risolvibile di equazioni differenziali dobbiamo avere lo stessonumero di equazioni e di variabili. Se abbiamo poche equazioni si deve sviluppare unaequazione sfruttando relazioni non ancora usate. Se ci sono troppe equazioni laridondanza deve essere eliminata.


Introduzione




● Esempio

● Esercizio

● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Esercizio

Mettere l’equazione nella forma a stati:

F = Mx

soluzione:

x = v

v =F

M


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● Esempio

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● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Esempio


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● Esercizio

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● Esempio

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Serie di Taylor




Esercizio

Sviluppare l’equazione a stati del seguente sistema

Soluzione:

x = v

v = vKd

M+ x

Ks

M


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● Esempio

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● Esempio

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● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Esercizio

Sviluppare l’equazione a stati del seguente sistema

Soluzione:

x1 = v1

x2 = v2

v1 = v1

−Kd1

M1

+ x1

−Ks1

M1

+ v2

−Kd1

M1

+F

M1

v2 = v2

−Kd1

M2

+ x2

−Ks1 − Ks2

M2

+ v1

−Kd1

M2

+Ks1

M2


Introduzione




● Esempio

● Esercizio

● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Osservazioni

In alcuni casi le equazioni differenziali hanno piú di untermine di ordine piú elevato e quindi non possono essereridotte (ad esempio una equazione del secondo ordine condue variabili derivate seconde non puó essere trasformatanella forma a stati)

Si usa in questi casi una variabile fittizia che sostituisce ledue variabili di piú alto grado

Questo ad esempio succede nei sistemi meccanici quandole masse non sono considerate


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● Esempio

● Esercizio

● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor




Esempio

Data l’equazione:3y + 2y = 5u

Passo 1: mettere entrambe le derivate del primo ordine dallaparte sinistra dell’equazione

3y − 5u = −2y

Passo 2: Sostituire la parte sinistra dell’equazione con unavariabile fittizia

q = 3y − 5u q = −2y

Passo 3: Risolvere l’equazione usando la variabile fittizia,quindi risolvere per y come fosse un’equazione di output

q = −2y y =q + 5u

3


Introduzione




● Esempio

● Esercizio

● Esempio

● Esercizio

● Esercizio

● Osservazioni

● Esempio

● Esempio


Serie di Taylor



EsempioIn altri casi é possibile eliminare i termini ridondanti attraverso manipolazioni algebriche


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● Osservazioni

● Esempio

● Metodo di Eulero

● Esempio

● Esercizio

● Soluzione - I

● Soluzione - II

● Soluzione - III(a)

● Soluzione - III(b)

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● Esempio


● Esempio

● Esercizio

● Soluzione - I

● Soluzione - II



Serie di Taylor




OsservazioniCalcoli ripetitivi possono essere usati per trovare unasoluzione approssimativa di un insieme di equazionidifferenzialiPartendo da condizioni iniziali date l’equazione é risolta conpiccoli passi temporali.

Piú piccoli si prendono gli intervalli di tempo maggiore sarál’accuratezza del risultato ottenuto

Il processo di analisi segue i seguenti passi:Generare l’equazione generale che modella il sistemaSelezionare la variabile di statoRiarrangiare l’equazione nella forma a statiAggiungere equazioni se necessario per renderlarisolvibileCalcolare e risolvere il sistema di equazioni

Per quest’ultimo passo di analisi diversi tool sono statiimplementati per risolvere equazioni differenziali in forma distato.


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● Esempio


● Esempio

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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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EsempioIn altri casi é possibile eliminare i termini ridondanti attraverso manipolazioni algebriche

Selezioniamo alcuni valori per i parametri dell’equazione e la funzione di input


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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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Metodo di EuleroLa forma piú semplice di integrazione numerica é il metodo diEulero del primo ordine.

Dato il valore corrente della funzione e la prima derivata,possiamo stimare il valore della funzione dopo poco tempo

Conoscendo la posizione e la derivata prima possiamo calcolareun valore approssimativo dopo un breve tempo, h


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● Soluzione - II



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EsempioSoluzione della equazione di Newton usando il metodo di Eulero. In questo esempiocalcoliamo la velocitá integrando l’accelerazione causata dalla forza, L’accelerazione éusata direttamente nell’equazione di Eulero.

Nota: Se il sistema é di secondo ordine sono necessari due valori per il calcolo


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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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Esercizio

Usare l’integrazione del primo ordine per risolvere l’equazionedifferenziale da 0 a 10 secondi con un intervallo di 1 secondo.

x + 0.1x = 5


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Soluzione - IRisoluzione di un’equazione di stato con un programma inlinguaggio C


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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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Soluzione - IIRisoluzione di un’equazione di stato con un programma inlinguaggio Java


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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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Soluzione - III(a)Risoluzione di un’equazione di stato con un programma in Scilab


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● Soluzione - I

● Soluzione - II



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Soluzione - III(b)


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Serie di Taylor


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OsservazioniL’integrazione numerica funziona bene con funzionismorzate

Quando incontriamo funzioni con andamento ondulatoriopossiamo usare equazioni di integrazione di piú alto ordinecome l’equazione della serie di Taylor

La prima parte dell’equazione della serie di Taylor é ugualealla equazione di Eulero, ma poi i termini di grado piúelevato aumentano l’accuratezzaL’equazione alla variabili di stato di un sistema non é adattaallo sviluppo in serie di Taylor propio perché quest’ultimarichiede termini di ordine superiore al primo.


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● Esempio



EsempioEsempio di applicazione della serie di Taylor. Data l’equazione differenziale dobbiamocalcolare le derivate e poi sostituirle nell’equazione di Taylor. Il risultato é usato percalcolarei valori iterativamente


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● Soluzione I - parte I

● Soluzione I - parte II

● Soluzione II





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● Soluzione II



Osservazioni

L’integrazione del primo ordine dá una ragionevolesoluzione all’equazione differenziale

L’accuratezza puó migliorare usando derivate di ordine piúelevato che compensano per la curvatura della funzione

La tecnica di Runge-Kutta usa equazioni del primo ordine(e quindi puó venir usata la rappresentazione di stato) perstimare le derivate di ordine superiore, quindi si ottieneaccuratezza elevata senza richiedere piú del primo ordinedell’equazione differenziale


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● Esempio

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● Soluzione II


EsempioEsempio di integrazione di Runge-Kutta del quarto ordine. Lafunzione f(t) é l’equazione di stato. Per ogni istante di tempo i valorida F1 a F4 sono calcolati in sequenza e poi usati nell’equazionefinale per trovare il valore successivo.


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● Esercizio



● Soluzione II


EsempioLa soluzione inizia mettendo l’equazione di stato in forma matriciale e definendo lecondizioni iniziali. Poi vengono calcolati i quattro fattori di integrazione, che poi vengonocombinati per dare il valore finale dopo un passo.


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● Soluzione II


Esercizio

F = M(d

dt)2x

usando:

x(0) = 1

x(0) = 2

h = 0.5s

F = 10

M = 1


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● Soluzione II


Soluzione I - parte IMetodo di integrazione di Runge-Kutta per un sistemamassa-moll-smorzatore con un programma in linguaggio C



Soluzione I - parte II


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● Soluzione II


Soluzione IIMetodo di integrazione di Runge-Kutta per un sistema massa-moll-smorzatore con unprogramma in Scilab


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● Esempio




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● Esempio


Osservazioni

In molti casi il risultato di un’analisi numerica é un graficood una tabella

Dettagli come costanti di tempo e frequenze dismorzamento possono essere ottenute con metodi dianalisi sperimentale

Per determinare la risposta a regime del sistema si usal’equazione di stato in cui le derivate vengono settate alvalore di zero e poi viene risolta l’equazione (vedi esempio)


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Esempio


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