R.BERARDI-FG 1

CONSOLIDAZIONE

MONODIMENSIONALE

R.BERARDI-FG 2

ANALISI A LUNGO E BREVE TERMINE

ASPETTI GENERALI1) Analisi in termini di tensioni efficaci:

� se non si è avuto sviluppo di sovrappressioni ∆u;� se le ∆u sono note;� se, dopo un sufficiente periodo di tempo, le ∆u si sono completamente dissipate

(analisi a lungo termine).

2) Analisi in tensioni totali sono invece tipiche di condizioni a breve termine, riferite

cioè a periodi temporali immediatamente successivi allo sviluppo delle ∆u, nei quali esse non hanno avuto modo di dissiparsi

3) Dissipazione sovrappressioni � in relazione a:

�permeabilità del mezzo;

�condizioni al contorno.

4) Dissipazione sovrappressioni è quindi legata a moti di filtrazione che avvengono

in regime transitorio (CONSOLIDAZIONE)

1) + 2) + 3) + 4) Variabile TEMPO

R.BERARDI-FG 3

Carico in CONDIZIONI NON

DRENATE e CONSOLIDAZIONE

Caso monodimensionale 1-D

zu σ∆ ≅ ∆

R.BERARDI-FG 4

i fenomeni di CONSOLIDAZIONE:

�comportano processi di drenaggio, riduzione di volume e incremento di

tensione efficace ( � incremento resistenza e rigidezza);

�sono associabili generalmente ai soli terreni a grana fine, in quanto

suscettibili sotto carico di iniziali condizioni non drenate;

�non si associano quindi ai terreni a grana grossa, per i quali è corretto

parlare di compressione (l’incremento di tensione efficace e la riduzione di

volume sono analoghi, ma se le condizioni rimangono drenate, le pressioni

interstiziali non variano)

R.BERARDI-FG 5

Necessitiamo di una teoria che spieghi i fenomeni e

fornisca soluzioni

• “accoppiamento” problema idraulico (flussi) a

problema meccanico (variazioni σ′ e volume, cioè deformazioni);

• Necessità di tenere conto della natura porosa e

multifase;

• Necessità di considerare continuità flussi acqua,

equazioni legame, equilibrio e congruenza,

interazione due mezzi

R.BERARDI-FG 6

Teoria della consolidazione monodimensionale

(Terzaghi, 1923)

1. terreno omogeneo e saturo;

2. incompressibilità del fluido interstiziale e dello scheletro solido;

3. analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo e un volume finito di terreno;

4. applicabilità della legge di Darcy;

5. applicabilità del principio degli sforzi efficaci;

6. flusso dell’acqua e deformazioni monodimensionali;

7. legame lineare tra tensioni e deformazioni nell’intervallo tensionale considerato;

8. possibilità di considerare il coefficiente di conducibilità idraulica k come una costante

R.BERARDI-FG 7

Condizioni di drenaggio al contorno

u u∆ =

R.BERARDI-FG 8

Parametri di deformabilità

v z

ded d

eε ε −= =

+1'

'

'

zv

z

z

z

v

z

dm

d

dM

d

dea

d

εσ

σε

σ

=

=

−=

R.BERARDI-FG 9

tempo to = 0

Per t>to

σz = costante

R.BERARDI-FG 10

'2 z2

v w

k u

m tz

σγ

∂∂ = −⋅ ∂∂

q A k i= ⋅ ⋅ 1w

dui

dzγ= −

w

dq k d duA

dz dz dzγ = −

2

2w

q k uA

z zγ∂ ∂= −∂ ∂

�

'v zdl m d dzσ= − ⋅ ⋅

⇒

dx dy dl A dl dq dt⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅

'zv

ddqA m

dz dt

σ= ⋅ 'σ∂∂ = ⋅∂ ∂

zv

qA m

z t�

( )'z z ou uσ σ= − +

'z z u

t t t

σ σ∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂

⇒

⇒

2

v 2

u uc

tz

∂ ∂=∂∂

vv w

kc

m γ=

⋅

R.BERARDI-FG 11

Condizioni al contorno

w

k uv

zγ∂= −∂

0 z o

0

0

t t 0 0 z H u u

0 t t t z 0 u 0

0 t t t z H u z 0

t t 0 z H u 0

σ

∞

∞

∞

= = ≤ ≤ = ∆ == < ≤ = == < ≤ = ∂ ∂ == ≤ ≤ =

;

0

0

0 t t t z 0 z 2H u 0

0 t t t z H u z 0

t t 0 z 2H u 0

∞

∞

∞

= < ≤ = = == < ≤ = ∂ ∂ == ≤ ≤ =

0 z ot t 0 0 z 2H u uσ= = ≤ ≤ = ∆ =

D=H

D=2H

R.BERARDI-FG 12

Soluzione analitica

( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0

2uu z t MZ M T

M

∞

== −∑

( )M 2m 12

zZ

H

π= +

=

vv 2

c tT

H=

R.BERARDI-FG 13

Curve ISOCRONE: curve

a uguale tempo.

Rappresentano il valore

delle sovrappressioni

Δu= Δu(z,t).

La loro espressione

analitica è la soluzione

delle equazione di

consolidazione a tempo

fissato, al variare si z.

u u∆ =

( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0

2uu z t MZ M T

M

∞

== −∑

( ) ; zM 2m 1 Z2 H

π= + =

vv 2

c tT

H=

R.BERARDI-FG 14

u u∆ =

Curve ISOCRONE

R.BERARDI-FG 15

Soluzione analitica

( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0

2uu z t MZ M T

M

∞

== −∑

( )M 2m 12

zZ

H

π= +

=

vv 2

c tT

H=

( ) ( )sin exp 2z vm 0

2U 1 MZ M T

M

∞

== − −∑

( ) ( ), ,oz

o o

u u z t u z tU 1

u u

−= = −

R.BERARDI-FG 16

;

;

0 v z

v 100100 v z2

t t 0 T 0 U 0

c tt t t T U 1

H∞

= = ⇒ = =

= = ⇒ = =

R.BERARDI-FG 17

Curve ISOCRONE

R.BERARDI-FG 18

Curve ISOCRONE

Serbatoi Centrale Porto Tolle (Berardi e Lancellotta, 2002)

R.BERARDI-FG 19

Dissipazione Δu

Rilevato “Croce” – Porto Tolle

R.BERARDI-FG 20

CEDIMENTO di consolidazione

T i c v

c

s s s s

s s∞

= + +=

R.BERARDI-FG 21

Cedimento di consolidazione

1) Cedimento al tempo t = t∞2) Cedimento al tempo to

R.BERARDI-FG 22

Decorso del cedimento nel tempo

2) La stima del decorso del cedimento nel tempo, è condotta introducendo il grado di consolidazione medio, che indica il livello

medio di consolidazione raggiunto all’interno dello strato in esame ad

un determinato tempo t

sovrappressione iniziale media nello strato D :

sovrappressione media in D al tempo t :

( )00

1,

D

ou z t dzD ∫

( )0

1,

Du z t dz

D ∫

grado di consolidazione medio Um è il valore medio di Uz nello strato

( )

( )0

00

,1

,

D

m D

o

u z t dzU

u z t dz

= −∫

∫

R.BERARDI-FG 23

Decorso del cedimento nel tempo

grado di consolidazione medio Um (valore medio di Uz nello strato) è

anche il rapporto tra st e s∞

( )

( )0

00

,1

,

D

m D

o

u z t dzU

u z t dz

= − ∫

∫

'

ε εσ

= ⇒ = −z zv vz

d dm m

d du

al tempo t :

tra to e t∞

( )( )

( ), ,1

, o

z t u z t

z t u

εε ∞

= −

( )

( )0

0

,

,

ε

ε ∞∞= =

∫

∫

D

tmD

z t dz sU

sz t dz

�

R.BERARDI-FG 24

Decorso del cedimento nel tempo

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Tv

Um

(%

)

( )exp 2m v2m 0

2U 1 M T

M

∞

== − −∑

( )2 0.6π

≅ ⋅

R.BERARDI-FG 25

TEMPI consolidazione

D=10m - cv=2 e-7 m2/s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0

tempo (anni)

gra

do

co

nso

lida

zio

ne

Um

(%

)

t (H=D=10m)

t (H=D/2=5m)

D=10 m - cv=2 e-7 m2/s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100tempo (anni)

gra

do

co

nso

lid

azi

on

e U

m (

%)

t (H=D=10m)

t (H=D/2=5m)

R.BERARDI-FG 26

Altre isocrone: esempio

di isocrona iniziale

triangolare

R.BERARDI-FG 27

Decorso del cedimento nel tempo e

cedimento di consolidazione da curve isocrone

( )( ; )1 2 vs t t m Area OXY = ⋅

'ε σ= = − ⋅z v zdl

d m ddz

R.BERARDI-FG 28

consolidazione monodimensionale:

possibili correzioni

σ∆ = = ∆o zu u

Il calcolo del cedimento è basato sulle ipotesi della teoria di consolidazione

monodimensionale e in particolare:

1. carico infinitamente esteso (cioè ∆σz costante in z);2. deformazioni monodimensionali;

3. incremento iniziale delle pressioni neutre

4. comportamento lineare (mv = cost.)

� Tempi di consolidazione

� Tensioni indotte da aree di carico

� Correzione di Skempton e Bjerrum

� Non linearità � metodo “edometrico” (vedi prova “edometrica”)

R.BERARDI-FG 29

TEMPI consolidazione

R.BERARDI-FG 30

TEMPI consolidazione

R.BERARDI-FG 31

Correzione di Skempton e Bjerrum

cs sµ ∞= ⋅

R.BERARDI-FG 32

Cedimenti differiti nel tempo (viscosi)

= + +T i c v

s s s s∆σ

sc

t100

R.BERARDI-FG 33

Cedimenti differiti nel tempo (viscosi)

•Problema generalmente riferito a

terreni argillosi, ma ….

•In generale si considera un incremento

lineare con log(t) a σ’ =cost.

100 100

log

log

log log1

αε

α

ααε

ε=

= −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +

z

v

dc

d t

dec

d t

ct ts c D D

t e t