u e Consolidazione

1Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impeditou 0,  ’ =  ‐ u 0 cedimenti iniziali (immediati)w0(u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI NON DRENATE (CND) o di BREVE TERMINE (BT) 

Fondazione (sovraccarico) 

t

w

’

u

wcw0w∞

• t: drenaggio ‘libero’ u = 0,  ’ =  cedimenti finali (totali)w =w0+wc(u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI DRENATE o di LUNGO TERMINE (LT)

• t > 0: consolidazione u (t)  0,   ’= ‐u = f (t)  cedimenti di consolidazionewc = w(t)PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE

u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale  istantanea e successivamente costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive: 

w∞

u/w

u e Consolidazione

2Condizioni non drenate nei terreni a grana fine

In un terreno a grana fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale totale () le deformazioni volumetriche (v) sono legate alle variazioni di volume del fluido (Vw) presente nei pori.

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali ,il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: Vw 0  v 0 

In condizioni lontane da quelle di rottura (elasticità), per il calcolo degli incrementi di tensione totale  = f(P,), e anche dei cedimenti w = f(, E,), il terreno saturo bifase può essere trattato come mezzo elastico monofase equivalente incompressibile (v 0) ma capace di deformarsi per distorsione (s 0).

00v

t

,u uE

u

rigidezza volumetrica      3 1 2

rigidezza distorsionale     2 1 3

u

u

u u

u

EK

E EG

Nell’ipotesi mezzo elastico isotropo,ciò equivale ad assumere  = u = 0.5 e pertanto:

z

u e Consolidazione

3Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci ( =  ’ + u)e la ripartizione delle  tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza.

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t = 0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali = f(P, u)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

u = f()

incrementi tensioni efficaci ’ =  ‐ u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; u = 0.5) scheletro solido (E ’ ; ’)

calcolo deformazioni = f(, Eu, u) = f( ’, E ’,  ’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico, quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.

2 1 3 2 1u u

uu

E E EG G

In particolare(mezzo elastico isotropo)

u e Consolidazione

4Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere u = f() separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione

Skempton (1954) definì i ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (prove triassiali) 

1 3 3 1 3,u f B A

3u B 1 3u BA incremento (sferico) di 3 incremento di 1

1 3c

3

1

3

1

q

, ,p p u

q

, ,p p u

3B 1 3‐BA

1 3q

3B

u e Consolidazione

5Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa  1 2 3p ad un terreno bifase 

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

f ff f

ss ssss ss

u uV V nV

K K

p pV V V

K K

f ff ss

ss ss

K KV V u p p u

nK nK Imponendo la congruenza (V=Vf + Vss=0)

Riordinando: 

3

1

1 ss

f

u uB

Kp nK

31 1

1 1ss ss

f f

u pK K

n nK K

1

1 ss

f

u pK

nK

1 3 3 1 3,u f B A (Skempton)

(mezzo elastico bifase)

u e Consolidazione

6

Considerando che  Kw ( 2000 MPa)  Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg ( 0), sarà:

• terreno saturo 11

1 ss

w

BK

nK

( è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 10

1 ss

g

BK

nK

( è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo(modificando l’eq. di congruenza)

10,1

1 1ss ssr r

w g

BK K

nS n SK K

( ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente Bdipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n• grado di saturazione Sr• rigidezze relative tra scheletro solido, acqua e gas (Kss , Kw , Kg )

q

, ,p p u

0 0rS u

1rS u p

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - II

u e Consolidazione

7

Applicazione di un incremento di deviatore  1 3 ad un terreno bifase 

Confrontando con la relazione di Skempton

Δ𝑢1

1 𝑛𝐾𝐾Δ𝑝 ≡

1

1 𝑛𝐾𝐾

Δ𝜎3

se il terreno è saturo e Kf>>Kss, B=1 e, quindi,

Per ‘percorsi di estensione’(Δσa=0, Δσr>0 e Δq < 0) si haA dipende dal percorso di carico ! 

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici (plasticità) !Argille sensitive 0.7 – 1.5

Argilletenere 0.5 – 1.0

Argille di media consistenza 0.0 – 0.5

Argille molto consistenti ‐0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

q

, ,p p u

3q

u

q

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III

qIn ogni caso, in ipotesi di elasticità isotropa, perqualunque percorso tensionale totale, il percorsodelle tensioni efficaci è sempre ‘verticale’ (Δp’=0)

23

u q

A23

A13

(cfr. prove TX‐CIU)

Se ipotizziamo Δσ3=Δσr=0 (compressione triassiale):  

1 3 3 1 3,u f B A

Condizioni drenaggio8

Processi di consolidazione dei terreni saturi

molla rigidezza scheletro solido (Eed), valvola permeabilità del terreno (k) w

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio dalle condizioni di drenaggio impedito (condizione non drenata CND, t = 0)

alle condizioni di drenaggio libero (condizione drenata CD, t) 

A

k

Eed HIpotesi: variazione di tensione totale  applicata istantaneamente a t = 0 e mantenuta costante.

Analogia del pistone idraulico 

• valvola chiusa (CND): w = 0;  ’= 0; u = • valvola ‘molto’ aperta (terreni a grana grossa):

per t ≥ 0: u = 0;  ’= ; w ≠ 0 = w (CD)• valvola ‘poco’ aperta (terreni a grana fine):

per t = 0:  w = 0;  ’= 0;  u =  (CND)per 0 < t < : w(t) = 0  w;  ’(t) = 0 ; u(t) =  0  (consolidazione)per t:  u = 0  ’=  w ≠ 0 = w (CD)

u e Consolidazione

9 Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx = vy= 0):

zv ndz dAdt dzdA dt

z t

Indicando con ū il solo incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),

0z

w

u uhv k k

z z

1 1zv z

ed ed

udn dt dt

E t E t

uguagliando la ① alla ② e introducendo la ③,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola ū(z,t):

2

2

1

w ed

k u uz E t

dz

dxdy

zz

vv dz

z

zv

zv nz t

2

2z

w

v k uz z

1

ed

n ut E t

①

②

③

Ipotizzando costante nel tempo la tensione orizzontale 

0z z zu ut t t t t

K

n.b.:  incremento di tensione totale; incremento di pressione interstiziale; 

incremento di tensione efficaceu

u

u e Consolidazione

10Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2vu u

ct z

2 1   edv

w

k Ec L T

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purché siano assegnate:

condizioni di drenaggio al contorno

distribuzione iniziale di sovrappressioni ū0(z)

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve ūt(z) dette isocrone (distribuzioni di ū(z), fissato t).

u e Consolidazione

11Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

La soluzione analitica è:

20

0

2, sin               2 1

2n T

i

uu z t n Z e n i

n

2e vc tzZ T

H H dove si è posto         (fattore tempo) 

(H = massimo percorso della particella d’acqua  ½ altezza strato)

ū0

ū

z

2H

wū

z

ū(z,t)

t

n.b.:  incremento di tensione totale; incremento di pressione interstiziale; 

incremento di tensione efficaceu

u

 

 

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:• sovraccarico uniforme     ( isocrona iniziale rettangolare,            ) • drenaggio da entrambe le superfici (                                      )

(0, ) (2 , ) 0u t u H t

0u

u e Consolidazione

12 Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

n.b.:  incremento di tensione totale; incremento di pressione interstiziale; 

incremento di tensione efficaceu

u

u

U

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali ū (Z, T)/  

u e Consolidazione

13Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione medio in termini di cedimento, Uw

• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

( )w

c

w tU

w

2

0

1 ,2

H

t z dzH

U

22

0 0

1 12 2

1‐

HH

u t dz u t dzH H

U

area sottesa dall'isocrona ( ) area campita1 =

area rettangolo  2H area totaleT

U

n.b.:  incremento di tensione totale; incremento di pressione interstiziale; 

incremento di tensione efficaceu

u

u e Consolidazione

14 Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

2

0

1,

H

ed

w t t z dzE

00, 0 0z w 2

ced

Hw

E

Nel caso elementare,  e 

Pertanto si verifica che Uw Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti‐tempi w : t) si ottiene:

1. fissando t determinando il corrispondente2. calcolando il valore  U(T)  w(t) = U(T)wc

2vc tTH

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

2

2       edv v

w

kEu uc c

t z

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

u e Consolidazione

15

Equazione della consolidazione monodimensionale

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5

0.1792.8

4

41

TU

T

2

0.3575.6

/ 4

1v

UT

U

0.5 0.197UT

0.9 0.848UT

Curva di consolidazione teorica

2              

/ 1c vw t w U T c t

Tu U T H

n.b.:  incremento di tensione totale; incremento di pressione interstiziale; 

incremento di tensione efficaceu

u

u e Consolidazione

16Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1.  Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione ③ = combinazione di ① e ②

u e Consolidazione

17Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U③ > U① > U②

Sia la ③ che la ② presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

U(T) identiche al caso ①

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)w

(mm

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u/

u/

w1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (m

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u/

u/

w2

Cedimentoimmediato

Cedimento da consolidazione primaria

Cedimento secondario

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.1 1 10 100 1000 10000

log t (min)

w (m

m)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u/

u/

w1+w2

u 0

w w2

+ =

Curva di consolidazione sperimentaleda ’depurare’ per ottenere il

coefficiente di consolidazione verticale cv

Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di u

Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a  ’=cost. (si manifestano visibilmente quando u 0)

Consolidazione primaria e secondariau e 

Consolidazione18

Interpretazione della curva di consolidazione sperimentale

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,1 1 10 100 1000 10000

Log(t) (min)

w (m

m)

wŪ = 0.0

t50

Ū = 0.5

Ū = 1.0

tangente al punto di flesso

w

t 4.t

asintoto obliquo

cedimento di consolidazione 

primaria

Metodo di Casagrande

Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e  della ‘coda’ per estrarne

‐ cedimento di consolidazione primaria, wc

‐ coefficiente di consolidazione primaria, cv‐ coefficiente di consolidazione secondaria, c

2

50

0.197v

Hc

t

tan

o

ch

h0 = 2H

u e Consolidazione

19

per t ridotti, vale approssimativamente 4

2w t

w tw t

intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo

2502

50

0.197: 0.50 0.1972c v

v v

w c t Hc U T c

H t

,/ tan

:log log

s o

o

w hc c

t t h

oppure

Fasi del procedimento di Casagrande

1. Cedimento immediato w0

2. Cedimento secondario ws

(ribaltamento  estrapolazione a t = 0)

3. Cedimento di consolidazione wc 0–c f sw w w w

4. Coefficiente di consolidazione cv

5. Coefficiente di consolidazione secondaria c

loge

ct

u e Consolidazione

20

per t ridotti:  w t

estrapolazione a t = 0 della retta  :w t

w90 = intersezione della curva con la retta inclinata 1.15 volte la tangente iniziale 

90 0

0.9c

w ww

2902

90

0.848: 0.90 0.848v

v v

c t Hc U T c

H t

Procedimento di Taylor

1. Cedimento immediato w0

NB: cedimento secondario ws

e coefficiente di consolidazione secondaria cnon determinabili

2. Cedimento di consolidazione wc

3. Coefficiente di consolidazione cv

u e Consolidazione

21