Geotecnica e Laboratorio Teoria della consolidazione … · è non costante con la profondità, il...

Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile-Architettura

Geotecnica e Laboratorio

Prof. Ing. Marco Favaretti

e-mail: [email protected]

website: www.marcofavaretti.net

1

Teoria della consolidazione monodimensionale

Che cos’é la consolidazione?Quando un’argilla satura è soggetta ad un carico esterno

Argilla satura

p.c.L’acqua viene espulsa dallo strato argilloso. La durata del fenomeno dipende dalla permeabilità del terreno e dallo spessore dello strato. Il fenomeno può durare da pochi giorni a molti anni.

tempo

cedi

men

to

2

Consolidazione nei terreni granulari

tempo

cedi

men

to

A causa della elevata permeabilità delle terre granulari (ghiaie e sabbie) la dissipazione dell’eccesso di pressione neutrale causata dal carico esterno avviene pressoché istantaneamente.

Anche il cedimento dello strato granulare avviene immediatamente dopo l’applicazione del carico.

3

p.c.

Argilla satura

q (kPa)

∆σ

∆u

∆σ’

Durante la consolidazione …

A causa del carico q (uniforme e infinitamente esteso), applicato sul piano campagna, le tensioni totali, neutrali ed efficaci su un generico punto A variano nel tempo.

∆σ

∆u

∆σ’

q

∆σ

∆σ’

∆u

Immediatamente dopo l’applicazione del carico esterno q, la pressione neutra u aumenta di un valore pari a q. La tensione efficace σ’ inizialmente non varia. Nel corso del processo di consolidazione si assiste ad un graduale trasferimento del carico esterno q dalla fase liquida (u) alla fase solida (σ’). Al termine della consolidazione l’eccesso di pressione neutrale ∆u sarà completamente annullato.4

A

t

Argilla satura

p.c.

q (kPa)

La semplificazione è accettabile quanto più

il carico è esteso rispetto allo spessore H

dello strato argilloso

Acqua espulsa

Consolidazione monodimensionale

Il drenaggio dell’acqua e le deformazioni si sviluppano esclusivamente lungo la direzione verticale.

Non sono considerati fenomeni di filtrazione e di deformazione in orizzontale.

5

Argilla satura

p.c.

q kPa

Argilla satura

p.c.

q kPa

Ho

tempo = 0+

e = eo

∆H

tempo = ∞

e = eo - ∆e

Consolidazione monodimensionale

00 e1

eHH+∆

⋅=∆

∆e

1

eo

Tempo = 0+ Tempo = ∞

6

Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi

7

molle

acqua dei pori

pistonecarico

valvola t = 0+ t = ∞

tempo

acquaacqua

solido solido


8

Carico uniforme

Piano di falda

sabbia

sabbia

argilla


9

Portata entrante

Portata uscente


dxdyzhkdxdyikqz ⋅⋅∂∂⋅−=⋅⋅⋅=

dxdxdzzh

zhkdxdydz

zhkdzdy

zhkdqq 2

2

2

2zz ⋅⋅

⋅

∂

∂+

∂∂

⋅−=⋅⋅∂

∂⋅−⋅⋅

∂∂⋅−=+

dzdydxzhkdq 2

2z ⋅⋅⋅

∂

∂⋅=

Equazione generale di un problema di flusso confinato e monodirezionale.

Portata entrante dalla faccia inferiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz

Portata uscente dalla faccia superiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz

Differenza di flusso attraverso l’elemento:10


Il volume di acqua nell’elemento è pari a:

dzdydxe1eSVnSV totw ⋅⋅⋅

+⋅

=⋅⋅=

La variazione del volume dell’acqua Vw nell’intervallo di tempo dt è pari a:

⋅⋅⋅+⋅

∂∂

=∂∂ dzdydx

e1eS

ttVw

Se il volume occupato dai grani di terreno (costante nel tempo) è pari a:

costante e1

dzdydxVs =+⋅⋅

=

E scrivendo una relazione di continuità si ottiene: ( )eS

te1dzdydxdzdydx

zhk 2

2⋅

∂∂

⋅+⋅⋅

=⋅⋅⋅

∂

∂⋅

11


∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂

∂⋅

teS

tSe

e11

zhk 2

2

Se entrambi l’indice dei vuoti “e” ed il grado di saturazione “S” sono costanti nel tempo, l’equazione è quella di un flusso stazionario unidirezionale e diventa:

0zhk 2

2=

∂

∂⋅

Se “S” è costante nel tempo mentre “e” varia, il problema diventa quello di un flusso transitorio (consolidazione).

12


IPOTESI • Terreno omogeneo e completamente saturo • Flusso di acqua e deformazione solo in direzione z• Particelle di acqua e di terreno incompressibili• Validità della Legge di Darcy• Assenza di deformazioni di tipo viscoso• Coefficiente di permeabilità costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato• Compressibilità del terreno costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato e definita tramite la relazione seguente:

'zv

00m

HH

VV

σ∆⋅=∆

=∆ '

zv0

me1e

σ∆⋅−=+∆

∂∂⋅+

∂∂⋅⋅

+=

∂

∂⋅

teS

tSe

e11

zhk 2

2

tm

te

e11

zhk

'z

v02

2

∂σ∂

⋅−=∂∂⋅

+=

∂

∂⋅

13


w

uzhγ

+=

u' −σ=σ

∂∂

−∂σ∂

⋅−=∂

∂⋅

γ tu

tm

zuk

v2

2

w

vwv m

kc⋅γ

=

ttu

zuc 2

2v ∂

σ∂−

∂∂

=∂

∂⋅

tu

zuc 2

2v ∂

∂=

∂

∂⋅

Se σ è costante nel tempo

14

La [1] vale anche per gli incrementi di

stato tensionale ∆σ’ e ∆u indotti dal carico

applicato. Nel seguito si indicano con σ, σ’ ed u gli incrementi di stato tensionale.

1

15

H

γsatH

γwHγ’H

σv, σ’v

z

Ω=1

q

dz


t = 0 t = 0+

16

z

Ω=1

q

dz

u/γw u + σ’v = σv

u σ’vu0 = σv

t = 0 t > 0


17

z

Ω=1

q

dz

u0/γw

u + σ’v = σv

u σ’v

u0 = σv

t = 0

t > 0

σv

z

Ω=1

q

dz

u/γw σv


σ’v

t = ∞

z

Ω=1

q

dz

σ’v = σvu = 0


18

19

Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in sommità,esiste una soluzione analitica (estendibile al caso di drenaggio solo in sommità).

Ponendo Z = z/H (con Z e z misurate dallasommità dello strato) e T = cv⋅t/H2, ossiaadimensionalizzando le variabili spazialee temporale, l’equazione della consolida-zione diviene:

con soluzione(Taylor, 1948):

dove:


2

2

Zu

Tu

∂

∂=

∂∂

( ) ( ) TM

0m

0 2eZMsen

Mu2T,Zu ⋅−∞

=⋅⋅⋅

⋅= ∑

( )1m22

M +⋅⋅π

=

2

20

strato impermeabile

strato drenante

H

2H


Il progresso della consolidazione può essere mostrato plottando una serie di curve “u vs. z” per differenti valori di t.Queste curve sono chiamate ISOCRONE.

La loro forma dipenderà dalla distri-buzione iniziale dell’eccesso di pressione neutrale e dalle condizioni di drenaggio al contorno dello strato argilloso.

Uno strato che possa drenare da ambo i lati (superiore e inferiore) viene detto “strato aperto” (o a doppio drenaggio), mentre qualora lo strato possa drenare da un solo lato esso viene detto “strato mezzo chiuso” (o a singolo drenaggio).

21

Teoria della consolidazione

Esempi di isocrone sono riportate nella figura a fianco. (a) Distribuzione iniziale di u0costante; per strato aperto di spessore 2H l’isocrona è simmetrica rispetto alla linea mediana. La parte superiore dell’isocrona rappresenta il caso di strato mezzo chiuso di spessore H. La pendenza dell’isocrona a qualsiasi profondità fornisce il gradiente idraulico in quel punto e la direzione del flusso dell’acqua.(b) e (c) distribuzione iniziale di u0triangolare nei casi di strato aperto e mezzo chiuso.(c) il lato inferiore è impermeabile; per un certo intervallo di tempo si manife-sta un fenomeno di rigonfiamento nella parte inferiore dello strato.

22


( ) ( ) TM

0m

0 2eZMsen

Mu2T,Zu ⋅−∞

=⋅⋅⋅

⋅= ∑ ( )1m2

2M +⋅⋅

π=2

( ) ( ) ( )00

0v u

tu1u

tuutU −=−

= 3

Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE Uv alla profondità z ed al tempo t può essere ottenuto sostituendo il valore di u (eq.2) nella eq.3:

TM

0mv

2e

HzMsen

M21U ⋅−∞

=⋅

⋅⋅−= ∑

m = 0, 1, 2, ...

23


Durante la consolidazione l’incremento di

tensione verticale efficace è in valore

assoluto uguale alla diminuzione della

pressione neutrale dell’acqua.

( ) ( ) ( )00

0v u

tu1u

tuutU −=−

=

u'u0'0

'1 +σ=+σ=σ

Grado di consolidazione U In fase di consolidazione

3

24


Questa soluzione di U è riportata in forma grafica in figura in funzione dei parametri adimensionale Z e T. Le curve sono dette isocrone.

Subito dopo l’applicazione del carico esterno il gradiente idraulico è:

1) elevato alle estremità dello strato

2) pressoché nullo nella parte interna dello strato

3) sempre nullo a metà strato, con assenza di flusso attraverso il piano mediano.

TM

0mv

2

eH

zMsenM21U ⋅−

∞

=

⋅

⋅⋅−= ∑

26


Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE alla profondità z ed al tempo t può essere espresso in termini di indice dei vuoti (e0, e1, e rispettivamente indice dei vuoti iniziale, finale e intermedio):

10

0v ee

eeU−−

=

oppure in termini di tensione efficace, qualora le relazione “e vs. σ” sia lineare nello intervallo di tensioni considerato, (σ’0, σ’1 e σ’ rispettivamente tensione efficace iniziale, finale e intermedia):

'0

'1

'0

v'Uσ−σ

σ−σ=

27


E’ di interesse la diminuzione di spessore totale sct in ogni fase del processo di consolidazione. Tale diminuzione può essere determinata sommando le deformazioni verticali alle varie profondità.Può essere opportuno e conveniente conoscere come varia nel tempo il rapporto tra sct e il cedimento totale sc∞ alla fine della consolidazione.Tale rapporto, definito GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO, può essere così espresso:

Il significato geometrico di Um è indicato nella figura a fianco. L’area ABCE = diminuzione di u nel tempo –L’area ABCD = pressione iniziale.

Um = ABCE/ABCD

∑∞

=

⋅−⋅−=0m

TM2m

2e

M21U 4

28


La funzione Um = f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è graficata come curva (a). Le curve b e c si riferiscono rispettivamente a strato di notevole spessore con drenaggio solo superiore e a strato aperto che consolida sotto l’azione del peso proprio.

29


La funzione Um = f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è riportata in tabella per alcuni gradi di consolidazione medi.

Um (%) Tv

10 0.00820 0.03130 0.07140 0.12650 0.19760 0.28770 0.40380 0.56790 0.848

100 ∞

30


L’equazione (4) può essere rappresentata quasi esattamente attraverso le due seguenti equazioni empiriche:

2vv U

4T ⋅

π=

( )vv U1log933.0781.1T −⋅−=

53.0Uv <

53.0Uv >

Se la distribuzione delle u0 è non costante con la profondità, il grado di consolidazione medio è dato da (per strato mezzo chiuso integrare tra 0 e H):

∫

∫

⋅

⋅

−= H2

00

H2

0v

dzu

dzu1U

Area posta al disotto dell’isocrona al generico tempo t

Area posta al disotto dell’isocrona iniziale

31


La variazione iniziale di u in eccesso in uno strato argilloso viene generalmente considerata lineare.

(i)Prova edometricaVariazione livello falda (innalzamento + abbassamento -)

(ii)Consolidazione vergine

(iii)Carico applicato in superficie

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