TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE -...

16
Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica Docente: ing. Giuseppe Tropeano 1 TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE Schema riassuntivo 1) Premessa a. Descrizione e definizione della fenomenologia 2) Teoria di Terzaghi (consolidazione monodimensionale) a. Ipotesi di base ip.1) Flusso e deformazioni 1D ip.2) Fluido non comprimibile ip.3) Mezzo completamente saturo ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρ s =costante) ip.5) Validità della legge di Darcy ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σ z costante nel tempo) b. Equazioni di base 1. Conservazione delle massa solida (1 ) (1 ) 0 s n v n t z 2. Conservazione della massa liquida ( ) 0 w nv n t z 3. Continuità della massa (mezzo bifase) ( ) w s s nv v v z z 4. Legge di Darcy f z h v k z 5. Legame costitutivo 1 z z ed d d E 6. Equilibrio dello scheletro solido 0 z t c .Equazione finale 2 2 z ed v v w kE u u c c t z d. Integrazione della equazione del modello

Transcript of TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE -...

Page 1: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 1 ‐ 

TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE 

Schema riassuntivo 

 

1)  Premessa   

a.  Descrizione e definizione della fenomenologia   

2)  Teoria di Terzaghi (consolidazione monodimensionale)   

a.  Ipotesi di base   

ip.1) Flusso e deformazioni 1D  

ip.2) Fluido non comprimibile   

ip.3) Mezzo completamente saturo   

ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρs=costante)  

ip.5) Validità della legge di Darcy    

ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido   

ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo   

ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σz costante nel tempo)   

b.  Equazioni di base   

1.  Conservazione delle massa solida  (1 )(1 )

0

sn vn

t z 

2.  Conservazione della massa liquida ( )

0

wn vn

t z 

3.  Continuità della massa (mezzo bifase)  ( )

w s s

n v v v

z z  

4.  Legge di Darcy  f z

hv k

z

 

5.  Legame costitutivo 1

z zed

d dE

 

6.  Equilibrio dello scheletro solido  0z

t

 

c  .Equazione finale 2

2z ed

v vw

k Eu uc c

t z

 

d.  Integrazione della equazione del modello    

Page 2: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 2 ‐ 

1.  Adimensionalizzazione 2

vczZ T t

H H  

e.  Soluzione   

1.  Isocrone   

2.  Grado di consolidazione   

f.  Valutazione sperimentale del coefficiente di consolidazione verticale 

 

3)  Consolidazione radiale (APPROFONDIMENTI)   

a.  Equazione generale 2

2

1

h edh h

w

k Eu u uc c

t r r r  

4)  Caso generale – equazione 3D (APPROFONDIMENTI)   

a.  Equazioni di base   

1.  Legge di Darcy generalizzata   ( ) v K h  

2.  Piccoli spostamenti  2 2 w h u  

3.  Legame costitutivo 3(1 2 )

v

pp

K E

 

4.  Principio delle tensioni efficaci  p p u  

5.  Continuità della massa  ( ) 0

vvt

 

b  .Equazione finale  21 3(1 2 ) w

u pK u

E t t

 

  Se terreno isotropo   ,3

1

3(1 2 )

vw

k Ec

 

   

Page 3: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 3 ‐ 

1 Premessa 

1.1  Descrizione e definizione della fenomenologia 

Per  consolidazione  si  intende  la progressiva deformazione di un  terreno prodotta da  fenomeni 

idrodinamici  connessi  alla  dissipazione  delle  sovrappressioni  interstiziali,  u,  indotte  da  un incremento  della  tensione  totale,  Δσz,  dovuta  a  carichi  esterni,  q.  Poiché  questo  fenomeno 

dipende dalla resistenza al moto della fase fluida nei terreni a grana fine, ha senso pratico parlare 

di consolidazione solo in riferimento a terreni con conducibilità idraulica bassa. 

2 Teoria di Terzaghi (consolidazione monodimensionale) 

2.1 Ipotesi di base 

Si considera un terreno a grana fine omogeneo,  le  ipotesi di base del modello matematico della 

consolidazione 1D sono:  

ip.1) Flusso e deformazioni 1D 

ip.2) Fluido non comprimibile 

ip.3) Mezzo completamente saturo 

ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρs=costante) 

ip.5) Validità della legge di Darcy  

ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido 

ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo 

ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σz costante nel tempo) 

2.2 Equazioni di base 

2.2.1 Conservazione delle massa solida 

l’eq. di conservazione della massa è data dalla espressione: 

 

massa uscente massa entrante massa iniziale - massa finale

unità di tempo unità di tempo unità di tempo

( )

u e f im m m m

  (1) 

Page 4: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 4 ‐ 

 

Figura 1: Schema per la definizione dell’equazione di continuità della massa solida nel caso 1D. 

in cui la massa entrante, me, nella faccia dx . dy è pari a: 

  (1 ) e s sm n v dxdy dt   (2) 

dove: ρs è  la massa  volumica  (densità) dei  granuli del  terreno; n è  la porosità dell’elemento di 

volume dV = dx . dy . dz; vs velocità del flusso solido, dt istante temporale; 

la massa uscente, mu: 

  (1 )

(1 )

s su s s

n vm n v dz dxdy dt

z  (3) 

la massa inizialmente presente nell’elemento di volume, mi: 

  (1 ) i sm n dxdydz   (4) 

la massa presente nell’elemento di volume dopo l’intervallo di tempo dt, mf: 

  (1 )

(1 )

s

f s

nm n dt dxdydz

t  (5) 

Sostituendo le eqq. (2), (3) , (4) e (5) nella (1) si ottiene: 

 

(1 )(1 ) (1 )

(1 )(1 ) (1 )

s ss s s s

ss s

n vn v dz dxdy dt n v dxdy dt

z

nn dt dxdydz n dxdydz

t

 

Page 5: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 5 ‐ 

Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine: 

  (1 ) (1 )

s s sn v n

z t

 

Essendo  il  terreno omogeneo,  la densità del  solido non  varia  con  la profondità,  inoltre, per  la 

(ip.4), è costante nel tempo, ottenendo infine: 

  (1 ) (1 )

sn v n

z t  (6) 

2.2.2 Conservazione delle massa fluida   

Analogamente  al  caso  precedente,  l’eq.  di  conservazione  della  massa  fluida  è  data  dalla 

espressione: 

 

massa uscente massa entrante massa iniziale - massa finale

unità di tempo unità di tempo unità di tempo

( )

u e f im m m m

  (7) 

 

Figura 2: Schema per la definizione dell’equazione di continuità della massa fluida nel caso 1D.  

in cui la massa entrante, me, nella faccia dx . dy è pari a: 

  e w wm n v dxdy dt   (8) 

dove:  ρw è  la massa  volumica  (densità)  del  fluido  interstiziale  (p.  es.  acqua);  n  è  la  porosità 

dell’elemento di volume dV = dx . dy . dz; vw velocità assoluta del flusso, dt istante temporale; 

la massa uscente, mu, è data da: 

Page 6: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 6 ‐ 

 

w w

u w w

n vm n v dz dxdy dt

z  (9) 

la massa di fluido inizialmente presente nell’elemento di volume, mi: 

  massa iniziale i wm n dxdydz   (10) 

la massa di fluido presente nell’elemento di volume dopo l’intervallo di tempo dt, mf: 

 

massa finale

w

f w

nm n dt dxdydz

t  (11) 

Sostituendo le eqq. (8), (9), (10) e (11) nella (7) si ottiene: 

w ww w w w

ww w

n vn v dz dxdy dt n v dxdy dt

z

nn dt dxdydz n dxdydz

t

  (12) 

Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine: 

 

w w wn v n

z t

  (13) 

Per le (ip.2) e (ip.3) la densità del fluido è costante sia con la profondità sia col tempo, si ottiene: 

 

wn v n

z t   (14) 

2.2.3 Continuità della massa (mezzo bifase) 

L’equazione di continuità del mezzo bifase si ottiene sommando le eqq. (6) e (14):  

(1 ) (1 )0

s w sw s

n v n v n vn v vn n n n

z z t t z z t t 

quindi alla fine: 

  ( )

w s s

n v v v

z z  (15) 

Introducendo  la velocità di filtrazione, vf, che è  la velocità relativa del flusso del fluido che entra 

nella faccia dx dy rispetto al flusso del terreno nella medesima faccia: 

Page 7: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 7 ‐ 

  ( ) f w sv n v v  

si ottiene infine: 

 

f sv v

z z  (16)  

2.2.4 Legge di Darcy 

La legge di Darcy in condizioni 1D è data da: 

  f z

hv k

z

 

dove kz è la conducibilità idraulica (permeabilità) nella direzione z. 

Essendo h pari a: 

  0 0derivando per

w w w w w

u uu u h uh z

z z z

 

sostituendo: 

  0f z

w w

u uv k

z z

 

Se il fluido nelle condizioni iniziali è in regime idrostatico si ha: 

  0 0

w

u

z

  

quindi alla fine: 

  zf

w

k uv

z

  (17) 

2.2.5 Legame costitutivo 

Per la (ip.6) le deformazioni lungo la direzione z, dz, sono espresse da:  

 1

z zed

d dE

  (18) 

Page 8: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 8 ‐ 

dove Eed è  il modulo di  rigidezza edometrica  (essendo  in condizioni di deformazioni 1D, cioè di 

deformazione laterale impedita) 

2.2.6 Equilibrio dello scheletro solido 

Per  la  (ip.8)  le  tensioni  totali, σz, agenti  sull’elemento di volume, dopo  l’applicazione del  carico 

rimangono costanti nel tempo ovvero:  

  0z

t

  (19) 

2.3 Equazione finale 

Derivando l’eq. (17) rispetto a z si ottiene: 

 f z

w

v k u

z z z

 

Per le (ip.2) e (ip.7), w e kz non sono variabili con z, inoltre, per la (ip.7), kz non varia nel tempo, 

pertanto: 

 2

2

f z

w

v k u

z z

 

Sostituendo il primo membro con l’equazione di continuità della massa per mezzo bifase (eq.(16)); 

 2

2s z

w

v k u

z z

  (20) 

Essendo per definizione: 

  s s s zv s s

z z t t z t

  (21) 

dove  con  ss  si  è  indicato  lo  spostamento  e  con  εz  la  deformazione  (il  segno  negativo  è  per 

convenzione: una variazione positiva dello spostamento corrisponde ad un allungamento). 

Sostituendo la eq. (21) nelle (20) si ottiene: 

 2

2z z

w

k u

t z

  (22) 

Introducendo  il  legame  costitutivo  (eq.  (18)),  la  deformazione  εz  si  può  riscrivere 

convenientemente come: 

Page 9: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 9 ‐ 

 1z z

edt E t

  (23) 

Dall’equilibrio dello scheletro solido (eq. (19)) si ottiene inoltre: 

  0 0zz z

u u u

t t t t

  (24) 

Sostituendo le eqq. (23) e (24) nella (22) si ottiene: 

 2 2

2 2

1 z edz

ed w w

k Eku u u u

E t z t z

 

ovvero: 

 2

2

v

u uc

t z  (25) 

dove cv è il coefficiente di consolidazione verticale, definito come: 

 2

z edv

w

k E Lc

T

  

2.4 Integrazione della equazione del modello 

L’eq. (25) è una equazione alle derivate parziali di tipo parabolico (possiede quindi una famiglia di 

curve  caratteristiche).  Può  essere  facilmente  integrata  analiticamente  in  condizioni 

monodimensionali  ad  esempio  per  il  dominio  di  integrazione mostrato  nella  figura  3,  dove  H 

prende il nome di “percorso di filtrazione” e rappresenta la massima distanza che una particella di 

acqua deve percorrere per raggiungere una delle superfici drenanti (nel caso in figura 3a H è pari 

a  metà  dello  spessore  dello  strato  di  terreno  che  consolida  essendoci  2  superfici  drenanti, 

nell’altro caso ‐singola superficie drenante‐ H coincide con l’intero spessore del banco). 

Il dominio di integrazione è in questo caso è :  t > 0; 0  z  2H. 

Le condizioni al contorno sui bordi del dominio (Γ0, Γ1, Γ2) nel caso  in cui  la falda sia  inizialmente 

idrostatica e ci sia una distribuzione costante delle u(z, 0) pari all’incremento delle tensioni totali 

σz (distribuzione “rettangolare” di u(z, 0)): 

0:  u(z, 0) = σz = q  Condizione iniziale 

1:  u(0, t) = 0  Condizione di drenaggio libero (interfaccia superiore) 

2:  u(2H, t) = 0  Condizione di drenaggio libero (interfaccia inferiore) 

Page 10: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 10 ‐ 

 

(a)  (b) 

Figura 3: dominio di integrazione dell’equazione di consolidazione 1D 

2.4.1 Adimensionalizzazione 

Per  poter  risolvere  in maniera  analitica  l’eq. (25)  è  conveniente  effettuare  una  trasformazione 

delle variabili indipendenti: 

 

2

(fattore spessore)

(fattore tempo)

v

zZ

Hc

T tH

 

l’eq. (25) si riscrive come problema di Cauchy in “grande” (trattazione “in grande”): 

 

2

2

( ,0) 0 2; 0

(0, ) 0 0; 0

(2, ) 0 2; 0

z

u u

T Zu Z Z T

u T Z T

u T Z T

  (26) 

 

2.4.2 Soluzione analitica (APPROFONDIMENTO) 

Una generica soluzione per l’eq. (26) è del tipo: 

  ( , ) ( ) ( ) u Z T Z T   (27) 

ovvero: 

Page 11: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 11 ‐ 

 

2 2

2 2

( ) ( )( ) ( )

( )( )

quindi:

u Z ZT T

Z ZZ Z

u TT

T T

 

2 2

2 2

1 1separando le variabili

T TZ Z

 

Essendo  il  primo membro  funzione  solo  di  T  e  il  secondo  solo  di  Z,  come  soluzione  di  primo 

tentativo si otterrà una costante : 

 

2

22

2

1( )

1( )

aT

bZ

  (28) 

L’equazione (28)a è a variabili separabili si può integrare facilmente: 

 22 2 2ln ln ( )

TdT T T T e

 

dove  ln  (costanti di integrazione). 

L’equazione  (28)b  è  quella  dell’oscillazione  armonico  (non  smorzato),  la  soluzione  è  una 

combinazione lineare di armoniche semplici del tipo: 

  1 2( ) cos( ) sin( ) Z C Z C Z  

Quindi una soluzione “particolare” è il prodotto tra le due: 

  2

sin( ) cos( ) Tu A Z B Z e dove:  1A C  e  2B C   (29) 

Più in generale, una famiglia di soluzioni è data dalla combinazione lineare di funzioni del tipo (29) 

ovvero: 

  2

1

sin( ) cos( )

mTm m m m

m

u A Z B Z e  

Le costanti Am, Bm, m si calcolano a partire dalle condizioni al contorno 

 2

(0, ) 0 ( 0; 0) 0 0 mTm mu T Z T B e B

 

Page 12: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 12 ‐ 

 

2

(2, ) 0 ( 2; 0) sin 2 0

sin 2 02

mTm m

m m

u T Z T A e

m

 

 1

( ,0) (0 2; 0) sin2z m z

m

u Z Z T A m Z

 

moltiplicando  ambo  i  membri  per  sin 2 jZ  con  j  indice  generico,  e  integrando 

nell’intervallo 0  Z  2, si ottiene: 

 2 2

0 01

sin sin sin2 2 2z m

m

j Z dZ A j Z m Z dZ

 

Indicando con I1 e I2 gli integrali: 

 2

1 0

0 2 (indice pari)

sin 42 1 (indice dispari)2

j m

I j Z dZj m

j

 

 2

2 0

0sin sin

12 2

j mI j Z m Z dZ

j m

 

si ottengono i coefficienti Am: 

  1

21

0 2 (indice pari)

42 1 (indice dispari)

zm

m

j mI

Aj m

I j

 

La soluzione finale è: 

 

22(2 1)

4

1

4 1 2 1sin

2 1 2

mT

zm

mu Z e

m

  (30) 

dove (2m‐1) è un intero dispari. 

2.4.3 Soluzione grafica  

La soluzione analitica del problema di Cauchy  in “grande” (26), nel caso  in cui Δu(z,0) = Δσz è del 

tipo: 

Page 13: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 13 ‐ 

 

22(2 1)

4

1

4 1 2 1sin

2 1 2

mT

zm

mu Z e

m

  (31) 

in cui  compare una  sommatoria  (convergente) di  termini. Al  fine di  rendere agevole  l’uso della 

eq. (31), si preferisce  fare  ricorso alla soluzione grafica attraverso  l’abaco riportato  in Fig. 4a,  in 

cui  la  soluzione  è  espressa  attraverso  la  variabile  adimensionale  U  definita  come  “grado  di 

consolidazione”: 

 0

1 1

v

v v

u uU

u

 

che rappresenta l’incremento delle tensioni efficaci, rapportato all’incremento delle tensioni totali 

(costante), in funzione della posizione relativa, Z, e al variare del fattore tempo, T (isocrone). 

L’evoluzione nel tempo del processo di consolidazione dell’intero banco di terreno di spessore 2H 

è  espresso  attraverso  la  variabile  adimensionale  “grado  di  consolidazione medio”, U ,  definita 

come: 

 

2 2

0 02

0

( , ) ( , )

1 12

H H

Hv

v

u z t dz u z t dz

UH

dz

 

ovvero con riferimento alla figura 4b: 

 area sottesa dall'isocrona (t) area campita

1area rettangolo 2 area totale

v

UH

 

(a)  (b)

Figura 4:a) Abaco di consolidazione e b) definizione del grado di consolidazione medio del banco di 

terreno consolidante. 

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Grado di consolidazione, U

Z =

z /

H

0.7

0.3

0.1

0.20.15

0.9

0.850.60.5

0.8

T=0.05

T=0

0.4

Isocrona per Tassegnato

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Grado di consolidazione, U

Z =

z /

H

Page 14: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 14 ‐ 

Il valore di U  in  funzione di T, è  riportato nell’abaco di  figura 5 e  rappresenta  l’evoluzione nel 

tempo del processo di consolidazione del banco dei terreno. 

 

Figura 5. Variazione del grado di consolidazione medio con il fattore tempo T. 

Tenuto conto della linearità del legame costitutivo: 

  2 2 2

0 0 0

1 1 1( ) ( , ) 2 ( , )

H H H

z z zed ed ed

w t dz u z t dz H u z t dzE E E

  

  2 2

,0 0

1 1 12

H H

f z fin z zed ed ed

w dz dz HE E E

 

quindi alla fine: 

 

22

00

12 ( , ) ( , )( )

1 (c.v.d.)1 22

HH

zed

f zz

ed

H u z t dz u z t dzEw tU

w HHE

 

il  Grado  di  Consolidazione  Medio,  corrisponde  al  cedimento  al  generico  istante  di  tempo  t 

rapportato al cedimento finale. 

La soluzione (31) e gli abachi delle figg. 4 e 5 valgono anche nel caso in cui la superficie drenante 

sia  solamente  una,  come mostrato  nella  figura  6,  a  parità  di  ipotesi  iniziali  (isocrona  iniziale 

rettangolare,  in  altre  parole  incremento  delle  tensioni  totali,  σz,  e  quindi  delle  pressioni 

interstiziali al tempo t = 0, u0, costante con la profondità).  

Page 15: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 15 ‐ 

 

Figura 6:Corrispondenza tra le soluzioni con una o due superfici drenanti a parità di H,  

2.4.4 Valutazione sperimentale del coefficiente di consolidazione verticale 

Il  coefficiente  di  consolidazione,  cv,  è  determinato  sperimentalmente  sulla  base  delle  curve 

cedimento‐tempo  (in  scala  semilogarilmica) ottenute attraverso prova edometrica,  interpretate 

alla luce della teoria di Terzaghi.  

Un metodo tipicamente utilizzato fa riferimento alla procedura grafica di Casagrande:  

1) si stima  il cedimento  iniziale, w0, valutando  la differenza, Δw tra  il valore del cedimento 

misurato al tempo t, w1(t), e quello misurato al tempo 4t, w2(4t), nelle prime letture della 

prova; 

2) il  cedimento  w0  si  assume  pari  a  w1 – Δw,  e  individua  l’inizio  della  consolidazione 

( U  = 0%);  

3) si individua il punto di flesso della curva e si traccia la retta tangente a tale punto; 

4) si  valuta  l’asintoto per  t  (per  la  teoria della  consolidazione,  tale  asintoto dovrebbe essere  orizzontale:  in  realtà  si  osserva  sperimentalmente  un  andamento  lineare  del 

cedimento  dovuto  a  fenomeni  viscosi  e/o  di  creep  che  prendono  il  nome  di 

“consolidazione secondaria”); 

5) si  individua  il  valore  del  cedimento,  w3,  corrispondente  alla  fine  della  consolidazione 

( U  = 100%) come l’intersezione tra la tangente al punto di flesso e l’asintoto (obliquo): il 

cedimento di consolidazione wc  è dato da w3‐w0; 

Page 16: TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE - …people.unica.it/.../files/2012/04/Teoria_Consolidazione_1D.pdf · Grado di consolidazione f. Valutazione sperimentale del

 

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica 

  Docente: ing. Giuseppe Tropeano  

  ‐ 16 ‐ 

6) si  legge da  grafico  il  valore dell’istante di  tempo  t50,  in  corrispondenza  del  cedimento, 

w4 = w0+wc/2, che identifica il valore di w quando U  = 50%; 

7) dalla  curva U  in  funzione del  fattore  tempo di  fig. 6,  fissato  50%U  si ottiene T50 da 

cui: 

 2 2

50 5050 2

50 50

0.197vv

c t T H HT c

H t t

 

dove H  è  il  “percorso  di  filtrazione”  o  che  nel  caso  di  presenza  due  superfici  drenanti 

(come  nella  prova  edometrica)  si  può  assumere  paria  a metà  dell’altezza  iniziale  del 

provino, h0 (in genere di 20 mm).  

il valore di cv varia da 10‐4 10‐3 cm2/s per i argille normalconsolidate e aumenta al crescere di OCR.  

 

Figura 7: Costruzione grafica per la determinazione del coefficiente di consolidazione. 

(U=0%)

t 4t

w1

w2

w

ww

0

wc

w3

t50

w4

(U=50%)

(U=100%)

log t

w