TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE · 2016. 1. 22. · 2 Teoria di Terzaghi...

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica – Modulo di Geotecnica

Docente: ing. Giuseppe Tropeano

‐ 1 ‐

TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE DEI TERRENI A GRANA FINE

Schema riassuntivo

1) Premessa

a. Descrizione e definizione della fenomenologia

2) Teoria di Terzaghi (consolidazione monodimensionale)

a. Ipotesi di base

ip.1) Flusso e deformazioni 1D

ip.2) Fluido non comprimibile

ip.3) Mezzo completamente saturo

ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρs=costante)

ip.5) Validità della legge di Darcy

ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido

ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo

ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σz costante nel tempo)

b. Equazioni di base

1. Conservazione delle massa solida (1 )(1 ) 0

sn vn

t z

2. Conservazione della massa liquida ( ) 0

wn vn

t z

3. Continuità della massa (mezzo bifase) ( )

w s sn v v vz z

4. Legge di Darcy f zhv kz

5. Legame costitutivo 1

z zed

d dE

6. Equilibrio dello scheletro solido 0zt

c .Equazione finale 2

2z ed

v vw

k Eu uc ct z

d. Integrazione della equazione del modello



‐ 2 ‐

1. Adimensionalizzazione 2 vczZ T t

H H

e. Soluzione

1. Isocrone

2. Grado di consolidazione

f. Valutazione sperimentale del coefficiente di consolidazione verticale

3) Consolidazione radiale (APPROFONDIMENTI)

a. Equazione generale 2

2

1

h edh h

w

k Eu u uc ct r r r

4) Caso generale – equazione 3D (APPROFONDIMENTI)

a. Equazioni di base

1. Legge di Darcy generalizzata ( ) v K h

2. Piccoli spostamenti 2 2 w h u

3. Legame costitutivo 3(1 2 )

vp pK E

4. Principio delle tensioni efficaci p p u

5. Continuità della massa ( ) 0

vvt

b .Equazione finale 21 3(1 2 ) w

u pK uE t t

Se terreno isotropo ,31

3(1 2 )

vw

k E c



‐ 3 ‐

1 Premessa

1.1 Descrizione e definizione della fenomenologia

Per consolidazione si intende la progressiva deformazione di un terreno prodotta da fenomeni

idrodinamici connessi alla dissipazione delle sovrappressioni interstiziali, u, indotte da un incremento della tensione totale, Δσz, dovuta a carichi esterni, q. Poiché questo fenomeno dipende dalla resistenza al moto della fase fluida nei terreni a grana fine, ha senso pratico parlare di consolidazione solo in riferimento a terreni con conducibilità idraulica bassa.

2 Teoria di Terzaghi (consolidazione monodimensionale)

2.1 Ipotesi di base

Si considera un terreno a grana fine omogeneo, le ipotesi di base del modello matematico della consolidazione 1D sono:

ip.1) Flusso e deformazioni 1D ip.2) Fluido non comprimibile ip.3) Mezzo completamente saturo ip.4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρs=costante) ip.5) Validità della legge di Darcy ip.6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido ip.7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo ip.8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σz costante nel tempo)

2.2 Equazioni di base

2.2.1 Conservazione delle massa solida

l’eq. di conservazione della massa è data dalla espressione:

massa uscente massa entrante massa iniziale - massa finaleunità di tempo unità di tempo unità di tempo

( )

u e f im m m m (1)



‐ 4 ‐

Figura 1: Schema per la definizione dell’equazione di continuità della massa solida nel caso 1D.

in cui la massa entrante, me, nella faccia dx . dy è pari a:

(1 ) e s sm n v dxdy dt (2)

dove: ρs è la massa volumica (densità) dei granuli del terreno; n è la porosità dell’elemento di volume dV = dx . dy . dz; vs velocità del flusso solido, dt istante temporale;

la massa uscente, mu:

(1 )(1 )

s su s s

n vm n v dz dxdy dt

z (3)

la massa inizialmente presente nell’elemento di volume, mi:

(1 ) i sm n dxdydz (4)

la massa presente nell’elemento di volume dopo l’intervallo di tempo dt, mf:

(1 )(1 )

sf s

nm n dt dxdydz

t (5)

Sostituendo le eqq. (2), (3) , (4) e (5) nella (1) si ottiene:

(1 )(1 ) (1 )

(1 )(1 ) (1 )

s ss s s s

ss s

n vn v dz dxdy dt n v dxdy dt

z

nn dt dxdydz n dxdydz

t



‐ 5 ‐

Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine:

(1 ) (1 )

s s sn v nz t

Essendo il terreno omogeneo, la densità del solido non varia con la profondità, inoltre, per la (ip.4), è costante nel tempo, ottenendo infine:

(1 ) (1 )

sn v nz t

(6)

2.2.2 Conservazione delle massa fluida

Analogamente al caso precedente, l’eq. di conservazione della massa fluida è data dalla espressione:

massa uscente massa entrante massa iniziale - massa finaleunità di tempo unità di tempo unità di tempo

( )

u e f im m m m (7)

Figura 2: Schema per la definizione dell’equazione di continuità della massa fluida nel caso 1D.

in cui la massa entrante, me, nella faccia dx . dy è pari a:

e w wm n v dxdy dt (8)

dove: ρw è la massa volumica (densità) del fluido interstiziale (p. es. acqua); n è la porosità dell’elemento di volume dV = dx . dy . dz; vw velocità assoluta del flusso, dt istante temporale;

la massa uscente, mu, è data da:



‐ 6 ‐

w wu w w

n vm n v dz dxdy dt

z (9)

la massa di fluido inizialmente presente nell’elemento di volume, mi:

massa iniziale i wm n dxdydz (10)

la massa di fluido presente nell’elemento di volume dopo l’intervallo di tempo dt, mf:

massa finale

wf w

nm n dt dxdydz

t (11)

Sostituendo le eqq. (8), (9), (10) e (11) nella (7) si ottiene:

w ww w w w

ww w

n vn v dz dxdy dt n v dxdy dt

z

nn dt dxdydz n dxdydz

t

(12)

Facendo gli opportuni passaggi algebrici si ottiene infine:

w w wn v n

z t

(13)

Per le (ip.2) e (ip.3) la densità del fluido è costante sia con la profondità sia col tempo, si ottiene:

wn v nz t

(14)

2.2.3 Continuità della massa (mezzo bifase)

L’equazione di continuità del mezzo bifase si ottiene sommando le eqq. (6) e (14):

(1 ) (1 ) 0

s w sw sn v n v n vn v vn n n nz z t t z z t t

quindi alla fine:

( )

w s sn v v vz z

(15)

Introducendo la velocità di filtrazione, vf, che è la velocità relativa del flusso del fluido che entra nella faccia dx dy rispetto al flusso del terreno nella medesima faccia:



‐ 7 ‐

( ) f w sv n v v

si ottiene infine:

f sv vz z

(16)

2.2.4 Legge di Darcy

La legge di Darcy in condizioni 1D è data da:

f zhv kz

dove kz è la conducibilità idraulica (permeabilità) nella direzione z.

Essendo h pari a:

0 0derivando per

w w w w w

u uu u h uh zz z z

sostituendo:

0f zw w

u uv kz z

Se il fluido nelle condizioni iniziali è in regime idrostatico si ha:

0 0

w

uz

quindi alla fine:

zfw

k uvz

(17)

2.2.5 Legame costitutivo

Per la (ip.6) le deformazioni lungo la direzione z, dz, sono espresse da:

1

z zed

d dE

(18)



‐ 8 ‐

dove Eed è il modulo di rigidezza edometrica (essendo in condizioni di deformazioni 1D, cioè di deformazione laterale impedita)

2.2.6 Equilibrio dello scheletro solido

Per la (ip.8) le tensioni totali, σz, agenti sull’elemento di volume, dopo l’applicazione del carico rimangono costanti nel tempo ovvero:

0zt

(19)

2.3 Equazione finale

Derivando l’eq. (17) rispetto a z si ottiene:

f z

w

v k uz z z

Per le (ip.2) e (ip.7), w e kz non sono variabili con z, inoltre, per la (ip.7), kz non varia nel tempo, pertanto:

2

2f z

w

v k uz z

Sostituendo il primo membro con l’equazione di continuità della massa per mezzo bifase (eq.(16));

2

2s z

w

v k uz z

(20)

Essendo per definizione:

s s s zv s sz z t t z t

(21)

dove con ss si è indicato lo spostamento e con εz la deformazione (il segno negativo è per convenzione: una variazione positiva dello spostamento corrisponde ad un allungamento).

Sostituendo la eq. (21) nelle (20) si ottiene:

2

2z z

w

k ut z

(22)

Introducendo il legame costitutivo (eq. (18)), la deformazione εz si può riscrivere convenientemente come:



‐ 9 ‐

1z zedt E t

(23)

Dall’equilibrio dello scheletro solido (eq. (19)) si ottiene inoltre:

0 0zz zu u u

t t t t

(24)

Sostituendo le eqq. (23) e (24) nella (22) si ottiene:

2 2

2 2

1 z edzed w w

k Eku u u uE t z t z

ovvero:

2

2

vu uct z

(25)

dove cv è il coefficiente di consolidazione verticale, definito come:

2

z edv

w

k E LcT

2.4 Integrazione della equazione del modello

L’eq. (25) è una equazione alle derivate parziali di tipo parabolico (possiede quindi una famiglia di curve caratteristiche). Può essere facilmente integrata analiticamente in condizioni monodimensionali ad esempio per il dominio di integrazione mostrato nella figura 3, dove H prende il nome di “percorso di filtrazione” e rappresenta la massima distanza che una particella di acqua deve percorrere per raggiungere una delle superfici drenanti (nel caso in figura 3a H è pari a metà dello spessore dello strato di terreno che consolida essendoci 2 superfici drenanti, nell’altro caso ‐singola superficie drenante‐ H coincide con l’intero spessore del banco).

Il dominio di integrazione è in questo caso è : t > 0; 0 z 2H.

Le condizioni al contorno sui bordi del dominio (Γ0, Γ1, Γ2) nel caso in cui la falda sia inizialmente

idrostatica e ci sia una distribuzione costante delle u(z, 0) pari all’incremento delle tensioni totali σz (distribuzione “rettangolare” di u(z, 0)):

0: u(z, 0) = σz = q Condizione iniziale 1: u(0, t) = 0 Condizione di drenaggio libero

(interfaccia superiore) 2: u(2H, t) = 0 Condizione di drenaggio libero

(interfaccia inferiore)



‐ 10 ‐

(a) (b)

Figura 3: dominio di integrazione dell’equazione di consolidazione 1D

2.4.1 Adimensionalizzazione

Per poter risolvere in maniera analitica l’eq. (25) è conveniente effettuare una trasformazione delle variabili indipendenti:

2

(fattore spessore)

(fattore tempo)

v

zZHcT tH

l’eq. (25) si riscrive come problema di Cauchy in “grande” (trattazione “in grande”):

2

2

( ,0) 0 2; 0(0, ) 0 0; 0(2, ) 0 2; 0

z

u uT Z

u Z Z Tu T Z Tu T Z T

(26)

2.4.2 Soluzione analitica (APPROFONDIMENTO)

Una generica soluzione per l’eq. (26) è del tipo:

( , ) ( ) ( ) u Z T Z T (27)

ovvero:



‐ 11 ‐

2 2

2 2

( ) ( )( ) ( )

( )( )

quindi:

u Z ZT TZ ZZ Z

u TTT T

2 2

2 2

1 1separando le variabili T TZ Z

Essendo il primo membro funzione solo di T e il secondo solo di Z, come soluzione di primo

tentativo si otterrà una costante :

2

22

2

1 ( )

1 ( )

aT

bZ

(28)

L’equazione (28)a è a variabili separabili si può integrare facilmente:

22 2 2ln ln ( )

TdT T T T e

dove ln (costanti di integrazione).

L’equazione (28)b è quella dell’oscillazione armonico (non smorzato), la soluzione è una combinazione lineare di armoniche semplici del tipo:

1 2( ) cos( ) sin( ) Z C Z C Z

Quindi una soluzione “particolare” è il prodotto tra le due:

2sin( ) cos( ) Tu A Z B Z e dove: 1A C e 2B C (29)

Più in generale, una famiglia di soluzioni è data dalla combinazione lineare di funzioni del tipo (29) ovvero:

21

sin( ) cos( )

mTm m m mm

u A Z B Z e

Le costanti Am, Bm, m si calcolano a partire dalle condizioni al contorno

2

(0, ) 0 ( 0; 0) 0 0 mTm mu T Z T B e B



‐ 12 ‐

2

(2, ) 0 ( 2; 0) sin 2 0

sin 2 02

mTm m

m m

u T Z T A em

1

( ,0) (0 2; 0) sin2z m zm

u Z Z T A m Z

moltiplicando ambo i membri per sin 2 jZ con j indice generico, e integrando nell’intervallo 0 Z 2, si ottiene:

2 2

0 01

sin sin sin2 2 2z mm

j Z dZ A j Z m Z dZ

Indicando con I1 e I2 gli integrali:

2

1 0

0 2 (indice pari)sin 4 2 1 (indice dispari)2

j m

I j Z dZj m

j

2

2 0

0sin sin

12 2

j m

I j Z m Z dZj m

si ottengono i coefficienti Am:

1

21

0 2 (indice pari)4 2 1 (indice dispari)

zm

m

j mIA

j mI j

La soluzione finale è:

22(2 1)

4

1

4 1 2 1sin2 1 2

m T

zm

mu Z em

(30)

dove (2m‐1) è un intero dispari.

2.4.3 Soluzione grafica

La soluzione analitica del problema di Cauchy in “grande” (26), nel caso in cui Δu(z,0) = Δσz è del tipo:



‐ 13 ‐

22(2 1)

4

1

4 1 2 1sin2 1 2

m T

zm

mu Z em

(31)

in cui compare una sommatoria (convergente) di termini. Al fine di rendere agevole l’uso della eq. (31), si preferisce fare ricorso alla soluzione grafica attraverso l’abaco riportato in Fig. 4a, in cui la soluzione è espressa attraverso la variabile adimensionale U definita come “grado di consolidazione”:

0

1 1

v

v v

u uUu

che rappresenta l’incremento delle tensioni efficaci, rapportato all’incremento delle tensioni totali (costante), in funzione della posizione relativa, Z, e al variare del fattore tempo, T (isocrone).

L’evoluzione nel tempo del processo di consolidazione dell’intero banco di terreno di spessore 2H

è espresso attraverso la variabile adimensionale “grado di consolidazione medio”, U , definita come:

2 2

0 02

0

( , ) ( , )1 1

2

H H

Hv

v

u z t dz u z t dzU

Hdz

ovvero con riferimento alla figura 4b:

area sottesa dall'isocrona (t) area campita1area rettangolo 2 area totale

v

UH

(a) (b)

Figura 4:a) Abaco di consolidazione e b) definizione del grado di consolidazione medio del banco di terreno consolidante.

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Grado di consolidazione, U

Z =

z / H 0.7

0.30.1

0.20.1

5

0.90.850.

60.5

0.8

T=0.05

T=0

0.4

Isocrona per Tassegnato

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Grado di consolidazione, U

Z =

z / H



‐ 14 ‐

Il valore di U in funzione di T, è riportato nell’abaco di figura 5 e rappresenta l’evoluzione nel tempo del processo di consolidazione del banco dei terreno.

Figura 5. Variazione del grado di consolidazione medio con il fattore tempo T.

Tenuto conto della linearità del legame costitutivo:

2 2 2

0 0 0

1 1 1( ) ( , ) 2 ( , )H H H

z z zed ed ed

w t dz u z t dz H u z t dzE E E

2 2

,0 0

1 1 1 2H H

f z fin z zed ed ed

w dz dz HE E E

quindi alla fine:

22

00

1 2 ( , ) ( , )( ) 1 (c.v.d.)1 22

HH

zed

f zz

ed

H u z t dz u z t dzEw t Uw HH

E

il Grado di Consolidazione Medio, corrisponde al cedimento al generico istante di tempo t rapportato al cedimento finale.

La soluzione (31) e gli abachi delle figg. 4 e 5 valgono anche nel caso in cui la superficie drenante sia solamente una, come mostrato nella figura 6, a parità di ipotesi iniziali (isocrona iniziale

rettangolare, in altre parole incremento delle tensioni totali, σz, e quindi delle pressioni interstiziali al tempo t = 0, u0, costante con la profondità).



‐ 15 ‐

Figura 6:Corrispondenza tra le soluzioni con una o due superfici drenanti a parità di H,

2.4.4 Valutazione sperimentale del coefficiente di consolidazione verticale

Il coefficiente di consolidazione, cv, è determinato sperimentalmente sulla base delle curve cedimento‐tempo (in scala semilogarilmica) ottenute attraverso prova edometrica, interpretate alla luce della teoria di Terzaghi.

Un metodo tipicamente utilizzato fa riferimento alla procedura grafica di Casagrande:

1) si stima il cedimento iniziale, w0, valutando la differenza, Δw tra il valore del cedimento misurato al tempo t, w1(t), e quello misurato al tempo 4t, w2(4t), nelle prime letture della prova;

2) il cedimento w0 si assume pari a w1 – Δw, e individua l’inizio della consolidazione

( U = 0%); 3) si individua il punto di flesso della curva e si traccia la retta tangente a tale punto; 4) si valuta l’asintoto per t (per la teoria della consolidazione, tale asintoto dovrebbe

essere orizzontale: in realtà si osserva sperimentalmente un andamento lineare del cedimento dovuto a fenomeni viscosi e/o di creep che prendono il nome di “consolidazione secondaria”);

5) si individua il valore del cedimento, w3, corrispondente alla fine della consolidazione ( U = 100%) come l’intersezione tra la tangente al punto di flesso e l’asintoto (obliquo): il cedimento di consolidazione wc è dato da w3‐w0;



‐ 16 ‐

6) si legge da grafico il valore dell’istante di tempo t50, in corrispondenza del cedimento,

w4 = w0+wc/2, che identifica il valore di w quando U = 50%; 7) dalla curva U in funzione del fattore tempo di fig. 6, fissato 50%U si ottiene T50 da

cui:

2 2

50 5050 2

50 50

0.197vv

c t T H HT cH t t

dove H è il “percorso di filtrazione” o che nel caso di presenza due superfici drenanti (come nella prova edometrica) si può assumere paria a metà dell’altezza iniziale del provino, h0 (in genere di 20 mm).

il valore di cv varia da 10‐4 10‐3 cm2/s per i argille normalconsolidate e aumenta al crescere di OCR.

Figura 7: Costruzione grafica per la determinazione del coefficiente di consolidazione.

(U=0%)

t 4t

w1w2

ww

w0

wc

w3

t50

w4 (U=50%)

(U=100%)

log t

w

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