Condizionidrenaggio Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 4. 15. ·...

Condizioni drenaggioConsolidazione

1Condizioni di drenaggio nei terreni saturi

• t = 0: drenaggio impeditou 0, ’ = ‐ u 0 cedimento iniziale (immediato)w0(u non equilibrate con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI NON DRENATE (CND)

Fondazione (sovraccarico)

t

w

’

u

wcw0w∞

• t: drenaggio ‘libero’ u = 0, ’ = cedimento finale (totale)w =w0+wc(u in equilibrio con le condizioni idrauliche al contorno)CONDIZIONI DRENATE

• t > 0: consolidazione u (t) 0, ’= ‐u = f (t) cedimenti di consolidazionewc = w(t)PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE

u

In un terreno saturo, soggetto ad una variazione di tensione totale istantanea e successivamente costante nel tempo, si verificano tre condizioni di drenaggio successive:

w∞

u/w


2

u I

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

u + +

x y z xu

+ + x y z y

u + +

x y z z

0

0

0

yx zxx

xy y zy

yzxz zsat

+ + x y z

+ + x y z

+ + x y z

Introducendo la definizione di tensioni efficaci

nelle equazioni indefinite dell’equilibrio del terreno saturo ( = sat, asse z verso il basso):

si ricavano le equazioni in termini di tensioni efficaci e pressioni interstiziali:

Condizioni di equilibrio nei terreni saturi


3

forze di trascinamentowi

hx

( ) essendo wu h z z

Esprimendo la pressione neutra u in funzione della quota piezometrica h:

si ottengono le equazioni di equilibrio riferite allo scheletro solido :

Condizioni drenate

0

0

0

yx zxxw

xy y zyw

yzxz zw

h

+ + x y z x

h + +

x y z yh

+ + x y z z

Si definiscono condizioni drenate CD (o di lungo termine, LT) quelle per cui la variazione delle tensioni efficaci coincide con la variazione delle tensioni totali in ogni istante t:

’(t) = (t) t

Ciò implica, per il principio delle tensioni efficaci, che u(t) = 0.

In queste condizioni: • il fluido interstiziale è in quiete o in moto permanente• le quote piezometriche sono ottenibili dall’analisi di filtrazione • la distribuzione delle pressioni interstiziali è disaccoppiata da quella delle tensioni totali

Condizioni necessarie per il verificarsi delle condizioni drenate

1) esistenza di connessione idraulica;

2) velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale lenta rispetto ai tempi necessari per la dissipazione della variazione di pressione interstiziale indotta.

Terreni con permeabilità elevata (terreni a grana grossa)

Terreni con bassa permeabilità (terreni a grana fine)

le condizioni drenate si raggiungono (nella maggioranza dei casi applicativi) istantaneamente e contestualmente all’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali).

CD t = 0

le condizioni drenate si raggiungono (nella maggioranza dei casi applicativi, quando la velocità di applicazione dei carichi non è modesta), solo dopo un tempo più o meno lungo dall’applicazione di una variazione di stato tensionale totale (o di una variazione del regime delle pressioni interstiziali).

CD t ∞

Condizioni drenateCondizioni drenaggio

Consolidazione4

Condizioni non drenate

In condizioni non drenate, un terreno a grana fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale totale non si deforma volumetricamente; sono però possibili (in dipendenza della geometria del problema) deformazioni di taglio.

00v

t

Si definiscono condizioni non drenate CND (o di breve termine, BT) quelle per cui non si ha variazione di massa nell’elemento di volume di terra.

In condizioni di saturazione, ciò implica che il volume dell’acqua non varia e, quindi, che la deformazione volumetrica è nulla.Generalmente, in condizioni non drenate, si ha quindi : u ≠ 0 e, quindi, ’ ≠ .

Condizioni drenaggio5


6Condizioni non drenate

In un terreno fine saturo soggetto ad una variazione di stato tensionale sono possibili variazioni di volume (v) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: w 0 v 0

All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione di tensioni totali (),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: w = 0 v 0

Per il calcolo degli incrementi di tensione totale = f(P,), e anche dei cedimenti w = f(, E,)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (v 0) ma capace di deformarsi per distorsione (s 0).

00v

t

,u uE

u

rigidezza volumetrica 3 1 2

rigidezza distorsionale 2 1 3

u

u

u u

u

EK

E EG

Ciò equivale ad assumere = u = 0.5 e pertanto:

z

Condizioni sufficienti per il verificarsi delle condizioni non drenate in mezzo saturo:

Terreni con permeabilità elevata (terreni a grana grossa)

Terreni con bassa permeabilità (terreni a grana fine)

le condizioni non drenate, in sito, non si verificano sostanzialmente mai, in quanto le variazioni delle pressioni interstiziali indotte dalla variazione di stato tensionale associata alla realizzazione di un opera si dissipano istantaneamente (eccezione: sisma !!!)

le condizioni non drenate si verificano all’atto dell’applicazione dei carichi (t = 0), e possono permanere per tempi relativamente lunghi. Molto spesso, nei tempi di costruzione di un opera (alcuni mesi), i terreni grana fine permangono in condizioni non drenate.

Condizioni drenaggio7

1) disconnessione idraulica (vedi prove di laboratorio)

velocità di applicazione della variazione di stato tensionale totale è molto elevata rispetto ai tempi necessari per la dissipazione delle variazioni di pressione interstiziale

non dipende dalla velocità di applicazione dei carichi

2) connessione idraulica (vedi prove di laboratorio)

Condizioni non drenate


8Approcci per le analisi delle condizioni non drenate

Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci ( = ’ + u)e la ripartizione di tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza tra le (infinitesime) variazioni di volume di scheletro solido e acqua

Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t = 0”):

Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci

incrementi tensioni totali = f(P, u)

incrementi pressioni interstizialiIgnoti

u = f()

incrementi tensioni efficaci ’ = ‐ u

caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; u = 0.5) scheletro solido (E ’ ; ’)

calcolo deformazioni = f(, Eu, u) = f( ’, E ’, ’)

L’approccio alle tensioni totali è più pratico,quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruentinell’ipotesi di validità della teoria elastica.

2 1 3 2 1u u

uu

E E EG G

In particolare se:


9Parametri di pressione interstiziale

La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere u = f() separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione

Skempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e B riferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)

1 3 3 1 3,u f B A

3u B 1 3u BA incremento (sferico) di 3 incremento di 1

1 3c

3

1

3

1

q

, ,p p u

q

, ,p p u

3B 1 3‐BA

1 3q

3B


10Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I

Applicazione di compressione isotropa 1 2 3p ad un terreno bifase

Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:

f ff f

ss ssss ss

u uV V nV

K K

p pV V V

K K

f ff ss

ss ss

K KV V u p p u

nK nK

31 1

1 1ss ss

f f

u pK K

n nK K

Imponendo la congruenza:

Riordinando: 3

1

1 ss

f

u uB

Kp nK


11

Considerando che Kw ( 2000 MPa) Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg ( 0), sarà:

• terreno saturo 11

1 ss

w

BK

nK

( è tutto ‘a carico dell’acqua’)

• terreno asciutto 10

1 ss

g

BK

nK

( è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)

• terreno non saturo

10,1

1 1ss ssr r

w g

BK K

nS n SK K

( ripartito tra le fasi)

Nei terreni non saturi, il coefficiente Bdipende quindi dalla combinazione di:

• porosità n• grado di saturazione Sr• rigidezza Kss dello scheletro solido

q

, ,p p u

0 0rS u

1rS u p

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - II


12

Applicazione di un incremento di deviatore 1 3 ad un terreno bifase

Dalla condizione 1 31 131 1ss ss

f f

u pK K

n nK K

risulta:

1 3

1 131 ss

f

uAB

KnK

Se il terreno è saturo, risulta e poiché B = 1,

Per ‘percorsi di estensione’ (q < 0)

13

AB 13

A

23

A

In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!Argilla sensitiva 0.7 – 1.5

Argilla molle 0.5 – 1.0

Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5

Argilla molto consistente ‐0.5 – 0.0

Valori sperimentali tipici di A:

q

, ,p p u

3q

u

q

Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III

si dimostra invece che

qIn ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale

23

u q


14Processi di consolidazione dei terreni saturi

Il flusso necessario per ristabilire l’equilibrio idraulico al contorno è associato a variazioni di porosità ( cedimenti) dello scheletro solido

Consolidazione = fenomeno idrodinamico transitorio tra condizioni di drenaggio impedito (t = 0) e libero (t = )

1) Flusso e deformazioni 1D2) Fluido non comprimibile3) Mezzo omogeneo e completamente saturo4) Incomprimibilità dei granuli solidi (i.e. granuli con rigidezza elevata; ρs= costante)5) Validità della legge di Darcy6) Comportamento elastico lineare dello scheletro solido7) Coefficiente di permeabilità costante nel tempo8) Carico applicato in maniera istantanea e costante (i.e. σz costante nel tempo)

Consolidazione monodimensionale ‐ Teoria di Terzaghi

ipotesi di base


15Equazioni di base: Legge di conservazione della massa

a) Conservazione della massa solida (1D: vs,x= vs,y= 0; vs,z = vs0):

1 1sn v nz t

wnv n

z t

b) Conservazione della massa liquida (1D: vw,x= vw,y= 0; vw,z = vw0):

w s s

n v v vz z

massa uscente massa entrante massa iniziale ‐ massa finaleunità di tempo unità di tempo unità di tempo

u e f im m m m

Equazione generale:

c) Mezzo bifase (somma delle equazione a e b)

1 1s wn v nv nnz z t t

f sv vz z

velocità di filtrazione: vf

①


16Equazioni di base: Legge di resistenza e Legame costitutivo

Legge di Darcy:

f zh

v kz

(kz = conducibilità idraulica lungo z)

0

w w w

uu uh

0f z

w w

u uv k

z z

zf

w

k uv

z

Essendo il carico h pari a:

Sostituendo: ②

= 0 se il fluido è inizialmente in condizioni idrostatiche

Legame costitutivo:1

z zed

d dE

(Eed = modulo di rigidezza edometrica )

Derivando le deformazione nel tempo:

1 zz

edt E t

Introducendo l’ipotesi 8:

0 0z z zu u ut t t t

1z

ed

ut E t ③


17Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

essendo w e kz costanti nel tempo e indipendenti da z (ipotesi 2 e 7)

derivando la ② e sostituendo nella ①, si ottiene:

2

2s z

w

v k uz z

essendo per definizione:

s s s zv s sz z t t z t

(NB: ss è lo spostamento; il segno negativo di zè per convenzione geotecnica)

l’equazione (*) diventa:

2

2z z

w

k ut z

2

2

1 z

ed w

ku uE t z

si ottiene l’equazione finale:2

2vu u

ct z

sostituendo (**) nella ③:

ed

vw

k Ecdove cv è chiamato ‘coefficiente di consolidazione verticale’:

(*)

(**)


19Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi

2

2vu u

ct z

2 1 edv

w

k Ec L T

L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :

avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale

ed è integrabile purché siano assegnate:

condizioni di drenaggio al contorno

distribuzione iniziale di sovrappressioni ū0(z)

(dall’analisi in condizioni non drenate)

La soluzione è rappresentabile mediante curve ūt(z) dette isocrone (distribuzioni di ū(z), fissato t).


20Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica

Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:

• sovraccarico uniforme ( isocrona iniziale rettangolare, ū0 = ) • drenaggio da entrambe le superfici ( ūt(0) = ūt(2H) = 0)

La soluzione analitica è:

20

0

2, sin 2 1

2n T

i

uu z t n Z e n i

n

zZ

H 2

vc tTH

dove si è posto e (fattore tempo)

(H = massimo percorso della particella d’acqua ½ altezza strato)

ū0

ū

z

2H

wū

z

ū(z,t)

t


21 Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale

Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali ū (Z, T)/


22Consolidazione monodimensionale – Il grado di consolidazione

In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:

• grado di consolidazione in termini di cedimento, Uw

• grado di consolidazione medio in termini di tensione, Uσ

( )w

c

w tU

w

2

0

1 ,2

H

t z dzH

U

22

0 0

1 12 2

1‐

HH

u t dz u t dzH H

U

area sottesa dall'isocrona ( ) area campita1 =

area rettangolo 2H area totalet

U


23 Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica

2

0

1,

H

ed

w t t z dzE

00, 0 0z w 2

ced

Hw

E

Nel caso elementare, e

Pertanto si verifica che Uw Uσ = U (il grado di consolidazione è unico)e la soluzione è esprimibile da un’unica curva U(T):

Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti‐tempi w:t) si ottiene:

1. fissando t determinando il corrispondente2. calcolando il valore U(T) w(t) = U(T)wc

2vc tTH

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U

2

2 edv v

w

kEu uc c

t z

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.001 0.01 0.1 1 10

Fattore tempo, T

Gra

do d

i con

solid

azio

ne, U


24

Equazione della consolidazione monodimensionale

La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)0.5

0.1792.8

4

41

TU

T

2

0.3575.6

/ 4

1v

UT

U

0.5 0.197UT

0.9 0.848UT

Curva di consolidazione teorica

2

/ 1c vw t w U T c t

Tu U T H


25Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati semplicemente o doppiamente drenati.

Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche

1. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato da entrambi i lati

Soluzione ③ = combinazione di ① e ②


26Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari

• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso

• per un fissato T, risulta: U③ > U① > U②

Sia la ③ che la ② presentano:

isocrone asimmetriche rispetto a metà strato

2. Isocrone iniziali triangolari, banco drenato solo da un lato

NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante

U(T) identiche al caso ①

Condizionidrenaggio Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 4. 15. ·...

Documents

Transcript of Condizionidrenaggio Condizioni di drenaggio nei terreni saturi · 2020. 4. 15. ·...