501

15 Onde meccaniche (29 problemi, difficoltà 93, soglia 65)

Formulario

Equazione delle onde di d’Alembert

2

x2

=1

v2

2

t2

,

dove x è la direzione di propagazione dell’onda, è lo spostamento della particella del mezzo e v la velocità di propagazione dell’onda. Velocità di un’onda

v =1

k,

dove k e sono rispettivamente il coefficiente di comprimibilità e la densità del mezzo in cui l’onda si propaga. A seconda del meccanismo di propagazione delle onde, risulta k = 1/p nel caso di meccanismo isotermico e k = 1/( p) nel caso adiabatico, dove p è la pressione e il coefficiente adiabatico. Equazione del raggio

(x , t) = f 1(x v t) + f 2 (x + v t), dove f1 ed f2 rappresentano due qualsiasi funzioni di x – v t e di x + v t, dette

rispettivamente onda progressiva e onda regressiva, propagantisi nella direzione rispettivamente positiva e negativa dell’asse x. Onda sonora piana sinusoidale

(x , t) = A sin2

(x v t) +

= A sin(k x - t + ) =

= A sin 2x t

T

+

,

502

dove A, ampiezza di spostamento , lunghezza d’onda

, pulsazione

k =

2, numero d’onda

T, periodo , costante di fase

Ampiezza di pressione in un’onda sonora piana sinusoidale

P = 2 v f A, con f frequenza dell’onda. Intensità di un’onda piana

I = 2 2 f 2 v A2 Livello di intensità sonora L’orecchio umano è sensibile a un ampio intervallo di intensità sonore, perciò si è ritenuto più comodo usare una scala logaritmica. Si definisce livello di intensità sonora di un suono di intensità I la quantità

= 10 lg

I

I0

,

dove I 0 = 1 pW/m2 è l’intensità del più debole suono percepibile da un

orecchio umano normale. Il livello di intensità sonora viene espresso in decibel (dB). Potenza di un’onda piana

W = 2 2 f 2 v A2 S, dove S è la superficie su cui incide l’onda. Interferenza

A = A1

2+ A2

2+ 2 A1A2cos ,

503

dove A è l’ampiezza risultante dalla sovrapposizione di due onde coerenti

sfasate di e di ampiezze A1 e A2.

In termini di intensità la precedente relazione, essendo l’intensità di un’onda direttamente proporzionale al quadrato dell’ampiezza, si può scrivere come

I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos .

Differenza di cammino sonoro

=2

Interferenza positiva

A = A1 + A2

= 2n

= n

Interferenza negativa

A = A1 A2

= (2n + 1)2

= (2n + 1)2

Battimenti

= 2 A sin 2 (

xfm t)

cos f b t,

dove se f1 ed f2 sono le frequenze (tra loro vicinissime) dei due suoni,

fm =

f 1 + f 2

2, fb = f 1 f 2

Equazione delle corde vibranti Coincide con l’equazione delle onde di d’Alembert

2

x2

=1

v2

2

t2

,

504

dove la velocità di propagazione dell’onda è ora espressa da

v =T

μ,

con T tensione e μ densità lineare della corda. Onde stazionarie

= 2 A sinkx cos t

Effetto Doppler Indicando con v la velocità del suono, con vA quella dell’ascoltatore e vS quella

della sorgente, ecco tutti i casi di moto relativo di ascoltatore e sorgente con le formule che correlano la frequenza percepita f con quella realmente emessa dalla sorgente, fo.

1. f = f 0

v + vA

v ascoltatore che si avvicina a sorgente ferma

2. f = f 0v vA

v ascoltatore che si allontana da sorgente ferma

3. f = f 0

v

v + vS

sorgente che si allontana da ascoltatore fermo

4. f = f 0

v

v vS

sorgente che si avvicina ad ascoltatore fermo

5. f = f 0

v vA

v + vS

ascoltatore e sorgente si allontanano

6. f = f 0

v + vA

v vS

ascoltatore e sorgente vanno uno incontro all'altro

7. f = f 0v vA

v vS

sorgente insegue ascoltatore

8. f = f 0

v + vA

v + vS

ascoltatore insegue sorgente

Tubi sonori in risonanza L, lunghezza del tubo

Tubo aperto chiuso fn= (2n + 1)

v

4L

505

Tubo aperto aperto fn=

n v

2L

(o chiuso chiuso)

Unità di misura SI Intensità di un’onda W/m2

Coefficiente di comprimibilità Pa–1

Densità lineare kg/m

Frequenza Hz

Numero d’onda m–1

Lunghezza d’onda m

Periodo s

Ampiezza di spostamento m

Ampiezza di pressione Pa

Livello di intensità sonora dB

Problemi svolti

15.1. Calcolare la velocità di propagazione adiabatica di un’onda sonora in una miscela di gas formata da n

1 = 6 mol di un gas perfetto monoatomico di peso

molecolare M1 = 16 g/mol e da n

2 = 4 mol di gas perfetto biatomico con M

2= 26

g/mol, entrambi a 0°C. (3)

______ La velocità di propagazione adiabatica di un’onda sonora in un gas perfetto con coefficiente adiabatico e di peso molecolare M è data da

v =

R T

M,

dove ed M devono essere calcolati come medie "pesate" sul numero di moli dei costituenti la miscela, ovvero

506

=n1 1 + n2 2

n1 + n2

=

65

3+ 4

7

510

= 1,56 ,

M =n1 M1 + n2 M2

n1 + n2

=6 16 + 4 26

10= 20

g

mol.

Si ha dunque

v =

1,56 8,31 273,15

20 10 3= 420,8

m

s.

15.2. Un’onda sonora di frequenza f = 440 Hz passa da un mezzo di densità 1=

2 unità SI a pressione p1 = 3 atm a un mezzo di densità

2 = 3 unità SI a

pressione p2 = 1 atm. Calcolare nei due mezzi, ipotizzando una propagazione

isotermica: a) velocità di propagazione, b) lunghezza d’onda, c) frequenza. (2)

______

a) La velocità di propagazione, supponendo un meccanismo isotermico, per il quale il coefficiente di comprimibilità k vale 1/p (vedasi Problema 12.4) vale

v =p

,

perciò

v1 =3 1,01 105

2= 389,2

m

s ,

v2 =1,01 105

3= 183,8

m

s.

b), c) La frequenza è una caratteristica della sorgente, quindi non varia passando da un mezzo all’altro, mentre la lunghezza d’onda risulta

1 =v1

f= 0,88 m ,

2 =v2

f= 0,42 m .

15.3. Una lastra di vetro di massa m = 2 kg si spezza sotto l’azione delle vibrazioni infrasonore di una lontana esplosione di frequenza f =10 Hz. Calcolare di quanto si flette tale lastra quando nel suo centro applichiamo una forza F = 30 N. (2)

______

507

La frequenza alla quale la lastra entra in risonanza è

f =

1

2

k

m,

dove k è la costante elastica della lastra. Applicando la legge di Hooke, la flessione della lastra risulta

x =F

k=

F

4 2m f 2=

30

4 9,87 2 100= 3,8 10

3m = 3,8 mm.

15.4. Un oggetto di massa mo in aria e densità

o = 8 g/cm3, in un liquido di

densità risulta avere una massa m = 0,8 mo; lo stesso liquido, se sottoposto a

una pressione p = 20 atm, riduce il proprio volume di 10–4 volte. Calcolare, ipotizzando un meccanismo di propagazione isotermico, la velocità di propagazione delle onde sonore in tale liquido.

(3) ______

Quando immergiamo l’oggetto nel liquido, il suo peso apparente m g è il risultante del peso reale e della spinta di Archimede, cioè

m g = mo g – g V,

da cui possiamo ricavare la densità del liquido:

=m o m

V=

m o m

m o

o= 1m

m o

o= 1600 unità SI.

Inoltre, per la legge di comprimibilità, il coefficiente di comprimibilità k è dato da

k =V

V p=

104

20 105

= 5 1011

Pa1.

Se ipotizziamo un meccanismo di propagazione isotermico, risulta

v isot =1

k=

1

5 10 11 1, 6 10 3= 354

m

s.

15.5. Una sirena di Seebeck è formata da un disco con 20 fori praticati lungo il bordo che ruota compiendo 20 giri/s. Se si indirizza sul bordo del disco un getto di aria compressa, quale sarà la frequenza del suono prodotto?

(1) ______

508

La frequenza degli impulsi di compressione o di rarefazione è data dal prodotto del numero dei fori del disco per il numero di giri al secondo con cui esso ruota; e questa sarà anche la frequenza del suono prodotto. Avremo allora

f = 20 impulsi/giro . 20 giri/s = 400 Hz. 15.6. Due mortai sono posti uno in posizione A, l’altro in posizione B, distanti 5 km uno dall’altro. Se l’ascoltatore in B spara, quello in A sente il rumore 15 s dopo aver visto il fuoco; se invece spara il mortaio A, l’ascoltatore in B sente il colpo 14 s dopo aver visto il fuoco. Se il vento spira nella direzione AB, calcolare: a) la velocità del suono in aria, b) quella del vento.

(3) ______

Per l’ascoltatore in A la velocità del suono è

V A =

5000

15= 333,3

m

s.

Per l’ascoltatore in B, avremo invece

VB =

5000

14= 357,1

m

s.

Dal momento che per l’ascoltatore in B la velocità del suono è maggiore, si deve concludere che il vento spira verso B. Indicando la velocità del suono in aria con V e quella del vento con v, deve essere:

V + v = 357,1

V v = 333,3,

da cui, sommando le due equazioni, ricaviamo

2 V = 690,4, mentre, sottraendo la seconda dalla prima, si ha

2 v = 23,8 e quindi a)

V = 345,2 m/s, b)

v = 11,9 m/s.

509

15.7. Una corda metallica è lunga l = 60 cm, ha massa m = 600 mg ed è sottoposta a una tensione T = 90 N. Calcolare: a) la velocità di un’onda trasversale nella corda, b) la frequenza del suono fondamentale e c) della seconda armonica.

(2) ______

a) Sarà

v =T

μ=

T l

m=

90 0, 6

6 10 4= 300

m

s.

b), c) Essendo fissi gli estremi, nella corda si deve instaurare un numero intero di mezze lunghezze d’onda, cioè dovrà essere

l = n2

= nv

2 f n

,

f n =n v

2 l.

Per n = 1 abbiamo la frequenza fondamentale, mentre per n = 3 abbiamo la seconda armonica, ovvero

f1 =

v

2 l=

300

1,2= 250 Hz, f 3 =

3v

2 l=

900

1,2= 750 Hz.

15.8. Una corda di massa m = 2,8 g è tesa tra i due morsetti di una chitarra distanti l = 70 cm. Calcolare: a) la tensione della corda necessaria per produrre un La (440 Hz), b) la massima velocità di propagazione dell’onda nella corda in corrispondenza a tale nota. (3)

______ a) Deve essere

f n =n

2 l

T l

m,

T =4 f n

2lm

n2.

Per fn = 440 Hz, abbiamo

T =

4 4402 0,7 2,8 10 3

n2

=1517,8

n2

N.

Si hanno quindi vari valori di T corrispondenti ai valori di n = 1,2,3..., che soddisfano tutti alla condizione richiesta:

T1 = 1517,8 N, T2 = 379,5 N, T3 = 168,6 N .......

510

b) La massima velocità di propagazione si ha in corrispondenza alla massima tensione che è 1517,8 N, perciò

vmax =T1l

m=

1517,8 0,7

2,8 10 3= 616

m

s.

15.9. Calcolare la frequenza di vibrazione di un diapason che, quando la velocità del suono vale v = 332 m/s, provoca la risonanza di una colonna d’aria lunga l = 30 cm, racchiusa in un cilindro con un’estremità aperta di diametro d = 4 cm. Si tenga conto che in prossimità dell’imboccatura del cilindro il fronte d’onda si incurva, il che equivale a considerare leggermente più lunga la colonna d’aria risonante, attribuendole una lunghezza l’ = l + +0,3 d.

(3) ______

La frequenza del diapason è espressa da f = v / , dove v e sono la velocità e la lunghezza d’onda del suono emesso. Trattandosi di un cilindro con un estremo aperto (quello superiore) e uno chiuso (il fondo), la lunghezza d’onda di risonanza è data da

= 4 l. La lunghezza d’onda di risonanza sarà quindi

= 4 l’. Per il nostro diapason otterremo:

= 4 l’ = 4 (l + 0,3 d) = 4 . (0,3 + 0,3 .4 .10–2) = 1,25 m e quindi

f =

v=

332

1,25= 265, 6 Hz.

15.10. Per determinare la velocità del suono in aria a temperatura ambiente si usa un tubo di risonanza. Un diapason di frequenza f1 = 200 Hz fa risuonare il

tubo quando il livello dell’acqua è s = 0,344 m sotto un indice di riferimento, mentre un secondo diapason di frequenza f2 = 400 Hz produce risonanza

quando l’acqua si trova r = 0,134 m sotto l’indice di riferimento. Calcolare la velocità del suono.

(2) _____

La lunghezza di risonanza per la frequenza fondamentale di un tubo aperto a un estremo e chiuso all’altro è pari a un quarto della lunghezza d’onda

511

dell’onda stazionaria. Se l è la distanza tra l’estremo aperto del tubo e l’indice di riferimento, deve essere

l + s =1

4

l + r =2

4,

dove

1 = v/f1, 2 = v/f2.

Sarà quindi

l + s =v

4 f 1

l + r =v

4 f 2

,

da cui

l =

f 2r f1s

f 1 f 2

=400 0,134 200 0,344

200= 7, 6 cm

e

v = 4 f1( l + s) = 800 0,420 = 336

m

s.

15.11. Una vibrazione si propaga con legge oraria

s(x , t) = 0,2 cos(5x 20 t), dove tutte le grandezze sono in unità SI. Calcolare: a) ampiezza, b) numero d’onda, c) lunghezza d’onda, d) frequenza, e) costante di fase, f) velocità di propagazione, g) la massima velocità delle particelle del mezzo in direzione perpendicolare all’asse x.

(4) ______

La legge oraria di un moto vibratorio si scrive solitamente nella forma

s(x , t) = A sin(k x - t + ), pertanto a)

A = 0,2 m, b)

k = 5 m–1,

512

c)

=

2

k=

6,28

5= 1,26 m,

d)

f =

2=

6,28

20= 0,31 Hz,

e)

= /2,

f) v = /T = f = 1,26 . 0,31 = 0,39 m/s. g) La velocità in direzione trasversale è

vt =

ds

dt= 4 sin(5x 20 t),

il cui massimo valore (ampiezza di velocità) è

vmax = 4 m/s.

15.12. Una particella oscilla lungo l’asse x con legge oraria, espressa in unità SI:

x = 0,1 sin 6,28 t. Calcolare il valor medio della velocità in un periodo.

(3) ______

Il periodo di oscillazione è

T =

2=

2

6,28= 1 s.

La velocità istantanea è

v =

dx

dt= 0, 628 cos 6,28 t

e il valor medio è

1 1 1

m0 0 0

6,286,28

00

1 1 0,6280,628cos6,28 cos6,28 (6,28 )

6,28

0,1 cos 0,1[sin ] 0.

v v dt t dt t d tT T

udu u

= = = =

= = =

15.13. Un’onda monocromatica piana di ampiezza A = 0,2 mm e frequenza f = 600 Hz si propaga in aria a pressione p = 1 atm a temperatura t = 13 °C.

513

Ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, calcolare l’intensità dell’onda. (3)

______ Sappiamo che l’intensità di un’onda piana è

I = 2 2 f 2 v A2, dove la velocità è espressa da

v =

R T

M,

dove il peso molecolare dell’aria vale M = 29 g/mol e il coefficiente adiabatico, essendo l’aria un gas biatomico, vale 7/5. Allora

I = 2 2 f 2 A2 R T

M= 2 2 f 2A2 p M

R T

R T

M= 2 2 f 2A2p

M

R T=

= 2 9,86 3, 6 105

4 108

1,01 105

1,42,9 10 2

8,31 286,15= 118,4

W

m2.

15.14. L’ampiezza di pressione della voce umana è P = 200 Pa. Calcolare l’ampiezza di spostamento della membrana del timpano di una persona che percepisce una voce di frequenza media f = 8 kHz in aria (densità = 1,29 unità SI) alla temperatura di 20 °C, ipotizzando un meccanismo isotermico di propagazione del suono.

(4) ______

L’ampiezza di spostamento è correlata a quella di pressione dalla relazione

A =

P k

2,

dove k è il coefficiente di comprimibilità del mezzo. Essendo = v/f e ricordando che nel meccanismo isotermico è

v =1

k,

si ha

A =

P

2 f v,

Per ricavare la velocità a 20° possiamo utilizzare la semplice relazione

v20 = v0

293,15

273,15= 332 1,035 = 343,8

m

s,

514

perciò

A =P

2 f v20

=200

6,28 8 103

343,8 1,3= 8 μm.

15.15. Due onde sonore coerenti di frequenza f = 2 kHz e ampiezze A1 = 10 μm

e A2 = 2 μm, interferiscono con sfasamento = 60° in aria a 0 °C. Calcolare: a)

l’ampiezza dell’onda risultante, b) la loro differenza di cammino sonoro. (4) ______

a)

A = A12 + A2

2 + 2 A1A2 cos = 100 10 12 + 4 10 12 + 2 20 10 12 0,5 =

= 11,1 10 6 m = 11,1 μm.

b)

=2

=v

2 f;

sapendo che la velocità delle onde sonore in aria a 0 °C è 332 m/s e che lo sfasamento espresso in radianti vale /3, si ricava

=

v

2 f=

v

6 f=

332

12000= 2, 77 cm.

15.16. Un ciclista percorre una pista circolare nel cui centro è posto un diapason che emette un suono di frequenza f = 5 kHz che si propaga con velocità v = 332 m/s. Se il ciclista parte dal punto A, dire per quali valori dell’angolo il ciclista percepirà la massima intensità sonora, sapendo che i rebbi del diapason distano d = 20 cm.

(3)

______

515

Mentre il ciclista percorre la pista, le onde emesse dai rebbi gli arrivano con una differenza di cammino

= C1 C2 = d cos . I rebbi di un diapason vibrano però in opposizione di fase, perciò la condizione di interferenza positiva è

= (2n +1)2

= (n +1

2)

v

f,

quindi

cos =2n + 1

2d

v

f= (2n +1) 0,166.

I valori cercati sono quelli corrispondenti a

n = 0 cos 0 = 0,166 0 = 80°27’

n = 1 cos 1 = 0,418 1 = 60°8’

n = 2 cos 2 = 0,830 2 = 33°54’

15.17. Una sorgente sonora emette un suono di frequenza f = 150 Hz e si sta allontanando da un ascoltatore fermo con velocità vS = 10 m/s dirigendosi

verso una parete rigida piana. Calcolare la frequenza dei battimenti percepiti dall’ascoltatore, assumendo per la velocità del suono in aria il valore 332 m/s.

(3) ______

Se v è la velocità del suono, l’ascoltatore percepisce per effetto Doppler un suono di frequenza

f1 =

v f

v + vS

=332 150

332 + 10= 145, 6 Hz.

La parete piana di fronte alla sorgente in moto riceve il suono come se fosse un ascoltatore fermo che vede avvicinarsi la sorgente; riflette perciò un suono di frequenza

f 2 =

v f

v vS

=332 150

332 10= 154, 6 Hz.

Le onde sonore emesse dalla sorgente e quelle riflesse dalla parete si sovrappongono originando battimenti di frequenza

f2 – f1 = 9 Hz.

516

15.18. Le automobili A,C,D,E si stanno avvicinando a un incrocio con velocità v1 = 72 km/h, mentre B viaggia con velocità v2 = 90 km/h. Se A suona il clacson

con frequenza fA = 400 Hz, calcolare le frequenze percepite: a) da B, b) da C, c)

da E, d) da D, e) dal vigile urbano U fermo all’incrocio. (4)

______

a) B si allontana da A, mentre A la insegue, quindi, secondo la formula dell’effetto Doppler [caso 7 del formulario]

f B = f A

332 25

332 20= 393, 6 Hz.

b), d) I due conducenti dei veicoli C e D, essendo la loro direzione di moto perpendicolare a quella di A, non sono soggetti a effetto Doppler quindi fC = fD =

400 Hz. c) L’ascoltatore E e la sorgente A vanno uno incontro all’altro, pertanto per la formula 6,

f E = 400

332 + 20

332 20= 451,3 Hz.

e) La sorgente A va incontro all’osservatore fermo U, quindi (caso 4)

fU = 400

332

332 20= 425, 6Hz.

15.19. Un treno emette un fischio di frequenza f = 500 Hz mentre sta viaggiando con velocità vS = 50 m/s. Quali sono le frequenze percepite da un

ascoltatore fermo A che vede avvicinarsi il treno e da un ascoltatore B,

517

anch’esso fermo, che lo vede allontanarsi (il treno si muove lungo la congiungente i due ascoltatori)? Un secondo treno sorpassa il primo muovendosi con velocità vO = 100 m/s.

Quali sono le frequenze del fischio del primo treno percepite da un osservatore C posto sul secondo treno prima e dopo il sorpasso? (Assumere per la velocità del suono in aria il valore v = 343 m/s). (4)

______ Per effetto Doppler, l’ascoltatore A percepisce una frequenza

f A =

v f

v vS

=343 500

343 50= 585,3 Hz.

L’ascoltatore B percepirà invece una frequenza

f B =

v f

v + vS

=343 500

393= 436,4 Hz.

Quando sorgente e ascoltatore sono in moto relativo le frequenze percepite sono

fC,prima

=v v

O

v vS

f =243 500

293= 414,7 Hz,

fC,dopo

=v v

O

v +vS

f =243 500

393= 309,2 Hz.

15.20. I motori di un jet emettono un suono di frequenza f = 10 kHz mentre l’aereo vola orizzontalmente alla velocità vS = 800 km/h. Tre persone ferme a

terra ne percepiscono il suono nelle tre posizioni A, B e C. Calcolare le tre frequenze percepite. (4)

______

È un caso di effetto Doppler con sorgente in moto e ascoltatore fermo. Tuttavia, la velocità della sorgente non è v

S, ma la componente di v

S nella direzione della

518

congiungente ascoltatore-sorgente, cioè vScos ; nella posizione A, di

avvicinamento, sarà

f A =f v

v vS cos 60 °=

104 332

332800

3, 60,5

= 15 kHz;

nella posizione B la componente v

S cos è nulla, quindi la frequenza percepita

sarà f. Nella posizione C, di allontanamento, abbiamo invece

f C =f v

v + vS cos45 °=

104 332

332 +800

3, 6

2

2

= 6,79 kHz.

15.21. Un diapason di frequenza f = 380 Hz si allontana da un ascoltatore avvicinandosi a un ostacolo con velocità vS = 5 m/s. Calcolare: a) la frequenza

delle onde percepite dall’ascoltatore, b) la frequenza delle onde che raggiungono l’ascoltatore dopo essersi riflesse sull’ostacolo, c) la frequenza dei battimenti prodotti (assumere per la velocità del suono in aria il valore v = 332 m/s). (4)

______ a)La frequenza percepita quando la sorgente è in moto rispetto all’ascoltatore è

f ' = f

v

v ± vS

.

Quando il diapason si allontana dall’ascoltatore avvicinandosi all’ostacolo, avremo

f1 = f

v

v + vS

= 380332

337= 374,4 Hz.

b) Le onde riflesse dall’ostacolo verranno percepite con frequenza

f 2 = f

v

v vS

= 380332

327= 385,8 Hz.

c) La frequenza dei battimenti sarà

fb = f2 – f1 = 11,4 Hz.

15.22. Una corda tesa di massa m = 30 g i cui estremi fissi distano L = 60 cm vibra con frequenza fondamentale f = 30 Hz e l’ampiezza dei ventri è A = 1,5 cm. Calcolare: a) la velocità di propagazione di un’onda trasversale sulla corda; b) la tensione della corda. c) Scrivere l’equazione dell’onda. (3)

______

519

a) Essendo la corda fissa gli estremi, nella sua lunghezza deve essere contenuto un numero intero di mezze lunghezze d’onda, perciò deve essere

L = n

2=

n v

2 f;

la frequenza fondamentale corrisponde a n = 1, quindi

v = 2 f L = 36

m

s.

b) La velocità di propagazione è anche espressa da

v =T

μ=

T L

m,

quindi

T =

m v2

L=

3 10 2 362

0, 6= 64,8 N.

c) L’equazione dell’onda stazionaria instauratasi nella corda è, in unità SI:

y = 2A sink x cos t = 2A sin2

x cos2 f t =

= 2A sin2

2Lx cos2 f t = 3 10

2sin1,67 x cos60 t.

15.23. Una corda da pianoforte lunga l = 50 cm e di massa m = 5 g è tesa con una tensione T = 400 N. Calcolare: a) la sua frequenza fondamentale, b) il numero della più alta armonica che può percepire una persona che può udire frequenze fino a fmax = 10 kHz.

(3) ______

a) La frequenza di una corda fissa agli estremi è data dalla formula

f n =n v

2 l=

n

2 l

T

μ=

n

2 l

T l

m=

n

2

T

m l.

Per n = 1 abbiamo la frequenza fondamentale

f1 =1

2

400

5 10 3 0,5= 200 Hz.

520

b) Il numero dell’armonica più alta percepibile dalla persona si ricava dalla disuguaglianza

fmax >n

2

T

m l. = 200 n,

n <f max

200= 50.

La massima armonica percepibile sarà quindi la 49-sima. 15.24. Un lungo tubo aperto a un estremo e chiuso all’altro da un pistone mobile contiene aria (peso molecolare M = 29 g/mol) a pressione p = 1 atm e temperatura t = 77 °C. Un diapason di frequenza f = 500 Hz viene fatto vibrare in corrispondenza dell’estremo aperto e si ode risonanza quando il pistone dista da tale estremo rispettivamente d1 = 18,0 cm, d2 = 55,5 cm e d3 = 93,0

cm. a) Calcolare la velocità in aria a 77 °C. b) Stabilire se il meccanismo di propagazione del suono è isotermico o adiabatico.

(4) ______

a) La condizione di risonanza di un tubo sonoro aperto a un estremo e chiuso all’altro è

f n = (2n + 1)

v

4d,

da cui, sostituendo nell’ordine le tre distanze date per n = 0, 1 e 2, ricaviamo per la velocità i seguenti valori

v =4df

2n + 1=

2000 d1 = 360m

s

2000d2

3= 370

m

s

2000d3

5= 372

m

s.

Possiamo assumere come velocità del suono la media aritmetica dei tre valori, cioè

v = 367,3 m/s. b) La velocità del suono in un gas vale

v =1

k,

pertanto ricaviamo il coefficiente di comprimibilità

k =1

v2=

R T

p M v2=

8,31 350,15

1,01 105 29 10 3 (367,3)2= 7,36 10

6Pa

1.

521

Se il meccanismo di propagazione fosse isotermico, dovrebbe risultare kiso =

1/p, mentre se fosse adiabatico dovrebbe essere kad = 1/( p), dove è il

coefficiente adiabatico dell’aria (trattandosi di un gas biatomico, = 7/5 = 1,4). Dal valore trovato per k risulta che il meccanismo di propagazione è adiabatico con = 1,35, quindi con buona approssimazione. 15.25. Un cilindro di alluminio (densità 2700 unità SI) è fissato a un filo di acciaio e la frequenza fondamentale delle onde stazionarie sul filo è f1 = 300

Hz. Se il cilindro viene immerso per metà in acqua (densità 1000 unità SI), quale sarà la nuova frequenza fondamentale?

(3) ______

La frequenza fondamentale delle onde stazionarie nel filo è

f1 =1

2

T

m l,

dove T, m ed l sono rispettivamente la tensione, la massa e la lunghezza del filo. L’immersione in acqua fa modificare la tensione del filo in quanto ora sul cilindro agisce la spinta di Archimede FA operata dall’acqua. Possiamo allora

scrivere, indicando con T’ la nuova tensione del filo che la nuova frequenza fondamentale è

1 1

'' .

Tf f

T=

Ma la tensione del filo in aria coincide col peso M g del cilindro, mentre in acqua sarà, indicando con Al e a le densità dell’alluminio e dell’acqua

T’ = M g – FA = Al V g – a (V/2) g.

Sarà quindi

f1'= f 1 1 a

2 Al

= 300 11

5,4= 270,8 Hz.

15.26. Assumendo un’intensità di riferimento I0 = 10 pW/m2, calcolare: a) il

livello di intensità in dB di un’onda sonora di intensità I1= 1 μW/m2, b) il

livello di intensità di un’onda sonora in aria avente ampiezza di pressione P = 0,2 Pa.

(4)

522

______ a)

= 10 lg

I1

I0

= 10 lg10 6

10 12= 10 lg10

6= 60 dB.

b)

I =P

2

2 v=

0,04

2 1,3 332= 46

mW

m2,

che, espresso in dB, corrisponde a

' = 10 lg

46 10 6

10 12= 10 lg 46 10

6= 99,8 dB.

15.27. Due altoparlanti A e B emettono suoni di frequenza f = 173 Hz uniformemente in tutte le direzioni. A emette una potenza acustica WA = 800

μW, mentre quella di B è WB = 1350 μW. Calcolare: a) la differenza di fase in un

punto C a distanza d1 = 3 m da B e d2 = 4 m da A; b) l’intensità in C dovuta ad

A se si spegne l’altoparlante B; c) l’intensità in C dovuta a B se si spegne A; d) l’intensità in C quando funzionano entrambi gli altoparlanti. (Si assuma per la velocità del suono il valore v = 446 m/s). (5)

______ La sovrapposizione delle due onde con la stessa frequenza nel punto C origina un fenomeno di interferenza. a) In base alla relazione tra differenza di cammino e sfasamento, tenendo conto che la differenza di cammino in C è = 1 m e che = v/f, otteniamo

= 2 = 2

f

v=

6,28 1 173

346= rad.

Le due onde nel punto C sono dunque in opposizione di fase. b) Dato che potenza emessa da A si distribuisce uniformemente su una superficie sferica di area

S2 = 4 d2

2

, l’intensità prodotta in C dal solo altoparlante A sarà

IA =W A

S2

=WA

4 d22

=800

12,56 164μW

m2.

c) Allo stesso modo l’intensità prodotta in C dal solo altoparlante B sarà

523

IB =WB

S1

=WB

4 d12

=1350

12,56 911,9

μW

m2.

d) Applicando la formula dell’interferenza

I = IA + IB + 2 IA IB cos

con cos = –1, si ricava

I = 4 +11,9 2 4 11,9 = 15,9 13,8 = 2,1

μW

m2.

Si tratta quindi di un caso di interferenza negativa per effetto del quale nel punto C si percepisce, nonostante la sovrapposizione dei suoni dei due altoparlanti, un intensità sonora inferiore sia a quella del primo sia a quella del secondo.

15.28. Una finestra di superficie S = 2 m2 è aperta su una strada il cui rumore, all’altezza della finestra ha un livello di intensità = 60 dB. Calcolare la potenza acustica che entra da tale finestra.

(4) ______

Possiamo scrivere, dalla definizione del livello di intensità sonora,

60 = 10 lgI

I0

,

lgI

I0

= 6,

I = 106I0 = 106 10 12 W

m2= 1

μW

m2.

Essendo l’area della finestra di 2 m2, la potenza acustica entrante sarà

W = 2 μW. 15.29. Un ascoltatore si allontana con velocità costante vA = 25 m/s da una

sorgente; se nella direzione di moto esiste un gradiente termico costante G = –0,1 °C/m. Calcolare: a) a quale distanza dalla sorgente l’ascoltatore non percepirà più il suono; b) quale sarà il meccanismo di propagazione del suono. La velocità del suono nel punto di partenza è v = 340 m/s e la temperatura dell’aria è T = 290 K.

(3) ______

524

a) Non essendo precisato il meccanismo di propagazione delle onde sonore, scriviamo la velocità di propagazione come

vs =

k R T

M,

dove k è una costante da determinare. All’inizio del moto sarà vs = v, mentre

dopo una distanza x sarà

vs

'=

k R(T + x G)

M=

k R T

M+

k R x G

M= v

2+

v2x G

T= v 1 +

x G

T.

L’ascoltatore non percepirà alcun suono quando

vA> v

s

',

vA> v 1+

x G

T,

b) Per stabilire il valore di k, riprendiamo in esame l’espressione di vs,

inserendo il peso molecolare dell’aria (M = 29 g/mol) e ottenendo

x >T

G

vA

2

v2

1 ,

x >290

0,1

252

3402

1 = 2884m.

k =M vs

2

R T=

29 10 3 3402

8,31 290= 1,39.

Essendo l’aria un gas biatomico, per cui il coefficiente adiabatico vale 7/5, possiamo ritenere con ottima approssimazione che il meccanismo di propagazione del suono sia adiabatico.