Esercizi 08 Meccanica dei fluidi -...
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268 8 Meccanica dei Fluidi (74 problemi, difficoltà 212, soglia 148) Formulario Pressione p = dF n dS , ovvero la derivata del componente normale della forza agente rispetto alla superficie. Principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in equilibrio la pressione in un punto è indipendente dalla giacitura e dall’orientazione della superficie passante per quel punto. Principio di Pascal La pressione supplementare esercitata in un punto di un fluido si trasmette inalterata a tutta la massa fluida. Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. In formula: F A = g V, dove è la densità del fluido, g l’accelerazione di gravità e V il volume del corpo immerso. Tensione superficiale = dF dl = dL dS ,
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8 Meccanica dei Fluidi
(74 problemi, difficoltà 212, soglia 148)
Formulario
Pressione
p =
dFn
dS,
ovvero la derivata del componente normale della forza agente rispetto alla superficie. Principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in equilibrio la pressione in un punto è indipendente dalla giacitura e dall’orientazione della superficie passante per quel punto. Principio di Pascal La pressione supplementare esercitata in un punto di un fluido si trasmette inalterata a tutta la massa fluida. Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. In formula:
FA = g V,
dove è la densità del fluido, g l’accelerazione di gravità e V il volume del corpo immerso.
Tensione superficiale
=
dF
dl=
dL
dS,
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ovvero la forza specifica lineare necessaria per tenere uniti i lembi di un ipotetico taglio praticato sulla membrana di una superficie liquida oppure il lavoro compiuto per unità di superficie di una lamina liquida per mantenerne minima la superficie contro forze esterne tendenti a deformarla. Formula di Laplace
p0 = p ±1
R1
+1
R2
,
dove po è la pressione interna, p la pressione esterna, R1 ed R2 i raggi di
curvatura misurati lungo due sezioni perpendicolari alla superficie; il segno + vale per menischi convessi, il segno – per quelli concavi. Nel caso di una superficie sferica di raggio R
p0 = p ±
2
R,
mentre nel caso di una bolla
p0 = p +
4
R.
Legge di Jurin-Borelli
h =
2 cos
r g,
dove h è il dislivello del liquido di tensione superficiale e angolo di raccordo con le pareti del capillare in un capillare di raggio r rispetto alla superficie libera del liquido nel contenitore in cui il capillare è immerso (h > 0, innalzamento, per compreso tra 0 e 90°, h < 0, abbassamento, per compreso tra 90° e 180°). Legge di Newton sulla viscosità
F = A
dv
dx,
dove F è la forza viscosa che si esercita tra due strati contigui di liquido di sezione A, il coefficiente di viscosità dinamica del liquido, dv la differenza infinitesima di velocità tra i due strati e dx lo spessore infinitesimo di uno strato.
270
Legge di comprimibilità
dV = – k V dp, dove dV è la variazione infinitesima di volume di un fluido di volume iniziale V sottoposto a una pressione additiva dp e k il coefficiente di comprimibilità. Equazione di continuità Se A è la sezione di un condotto nel quale scorre con velocità v un fluido di
densità :
– la portata di massa QM = A v = costante;
– la portata di volume QV = A v = costante (valida se il fluido è omogeneo).
Principio di Bernoulli
p +1
2v2
+ g h = costante,
p
g+
v2
2g+ h = costante,(valido solo per fluidi omogenei),
dove
1
2v2
= pressione dinamica,
g h = pressione idrostatica,
h = altezza geometrica,
v2
2g= altezza di arresto,
p
g= altezza piezometrica.
Legge di Torricelli La velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato sul fondo di un recipiente contenente liquido fino alla quota h, se A e a sono le sezioni del recipiente e del forellino è data da
veff =2gh
1a2
A2
.
271
Leggi di Poiseuille
v(r ) =p
4 l(R2 r 2) I legge
QV
=R4 p
8 lII legge,
dove l ed R sono rispettivamente la lunghezza e il raggio del capillare, il coefficiente di viscosità del liquido, r la distanza dall’asse del capillare e p la differenza di pressione ai suoi estremi. Legge di Stokes
F = 6 r v, valida per un corpo sferico di raggio r di piccole dimensioni in moto con velocità v in un mezzo di coefficiente di viscosità .
La velocità limite di un tale corpo, dette ed o le densità del corpo e del
mezzo in cui cade è
vlim =
2 r2g( 0 )
9.
Unità di misura Pressione pascal (Pa), bar,
millimetro di mercurio (mmHg) Tensione superficiale newton al metro (N/m) Coefficiente di viscosità Pa s = daP = kg/(m s), poise (P)
Coefficiente di comprimibilità Pa–1 Portata di massa kg/s
Portata di volume m3/s, l/s
272
Problemi svolti
8.1. Con riferimento al Problema 7.28, calcolare quante molecole d’acqua incidono su 1 cm2 della sponda del Nilo.
(2) ______
L’acqua del fiume esercita sulle sponde una pressione dinamica p = v2/2 che per il principio di isotropia delle pressioni possiamo calcolare come
F N/S, dove N è il numero totale di molecole, F la forza esercitata dalla singola molecola, già calcolata nel citato Problema 7.28 ed S la sezione su cui essa viene esercitata. Uguagliando le due espressioni otteniamo
N =
v2S
2F=
103 900 10 4
2 2,18 10 29= 2,06 10
30molecole.
8.2. Un recipiente cilindrico di altezza h contiene acqua fino a una quota d (< h). Se viene posto in rotazione attorno al proprio asse, stabilire qual è la forma della superficie libera del liquido.
(4)
______
273
Mettiamoci dal punto di vista di un osservatore relativo R (non inerziale) solidale con il recipiente in rotazione. Per tale osservatore una molecola del liquido è sottoposta a due forze, una assoluta, il peso m g, e una di trascinamento, di natura centrifuga, m 2 r, dove r è il vettore posizione della molecola rispetto all’asse di rotazione. Perché la superficie liquida sia di equilibrio, il risultante delle due forze deve essere in ogni punto perpendicolare alla superficie stessa e l’angolo formato con la verticale sarà dato da
tan =
2r
g.
Per calcolare la forma della superficie, facciamo notare che essa deve essere equipotenziale. Il potenziale della forza peso, assumendo un asse z orientato verso l’alto, vale V = – m g z, mentre il potenziale della forza centrifuga di trascinamento a distanza r dall’asse vale
Vc= F
cdr =
0
r
m2r dr =
0
r 1
2m
2r2,
essendo la stessa per tutte le molecole del liquido. Dovrà quindi essere
m g z +1
2m
2r
2= costante,
o anche
g z +
2
2(x2
+ y2 ) = costante,
che rappresenta l’equazione di un paraboloide di rotazione attorno all’asse z. La superficie libera cercata è dunque un paraboloide di rotazione, come è facile verificare per esempio nella centrifuga per gelati o per il burro. 8.3. a) Quale forza si deve esercitare sulle pareti del collo di una bottiglia di sezione A = 4 cm2 perché il tappo non scappi quando i gas di fermentazione liberatisi esercitano una pressione p = 2 atm, se il coefficiente di attrito tra tappo e vetro vale μ = 0,5? b) Se tale forza viene esercitata mediante una tappatrice lunga l = 50 cm e il cui perno di compressione dista d = 20 cm dal fulcro, quale forza ha dovuto applicare l’imbottigliatore sull’estremo libero dell’asta?
(3) ______
a) La forza normale agente sulle pareti del collo sia F; la forza di attrito sarà allora μ F e deve essere
p A < μ F,
274
e quindi
F >p A
μ=
2,02 105 4 10 4
0,5= 162 N.
b) Assumendo come polo lo snodo O, dovranno essere uguali il momento della forza esercitata dall’imbottigliatore e quello della forza resistente esercitata dal tappo, ovvero
F d = Fo l,
e quindi
F
o=
F d
l=
162 20
50= 64,8 N.
8.4. Una diga ha la parete inclinata di un angolo = 45° ed è riempita d’acqua fino all’altezza h = 30 m. Calcolare: a) la forza agente sulla parete, sapendo che la sua larghezza è l = 60 m; b) il punto di applicazione di tale forza.
(4)
275
______ a) La pressione agente nei vari punti del profilo OA della parete varia con la quota per il principio di Stevino. Per calcolare la forza dobbiamo ricorrere al calcolo integrale; assumendo un asse y orientato verso l’alto, la forza infinitesima dF esercitata perpendicolarmente su un elemento di parete di spessore dr a distanza r da A sarà
dF = p dS = g r sin dS = g l r sin dr. Integrando con r che varia da 0 a h/sin , otteniamo
F = g l sinr2
20
h/sin
=g l
2
h2
sin=
103 9,8 60
2
900
0,707= 375 kN.
(1) b) Per calcolare il punto di applicazione della forza F, ricaviamo il momento meccanico di tale forza rispetto al polo O; non essendo F costante, dobbiamo scrivere il momento meccanico infinitesimo della forza infinitesima applicata sulla striscia di spessore dr e poi integrare
dMO =h
sinr
dF,
MO =h
sinr
0
h/sing l sin r dr = g l sin
h
sin
h2
2 sin2
h3
3 sin3
=
=g l h3
6 sin2.
Essendo il risultante delle forze agenti sulla parete dato, per la (1), da
F =
g l
2
h2
sin,
il momento meccanico si potrà scrivere come
MO =1
3
h
sinF ,
quindi il braccio della forza risultante è h/(3 sin ). Il punto di applicazione del risultante si trova quindi a una distanza dal polo O pari a
b =h
3 sin= 14,2 m.
276
8.5. Un bottiglione di altezza Ho = 35 cm viene riempito parzialmente d’acqua,
quindi capovolto, tenendolo chiuso con il palmo della mano in un lavello pieno d’acqua in modo da restare immerso per un tratto l = 6 cm. In tali condizioni al di sopra dell’acqua si forma uno spessore d’aria h0 = 8 cm. Ipotizzando
un’espansione isotermica dell’aria quando, tolta la mano, l’acqua comincia a defluire dal bottiglione, determinare, assumendo i valori standard dell’accelerazione di gravità g e della pressione atmosferica p0, la minima
altezza hA dell’acqua nel bottiglione capovolto perché l’acqua possa defluire dal
bottiglione. (3)
______
L’acqua può defluire se la somma della pressione dell’aria e dell’acqua interne al bottiglione supera la pressione p1 alla quota l sotto al pelo libero dell’acqua
nel lavello, ovvero se
paria + g hA > p1,
paria + g hA > p0 + g l.
Essendo il processo isotermico:
p0V 0 = pariaV ,
paria =p0V 0
V=
p0h0
H0 hA
,
e quindi
p0h0
H0 hA
+ g hA > p0 + g l,
g hA2 hA ( g H0 + g l + p0 ) ( p0h0 g l H0 p0H0 ) < 0.
Risolvendo la corrispondente equazione, si ha:
hA =
g (H0 + l) + p0 ± ( gH0 g l p0 )2 + 4 g p0h0
2 g,
277
e la soluzione della disequazione è
hA >
g (H0 + l) + p0 ( gH 0 g l p0 )2 + 4 g p0h0
2 g,
quindi il minimo valore di hA sarà
hAmin
=
g (H0+ l) + p
0( gH
0g l p
0)2 + 4 g p
0h
0
2 g=
=103 9,8 0,41+1,01 105
2 103 9,8
+(9,8 103 0,29 1,01 105)2 + 4 103 9,8 1,01 105 8 10 2
2 103 9,8=
=105018 99,5 108
1,96 104=
105018 99750
1,96 104= 0,27 m = 27 cm.
8.6. Se la pressione in ciascuna delle quattro gomme di un’auto di massa m = 1000 kg è p = 180 kPa, quale superficie di ogni gomma sarà a contatto con il terreno?
(2) ______
La pressione a cui è soggetta ogni gomma è la somma di p e della pressione atmosferica, quindi la pressione effettiva è p + patm= 281 kPa e allora, dalla
definizione di pressione
S =m g
p=
250 9,8
2,81 105= 87 10
4 m
2= 87 cm
2.
8.7. Un rubinetto di portata QV = 1 l/s immette acqua in un recipiente che reca
sul fondo un foro di sezione s = 3 cm2. Supponendo un regime stazionario, calcolare: a) l’altezza a cui si dispone in equilibrio l’acqua nel recipiente, quando cioè la quantità entrante nell’unità di tempo coincide con quella uscente; b) la velocità di efflusso dal foro sul fondo.
(3) ______
a) In tali condizioni, la velocità di abbassamento del pelo libero sarà nulla e quindi, per il teorema di Bernoulli:
2 ,av = gh
278
ma
,Va
Qv =
s
perciò
h =Q
V2
2g s2=
10 6
19,6 9 10 8= 0,57 m = 57 cm .
b)
va=
QV
s=
10 3
3 10 4= 3,3
m
s.
8.8. La prima legge di Poiseuille assume come ipotesi semplificatrice che le molecole di liquido a contatto con le pareti del condotto siano ferme e ricava l’espressione della loro velocità v in funzione della distanza dall’asse del condotto. a) Se volessimo attribuire alle molecole un valor medio di velocità vm
uguale a qualsiasi distanza dall’asse, quale valore dovremmo assumere per vm?
b) Quale sarebbe l’espressione della portata di volume di tale condotto in funzione di vm e della sezione S ? (4)
______ a) Sappiamo essere, a distanza r dall’asse di un condotto di raggio R,
v =
p
4 l(R
2r
2). (1)
Il valor medio nel tratto di condotto tra la parete e l’asse è dato, per la definizione stessa di valor medio, da
vm =1
Rv dr
0
R=
1
R
p
4 l0
R(R
2r
2)dr =
p
4 l R 0
R(R
2r
2)dr =
=p
4 l RR2r
r3
3
0
R
=p
4 l
2R2
3=
2
3vmax ,
(2) dove vmax è la velocità in corrispondenza all’asse del condotto.
b) Dividendo membro a membro l’espressione della portata di volume della seconda legge di Poiseuille per quella della velocità vmax, si ottiene
QV
vmax=
R2
2,
QV =1
2S vmax ,
e, per la (2):
QV =
3
4S vm.
279
8.9. Un oggetto in aria pesa 300 N, mentre in acqua ne pesa 200 N. Calcolare densità e volume dell’oggetto. (2)
______ Possiamo trascurare la spinta di Archimede esercitata sull’oggetto dall’aria e scrivere, indicando con la densità dell’oggetto, a quella dell’acqua e con V il
volume dell’oggetto
V g = 300 N,
( - a )V g = 200 N,
da cui, con semplici passaggi, si ricava
= 3 a = 3000 kg
m3
,
V = 10,2 l.
8.10. Un recipiente cilindrico chiuso, di sezione S = 300 cm2 e altezza ho = 2,5
m è completamente pieno di un liquido di densità = 6000 unità SI. Se si pratica in A un foro sufficientemente piccolo da poter considerare molto lento l’abbassamento del pelo libero del liquido, calcolare: a) la quota del pelo libero quando l’efflusso del liquido è cessato; b) supponendo che il liquido fuoruscito da A venga raccolto in un secondo recipiente cilindrico aperto di sezione S1 = 750 cm2, calcolare la quota del pelo libero nel primo recipiente a equilibrio raggiunto. (In entrambi i casi la pressione esterna è quella atmosferica.)
(4)
a) L’efflusso del liquido cessa quando la pressione idrostatica del liquido interno al recipiente uguaglia la pressione atmosferica agente sul foro, ovvero quando
gh = po,
h =po
g=1,01 10
5
6 1039,8
= 1,72 m.
280
b) Dobbiamo innanzi tutto imporre che il volume di liquido distribuito nei due recipienti coincida con quello contenuto nel primo recipiente quando è pieno, cioè, con riferimento alla figura e considerando il primo recipiente appoggiato sul fondo del secondo:
ho S = h1 S + h2 (S1– S). (1)
Dobbiamo poi imporre che la differenza tra le pressioni idrostatiche nei due recipienti uguagli la pressione atmosferica, cioè
po = g (h1 – h2). (2)
Ricavando h2 dalla (1) e sostituendolo nella (2), si ha poi
h1= h
o
S
S1
+p
o(S
1S )
gS1
= 1+1,01 105
6 103 9,8(1
3
7,5) = 2,03 m.
8.11. Una vasca di sezione quadrata di lato l = 60 cm, piena d’acqua fino ad altezza h = 10 cm dal bordo, è trasportata su un furgone. a) Qual è la massima decelerazione di frenata che il guidatore può imprimere al furgone perché l’acqua non debordi dalla vasca, supponendo che la vasca non si sposti sul pavimento del furgone? b) Con tale valore di decelerazione, qual è il minimo coefficiente di attrito tra vasca e furgone perché durante la frenata la vasca non si sposti?
(3)
______
a) Se il furgone è in moto verso destra, indicando con aT la decelerazione di
frenata, dal teorema delle accelerazioni relative, l’accelerazione relativa di una molecola d’acqua sarà
aR = g – aT.
Tale accelerazione deve essere perpendicolare alla superficie libera del liquido (se non lo fosse la componente lungo la superficie metterebbe in moto le molecole, contro l’ipotesi che si tratti di una superficie in equilibrio relativo).
281
Dovrà allora essere
tan =h
l /2=
aT
g,
aT =2h
g l=
2 0,1
9,8 0, 6= 3,27
m
s2
.
La decelerazione di attrito sul pianale orizzontale del furgone vale μ g e, affinché la vasca non si sposti, deve essere
μ g > aT,
e quindi
μ >aT
g=
1
3= 0,33.
8.12. Una bottiglia vuota di massa m = 500 g immersa in un lavello pieno d’acqua fino al livello s = 14 cm non resta in equilibrio, ma tende a capovolgersi. Calcolare la minima quantità d’acqua (densità = 1000 unità SI) che è necessario introdurre nella bottiglia perché questa, immersa nel lavello, resti appoggiata verticalmente sul fondo, sapendo che il raggio della bottiglia è r = 4 cm.
(3)
______
La bottiglia resterà in equilibrio se il peso complessivo dell’acqua immessa e della bottiglia vuota sarà almeno uguale alla spinta di Archimede agente sulla parte di bottiglia immersa. È però necessario avanzare l’ipotesi semplificatrice che il livello dell’acqua dopo aver immerso la bottiglia resti inalterato, il che vuol dire supporre che il volume d’acqua contenuto nel lavello sia molto maggiore del volume immerso della bottiglia. In tal caso possiamo scrivere
m g + m ' g r2s g,
da cui
m ' r2s m = 103 3,14 16 10 4 14 10 2 0,5 = 0,203 kg.
282
Se il volume immerso della bottiglia non è trascurabile rispetto al volume d’acqua contenuto nel lavello, si deve tener conto che l’immersione della bottiglia creerà un aumento del livello dell’acqua nel lavello. Dette S la sezione del lavello ed s’ il nuovo livello dell’acqua, sarà
S s = (S r2)s' ,
s' =S s
S r2
.
Nella precedente relazione per il calcolo di m’ si dovrà utilizzare s’ al posto di s. 8.13. Un uomo si tuffa da una boa di massa m = 80 kg e sezione S = 1 m2 in quiete sull’acqua marina (densità = 1030 unità SI). Trascurando qualsiasi attrito, compresa la viscosità dell’acqua, calcolare il periodo di oscillazione della boa dopo il tuffo dell’uomo.
(4) ______
Dopo il tuffo dell’uomo, la boa è sottoposta a una minore spinta di Archimede, in quanto diventa minore la parte immersa a causa del minor peso complessivo da equilibrare. Indicando con h la parte immersa inizialmente e con y lo spostamento verso l’alto dopo il tuffo, la legge di moto della boa sarà, lungo un asse y orientato verso l’alto:
m a = m g + S g (h y),
da cui
m a + S g y = ( S h m ) g,
equazione differenziale di un moto armonico semplice con pulsazione
=
S g
m
e periodo
T =2
= 2m
S g= 0,56 s.
8.14. Una tavoletta omogenea di legno (densità 1 = 900 unità SI) di volume V1
= 170 cm3 galleggia completamente immersa in un liquido di densità con la superficie superiore radente al pelo libero del liquido recando appesa mediante un filo ideale una sferetta di alluminio ( 2 = 2700 unità SI) di volume V2 = 10
cm3. Calcolare: a) , b) la tensione del filo. (3)
283
______
a) In condizioni di equilibrio il peso complessivo della tavoletta e della sferetta deve uguagliare la somma delle spinte di Archimede agenti su esse:
1 V1 g + 2 V2 g – (V1 + V2) g = 0,
da cui
=
1V1 + 2V2
V1 + V 2
=900 170 + 2700 10
180= 1000
kg
m3.
b) Utilizziamo il cosiddetto diagramma di corpo libero, scrivendo le condizioni di equilibrio della sferetta, che è soggetta al peso orientato verso il basso, alla tensione T del filo e alla spinta di Archimede, entrambe verso l’alto:
T = 2 V2 g – V2 g = V2 g ( 2 – ) = 10–5.9,8 .1,7 .103 = 0,17 N.
Avremmo ottenuto lo stesso risultato scrivendo le condizioni di equilibrio della sola tavoletta. 8.15. Le gocce di pioggia cadono sul vetro di una finestra a un angolo = 30° rispetto alla verticale con velocità v = 20 m/s. Se la densità dell’acqua è =
1000 unità SI, la concentrazione delle gocce di pioggia è c =104 gocce/m3 e se ogni goccia ha un volume V = 32 mm3, calcolare la pressione esercitata sulla lastra di vetro: a) quando le gocce, dopo l’urto, scivolano lungo la lastra, b) quando le gocce rimbalzano a un angolo uguale a quello di incidenza. (4)
284
______
a) Sia Fn è la forza normale esercitata da una goccia sul vetro; dato che la
goccia non rimbalza sul vetro ma vi si deposita sopra, la variazione di quantità di moto della goccia in direzione normale al vetro sarà –m vn e quella della
lastra (ricevuta sotto forma di impulso) sarà m vn.
La relativa pressione, indicando con A la sezione del getto di pioggia, sarà
p =
Fn
A=
1
A
q
t=
1
A
m vn
t=
v sin
AQM ,
dove QM è la portata di massa del getto. Ma
QM = A v,
quindi 2sin .p v=
Questa però è la pressione esercitata da una goccia; essendo N = V c il numero di gocce incidenti sulla lastra, la pressione totale sarà
p
tot= N p = V c v2
sin = 32 106
104
103
4 102
0,5 = 64kPa =
= 0,63 atm. b) Se le gocce rimbalzano, la variazione di quantità di moto di ogni goccia sarà
–m vn – m vn = – 2 m vn
e quella della lastra (ricevuta sotto forma di impulso) sarà 2 m vn, quindi la
pressione esercitata sarà doppia che nel caso a), ovvero
ptot'
= 2 ptot = 1,26 atm. 8.16. Un’asta omogenea di sezione S = 1 cm2, lunghezza l = 40 cm e densità o
= 800 unità SI è appesa per un filo inestensibile al soffitto, mentre la parte inferiore è immersa in acqua ( = 1000 unità SI). Se l’estremo libero del filo dista L = 15 cm dalla superficie libera dell’acqua, calcolare: a) il tratto di cui è immersa l’asta, b) la tensione del filo, c) l’angolo di inclinazione all’equilibrio.
(3)
285
______ a) L’equilibrio si impone scrivendo che sono contemporaneamente nulli il risultante delle forze agenti sull’asta e il loro momento rispetto a un polo arbitrario, per esempio l’estremo A. Le forze agenti sono la tensione del filo, il peso dell’asta e la spinta di Archimede, applicata nel centro di massa della parte immersa. Sarà allora:
T + g x S =
og lS.
L’annullamento del momento si scrive invece come
ol gS
l
2cos = gS x l
x
2cos ,
da cui
o
l2
2= x
2l x
2,
x2
2 l x +ol2= 0,
che ha per soluzioni
x = l 1 ± 1o
.
Scartando la radice positiva (non potendo essere x > l), risulta
x = l 1 1 o= 0,4(1 0,2) = 0,22 m = 22 cm.
b) Sostituendo x nell’espressione di T:
T = gS (
ol x ) = 9,8 10 4(800 0,4 1000 0,22) = 9,8 10 2 N.
c) Risulta
15sin 0,833,
18
56,4 .
L
l x= = =
= °
8.17. Una bilancia a piatti è in equilibrio recando su un piatto un bicchiere pieno d’acqua e sull’altro la massa equivalente. Nel bicchiere viene ora calata una sferetta di massa m e densità che resta totalmente immersa ed è appesa al soffitto mediante un filo ideale. Se 0 è la densità dell’acqua, ricavare in
286
funzione delle quantità assegnate: a) la massa da aggiungere sul piatto di destra per riportare la bilancia in equilibrio, b) la tensione del filo.
(3)
______
a) L’immersione della sferetta origina una spinta di Archimede verso l’alto e il piatto di sinistra riceve una reazione che lo fa abbassare; per riequilibrare la bilancia sarà necessario aggiungere sull’altro piatto una massa x pari a quella dell’acqua spostata, ovvero
x = 0V =0
m .
b) La tensione del filo, indicando con FA la spinta di Archimede agente sulla
sferetta,è
T = m g FA = m g0
m g = m g 10
.
8.18. Due cubi identici di materiali diversi sono collegati da un’astina rigida di massa e volume trascurabili e il sistema galleggia in equilibrio con il cubo superiore emergente per metà. Assumendo per lo spigolo dei cubi l =10 cm, per la lunghezza dell’asta L = 2 l = 20 cm, per la densità dell’acqua = 1000 unità SI e per quella del cubo 1 1= 900 unità SI, calcolare la densità del cubo 2.
Dimostrare inoltre che il sistema è in equilibrio instabile e calcolare quale dovrebbe essere il minimo valore di 2 perché l’equilibrio diventi stabile. (3)
287
L’equilibrio si ha imponendo che il risultante delle forze peso sia uguale in modulo alla spinta di Archimede agente sulle parti immerse, cioè
m1g +m
2g =
0g l3 +
l3
2,
1l3 +
2l3 =
3
2 0l3,
da cui
1 2 o
3.
2+ =
Calcoliamo ora la posizione del centro di massa del sistema, C, e quella del centro di spinta S per stabilire se l’equilibrio è stabile, instabile o indifferente.
2=
3
20 1
= 600 unità SI.
Il punto C avrà una coordinata y, misurata da un’origine fissata sulla superficie libera, data da
y =
3m2 l
m1 + m2
=3 2 l
1 + 2
=0, 6 30
1,5= 12 cm.
Il punto S che, per definizione, è il centro di massa del volume d’acqua occupato dal solido, ha una quota
y ' =
l
80 + 3 l 0
0
2+ 0
=25
12l = 20,8 cm.
L’equilibrio è instabile poiché il centro di spinta si trova al di sotto del centro di massa. Perché l’equilibrio diventi stabile, deve essere
y’ < y, cioè
y ' =
l
80 + 3 l 0
0
2+ 0
=25
12l = 20,8 cm.
3 2 l
1 + 2
>25
12l,
da cui
2 >25
111,
2 >15
8 0.
288
8.19. Un tappo cilindrico di sughero di massa m = 8 g e raggio r =1,5 cm galleggia in acqua in un recipiente in quiete; se il recipiente subisce
un’accelerazione a = 2 m/s2 verso l’alto, determinare la nuova linea di galleggiamento.
(3)
_______
La linea di galleggiamento si ricava imponendo in entrambi i casi l’esistenza di una situazione di equilibrio; a recipiente in quiete imponiamo che il peso del tappo sia in modulo uguale alla spinta sulla parte immersa, cioè, indicando con la densità dell’acqua
m g = Vi g = r 2 x g, e la parte immersa vale
2.
mx
r=
Quando il recipiente viene accelerato, le condizioni di equilibrio relativo impongono che debba annullarsi l’accelerazione relativa, cioè che la differenza tra il peso m g e la spinta di Archimede uguagli la forza di trascinamento; in formule, indicando con x’ la nuova parte immersa:
r2x ' g m g = m a,
da cui
x '=m ( g + a)
r2g
.
Passando ai calcoli, si ricava facilmente
x = 1,13 cm x’ = 1,36 cm, da cui risulta che il tappo è immerso maggiormente.
289
8.20. Un liquido perfetto scorre in un condotto orizzontale di portata QV =100
l/s. A un certo punto il condotto presenta una strozzatura di sezione s = 50
cm2 in corrispondenza della quale un foro crea uno zampillo. Quale sarà l’altezza del getto, trascurando la resistenza dell’aria?
(2)
______
Applicando l’equazione di continuità alle due sezioni 1 e 2, si ha
QV = v2 s,
da cui
v2 =
QV
s.
Ma sarà anche
v22= 2g h,
perciò
h =v2
2
2g=
QV2
2g s2=
10 2
19, 6 5 10 3= 0,102 m = 10,2 cm.
8.21. Da un rubinetto esce in regime stazionario un lento getto d’acqua con velocità v = 2 m/s. Calcolare la pressione esercitata dal getto su una lastra posta al di sotto a distanza h = 60 cm, ipotizzando un urto normale ed elastico e supponendo che l’acqua mantenga densità costante durante la caduta.
(3)
______
290
Se l’urto è elastico, l’acqua rimbalza sulla lastra con la stessa velocità v’ con cui incide. La variazione di quantità di moto di una massa m d’acqua sarà quindi, in modulo, 2 m v’. Potremo allora scrivere che la pressione esercitata sulla lastra è
p =
F
a'=
q
a' t=
2m v'
a' t=
2v'
a'QM =
2v'
a'a v,
dove
QM =m
t= a v
è la portata di massa (costante). Deve inoltre essere, per l’equazione di continuità, a v = a’ v’, perciò
p = 2 v'2= 2 v
2+ 2g h
= 2 103 (4 +19, 6 0, 6) =
= 3,15 104 Pa= 0,31 atm.
8.22. Nel condotto illustrato in figura le due sezioni sono s = 80 cm2 ed S = 400
cm2. Quando in esso scorre acqua in regime stazionario la velocità dell’acqua nella sezione larga è v2 = 2 m/s e nel primo tubicino l’acqua risale fino a quota
h1 = 15 cm. Calcolare la velocità v1 nella sezione stretta e la quota h2 alla quale
risale l’acqua nel secondo tubicino. Questo dispositivo, chiamato tubo di Venturi o venturimetro, viene usato per misurare la velocità di un liquido in un condotto.
(5)
______
Applicando l’equazione di continuità alle due sezioni s ed S, abbiamo:
s v1 = S v2 ,
da cui
v1 =S
sv2 = 5v2 = 10
m
s.
291
Applichiamo poi il teorema di Bernoulli alle due sezioni tenendo conto che sono alla stessa altezza:
p1 +1
2v1
2= p2 +
1
2v2
2,
da cui
p2 p1 =2
v12 v2
2( ).
Tale differenza di pressione provocherà un dislivello del liquido nei due tubicini in base al principio di Stevino, ovvero sarà
p2 p1 = g(h2 h1),
h2 = h1 +p2 p1
g= h1 +
v12 v2
2
2g= 0,15 +
96
19, 6= 5,05 m.
8.23. Un tubo piegato col tratto orizzontale parallelo alla corrente viene immerso nell’acqua di un fiume che scorre in regime stazionario con velocità v = 1,4 m/s. Calcolare di quanto sale l’acqua nel tubo al di sopra della superficie libera.
(3)
______
Essendo il regime stazionario, vale il principio di Bernoulli applicato ai due estremi del tubo; essendo nulla la velocità dell’acqua all’estremo superiore, possiamo scrivere:
1
2v
2+ g h1 = g h2 ,
v2= 2g (h2 h1) = 2g x ,
x =v2
2g=
1,96
19, 6= 0,10 m = 10 cm.
292
8.24. L’acqua esce da un rubinetto di sezione a = 1 cm2 con velocità v = 50 cm/s. Si osserva che la colonna liquida si restringe man mano che si allontana dal rubinetto. Spiegarne il motivo e calcolare: a) la sezione del getto a una quota h = 50 cm al di sotto della bocca del rubinetto, trascurando la resistenza dell’aria, b) la portata di volume.
(3)
_______
a) Ipotizzando un regime stazionario, deve valere l’equazione di continuità, ovvero
a v = a’ v’, dove a’ e v’ sono la sezione e la velocità del getto alla quota h. Trascurando la resistenza dell’aria, il principio di conservazione dell’energia ci dice che per ogni molecola di massa m è:
1
2m v
2=
1
2m v
' 2m g h,
da cui
v' = v2+ 2g h .
Dato che la velocità aumenta, la sezione del getto deve diminuire e sarà
a' = av
v'=
a v
v2+ 2g h
=1 0,5
0,25 + 2 9,8 0,5= 0,16 cm
2.
b) Ne consegue che la portata di volume vale
QV = a v = a' v' = 50
cm3
s= 0,05
l
s.
8.25. Nel condotto orizzontale in figura scorre acqua in regime stazionario. Se la pressione in A vale pA = 2 atm e il rapporto tra le due sezioni A e a è r = 5,
calcolare: a) i valori di va e di vA per i quali si annulla la pressione pa; b) la
portata di massa del condotto se a = 50 cm2. L’acqua, giunta in a e trovandovi
293
una pressione nulla, evapora e comincia a bollire; tale fenomeno è detto cavitazione.
(3)
______
a) Applicando il teorema di Bernoulli alle due sezioni a e A, si ha
pa +
1
2va
2+ g ha = pA +
1
2vA
2+ g hA ,
dove è la densità dell’acqua, ha e hA le quote dei centri delle due sezioni;
essendo le due quote uguali e dovendo essere pa = 0, abbiamo, tenendo conto
dell’equazione di continuità, per la quale
a va = A vA
1
2va
2= p A +
1
2vA
2,
1
2va
2= p A +
1
2
a2
A2va
2 ,
va =2 p A
1a2
A2
=2 2 1,01 105
103 24
25
= 20,5m
s,
e di conseguenza
vA =1
5va = 4,1
m
s.
b) La portata di massa del condotto vale
QM = vaa = 10
320,5 50 10
4= 102,5
kg
s.
8.26. Una diga il cui invaso è pieno d’acqua fino all’altezza h = 100 m è munita di una serranda ad altezza h/2 dalla base. Aprendo la serranda, l’acqua defluisce attraverso una condotta di sezione S minore della superficie libera dell’invaso e inclinata di 45°. Se il salto dell’acqua è l = 80 m, calcolare: a) la velocità con cui l’acqua entra nella condotta; b) la velocità al termine della condotta; c) stabilire se vale l’equazione di continuità; d) sapendo che la condotta può sopportare una pressione massima pmax = 10 atm, dire se essa
scoppia ed eventualmente in quale punto. (4)
294
______
a) L’acqua entra nella condotta con velocità data dalla legge di Torricelli che, essendo S molto minore della superficie libera dell’invaso, fornisce
v1 = 2g
h
2= g h = 9,8 100 = 31,3
m
s.
b) Al termine della condotta, applicando il teorema di Bernoulli, si ricava
p1 +
1
2v1
2+ g l = p2 +
1
2v2
2,
ma, indicando con p0 la pressione atmosferica, la precedente relazione diventa:
p0 + gh
2+
1
2g h + g l = p0 +
1
2v2
2 ,
3
2g h + g l =
1
2v2
2,
v2 = g (3h + 2 l) = 9,8 (300 + 160) = 67,1m
s.
c) La portata di volume in 1 vale Q1V = S v1, mentre in 2 vale Q2V = S v2 e
risulta Q2V > Q1V, quindi l’equazione di continuità non vale. Infatti essa vale
solo in assenza di forze esterne, mentre nel caso in esame agisce la forza di gravità. d) La pressione agente sulle pareti della condotta è la somma della pressione dinamica e di quella idrostatica; assumendo come quota zero quella a fondo valle, possiamo scrivere
p =
1
2g h + g l =
1
2g (h + 2 l) =
1
29,8 10
3260 = 12, 6 atm.
La condotta può quindi esplodere: tuttavia, essendo p la stessa in tutti punti della condotta, non possiamo stabilire dove esploderà.
295
8.27. Un getto d’acqua entra con velocità v1 = 4,0 m/s in una condotta verticale
di sezione costante A = 0,4 m2. Trascurando gli attriti e ritenendo l’acqua incomprimibile, calcolare: a) la velocità v2 dopo un tratto h = 50 m e b) la
portata della condotta, giustificando il risultato alla luce dell’equazione di continuità.
(3) ______
a) Dovendo valere l’equazione di continuità, sarà
1 A v1 = 2 A v2,
1 v1 = 2 v2.
Dato che, per effetto della gravità, sarà v2 > v1, dovrà essere 1 > 2, cioè dovrà
variare la densità dell’acqua. Di questo fatto dobbiamo tener conto nell’applicare il teorema di Bernoulli:
1
21 v1
2+ 1 g h1 =
1
22 v2
2+ 2 g h2 .
Assumendo come quota di riferimento zero quella iniziale e un asse y orientato verso il basso, abbiamo:
1 v12
= 2 v22 2 2 g h,
1
2
v12
= v22 2 g h,
v2
v1
v12
v22+ 2 g h = 0,
v22 v1v2 2g h = 0,
v2 =v1 ± v1
2+ 8g h
2,
la cui sola soluzione accettabile è quella positiva
v2 =
4,0 + 16 + 3920
2= 33,4
m
s.
b) Risulta per la portata di massa
Qm
=1Av
1= 103 0,4 4 = 1600
kg
s
che sarà costante, mentre la portata di volume varia lungo la condotta a causa della variazione della densità.
296
8.28. Un condotto di sezione A come quello in figura si divide in due rami entrambi di sezione A esposti alla pressione atmosferica, i cui centri geometrici si trovano alle quote h e – h dal livello di riferimento fissato sull’asse del primo tratto di condotto. Se nel condotto entra, spinto dalla pressione p = 3 atm, un fluido omogeneo con velocità v = 20 m/s, calcolare le velocità all’uscita dei due rami.
(4)
______
Applichiamo il principio di Bernoulli alla sezione principale e alle due sezioni di uscita. Ricordando che il principio di Bernoulli esprime la conservazione dell’energia per unità di volume, dobbiamo uguagliare la somma dei tre termini di pressione nel condotto di sezione A alle somme dei corrispondenti termini dei due rami in cui il condotto si divide, cioè, indicando con p0 la pressione
atmosferica:
p +1
2v
2=
1
2v1
2+ g h + p0 +
1
2v2
2g h + p0 ,
ovvero
1
2v2
=1
2v1
2+
1
2v2
2+ 2 p0 p.
Deve però valere anche l’equazione di continuità:
A v = A v1 + A v2 ,
v = v1 + v2 .
Dobbiamo risolvere il seguente sistema:
1
2v
2=
1
2v1
2+
1
2v2
2+ 2 p0 p
v = v1 + v2 .
297
Sostituendo nella prima equazione v1 ricavato dalla seconda, abbiamo:
v2= (v v
2)2 + v2
2+
2 (2 p0 p)
v1 = v v2 .
ovvero, introducendo i valori numerici
v22
40 v2 101 = 0, la cui soluzione è
v2 =20 ± 222
2=
17,45m
s
2,55m
s.
In corrispondenza a tali valori, si ricava:
v1 =
2,55m
s
17,45m
s
.
Tuttavia, la velocità nel condotto superiore deve essere inferiore a quella nel condotto inferiore, pertanto la sola soluzione accettabile è
v1 = 2,55 m/s, v2 = 17,45 m/s.
8.29. Un recipiente cilindrico di sezione A = 400 cm2 ha il condotto di uscita di
sezione a = 10 cm2 munito di un tappo fissato a una molla ideale di rigidità k = 49 N/m. La molla è inizialmente scarica con l’estremo mobile a distanza d = 10 cm dall’imboccatura del condotto.
298
Calcolare: a) la massima quantità d’acqua che si può versare nel recipiente senza che possa fuoriuscire dal condotto; b) la velocità di efflusso nel caso venisse superato tale limite.
(3) ______
a) La forza esercitata dall’acqua sul tappo non deve superare la forza elastica della molla, ossia, indicando rispettivamente con x la massima altezza dell’acqua nel recipiente e la massa cercata e la densità dell’acqua:
g x a k d, da cui
mmax = A x =
A k d
a g=
4 10 2 49 10 1
10 3 9,8= 20 kg.
b) Dalla legge di Torricelli:
v =2g x
1 a2 / A2=
2k d
a(1 a2 / A2 )=
2 49 101
103 10 3 (1 1 /1600)
9,8 = 3,13m
s.
8.30. Una vasca a parallelepipedo retto ha dimensioni a = 4 m, b = 10 m, c = 4 m. Quando viene completamente riempita d’acqua, quali sono le forze esercitate dall’acqua a) sul fondo, b) sulle pareti laterali maggiori?
(3) ______
a) La forza sul fondo altro non è che il peso dell’acqua contenuta, cioè
F1= a b c g = 1,57 .106 N. b) Per calcolare la forza agente sulle pareti laterali, facciamo presente che essa è dovuta alla pressione, la quale, per il principio di Stevino, varia con la profondità. Ricordando che p = dF/dS e assumendo una striscia di parete di spessore infinitesimo dx alla quota x misurata a partire dall’origine O, la forza infinitesima agente su tale striscia sarà
dF = p dS = g x b dx, dove non si è tenuto conto della pressione atmosferica che agisce allo stesso modo sulle due facce della parete.La forza F2 su tutta la parete si ottiene
integrando per x che va da 0 a c, ovvero
F2= dF =
0
cgb x dx =
0
cgb
c2
2= 10
39,8 10 8 = 7,84 10
5N.
299
8.31. Una vasca da bagno di sezione A = 2 m2 è piena d’acqua fino all’altezza h
= 40 cm dal fondo e il foro di scarico ha sezione a = 20 cm2. Supponendo che lo scarico avvenga in regime stazionario, calcolare: a) il tempo di svuotamento, b) la dipendenza dal tempo del livello del liquido. (4)
______ Si deve in primo luogo tener presente che, mentre il livello del liquido si abbassa, v
A diminuisce, quindi non si potrà calcolare il tempo di svuotamento
semplicemente come ts= h/v
A, ma si dovrà procedere a un’integrazione.
Assumendo un asse y orientato verso il basso con origine dalla superficie libera iniziale e ponendo momentaneamente, per comodità,
k = a
2g
A2 a2, (1)
e introducendo y come livello variabile, abbiamo
vA =
dy
dt= k y , (2)
da cui y –1/2 dy = k dt. (3)
Integrando la (3), si ricava
2 y 1/2 = k t + costante, (4) costante che si calcola facilmente sapendo che per t = 0, y = 0. Si ha infatti, sostituendo i suddetti valori nella (4):
costante = 0 e quindi
t =2y( A2 a2 )
ga2. (5)
Il tempo di svuotamento si otterrà ponendo nella (5) y = h,ovvero
ts =2h ( A2 a2 )
g a2=
2h (r2 1)
g (6)
dove r = A/a. Con i dati del problema possiamo approssimare r2–1 con r2 e la (6) diventa
ts =A
a
2h
g= 10
3 0,8
9,8= 285, 6.
300
Se avessimo calcolato tale tempo ipotizzando erroneamente vA costante,
avremmo trovato
ts'=
h
vA
=h
a va
A
=A
a
h2
2gh=
A
a
h
2g=
ts4
.
b) Dalla (5) si ricava immediatamente
y =
1
2g t
2 a2
A2= 4,9 10
6t2.
8.32. Un cilindro omogeneo di raggio r = 5 cm, altezza l = 15 cm e densità o = 9
g/cm3 è appeso mediante un filo ideale al soffitto e galleggia in acqua con la
superficie superiore a pelo d’acqua. Se la sezione della vasca è A = 400 cm2 e
sul fondo della vasca è praticato un forellino di sezione a = 0,1 cm2, sapendo che il filo ha un carico di rottura To = 95 N e che l’altezza iniziale dell’acqua
nella vasca è h = 30 cm, calcolare: a) dopo quanto tempo dall’apertura del forellino il filo si spezza e b) quanto vale in tale istante la velocità di efflusso.
(5)
______
a) Calcoliamo innanzi tutto qual è il massimo abbassamento del livello dell’acqua in corrispondenza del quale la spinta di Archimede agente sul cilindro non è più sufficiente a mantenere la tensione T del filo inferiore a To.
In condizioni di equilibrio sarà
T + Vi g = m g,
T + r2 (l – x) g = r2 l o g,
dove Vi è il volume immerso del cilindro e la densità dell’acqua.
301
Dalla precedente relazione si ricava
x =T r 2 l g (
o)
r 2 g.
Quando T = To, x = xo, quindi
xo=
95 3,14 25 104
15 102
9,8 8 103
103
3,14 25 104
9,8= 3,5 10
2m = 3,5 cm.
Con riferimento al Problema 8.31, il tempo necessario perché il livello dell’acqua scenda di xo è
t =A 2
a g( h h x
o=
4 10 2 1,41
10 5 3,13(0,548 0,515) = 59,4s.
b) La velocità di efflusso in tale istante è data dalla legge di Torricelli:
va=
2g (h xo)
1a2
A2
2g (h xo) = 2,28
m
s.
8.33. Un rubinetto di portata QV = 1 l/s immette acqua in un recipiente che
reca sul fondo un foro di sezione s = 3 cm2. Supponendo un regime stazionario, calcolare: a) l’altezza alla quale l’acqua si mette in equilibrio nel recipiente, cioè quando la quantità di acqua entrante nell’unità di tempo coincide con quella uscente; b) la velocità di efflusso dal foro sul fondo.
(4) ______
a) Pur essendo il regime stazionario, non vale l’equazione di continuità, essendovi una sorgente attiva (il rubinetto); vale però la legge di Torricelli nella forma
ve = 2g h,
con ve s = QV,
quindi
h =QV
2
2s2g=
10 6
2 9 10 4 9,8= 0,567 m.
b)
ve =
QV
s=
10 3
3 10 4= 3,33
m
s.
302
8.34. Una goccia d’acqua di raggio r = 2 mm e densità = 1000 unità SI cade in
aria (viscosità = 18 μPa s, densità a = 1,3 unità SI). Calcolare: a) la velocità
limite della goccia e b) dopo quale distanza h in caduta libera nel vuoto la goccia acquisterebbe la stessa velocità.
(2) ______
a) Dalla legge di Stokes:
v lim=
2 r2g( a )
9=
2 4 10 6 998,7
9 1,8 10 5= 49,3
m
s.
b) Dalla formula di Galileo:
h =
vlim2
2g=
(49,3)2
19, 6= 124 m.
8.35. Una goccia di pioggia (raggio r = 3 mm, densità = 1000 unità SI) cade
liberamente in aria (densità a = 1,3 unità SI) dalla quota h = 5 km. Se la
viscosità dell’aria è = 18 μPa s, calcolare da quale altezza la goccia dovrebbe cadere per raggiungere la stessa velocità in aria. (5)
______ La velocità della goccia dopo una caduta libera (trascurando la viscosità dell’aria) per un tratto h è:
v = 2g h = 19, 6 5000 = 313
m
s.
Applichiamo la legge di Stokes per ricavare la relazione tra la distanza percorsa dalla goccia e la velocità in tale posizione; scriviamo l’equazione del moto, tenendo conto che sulla goccia agiscono durante il moto il peso orientato verso il basso, la spinta di Archimede e la forza viscosa di Stokes, entrambe verso l’alto:
m a = m g a g V 6 r v,
4
3r3a =
4
3r3g
a
4
3r3g 6 r v,
2 r2a = 2 r2g(a) 9 v,
2 r2 dv
dt= 2 r
2g(
a) 9 v,
2 r2dv
2 r2g(a) 9 v
= dt,
dv
2 r2g(
a) 9 v
=dt
2 r2
,
d( 9 v)
2 r2g(a) 9 v
=9 dt
2 r2.
303
Tenendo presente l’espressione della velocità limite, otteniamo
d( v)
v lim v= 9
dt
2 r2
.
Integrando, si ha
ln(vlim
v) =9 t
2 r2+ costante, (1)
vlim
v = A e
9 t
2 r2
,
La costante si determina immediatamente sapendo che per t = 0 è v (t = 0) = 0, cioè
vlim = A,
e quindi
v = vlim
1 e
9 t
2 r2
, (2)
Per ricavare la legge oraria del moto, dobbiamo integrare la precedente equazione:
dy
dt= v lim 1 e
9 t
2 r2
,
dy = v lim dt v lim e
9 t
2 r2
dt,
dy = v lim dt +2 r2v lim
9e
9 t
2 r2
d9
2 r2
t,
y = v lim t +2 r2v lim
9e
9 t
2 r2
+ costante.
Per ricavare la costante d’integrazione, ricordiamo che y = 0 per t = 0, perciò
0 = 0 +2 r
2vlim
9+ costante,
costante = -2 r
2vlim
9.
La legge oraria del moto sarà finalmente
y = v lim t +
2 r2v lim
9(e
9 t
2 r2
1).
304
Ricavando t dalla (1) e in base alla (2), la precedente equazione diventa
y =2 r2
9ln 1
v
vlim
v lim
2 r2v lim
9
v
vlim
=
=2 r2
9v lim ln 1
v
vlim
+ v
.
Eseguendo i calcoli, si ricava
vlim =
2 9 10 6 9,8 998,7
9 1,8 10 5= 1087,5
m
s.
y =2 103 9 10 6
9 1,8 10 51087,5 ln 1
313
1087,5
+ 313
=
= 6235 m.
Si può concludere che gli effetti previsti dalla legge di Stokes si cominciano a sentire – in aria– solo dopo lunghe distanze di caduta. 8.36. Negli alberi i canali dello xilema hanno un raggio r = 10 μm. Se l’acqua ha
una tensione superficiale = 7,5 .10–2 N/m, una densità = 103 kg/m3 e se l’angolo di raccordo è praticamente nullo, può la sola capillarità giustificare la salita dell’acqua dal terreno fino alla cima di un albero alto H = 30 m?
(2) ______
La risalita dell’acqua lungo i canali capillari segue la legge di Jurin-Borelli:
h =
2 cos
g r;
sostituendo i valori numerici, otteniamo
h =
2 7,5 10 2 1
103 9,8 10 5= 1,53 m.
La sola capillarità non può quindi produrre la risalita dell’acqua fino alla quota H. Un notevole contributo è dato dalla pressione osmotica attraverso le membrane che circondano le radici delle piante. 8.37. In un tubo lungo l = 40 cm e raggio R = 2 cm scorre acqua ( = 1 mPa s); se la velocità dell’acqua a distanza r1 = 1 cm dall’asse è v1 = 18,75 m/s,
calcolare: a) la velocità lungo l’asse del tubo, b) la differenza di pressione agli estremi.
(3)
305
______ a) Applicando la prima legge di Poiseuille, si ha:
p =4 l v1
R2 r12
=4 10 3 0,4 1,875 10
(4 1) 10 4= 100 Pa.
b) Scrivendo la prima legge di Poiseuille per i due casi e dividendo membro a membro, abbiamo
v0 = v1
R2
R2
r12
=4
3v1 = 25
m
s.
N.B. Si noti come la differenza tra le due velocità sia minima, il che vuol dire che il fronte liquido che avanza nel tubo è praticamente piano. Ciò accade perché le dimensioni del tubo non sono capillari. 8.38. Un anello di filo di diametro d = 8 cm viene immerso in olio; se per estrarlo dall’olio è necessaria una forza F = 8,8 mN, calcolare la tensione superficiale dell’olio.
(3) ______
La tensione superficiale è data dal rapporto tra la forza applicata per estrarre l’anello e la circonferenza della lamina di olio che si è formata al suo interno e ostacola l’estrazione (tale circonferenza deve essere contata due volte perché la lamina ha due facce). Quindi
=F
2 d=
8,8 10 3
6,28 8 10 2= 1,75 10
2 N
m.
8.39. Una centrale idroelettrica con un salto h = 300 m deve fornire una potenza W = 120 MW. Se la condotta che trasporta l’acqua a valle ha una
sezione S = 0,5 m2, calcolare, trascurando qualsiasi attrito:
306
a) la portata di volume QV della condotta, b) la velocità al termine della
condotta, c) l’altezza l dell’acqua nell’invaso, sapendo che la sezione della diga
al livello del pelo libero è A = 800 m2. (3) ______
a) Indicando con la densità dell’acqua, con V il volume e con M la massa d’acqua trasportata, la potenza si scrive
W =
M g h
t=
V g h
t= QV g h,
da cui
QV =
W
g h=
1,2 108
103 9,8 300= 40,8
m3
s,
b) La velocità al termine della condotta sarà
v =
QV
S=
40,8
0,5= 81, 6
m
s,
e quella all’inizio
vo = v
22g h = 81, 6
219, 6 300 = 27,9
m
s.
c) Applicando la legge di Torricelli ed essendo S « A, abbiamo
vo = 2g l,
l =vo
2
2g=
(81, 6)2
19, 6= 39,7 m.
8.40. Una goccia d’acqua si forma all’estremità di un tubo di vetro di raggio r = 3 mm; se la tensione superficiale dell’acqua è = 72,8 mN/m, quale sarà il peso della goccia al momento del distacco?
(2) ______
La goccia si staccherà dal tubo appena il peso supera la forza dovuta alla
tensione superficiale; quest’ultima è data da 2 r , pertanto sarà
m g = 2 r = 6,28 . 3 .10-3.72,8 .10-3 = 1,37 mN, cui corrisponde una massa di 0,14 g.
307
8.41. Sapendo che la tensione superficiale dell’acqua saponata è = 25 mN/m, calcolare la differenza di pressione tra interno ed esterno di una bolla di sapone di raggio r = 4 cm.
(2) ______
Dalla formula di Laplace, si ricava
p =
4
r=
4 25 10 3
4 10 2= 2,5 Pa.
8.42. Se si soffia in una bolla sferica in modo che il suo raggio aumenti costantemente al ritmo dr/dt = 1 cm/s, calcolare la potenza necessaria per aumentare la superficie della bolla quando il suo raggio è r = 2 cm, sapendo che la tensione superficiale dell’acqua saponata vale = 25 mN/m.
(3) ______
Il lavoro elementare L compiuto per provocare un aumento infinitesimo dS della superficie di una bolla di raggio r è dato da
L = dS,
ma, essendo S = 4 r2, risulta
dS = 8 r dr, pertanto
L = 8 r dr. Ne consegue che la potenza necessaria è
W =
L
dt= 8 r
dr
dt= 8 3,14 2 10
225 10
310
2= 0,13 mW.
8.43. Due palloncini di volume V1= 0,05 l e V2= 0,15 l hanno in aria lo stesso
peso; se vengono posti sotto vuoto e appesi ai due piatti di una bilancia, calcolare, sapendo che l’aria ha densità a = 1,3 unità SI: a) da quale lato pende
la bilancia sotto vuoto;b) la spinta di Archimede sul più piccolo, c) la spinta di Archimede sul più grande, d) la differenza di massa tra i due palloncini.
(3) ______
a) Se i due palloncini hanno lo stesso peso in aria, deve essere
m1g – aV1 g = m2 g – a V2 g,
308
quindi, essendo V1 < V2, dovrà essere anche m1< m2, ovvero la bilancia penderà
dalla parte del palloncino 2. b) Per il più piccolo sarà
FA 1 = aV1 g = 1,3 5 105
9,8 = 0, 64 mN. c) Per il più grande
FA 2 = aV 2 g = 1,3 15 105
9,8 = 1,91 mN. d) Deve essere
m = m
2m
1=
a(V
2V
1) = 1,3 10 4 kg = 0,13 g.
8.44. In una bottiglia di spumante si formano gas di fermentazione; se la
sezione del collo è S = 3 cm2, il coefficiente di attrito tra tappo e vetro è μ =1, la massa del tappo è m = 16 g e il tappo, lungo s = 4 cm, schizza via verticalmente fino a quota h = 12 m, calcolare la pressione dei gas di fermentazione.
(4) ______
Il tappo viene espulso per azione delle forze di pressione dei gas; il lavoro di tali forze è:
L = p V = p S s e viene utilizzato per vincere gli attriti e per conferire energia cinetica al tappo, perciò
p S s = μ M g s +
1
2M v
2;
dal momento che il tappo raggiunge la quota h, sarà
1
2M v
2= M g h ,
perciò
p S s = μ M g s + M g h ,
p =M g (h + μ s)
S s=
16 10 3 9,8 (12 +1 4 10 2)
3 10 4 4 10 2= 1,57 105 Pa =
= 1,55 atm .
309
8.45. Una lattina di lamiera, vuota, di spessore trascurabile rispetto alle sue altre dimensioni,di massa m = 60 g, superficie di base A = 80 cm2 e altezza l =16 cm, se viene appoggiata verticalmente sulla superficie dell’acqua è in equilibrio precario e si capovolge. Se il baricentro B della lattina si trova a distanza b = 2 cm dal fondo, calcolare: a) la minima altezza d’acqua che è necessario versare nella lattina perché essa possa galleggiare in equilibrio stabile, b) di quanto rimane immersa la lattina in tali condizioni.
(3)
______
a) L’equilibrio di un galleggiante si ha quando il centro di spinta, ovvero il centro di massa della parte del corpo immersa, si trova al di sopra del baricentro del corpo stesso. Essendo trascurabile lo spessore della lattina, basterà versare acqua almeno fino a un’altezza h = 2 b = 4 cm. b) Indicando con x lo spessore immerso, uguagliando il peso della lattina e dell’acqua alla spinta di Archimede, abbiamo:
m g + h A g = x A g ,
da cui
x =m + h A
A=
6 10-2
+103
4 102
8 103
103 8 10 3m = 4,75 cm.
8.46. Un fluido di viscosità =10 mPa s scorre in regime microvorticoso in un condotto lungo l = 3,14 m di raggio r =10 cm. Se la portata di volume è QV=125
l/s, qual è la differenza di pressione agli estremi del condotto? (1)
______ La legge di Poiseuille sulla portata di un capillare afferma che
QV =
r4 p
8 l,
310
da cui
p =8 l QV
r4=
8 10 2 3,14 0,125
3,14 10 4= 100 Pa.
8.47. In un oleodotto costituito da un condotto orizzontale lungo l = 40 km e di sezione circolare A = 500 cm2 scorre un olio di viscosità = 1,3 unità SI. La differenza di pressione agli estremi dell’oleodotto è p = 8 atm. Calcolare: a) la massima velocità dell’olio, b) la portata di volume dell’oleodotto.
(2) ______
a) La massima velocità si ha in corrispondenza dell’asse del condotto ed è data dalla prima legge di Poiseuille:
vmax =
p
4 lR
2r
2( ),
nella quale R ed r sono rispettivamente il raggio del condotto e la distanza dall’asse. Ponendo R2 = A/ ed r = 0, si ottiene
vmax =
p A
4 l=
8 1,01 105 5 10 2
12,56 1,3 4 104= 6,2 10
2 m
s= 6,2
cm
s,
b) La portata di volume è data invece dalla seconda legge di Poiseuille
QV =
p R4
8 l=
p A2
8 l=
8,08 105 25 10 4
8 3,14 1,3 4 104= 1,55 10
3 m3
s= 1,55
l
s.
8.48. Un torchio idraulico con sezione piccola s = 40 cm2 e grande S = 600 cm2 deve essere usato per sollevare una massa M = 900 kg di un tratto L = 6 cm. Calcolare: a) la forza da applicare sul pistone più piccolo; b) di quanto deve essere abbassato; c) la pressione sul pistone più grande. (3)
311
______ a) Sotto l’ipotesi che il fluido operante nel torchio idraulico sia incomprimibile, la pressione esercitata sul pistone più piccolo, dobbiamo ritrovarla sul pistone più grande, ovvero dovrà essere
F
S=
f
s,
e quindi
f =F s
S=M g s
S=900 9,8 40
600= 588N.
b) Il lavoro compiuto per abbassare il pistone più piccolo, f l, deve coincidere con quello necessario per sollevare il più grande, F L, sempre perché il fluido è incomprimibile, quindi
90 cm.F M g S
l L L Lsf s
M gS
= = = =
c) La pressione esercitata sul pistone più piccolo – coincidente con quella agente sul più grande – sarà
p =
f
s=
588 N
40 10-4 m2= 1,47 kPa = 1,45 atm.
8.49. Calcolare il dislivello dell’acqua in un capillare di raggio r = 0,1 mm, sapendo che l’angolo di contatto è nullo e il coefficiente di tensione superficiale vale 0,073 N/m.
(1) ______
Si tratta di una semplice applicazione della legge sul dislivello capillare di Jurin-Borelli:
h =
2 cos
g r=
1,46 10 1
103 9,8 10 4= 0,149 m = 14,9 cm,
dove = 0° e la densità dell’acqua vale 103 kg/m3. 8.50. Se la densità del ghiaccio è gh = 900 unità SI, di quanto emerge dalla
superficie dell’acqua un cubetto di ghiaccio di volume V =1 ml? (2) ______
312
Indicando con l lo spigolo del cubetto, con x l’altezza della parte emergente e con a la densità dell’acqua, imponiamo che il peso del cubetto sia uguale alla
spinta di Archimede sulla parte immersa, cioè
ghV g = l2 ( l x ) a g,
x =a gh
a
V1/3= 10 1 10 2 m = 1 mm.
8.51. Un bicchiere pieno di un liquido di densità l=1300 unità SI è appoggiato
sul piatto di una bilancia in equilibrio. Se nel liquido viene immersa una sferetta di massa m =100 g e densità = 9000 unità SI appesa a un filo fissato al soffitto, quale sarà la massa apparente della sferetta?
(3)
_______
La presenza della sferetta in acqua provoca un aumento del livello dell’acqua e la bilancia misurerà una massa pari alla somma di quella del bicchiere pieno d’acqua e di quella di un volume d’acqua uguale al volume della sferetta. La sferetta anziché pesare m g, peserà ora m g l / . In altri termini possiamo dire
che la bilancia "sente" il peso del bicchiere pieno d’acqua e la reazione alla spinta di Archimede esercitata dall’acqua sulla sferetta immersa. La massa misurata in tali condizioni sarà
m ' = 100
1300
9000= 14,4 g.
8.52. Se la velocità dell’acqua che scorre in regime stazionario in un tubo di diametro d1 = 6 cm è v1 = 2 m/s, quale sarà la velocità in un tubo di diametro
d2 = 3 cm collegato in serie al precedente? (2)
______ Nel regime stazionario, ipotizzando che l’acqua sia omogenea, l’equazione di continuità si scrive
313
v1 S1 = v2 S2,
v1
d12
4= v2
d22
4,
v2 = v1
d1
d2
2
= 2 4 = 8m
s.
8.53. Un capillare di raggio r = 0,2 mm lungo l = 20 cm viene immerso in un liquido che vi risale per un tratto h = 2 cm. L’angolo di raccordo del menisco che
vi si forma è = 5°, mentre il coefficiente di tensione superficiale è = 0,12 N/m. Se il liquido viene spinto nello stesso capillare con una differenza di pressione agli estremi p = 50 mmHg, nel capillare fluiscono QM =15 g di liquido
al minuto. Calcolare: a) la densità e b) la viscosità del liquido.
(2) ______
a) Applicando la legge di Jurin-Borelli ricaviamo immediatamente la densità del liquido
=
2 cos
g r h=
2 0,12 cos5°
9,8 2 10 4 2 10 2= 6100
kg
m3.
b) Utilizzando tale dato nella legge di Poiseuille sulla portata di massa di un condotto capillare, otteniamo per la viscosità
h =r
4p
8 l QM
=
3,14 6,1 103 kg
m316 10 16 m4 50
7601,01 105 Pa
8 0,2 m15 10
3
60
kg
s
=
= 0,51 mPa s.
L’unica difficoltà della seconda domanda è l’uso corretto delle unità di misura e proprio per tale motivo si sono voluti esplicitare dettagliatamente i vari fattori di conversione. 8.54. Una sferetta di raggio r = 5 mm e densità = 9 g/cm3 cade in aria fino a
incontrare la superficie libera di un liquido di viscosità = 2 cP e densità o =
1,4 g/cm 3. Calcolare da quale altezza h deve cadere perché il suo moto nel liquido risulti rettilineo uniforme (si trascurino in aria sia la spinta di Archimede sia la resistenza viscosa di Stokes).
(3) ______
314
La velocità con cui la sferetta tocca il liquido sarà
v = 2g h .
Se il moto nel liquido deve essere rettilineo uniforme, dovrà essere nulla l’accelerazione della sferetta, cioè dovrà essere nullo il risultante del peso, della spinta di Archimede e della resistenza viscosa di Stokes:
4
3r
3g
4
3r
3
og 6 r v = 0,
v =2 r2g ( o )
9= 2 g h ,
da cui
h =2 r4g ( o)
2
81 2=
2 54 10 12 9,8 (7, 6)2 106
81 4 10 6= 2,18 km.
8.55. Una sfera di legno di densità = 800 unità SI e raggio r = 2 cm cade in
aria da una quota h = 1 m in una piscina piena d’acqua (viscosità = 10–3 Pa s, densità 0 = 1000 unità SI). Calcolare la massima profondità h raggiunta dalla
sfera prima di risalire in superficie (si trascurino, in aria, la spinta di Archimede e la resistenza viscosa di Stokes).
(5) _______
Calcoliamo la velocità con cui la sferetta entra in acqua, ricavando subito
v
0= 2g h = 19,6 = 4,43
m
s.
Studiamo ora il moto della sferetta applicando la legge di Newton su un asse y orientato verso il basso con origine sulla superficie libera; la massa della sferetta sarà
34,
3m r=
perciò potremo scrivere
m g 6 r v0g
4
3r 3
=ma,
4
3r 3g 6 r v
0g
4
3r 3
=4
3r 3a,
315
da cui
d(9 v)
2 r2g( 0 ) + 9 v=
9 dt
2 r2,
ln 2 r2g( 0 ) + 9 v[ ]=9 t
2 r2+ costante,
2 r2g( 0 ) + 9 v = A e
9 t
2r2.
Per calcolare A, imponiamo che, per t = 0, v = v0:
2 r2g( 0 ) + 9 v = A .
da cui, dopo qualche passaggio:
v =2 r2g( 0 )
91 e
9 t
2r2
+ v0 e
9 t
2r2.
Poniamo ora per comodità:
k =2 r
2g( 0 )
9= 174,4
m
s,
c =9
2 r2= 1,4 10 2 s 1.
La legge oraria di v sarà dunque
v = k 1 e
c t( )+ v0 ec t
= k + (v0 k)ec t
.
Ricaviamo ora la legge oraria del moto lungo l’asse y:
dy
dt= k + (v
0k)e c t,
dy = k dt + (v0
k)e c tdt,
y = k tv
0k
ce
c t+ B.
La costante B si ricava imponendo che per t = 0 è y = 0:
0 = 0v0 k
c
+ B,
B =v0 k
c.
316
Quindi
y = k t +
v0 k
c
(1 e
c t).
Per calcolare il massimo valore di y, annulliamo la derivata prima rispetto al tempo, ovvero l’espressione della velocità
v = k + (v0 k)e c t= 0,
da cui
ec t
=k
k v0
,
t =
lnk - v0
k
c= 71,4 ln1,0254 = 1,79 s.
Sostituendo infine tale valore di t nell’espressione di y, si ricava la seguente espressione della distanza cercata
ymax =2 r2
9
2 r2g( 0 )
9ln 1
9 v0
2 r2g ( 0 )
+ v0
,
da cui, dopo qualche calcolo
y max = 3,95 m.
8.56. Una sferetta di legno di densità = 700 unità SI cade in aria da una quota h = 30 cm in una vasca piena d’acqua di densità a = 1000 unità SI. Trascurando
la resistenza dell’acqua, calcolare: a) a quale profondità si arresta la sfera, b) dopo quanto tempo dall’entrata in acqua.
(3) ______
La forza agente sulla sferetta è la differenza tra il peso e la spinta di Archimede, cioè si tratta di una forza verso l’alto di modulo
F = ( a – ) g V,
dove V è il volume della sfera. A tale forza, costante, corrisponde una decelerazione costante
a =F
m= g a
= g a1
.
317
Applicando due delle tre leggi di Galileo sul moto uniformemente accelerato, otteniamo per la distanza di arresto: a)
s =v0
2
2a=
h
a 1
=7
3h = 0,7 m.
b) Il tempo di arresto è invece dato da
t =v0
a=
2 g h
g a 1
=
2h
g
a 1
=7
3
0, 6
9,8= 0,58 s.
8.57. Un cilindro di sezione S = 60 cm2, lunghezza l = 20 cm e densità = 9
g/cm3 galleggia su mercurio ( ’ = 13,6 g/cm3). Da una quota h = 30 cm rispetto alla base superiore del cilindro cade una massa m = 30 g che resta unita al cilindro. Trascurando la viscosità del mercurio, calcolare: a) il periodo delle oscillazioni del sistema, b) la loro ampiezza. (4)
______ a) Quando il cilindro, con la massa attaccata, affonda, la sua accelerazione è data dalla legge di Newton nella quale le forze agenti sono il peso e la spinta di Archimede sulla parte immersa in mercurio:
( V + m) g – ’g S (x + y) = ( V + m) a, ( S l + m) g – ’ g S (x + y) = ( S l + m) a,
dove x è la lunghezza della parte immersa del solo cilindro, mentre y è l’ulteriore affondamento dovuto all’impatto della massa m. Si ha dunque:
a =
' g S y
S l + m+ g
' g S x
S l + m,
tipica equazione di un moto armonico semplice di pulsazione
=' g S
S l + m
e periodo
T =2
= 2S l + m
' g S= 6,28
9 103 6 10 3 0,2 + 3 10 2
13, 6 103 9,8 6 10 3= 0,73 s.
318
b) Cominciamo col calcolare la posizione di equilibrio del cilindro, uguagliando il peso e la spinta di Archimede
m g = ’V imm g,
S l g = ’ S x g,
da cui
x = l'= 20
9
13, 6= 13,2 cm,
dove x è l’altezza della parte immersa. Quando sul cilindro incide la massa m, esso affonderà al massimo di un tratto s calcolabile mediante il principio di conservazione dell’energia: l’energia potenziale persa dalla massa m che si abbassa di un tratto h+s, sommata a quella persa dal cilindro che si abbassa di un tratto s, deve uguagliare il lavoro compiuto contro la spinta di Archimede, ovvero:
m g (h + s) + S l g s = ' S g y dy
x
s+ x=
1
2' S g (s
2+ 2 sx ),
da cui
' S s2 2m s 2m h = 0,
s =m ± m
2+ 2m h S '
S '=
3 10 2± 9 10 4
+ 2 3 10 2 81 3 10 1
81=
= 1,53 10 2 m = 1,53 cm. s è l’ampiezza delle oscillazioni.
8.58. Durante una trasfusione di sangue (densità s = 1 g/cm3) l’ago è inserito
in una vena dove esiste una pressione relativa p = 12 mmHg. Calcolare la minima altezza h alla quale, in assenza di viscosità del liquido, deve essere posto il contenitore perché il sangue possa entrare in vena.
(2) ______
Il sangue potrà entrare in vena se la pressione idrostatica esercitata dalla colonna di sangue di altezza h supera la pressione relativa p, cioè se
s g h > p,
e quindi,se
h >p
sg=
12
7601,01 10
5
1200 9,8= 13, 6 10
2m = 13, 6 cm.
319
8.59. Un bicchiere pieno d’acqua di massa complessiva M = 300 g viene posto sul piatto di una bilancia. Sull’acqua viene appoggiato un tappo di sughero di massa m = 8 g; se le densità dell’acqua e del sughero sono rispettivamente
a=1000 e s = 600 unità SI, quale peso misurerà ora la bilancia? (2)
______ Lo studente potrebbe commettere l’errore di ritenere che, dal momento che sul tappo si esercita la spinta di Archimede che lo fa galleggiare, esso risulti avere un peso inferiore a m g. La cosa non è vera, in quanto la spinta di Archimede sul tappo è una forza interna al sistema acqua-tappo, equilibrata dalla reazione sul fondo del bicchiere. La bilancia misurerà quindi una massa di 308 g e le due densità sono dati ridondanti. 8.60. Calcolare la pressione dinamica esercitata dall’acqua che scorre in regime stazionario in un condotto di sezione uniforme A = 300 cm2, sapendo che la portata di volume del condotto è QV = 30 l/s. (2)
______ La pressione dinamica è data da
p =1
2v2 ,
dove
v =QV
A
e quindi
p =Q
V
2
2 A2=
103 kg
m39 10 4 m6
s2
2 9 10 4 m4= 500 Pa.
8.61. Calcolare l’energia superficiale di una bolla saponata di raggio r = 3 cm,
sapendo che il coefficiente di tensione superficiale vale = 70 dyn/cm. (2)
______ Tenendo conto che la bolla ha due facce, una interna e una esterna, avremo
U = 2 S = 8 r2 = 8 . 3,14 . 9 .10–4 . 7 .10–2 = 1,58 mJ. 8.62. Una zattera di massa M e superficie S = 8 m2, carica di mattoni la cui massa totale è m = 800 kg attraversa trainata da una fune una piscina rettangolare di sezione A = 300 m2 quando, per una manovra avventata, perde tutto il carico, che precipita sul fondo.
320
Calcolare di quanto varia il livello dell’acqua nella piscina in seguito all’affondamento dei mattoni (densità dell’acqua: a = 1000 unità SI, densità dei
mattoni m = 5000 unità SI).
(5) ______
Cominciamo a ricavare di quanto varia l’altezza di zattera immersa in seguito alla caduta dei mattoni. Quando la zattera è carica, il peso complessivo zattera + mattoni uguaglia la spinta di Archimede sulla parte immersa x, ovvero deve essere
m g + M g = a g S x ,
x =m + M
aS.
Dopo la caduta, l’altezza della parte immersa x’ sarà invece:
x ' =M
aS.
Sarà allora
x = x x ' =m
aS
lo spessore di zattera che ora emerge in più, pari a un volume
V = S x =m
a
= 0,8 m3.
Ora però i mattoni sono in acqua e il volume da essi occupato è V = m/ m;
essendo a < m, risulta V > V, e quindi il livello dell’acqua si abbassa per un
volume
V V = 0,8 -
800
5000= 0, 64 m
3,
321
cui corrisponde un abbassamento del livello dell’acqua della piscina
h =
0, 64
300= 2,1 10
3m = 2,1 mm.
8.63. In un recipiente R di sezione A = 800 cm2 pieno d’acqua galleggia un secondo recipiente S contenente m1 = 400 g acqua sulla quale galleggiano
trucioli di legno di massa m = 200 g e densità = 700 unità SI; se questi vengono gettati in acqua, come varierà il livello dell’acqua nel recipiente R? (4)
______
La prima difficoltà che lo studente deve affrontare è stabilire se c’è qualche differenza sostanziale tra far galleggiare i trucioli nel recipiente S o il metterli direttamente sul fondo; premesso che, come si può vedere nel Problema 8.62, non esiste alcuna differenza, per risolvere questo problema che, proposto a bruciapelo, ha messo in difficoltà eminenti scienziati, osserviamo quanto segue: quando i trucioli vengono gettati nell’acqua del recipiente R, essi faranno aumentare il volume d’acqua di una quantità V+ = m/ a , dove a è la
densità dell’acqua; contemporaneamente, però, il volume d’acqua diminuisce perché la linea di galleggiamento del recipiente S si solleva essendo stati scaricati i trucioli; la diminuzione di volume sarà V- = m/ , quindi la variazione
di livello dell’acqua nel recipiente R sarà
h =V+ V
A=
m
A
1 1
a
=0,2
8 10 2
1
700
1
1000
= 1,07 10
3m =
= 1,07 mm. Si noti che il segno del dislivello dipende dai valori delle densità; essendo i trucioli più leggeri dell’acqua, si avrà un innalzamento del livello; se invece avessimo delle pietre sul fondo di S e le gettiamo in acqua, il livello si abbassa (vedasi Problema 8.62). Si osservi anche che il dato relativo alla quantità d’acqua contenuta in S è del tutto ridondante.
322
8.64. In un recipiente di vetro pieno d’acqua viene immerso un capillare di paraffina. Come si disporrà l’acqua nel capillare: come in a), in b) o in c)? (3)
______
L’acqua bagna il vetro, ma non bagna la paraffina, perciò si formerà un menisco convesso nel contatto acqua-paraffina e uno concavo nel contatto acqua-vetro. Non solo, ma, essendo convesso il menisco all’interno del capillare, la colonna d’acqua si abbasserà all’interno e la soluzione corretta è quindi la b). 8.65. Si vuole sollevare acqua da un pozzo mediante un tubo collegato a una pompa aspirante che crea il vuoto nel tubo. Qual è la massima profondità h dalla quale si può sollevare l’acqua?
(2) ______
La massima profondità si ricava imponendo che la pressione idrostatica esercitata da una colonna d’acqua di altezza acqua sia maggiore della pressione atmosferica p0 ovvero
g h > p0 ,
e quindi
h >p0
g=
1,01 105
103 9,8= 10,3 m.
8.66. Calcolare, in pascal, la pressione esercitata da una colonna di acqua alta 3 cm. (1)
______
Dal principio di Stevino
p = g h = 103 9,8 3 10 2= 294 Pa.
8.67. Una siringa tenuta orizzontalmente contiene acqua distillata; se la sezione S dello stantuffo è 20 volte maggiore di quella s del beccuccio di uscita, quale pressione si deve applicare allo stantuffo per far fuoruscire il liquido con velocità v = 10 cm/s?
323
(2) ______
La pressione da esercitare deve superare quella atmosferica, quindi dovrà essere, per l’equazione di continuità, indicando con v0 la velocità dell’acqua
distillata in corrispondenza alla sezione dello stantuffo:
v0 S = v s,
e quindi
v = 20 v0.
Per il principio di Bernoulli, dovrà allora essere
p +1
2v0
2> p0 +
1
2v2 ,
p > p0 +1
2(v
2v0
2) = 1,01 10
5+ 500 (400 v0
2v0
2) =
= 1,01 105+ 500 399 v0
2= 1,01 105
+ 500 399 10 2=
= 1,03 105 Pa = 1,02 atm.
8.68. Un tubo a U aperto agli estremi contiene due liquidi A e B non miscibili; i due liquidi sono in equilibrio come in figura, con h1 = 60 cm, h2 = 55 cm e h3 =
22 cm. Se il liquido A ha densità A = 1000 unità SI, quale sarà la densità del
liquido B ? (2)
______
Dobbiamo imporre che la pressione esercitata alla quota O della linea di separazione dalla colonna di altezza h1 sia uguale a quella esercitata dalla
colonna del liquido B alla stessa quota, cioè
Ah1 g = B (h2 h3 ) g,
B = Ah1
h2 h3
= 100060
33= 1818
kg
m3.
324
8.69. Una nave navigando in acqua dolce di densità o = 1000 unità SI sposta
una massa d’acqua m = 8 t; se navigasse in acqua salata con densità = 1100 unità SI, quale sarebbe la quantità d’acqua spostata?
(2) ______
La condizione di galleggiamento impone in entrambi i casi che il peso della nave sia uguale al peso di acqua spostata; dal momento che il peso della nave non cambia il peso di acqua spostata sarà lo stesso nei due casi e quindi la massa d’acqua spostata sarà sempre di 8 t, indipendentemente dalla densità dell’acqua. Quello che cambierà nei due casi è il volume immerso, che sarà minore per l’acqua salata che per l’acqua dolce. 8.70. Una bolla d’acqua saponata ha raggio r = 5 cm; se la differenza di pressione tra l’interno e l’esterno è p = 2 Pa, qual è la tensione superficiale dell’acqua saponata?
(2) ______
In generale, per una bolla di sapone vale la relazione
p =
4
r,
facilmente ricavabile dalla formula di Laplace. Si ottiene quindi
=
r
4p = 1,25 10
22 = 0,025
N
m.
8.71. Un rubinetto aperto collegato a un acquedotto di portata QV = 12 l/min
presenta una sezione del getto alla bocca S = 2 cm2. Calcolare il diametro del getto a distanza h = 40 cm dalla bocca del rubinetto.
(3) ______
Applicando il principio di conservazione dell’energia, si ricava che la velocità dell’acqua dopo essere discesa di un tratto h è
v1 = v
2+ 2g h ,
dove v è la velocità alla bocca. Per l’equazione di continuità, indicando con S1 la sezione del getto dopo il
tratto h, abbiamo
325
QV = v S = v1 S1 = v1
d2
4,
d =4QV
QV2
S2+ 2g h
=4 2 10 4
3,144 10 8
4 10 8+ 7,84
= 9,26 103
m = 9,26 mm.
8.72. Se la velocità dell’acqua in regime stazionario in un tubo di diametro d = 6 cm è v = 2 m/s, quale sarà la velocità in un tubo di diametro d’ = 3 cm collegato in serie al primo tubo ?
(2) ______
Nel regime stazionario vale l’equazione di continuità, secondo la quale si mantiene costante il prodotto v A, dove A è la sezione del condotto; nel nostro caso sarà, pertanto
vd
2
4= v'
d'2
4,
v' = vd
2
d'2
= 2 4 = 8m
s.
8.73. Se si immergono capillari in vetro con lo stesso raggio nei seguenti liquidi
densità (g/cm3)
tensione superficiale (N/m)
olio 0,8 0,02 glicerina 1,26 0,065 mercurio 13,6 0,47 benzolo 0,67 0,29
assumendo un angolo di contatto nullo, ricavare in ordine crescente il dislivello dei liquidi nei capillari. (2)
______ Dalla legge di Jurin-Borelli, il dislivello, a parità di raggio, dipenderà solo dal
rapporto / ; per i quattro liquidi elencati si hanno rispettivamente i seguenti valori 0,025 - 0,052 - 0,035 - 0,433, quindi la tentazione sarebbe di rispondere nell’ordine olio, mercurio, glicerina, benzolo, ma la domanda posta presenta una trappola; infatti tra i quattro liquidi elencati il mercurio presenta un abbassamento capillare, trattandosi di un liquido che non bagna il vetro, mentre gli altri tre bagnano il vetro e subiscono un innalzamento capillare. L’ordine corretto è allora: mercurio - olio - glicerina - benzolo.
326
8.74. Sui due piatti di una bilancia vengono posti due bicchieri uguali contenenti la stessa quantità di acqua e due sferette uguali con densità pari alla metà di quella dell’acqua. La prima galleggia liberamente, mentre la seconda è fissata al fondo da un filo ideale. Stabilire come si disporranno i piatti della bilancia.
(2)
_______
I piatti resteranno in equilibrio, infatti il piatto di sinistra sentirà la reazione alla spinta di Archimede che vale V g/2, con densità dell’acqua, mentre il piatto di destra sentirà la reazione alla tensione del filo e alla spinta di Archimede, ovvero il peso della sferetta che, essendo s = /2, vale anch’esso
V g /2.
