MECCANICA DEI FLUIDI

• Un fluido è un corpo che non ha una forma propria. La sua forma dipende da altri corpi che lo contengono (per esempio un recipiente, una condotta,…).

• Un fluido è composto da molte particelle: le molecole. Tuttavia ci interessa studiare il fluido dal punto di vista macroscopico, ovvero senza entrare nel dettaglio del moto delle singole molecole.

• Le grandezze fisiche che utilizzeremo per descrivere la meccanica dei fluidi sono:

– DENSITA’

– PRESSIONE

DENSITÀ La densità di un corpo (solido o fluido) è il rapporto tra la sua massa e il suo volume:

Unità di misura: kg/m3 nel SI

Densità relativa di un corpo:

densità =

massa

volume

densità relativa =

densità del corpo

ESEMPI: densità dell’acqua: ρH O = 1000 kg/m3

densità relativa dell’alluminio: dAl = 2,7

2

densità dell’acqua

Vi sono delle forze di contatto tra fluido e solido e tra diverse parti del fluido. La pressione è la forza per unità di area che si esercita perpendicolarmente ad una superficie all’interno o al bordo del fluido.

PRESSIONE

A

F

A F

p =

Unità di misura della pressione

-- Nel SI: Pascal (Pa)

1 Pa = 1 N / 1 m2

-- atmosfera

1 atmosfera = 101325 Pa

1 atmosfera = 760 mm Hg

-- torr

1 torr = 1 mm Hg = 133,3 Pa =

= 1,316 × 10-3 atm

La pressione all’interno del fluido e sulla sua superficie dipende in generale dalle forze esterne applicate al fluido e dal suo stato di quiete o di moto.

Se conosciamo la pressione in ogni punto del fluido possiamo calcolare la forza che esso esercita mediante la formula

F = pA

VELOCITÀ

Si dice che c’è un CAMPO di VELOCITÀ. La descrizione cinematica del fluido è data mediante questo campo di velocità, ovvero specificando la velocità nei diversi punti del fluido.

La velocità può variare da un punto all’altro del fluido, come nel corpo rigido. Questa volta però non c’è il vincolo di rigidità che permette di ridurre la distribuzione delle velocità alla conoscenza della velocità angolare. In generale avremo una distribuzione di velocità che ubbidisce ad altri vincoli che vedremo in seguito.

v1

v2

v3 v4

v6 v5

v7

v8

v9

Equilibrio di un fluido soggetto alla forza peso (gravità uniforme)

Nel caso dell’equilibrio la velocità è nulla in ciascun punto del fluido. E’ interessante vedere come varia la pressione all’interno del fluido e sulle superfici.

h

A

mg

Consideriamo una piccola area A piana e orizzontale all’interno del fluido. La forza che il fluido esercita su questa area per effetto della forza peso è:

F = mg = ρAh g

La pressione esercitata in quel punto è:

p = F/A = ρ g h

Legge fondamentale della statica dei fluidi

ΔS

mg

Δh

B

A

Ipotesi che accettiamo fin dall’inizio: la pressione dipende solo dalla quota, ovvero la pressione è la stessa in ogni punto di un piano orizzontale.

pAΔS

pBΔS

pA ΔS + mg - pB ΔS = 0

pB ΔS - pA ΔS = mg

pB ΔS - pA ΔS = ρ ΔS Δh g

pB - pA = ρ g Δh

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE UN CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO RICEVE UNA SPINTA DAL BASSO VERSO L’ALTO UGUALE AL PESO DI FLUIDO SPOSTATO Per «fluido spostato» si intende il peso di un volume di fluido pari al volume immerso del corpo. Se ρ è la densità del fluido,

V il volume della parte immersa del corpo, la spinta di Archimede è:

SA = ρVg

SA

SA

Il principio di Archimede è una conseguenza del principio fondamentale della fluidostatica.

ΔS

Δh

B

A

Consideriamo un corpo immerso in un fluido di densità ρ. Per semplicità supponiamo che il corpo sia un parallelebipedo di altezza Δh e area di base ΔS. La forza che il fluido esercita sulla faccia superiore ha modulo: pA ΔS La forza che il fluido esercita sulla faccia inferiore è diretta verso l’alto e ha modulo: pB ΔS La forza netta totale (verso l’alto) è data da: SA = pB ΔS - pA ΔS SA = (pB - pA ) ΔS Per la legge fondamentale della fluidostatica: pB – pA = ρg Δh SA = ρg Δh ΔS = ρg V

La Spinta di Archimede non è altro che la risultante delle forze che il fluido esercita sul corpo immerso.

ESEMPI E APPLICAZIONI

Principio di Pascal: se viene applicata una pressione esterna a un fluido racchiuso in un recipiente, in ogni punto del fluido la pressione aumenta della stessa quantità.

TORCHIO IDRAULICO

SA SB

FA FB

pA = FA/SA pA = FA/SA

pA = pB

FA/SA= FB/SB

FB = FA

SB

SA

ESPERIMENTO DI TORRICELLI

h B

A

pressione atmosferica

vuoto

mercurio

pA = 0

pB = 101325 Pa

ρHg = 13590 kg/m3

pB = ρgh

pB

ρg h = = 0,76 m

1 atm = 760 mm Hg

COME MISURARE LA DENSITA’ DI UN CORPO

P P-S

T1 = P T2 = P - S

T2

T1 P P - S = =

= 1 - S

P =

= 1 - ρacqua g V

ρcorpo g V =

= 1 - ρacqua

ρcorpo

ρcorpo = ρacqua

T2

T1 1 -

FLUIDODINAMICA

Studieremo il moto di un fluido in presenza della forza peso. Per semplicità ci limiteremo al caso in cui valgono le seguenti ipotesi:

1) Il fluido non è viscoso (non ci sono forza di attrito tra le diverse parti del fluido o tra il fluido e altri corpi con cui il fluido è in contatto)

2) Il moto dei fluidi è stazionario (ciò significa che in ogni punto del fluido la velocità è costante nel tempo – N.B. Questo non significa che tutti i punti del fluido hanno la stessa velocità)

Equazione di continuità

Consideriamo il moto di un fluido in un tubo. La velocità del fluido varia da punto a punto all’interno del fluido. Poiché il fluido è incompressibile (la sua densità è costante) e supponendo che non vi siano perdite nel tubo, il volume di fluido si conserva e ciò impone delle limitazioni alle possibili variazioni di velocità all’interno del fluido.

Supponiamo per semplicità che la velocità del fluido sia uniforme in ogni sezione del tubo (la velocità non cambia andando dal bordo del tubo verso il centro).

Fissiamo l’attenzione su una porzione di fluido: quella compresa tra le sezioni A e B del tubo (indicate in rosso). Dopo un intervallo di tempo Δt questa porzione di fluido si sarà spostata e sarà compresa tra le sezioni A’ e B’ del tubo (indicate in verde). Se la velocità del fluido in A è vA e quella in B è vB , le distanze AA’ e BB’ sono date da: AA’ = vA Δt ; BB’ = vB Δt

A B

A’ B’

vA Δt vB Δt

A B

A’ B’

vA Δt vB Δt

Il volume della porzione di fluido che stiamo considerando non è variato durante lo spostamento. Quindi il volume delimitato dalle sezioni A e A’ deve essere uguale a quello delimitato dalle sezioni B e B’. Se SA è la sezione del tubo in A e SB quella in B: SA vA Δt = SB vB Δt Ovvero SA vA = SB vB

Poiché i punti A e B sono stati scelti in modo arbitrario senza particolari specifiche, questa relazione vale per tutti i punti del tubo: S v = costante La grandezza Sv si chiama PORTATA e si misura in m3/s

Il teorema di Bernoulli è un analogo del principio di conservazione dell’energia meccanica. Consideriamo un fluido non viscoso, soggetto alla forza peso che fluisce in un tubo. Fissiamo l’attenzione sulla porzione di tubo compresa tra A e B. Nell’intervallo di tempo Δt questa porzione si sposta e occupa il volume delimitato dalle sezioni A’ e B’.

A

A’

B

B’

hA

hB

A

A’

B

B’

hA

hB

FA

FB

FA = pASA

FB = pBSB

L = FA AA’ - FB BB’ = pA SA AA’ - pB SB BB’ = = pA V- pB V = (pA - pB) V

Vogliamo calcolare il lavoro compiuto dal resto del fluido su questa sezione di fluido durante lo spostamento.

A

A’

B

B’

hA

hB

Calcoliamo la variazione di energia meccanica nel fluido. Osserviamo che, poiché il moto è stazionario, la parte di fluido compresa tra le sezioni A’ e B non subisce variazioni di alcun tipo. Tutto accade come se il fluido compreso tra le sezioni A e A’ si fosse spostato ad occupare lo spazio compreso tra le sezioni B e B’. Ricordiamo che il volume V di tale fluido è rimasto invariato nello spostamento.

Calcoliamo la variazione di energia meccanica nel fluido.

Energia meccanica del fluido in A:

E(A) = (1/2) mvA2 + mghA = (1/2) ρVvA

2 + ρVghA

Energia meccanica del fluido in B:

E(B) = (1/2) mvB2 + mghB = (1/2) ρVvB

2 + ρVghB

La variazione di energia meccanica deve essere uguale al lavoro:

L = E(B)-E(A)

(pA – pB) V = (1/2) ρVvB2 + ρVghB - (1/2) ρVvA

2 - ρVghA

pA – pB = (1/2) ρvB2 + ρghB - (1/2) ρvA

2 - ρghA

pA + (1/2) ρvA2 + ρghA = pB + (1/2) ρvB

2 + ρghB

Poiché i punti A e B sono stati scelti in modo arbitrario, la precedente espressione ha lo stesso valore in ogni punto del fluido:

p + (1/2) ρv2 + ρgh = costante

Osservazioni:

1. Il teorema di Bernouilli è di fatto un principio di conservazione dell’energia. C’è una differenza rispetto al principio di conservazione visto per un punto materiale. Adesso l’espressione p + (1/2) ρv2 + ρgh oltre ad essere costante nel tempo è anche UNIFORME, ovvero ha lo stesso valore in ogni punto del fluido.

2. I termini che compaiono nell’espressione p + (1/2) ρv2 + ρgh hanno le dimensioni di una energia per unità di volume, ovvero di una DENSITA’ DI ENERGIA. Quindi il teorema di Bernouilli afferma che la densità di energia è uniforme nel fluido.

3. Per un fluido in equilibrio e soggetto alla forza peso, v = 0 e dal teorema di

Bernouilli otteniamo:

pA + ρghA = pB + ρghB

pB - pA = + ρg(hB- hA)

LA LEGGE FONDAMENTALE DELLA FLUIDOSTATICA E’ UN CASO PARTICOLARE

DEL TEOREMA DI BERNOUILLI

FLUSSO LAMINARE

Modello di flusso laminare: il fluido è suddiviso in strati all’interno dei quali la velocità è uniforme.

Le lamine più veloci tendono a trascinare con se quelle più lente per effetto delle forze di attrito.

La forza di attrito si esercita parallelamente alle lamine.

VISCOSITA’

E’ una proprietà legata alle forze di attrito che diverse parti del fluido esercitano tra di loro o con la parete della condotta.

In un fluido viscoso che scorre in un tubo la velocità non è costante in una sezione del tubo: la velocità è maggiore al centro del tubo.

v

Coefficiente di viscosità

Consideriamo un fluido confinato tra due lastre parallele di area A e distanti tra loro z. Teniamo ferma la lastra inferiore e facciamo scorrere quella superiore con una velocità costante v applicandovi una forza F

Tale forza è necessaria perché il fluido vicino alla lastra superiore esercita su essa una resistenza viscosa che si oppone al moto : ogni strato di fluido esercita su quelli adiacenti ad esso una forza resistente così che la velocità del fluido vicino alla lastra alla quale è applicata F è v mentre è quasi nulla vicino alla lastra inferiore, variando linearmente con la quota.

A F

v

z

F = v A z

η

η coefficiente di viscosità

[Pa s]

RESISTENZA DI UN TUBO

Consideriamo un fluido a sezione constante, orizzontale.

Per l’equazione di continuità:

v1 = v2

Per il teorema di Bernouilli:

p1 = p2

Se il fluido è non viscoso, in un tubo orizzontale a sezione costante, la pressione è costante.

In realtà, a causa della viscosità, si osserva una caduta di pressione.

1

2

v1 v2

Q = Portata

R = Resistenza

Si può dimostrare che:

R =

L = distanza tra i punti 1 e 2

r = raggio del tubo

p2 – p1 = QR

8 η L

π r4

TURBOLENZA

All’aumentare della velocità il modello del flusso laminare non è più valido. Il moto del fluido è disordinato e si definisce turbolento.

NUMERO DI REYNOLDS

NR =

Il numero di Reynolds è adimensionale e permette di valutare se il flusso di scorrimento è in regime laminare e turbolento

NR < 2000 FLUSSO LAMINARE

NR > 3000 FLUSSO TURBOLENTO

2 r ρ v

η