376

11 Teoria cinetica dei gas

(24 problemi, difficoltà 74, soglia 52)

Formulario

m massa di una molecola

M peso molecolare

N numero totale di molecole

No numero di Avogadro

n numero di moli

M massa totale del gas

vqm velocità quadratica media

vp velocità più probabile

cammino libero medio

N affollamento molecolare

k costante di Boltzmann

f numero di gradi di libertà

U energia interna

r raggio molecolare

densità

Legge di Joule-Clausius

p =1

3vqm

2

U =3

2n R T ( gasmonoatomico)

Velocità quadratica media

vqm =

vi

2

i=1

n

N=

3R T

M

377

Equipartizione dell’energia

U =

f

2n R T

Cammino libero medio

=1

4 r2N

(classico)

C=

3

4(Clausius)

M=

2(Maxwell)

Distribuzione delle velocità secondo Maxwell

dN

dv=

4N m

2k T

3/2

v2e

m v2

2k T

Velocità più probabile

vp =

2R T

M=

2

3vqm

Unità di misura

Affollamento molecolare m–3

Costante di Boltzmann

J

K

Peso molecolare

kg

mol

Numero di Avogadro mol–1

Problemi svolti 11.1. Le ascisse dei massimi di tre maxwelliane dello stesso gas a temperature differenti sono 1,00 km/s, 1,41 km/s e 2,05 km/s. Calcolare: a) il rapporto tra le temperature delle prime due curve; b) la velocità quadratica media della terza curva. (2)

378

______ a) L’ascissa del massimo di una maxwelliana rappresenta la velocità più probabile

vp =

2R T

M,

pertanto il rapporto richiesto, per lo stesso gas, sarà

T1

T2

=vp1

2

vp22 = 0,5.

b) Dalla stessa definizione di velocità quadratica media, risulta che essa vale

vqm =

3

2vp = 1,22 2,05 = 2,51

km

s.

11.2. A quale temperatura le molecole di un gas perfetto hanno energia cinetica media pari alla metà di quella che possiedono a 20 °C? (2)

______ L’energia cinetica media di un gas perfetto, chiamata anche energia interna, per una molecola di gas si esprime come

U =

f

2k T,

essendo f il numero di gradi di libertà e k la costante di Boltzmann. Se l’energia interna si dimezza, deve dimezzarsi anche la temperatura assoluta, ovvero deve passare da 293,15 K a 146,6 K, ovvero deve ridursi a –126,6 °C. 11.3. La velocità quadratica media di un gas perfetto di peso molecolare 32 g/mol è 400 m/s. Qual è l’energia traslazionale media di n = 2 mol di tale gas?

(2) ______

L’energia traslazionale è riferita solo ai tre gradi di libertà del centro di massa della molecola ed è sempre la stessa indipendentemente dal fatto che il gas sia mono-, bi- o poliatomico, pertanto sarà

U =

3

2n R T,

ma, per la definizione di velocità quadratica media, è anche

T =

M vqm2

3R,

379

quindi

U =

1

2n M vqm

2= 32 10

316 10

4= 5,12 kJ.

11.4. Un recipiente a pareti metalliche di sezione A = 80 cm2 è appoggiato su un termostato ed è munito di un pistone scorrevole di massa M = 10 kg che comprime n = 0,1 mol di gas ideale di volume V = 3,2 l. Sul pistone, inizialmente in equilibrio alla pressione atmosferica po = 1 atm, viene

appoggiato un blocchetto di massa m = 2 kg, calcolare: a) di quanto si abbassa il pistone, b) la temperatura del termostato.

(4)

______

a) Scriviamo l’equazione di stato di Clapeyron nello stato iniziale e in quello finale, tenendo presente che oltre alla pressione atmosferica agisce sul gas la pressione dovuta al peso del pistone, inizialmente, e al peso del pistone e del blocchetto alla fine; abbiamo allora, indicando con V’ il volume finale e con T la temperatura del termostato, quindi del gas, all’inizio e alla fine

po +M g

A

V = n R T,

po +M + m

Ag

V ' = n R T,

da cui:

po +M g

A

V = po +

M + m

Ag

V ' ,

V ' = V

po +M g

A

po +M + m

Ag

= 3,2

101325 +98

8 10 3

101325 +117, 6

8 10 3

= 3,2113575

116025= 3,13 l.

La quota finale del pistone dal fondo del recipiente è allora

h’ = V’/A = 39,16 cm, mentre inizialmente era

h = V/A = 40 cm. Il pistone si è quindi abbassato di 8,4 mm.

380

b) La temperatura del termostato si calcola da una qualsiasi delle due equazioni di stato, per esempio quella dello stato iniziale

T =

po +M g

A

V

n R=

113575 3,2 10 3

0,1 8,31= 437,3 K.

11.5. a) Qual è la variazione di energia interna traslazionale di una massa m = 96 g di ossigeno riscaldata di 30 °C? b) Quante molecole vi sono nel gas? c) Qual è la massa di una molecola di ossigeno?

(3) ______

a)

U =

3

2n R T =

3

2

96

328,314 30 = 1,12 kJ ;

b)

N = No n = 3 N

o = 3. 6,02 . 10 23 = 1,8 . 10 24 molecole;

c)

m =

96 10 3 kg

1,8 1024= 5 ,3 10

26kg .

11.6. Quante molecole di un gas perfetto sono contenute in un recipiente di volume V = 1 l a temperatura t = 20 °C e a pressione p = 200 mmHg? (2)

______ Dall’equazione di stato dei gas perfetti, si ha

p V = n R T = n

k

N o

T = N k T,

dove N è il numero di molecole, k la costante di Boltzmann ed No il numero di

Avogadro; sarà allora:

N =p V

k T=

200

7601,01 10

510

3

1,38 10 23. 293,15

mmHg

mmHg

atm

Pa

atm

m3

l

J

KK

= 6,57 1021

molecole.

11.7. A quale profondità h si formano le bollicine di gas nell’acqua di uno stagno, se il raggio di tali bollicine allorché raggiungono la superficie è r2 = 1

μm, mentre era r1 = 0,9 μm alla nascita? La pressione atmosferica è po = 105 Pa

e si ipotizzi che la salita avvenga a temperatura costante. (4)

381

______ Trascuriamo ogni effetto della pressione interna delle bolle dovuto alla tensione superficiale. La differenza di pressione agente sulle bolle tra la posizione sul fondo dello stagno e quella in superficie è, per il principio di Stevino:

p1 – po = g h;

essendo il processo isotermico, sarà anche

p1 V1 = po V2,

o anche

( po + g h)

4

3r1

3= po

4

3r2

3

e quindi

h =po

g

r2

r1

3

1

=105

103 9,8(1,37 1) = 3,8 m.

11.8. Versando acqua minerale gassata fredda in un bicchiere, si osserva che sul fondo del bicchiere sono ferme delle bollicine di gas sferiche di diametro d = 1 mm. Tali bollicine, se il bicchiere viene lasciato alla temperatura ambiente t = 20°C, risalgono in superficie senza dilatarsi e, qui giunte, si rompono liberando il gas occluso. Se l’altezza dell’acqua nel bicchiere è h = 8 cm, la

densità dell’acqua è a= 1000 unità SI e il peso molecolare del gas occluso è M

= 44 g/mol, calcolare, trascurando la viscosità dell’acqua: a) il numero di moli di gas contenuto in ogni bollicina, b) la densità del gas occluso, c) la velocità con cui le bollicine arrivano in superficie.

(5) ______

a) Le bollicine sono sottoposte alla pressione idrostatica dell’acqua sovrastante e alla pressione atmosferica; inizialmente, quando sono fredde, la loro pressione interna è inferiore a quella esterna ed esse restano sul fondo. Dopo un certo tempo, l’aumento di temperatura fa aumentare la pressione interna e, nel momento in cui questa uguaglia o supera la pressione esterna, le bollicine cominciano a salire verso l’alto. In tali condizioni possiamo scrivere

n R T

V= g h + patm ,

dove n è il numero di moli di gas occluso in una bollicina, V il suo volume e patm la pressione atmosferica. Risulta quindi

n =g h + patm( )V

R T=

103 9,8 8 10 2 +1,01 105( ) 4 3,14 1,25 10 10

8,31 293,15 3=

= 2,2 10 8 mol.

382

La massa di ogni bollicina sarà

m = n M = 2,2 108

44 103= 9, 68 10

10kg.

La pressione del gas occluso è invece

p =n R T

V=

3n R T

4 r3=

3 2,2 10 8 8,31 293,15

12,56 1,25 10 10= 1,024 10

5Pa = 1,011 atm.

b) La densità del gas sarà

=

m

V= 1,85

kg

m3.

c) Ricorriamo al principio di Bernoulli, immaginando che il percorso di una bollicina sia un condotto di altezza h.

Riferendoci alle due posizioni 1 e 2 rispettivamente sul fondo del bicchiere e al pelo libero dell’acqua, abbiamo, sapendo che la bollicina è ferma sul fondo:

p1= p

2+

1

2v2

+ gh,

ma

p1= p

0+

agh e p

2= p

0,

quindi

agh =

1

2v2

+ gh,

da cui

v =2g h(

a)= 2g h a 1 =

= 19,6 8 10 2 539,5 = 29,1m

s.

N.B. Il valore chiaramente troppo alto della velocità è dovuto all’aver trascurato la

viscosità dell’acqua.

383

11.9. Un serbatoio sigillato e pressurizzato alto H = 5 m a pressione p = 3 atm è pieno d’acqua fino all’altezza h = 4 m. Trascurando ogni attrito e assumendo a

« A, calcolare la velocità di efflusso dal tubicino laterale, ipotizzando per l’aria sovrastante un processo isotermico, quando il livello dell’acqua è a metà recipiente.

(4)

______

Trattandosi di un processo isotermico, deve essere

p V = p1 V1,

dove p1 è la pressione dell’aria quando il livello dell’acqua si è dimezzato e V1 =

H A/2 il corrispondente volume; risulta allora

p1 =

p V

V1

=2 p V

H A=

2 p(H h)

AH A

=2 p(H h)

H= 1,2 atm.

Applicando poi il principio di Bernoulli alle due sezioni A e a e tenendo conto

che all’uscita del tubicino agisce la pressione atmosferica po = 105 Pa, si ha

p1 +

1

2v A

2+ g

H

2= p

o+

1

2v

eff

2;

ma, per l’equazione di continuità, essendo a « A, risulta vA = 0, per cui

veff =2

p1 po +g H

2

=

2

103(0,2 10

5+ 500 9,8 5) = 9,4

m

s.

11.10. Un recipiente cubico sigillato di lato d = 2 m a pareti metalliche sottili contiene acqua fino a quota h = d /2 e per il resto aria a pressione p = 1 atm. Se sul fondo viene tolto il tappo, calcolare quale sarà la nuova altezza dell’acqua all’equilibrio, ipotizzando un processo isotermico. (4)

384

_______ Mentre l’acqua fuoriesce dal tappo, il volume dell’aria aumenta secondo la legge di Boyle

p

d3

2= p ' d

2(d x ),

dove x è l’altezza del livello dell’acqua. La nuova pressione dell’aria sarà allora

p ' =

p d

2(d x ).

L’acqua cessa di defluire quando la somma delle pressioni dell’aria e dell’acqua uguaglia la pressione atmosferica, cioè quando

p ' + g x = p,

p d

2(d x )+ g x = p,

2 g x2

2x ( p + g d) + p d = 0,

x =p + g d ± p2

+2 g2 d2

2 g=

11,44 m

0,904 m

.

La prima soluzione è priva di significato fisico perché la quota finale dell’acqua risulterebbe superiore a quella iniziale e all’esterno del recipiente. L’acqua verrà quindi a trovarsi a un livello di 90,4 cm.

385

11.11. In un barometro torricelliano la cui canna è lunga l = 1,00 m (circa la lunghezza della canna originale di Torricelli) si è infiltrata dell’aria al di sopra del mercurio. Se il barometro indica una pressione p1 = 700 mmHg quando la

pressione atmosferica è po = 760 mmHg, quanto leggerà quando la pressione

atmosferica è p = 750 mmHg? (5)

______ In prima approssimazione si può risolvere il problema impostando una proporzione, dalla quale risulterebbe immediatamente

x

750=

700

760,

da cui

x = 690,8 mmHg.

Ma vedremo ora che la soluzione rigorosa è leggermente differente. Se la canna è lunga l, quando il barometro legge p1 l’aria sovrastante il

mercurio esercita una pressione pa = po– p1 = 60 mmHg, occupando un volume

Va = S h, dove S è la sezione interna della canna e h = 30 cm.

Applicando all’aria la legge dei gas perfetti, ricaviamo il numero di moli d’aria

n =

( po p 1)S h

R T.

Quando la pressione atmosferica è diventata p, sarà invece

n =

( p x )S h'

R T,

dove abbiamo ipotizzato un processo isotermico e dove

h' = l

x

g

è la nuova altezza della colonna d’aria sovrastante il mercurio. Possiamo allora scrivere

( po p 1)h = ( p x ) lx

g

,

dove è la densità del mercurio e x/ g è l’altezza della colonna di mercurio

corrispondente alla pressione x. Abbiamo allora

x2 x(p + g l) + g p l + h(p

1p

o) = 0,

386

e quindi

x =

p + g l ± (p + g l)2 4 g pl +h(p1

po

2.

Prevedendo piccoli scostamenti dal valore trovato mediante la proporzione, è bene premunirsi usando più cifre decimali nei valori numerici. Esattamente

g = 9,80665 m/s2, po = 101325 Pa, p = 99992 Pa, p1 = 93326 Pa.

Abbiamo dunque, sostituendo i valori numerici,

x =99992 +133370 ± 5,446 1010 533481(99992 2400)

2=

=233362 ± 5,446 1010 5,206 1010

2=

233362 ± 48990

2=

141176 Pa = 1,39 atm

92186 Pa = 0,91 atm

.

La prima soluzione va scartata perché priva di significato fisico, in quanto maggiore della pressione atmosferica; la soluzione accettabile è la seconda

x = 0,91 atm = 691,6 mmHg. L’errore percentuale commesso col metodo proporzionale è

%=

0,8

691, 6100 = 0,11 %.

11.12. Calcolare: a) la velocità quadratica media di un gas ideale monoatomico di peso molecolare M = 22 g/mol alla temperatura T = 500 °F; b) la velocità quadratica media alla stessa temperatura di un gas ideale di peso molecolare M’ = 28 g/mol; c) l’energia cinetica media di una molecola del secondo gas.

(3) ______

a) Risulta

vqm =

3R T

M,

dove T è espressa in kelvin. Essendo

500° F =

5

9(500 32)° C = 260° C = 533,15 K,

risulta

vqm =

3 8,31 533,15

22 10 3= 777,3

m

s.

387

b)

vqm

'= vqm

M

M'= 777,3

22

28= 689

m

s.

c) L’energia cinetica media di una molecola del secondo gas vale

U2 =

5

2k T = 2,5 1,38 10

23533,15 = 1,84 10

20J.

11.13. Una moneta di massa mo = 10 g e superficie S = 3 cm2 cade in aria

mantenendosi orizzontale; se tutte le molecole dell’aria avessero la stessa velocità quadratica media diretta verticalmente verso l’alto, urtando elasticamente la faccia inferiore della moneta, quale dovrebbe essere la minima pressione dell’aria perché la moneta, anziché cadere, si possa muovere verso l’alto? Si trascurino la viscosità dell’aria e la spinta di Archimede.

(4) ______

La forza esercitata dall’urto delle molecole sulla faccia inferiore della moneta deve essere maggiore del peso. Calcoliamo tale forza: trattandosi di un urto elastico, la variazione di quantità di moto di una molecola di massa m quando urta la faccia della moneta è 2 m v, essendo v la velocità della molecola incidente. Allora

F =

q

t=

2m v N

t,

essendo N il numero di molecole che urtano tale faccia. Ma mN/ t è la portata

di massa del getto d’aria, che si può anche scrivere come v S; risulta quindi

2 v2 S > mo g.

Se assumiamo per v la velocità quadratica media delle molecole

vqm =

3R T

M,

con M peso molecolare dell’aria, si ha

6R T

MS > mog,

e quindi, essendo =p M

R T,

p >mo g

6S=

10 2 9,8

6 3 10 4= 54,4 Pa.

388

11.14. Calcolare la minima temperatura alla quale l’elio (M = 4 g/mol) può sfuggire dall’atmosfera terrestre (massa e raggio terrestri: mT= 5,98.1024 kg, rT =

6,36.106 m). (3) ______

Basta imporre che la velocità quadratica media degli atomi di elio nell’atmosfera terrestre superi la velocità di fuga di un atomo di elio, ovvero che

3R T

M>

2 Gm T

rT

,

da cui

T >2 G M mT

3 R rT

=2 6, 67 10 11 4 10 3 5,98 1024

3 8,31 6,36 106= 20125 K.

Il valore trovato pare non possa giustificare la fuga di elio dall’atmosfera terrestre, tuttavia dobbiamo tener conto che, per la forma della maxwelliana, anche a temperature di molto inferiori a quella trovata un gran numero di atomi di elio ha una velocità superiore a quella di fuga.

11.15. n1 = 6 mol di idrogeno vengono mescolate con n2 = 2 mol di elio alla

stessa temperatura T = 300 K in un recipiente adiatermano a pareti rigide. Calcolare: a) il rapporto tra le energie cinetiche di traslazione dei due gas, b) l’energia interna totale dei due gas una volta raggiunto l’equilibrio termico.

(3) ______

Questo problema apparentemente elementare presenta invece due trabocchetti. Il primo riguarda la domanda a): infatti l’energia cinetica di traslazione di un gas non dipende dal numero f di gradi di libertà delle sue molecole, ma è sempre

3

2n R T

per qualsiasi gas; a seconda del valore di f saranno invece differenti i contributi energetici rotazionali. Il rapporto cercato vale quindi 1. b) Non è affatto scontato che mescolando due gas alla stessa temperatura si raggiunga l’equilibrio termico a quella stessa temperatura; ciò accade solo, come viene ipotizzato in questo caso, se il mescolamento avviene in un recipiente adiatermano e a pareti rigide; infatti, se così non fosse si potrebbe verificare una dispersione di calore e un compimento di lavoro di deformazione delle pareti il cui risultato sarebbe una diminuzione di temperatura. Nel caso in esame abbiamo:

U = U1 + U2 =

5

2n1R T +

3

2n2R T = 18 R T = 18 8,31 300 = 44,9 kJ.

389

11.16. Una massa M = 30 g di un gas perfetto occupa un volume V = 320 l a

temperatura T = 300 K e la velocità quadratica media delle sue molecole è vqm =

1800 m/s. Calcolare: a) la pressione sulle pareti e b) il peso molecolare del gas. (2)

______ a) Dalla legge di Joule-Clausius ricaviamo la pressione

2 6

2 2 5

qm qm

1 1 3 10 3,24 101,01 10 Pa 1atm.

3 3 3 0,32p v v

V= = = = =

M

b) Risulta

M =3R T

vqm2

=3 8,31 300

3,24 106= 2,31 10

3 kg

mol= 2,31

g

mol.

11.17. In un recipiente a pareti rigide sono contenute N = 6 mol/m3 di elio.

Calcolare: a) la massima velocità quadratica media degli atomi di elio, se il recipiente può sopportare una pressione massima pmax = 2 atm; b) la

corrispondente temperatura assoluta del gas in tali condizioni. (2)

______ Facciamo notare che talvolta, come in questo caso, in un problema non si possa rispettare l’ordine in cui vengono poste le domande. b) La quantità N è l’affollamento molare, ovvero il numero di moli di gas per unità

di volume; dall’equazione di Clapeyron si ottiene subito

max

np RT RT

V= = N

e quindi 5

max2,02 10

4051 K.6 8,31

pT

R= = =N

a) La pressione esercitata dal gas sulle pareti del recipiente è espressa dalla legge di Joule-Clausius, per cui possiamo scrivere, indicando con M il peso molecolare

dell’elio ed M la sua massa

1

3vqm

2< pmax

e quindi

vqmmax

=3p

max=

3pmax

M / V=

3pmaxV

nM=

3pmax

N M=

3 2,02 105

6 4 10-3= 5,02

km

s.

390

11.18. Una massa M = 48 g di ossigeno ideale occupa un volume V = 2 l a

temperatura T = 300 K. Calcolarne: a) la velocità quadratica media delle molecole, b) la pressione, c) la densità, d) l’energia interna.

(2)

_______ a)

vqm =

3R T

M=

3 8,31 300

32 10 3= 483,4

m

s.

b)

26

3 3

4,8 10 8,31 3001,87 10 Pa 18,5atm.

32 10 2 10

n RT RTp

V MV= = = = =

M

c) La densità di un gas ideale si può sempre esprimere come

=

p M

R T=

1,87 106 32 10 3

8,31 300= 24

kg

m3.

d)

U =

5

2n R T =

5M R T

2M=

5 4,8 102

8,31 300

64 103

= 9,35 kJ.

11.19. Si definisce cammino libero medio delle molecole di un gas la

distanza media percorsa da una molecola tra due urti successivi. Sapendo

che la teoria fornisce la seguente legge

=k T

4 r2p,

con r raggio delle molecole e k costante di Boltzmann, calcolare in aria, la cui

densità è = 1,3 unità SI e il cui raggio molecolare medio è r = 3.10–8 cm.

(3) ______

Essendo la densità di un gas ideale data da

=p M

R T,

e ricordando che k = R/No = 1,38.10–23 J/K, si ricava immediatamente

=k T

4 r2p=

k M

4 r2R=

1,38 10 23 29 10 3

12,56 9 10 20 8,31 1,3= 3,3 10

8m = 33 nm.

391

11.20. a) Calcolare il libero cammino medio delle molecole di un gas ideale di

raggio molecolare r = 0,2 nm contenute in quantità N = 1012 in un impianto a vuoto di volume V =10 l. b) Se la temperatura del gas residuo è T = 280 K, qual è la pressione?

(3) ______

a) Utilizzando la relazione

=k T

4 r2p,

si ha

=RV

4 Nor

2n R

=V

4 Nor

2n

=V

4 N r2=

102

12,56 1012

4 1020

= 19,9 km.

b)

p =N k T

V=

1012 1,38 10 23 280

10 2= 3,86 10 7 Pa = 3,81 10 12 atm =

= 2,89 109

mmHg,

quasi il vuoto dello spazio interstellare.

11.21. Calcolare la pressione di una miscela di gas ideali contenuta alla

temperatura t = 150 °C in un volume V = 2,5 l costituita da N1 = 1015 molecole

di ossigeno, N2 = 4.1015 molecole di azoto e da M = 0,33 μg di argon (peso

molecolare M = 38 g/mol). (2)

______ Applicando l’equazione di Clapeyron:

15 10

21

23 3 3

o o

2 7 -4

5 10 3,3 10 8,31 423,15

6,02 10 38 10 2,5 10

2,39 10 Pa 2,36 10 atm=1,8 10 mmHg.

Nn RT N RTp

V N N M V= = + + = + =

= =

M

11.22. Un gas perfetto di peso molecolare M = 87 g/mol si trova a pressione p = 50 kPa e a temperatura t = 100 °F. Calcolarne: a) la densità, b) il volume molare, c) la velocità quadratica media.

(3) ______

392

Innanzi tutto trasformiamo la temperatura dalla scala Fahrenheit a quella Kelvin mediante la relazione

T = 273,15 +

5

9( tF 32) = 310,9 K.

a)

=

p M

R T=

5 104 8,7 10 2

8,31 310,9= 1, 68

kg

m3.

b)

2 328,7 10 m

5,18 10 .1,68 mol

V V Mv

n

M

= = = = =M

c) Dalla legge di Joule-Clausius:

vqm =3 p

=3 5 104

1, 68= 298,8

m

s.

11.23. Clausius propose per il calcolo del cammino libero medio di tener conto del moto relativo delle molecole, ricavando la formula

2

3,

16 r=

N

dove N è l’affollamento molecolare, ovvero il numero di molecole per unità di

volume. In tale modello tutte le molecole possedevano la stessa velocità media che, secondo la teoria cinetica, doveva valere, con ovvio significato dei simboli

v =8R T

M.

Sapendo che il coefficiente di viscosità di un gas risulta espresso dalla relazione

=

v

3,

ricavare la dipendenza di dalla temperatura e calcolarne il valore per un gas di

peso molecolare M = 44 g/mol e raggio molecolare r = 0,23 nm alla temperatura

T = 300 K. (4)

______ Risulta

=16 r

2N

8RT

M=

V

16 r2N

8RT

M=

M

16 r2N

8RT

M=

nM

16 r2N

8RT

M=

=M

16 r2N

o

8RT

M=

1

r2N

o

R M T

323

= 1,5 1025 M T

r2

.

393

Eseguendo i calcoli

= 1,5 10

2544 10 3 300

5,29 10 20= 1,03 10

5daP.

N.B. Mentre per i liquidi è inversamente proporzionale alla temperatura, per i gas

esso risulta invece proporzionale alla sua radice quadrata. Tale diversità di

comportamento si spiega col fatto che, all’aumentare della temperatura aumenta il

numero di urti e quindi l’entità dell’attrito interno in un gas.

11.24. Se le molecole di un gas perfetto a temperatura T hanno una velocità più probabile vp= 900 m/s, calcolare la percentuale di molecole la cui velocità è

compresa tra 900 e 901 m/s. (3)

______ La teoria di Maxwell prevede che il numero di molecole per unità di volume la cui velocità è compresa tra v e v + dv è

23/2

2 24

e ,2

mv

kTm

d v dvkT

=N

N

dove m è la massa di una molecola ed N è l’affollamento molecolare. La velocità

più probabile è espressa da

vp =

2kT

m=

2RT

M,

perciò risulta, ponendo v = vp e dvp = 1 m/s, che la percentuale cercata è

3 2 1

p p

p

4 400100 ( ) e 100 0,1%.

ev v

v

= = =N

N