Esercitazione 1:

Costruzione di un istogramma. Costruzione di piramidi per eta.

Indici di struttura di una popolazione

Viviana Amati

21/04/2010

Introduzione

Una popolazione puo essere definita come un insieme di individui che, accomunati da caratteri-stiche territoriali, o etniche, o sociali, o religiose o di altro tipo, risultano soggetti ad un processodi rinnovamento sotto il profilo quantitativo o qualitativo.Essendo un collettivo diventa difficile descrivere una popolazione andando a caratterizzare ognisingolo individuo e percio e necessario disporre di misure “sintetiche” in grado di coglierne iprincipali aspetti. Il primo elemento che viene in mente e l’ammontare della popolazione, espres-so dal numero di individui che la compongono. La conoscenza di questa informazione non e peroesaustiva, infatti popolazioni che presentano la stessa numerosita possono presentare caratteri-stiche diverse. Ad esempio, possono essere piu o meno “giovani” o “vecchie” o presentare unaproporzione maggiore di donne rispetto agli uomini. Per tale ragione l’ammontare della popo-lazione deve essere affiancato da altre informazioni che descrivono le caratteristiche strutturalidi un determinato collettivo.Nei paragrafi che seguiranno si osservera l’importanza della composizione della popolazione se-condo le classi d’eta degli individui che ne fanno parte. Per esempio se una popolazione mostrauna percentuale di anziani piu elevata rispetto a quella dei giovani, le politiche di interventosaranno ben diverse da quelle applicate ad una popolazione con una quota piu elevata di gio-vani.Siccome l’eta gioca un ruolo rilevante nelle dinamiche e nelle politiche di intervento di un col-lettivo, e necessario definirla in modo preciso. In particolare e possibile misurare l’eta secondodue criteri distinti:

1. l’eta in anni compiuti : indica il numero di anni interamente vissuti. Dire dunque “Hovent’anni” significa che la persona puo avere 20 anni esatti o 21 meno un istante;

2. l’eta in anni iniziati : fa ricorso ad un numero ordinale. La stessa persona di prima potrebbedire “Ho ventun’anni” intendendo che avendo superato il ventesimo compleanno e entratonel suo ventunesimo anno di vita. Anche in questo caso egli potra avere 20 anni esatti o21 meno un istante.

Il criterio dell’eta in anni compiuti e il piu utilizzato e sara quello qui adottato.

La piramide delle eta

Per descrivere la struttura per eta e la composizione per genere di una popolazione si ricorre aduno strumento grafico chiamato “piramide dell’eta”. Essa si configura come una rappresentazionegrafica per istogrammi in cui i rettangoli anziche essere affiancati sono sovrapposti. E’ dunquenecessario introdurre il concetto di istogramma.

L’istogrammaUn’istogramma e una rappresentazione grafica per distribuzioni di frequenza di dati di naturaquantitativa in cui i valori assumibili da una variabile vengono organizzati in intervalli disgiuntie a ciascuno di essi viene associata la corrispondente frequenza assoluta Fi.Si supponga di avere a disposizione le seguenti informazioni organizzate per classi di eta.

Classi di eta Popolazione0-19 15020-65 30066-100 240

La tabella qui sopra rappresenta cio che in statistica viene chiamata “seriazione”. La prima rigadella tabella ci dice ad esempio che 150 persone all’interno della popolazione considerata hannoeta compresa tra 0 e 19 anni di eta. La classe 0-19 rappresenta l’intervallo delle eta, mentre 150la frequenza.

1

A partire da queste informazioni si costruisce l’istogramma ponendo sull’asse delle ascisse le classidi eta e sull’asse delle ordinate le frequenze assolute. Ciascuna frequenza viene a coincidere conun rettangolo di base pari all’ampiezza della classe di eta e altezza uguale al numero di individuiin quella classe.

Classi di età

Fre

quen

ze a

ssol

ute

0 20 40 60 80 100

050

100

150

200

250

300

350

Figura 1: Istogramma basato sulle frequenze assolute

Riflettiamo...

Dai dati e dalla rappresentazione grafica di Figura 1 si osserva chela classe di eta che presenta frequenza maggiore e la seconda. Essapero ha anche associata l’ampiezza maggiore e la maggior frequenzapotrebbe essere giustificata proprio dal fatto che questa classe inglo-ba al suo interno piu eta. Da cio segue che perde senso confrontarele frequenze assolute delle classi di eta considerate, quando questehanno un’ampiezza diversa. DUunque per poter operare i confrontie necessario depurare le frequenze assolute rispetto all’ampiezza diciascuna classe, ma come fare cio?

In questo contesto si adotta un criterio molto simile al calcolo delladensita di una popolazione. Se si vogliono confrontare due nazionio due territori per stabilire quali dei due sia piu popolato si ricorrealla densita abitativa, ottenuta dividendo il numero di abitanti perla superficie (generalmente in km2). Cosı facendo, infatti, si tieneconto del fatto che se un territorio e piu esteso rispetto ad un altro,e probabile che contenga al suo interno piu abitanti. Nel caso degliistogrammi si ricorre alla “densita di frequenza” (δ):

δi =Fi

hi

ottenuta come rapporto tra la frequenza dell’intervallo Fi e la relativa ampiezza hi. Essa puointendersi come una misura dell’addensamento delle frequenze all’interno di ciascun intervallo.

2

Figura 2: Istogramma basato sulle densita di frequenza assolute

Proviamo a costruire “correttamente” l’istogramma, calcolando le densita di frequenza1:

Classi di eta Popolazione hi δi0-19 150 20 7,50020-65 300 46 6,52266-100 240 35 6.857

Come si puo osservare la situazione si e ribaltata, la classe che e caratterizzata da una maggiordensita e dunque la prima, mentre la seconda che emergeva in base alle frequenze assolute epassata in ultimo piano. Quindi in questo caso l’ampiezza della classe distorceva la situazionereale (Figura 2). Si giunge allo stesso risultato impiegando le densita relative, ottenute dividendole frequenze relative fi per l’ampiezza della classe hi:

δ∗i =fi

hifi =

Fi

Pt

dove Pt e il totale della popolazione.

Classi di eta Popolazione hi fi δ∗i0-19 150 20 0.217 0.01120-65 300 46 0.435 0.00966-100 240 35 0.348 0.010Totale 690 1.000

In questo secondo caso il grafico mantiene le stesse proporzioni ma cambiano i valori rappresen-tati sull’asse delle ordinate (Figura 3). Questo metodo di procedere e utile qualora si voglianoconfrontare tra loro popolazioni differenti, infatti in questo modo si tiene conto dei diversi am-montari dei collettivi coinvolti nell’analisi.

1Bisogna prestare attenzione al calcolo delle ampiezze di classe, poiche la matematica potrebbe trarre ininganno. Saremmo portati a dire che la classe 0-19 ha ampiezza 19, ma in realta siccome gli estremi sono inclusiha ampiezza 20. Questo stesso ragionamento va fatto per tutte le altre classi.

3

Classi di età

Den

sità

rel

ativ

a

0 20 40 60 80 100

0.00

00.

002

0.00

40.

006

0.00

80.

010

0.01

2

Figura 3: Istogramma basato sulle densita di frequenza relative

La costruzione della piramide dell’eta

La piramide delle eta rappresenta la distribuzione per eta di una popolazione, relativamente aduna stessa data ma distintamente per i due generi e sostanzialmente e il risultato dell’accosta-mento di due istogrammi, uno per ciascun genere. Cio significa che per costruire tale graficobasta determinare in modo opportuno l’istogramma relativo agli uomini e quello relativo alledonne e poi affiancarli in modo tale che abbiano il medesimo asse delle ordinate rappresentatodalle classi di eta.

Esempio

Si supponga di disporre delle seguenti informazioni:

Classi di eta U D0-19 500 40020-39 700 60040-59 800 90060-99 300 400

e di voler costruire la relativa piramide delle eta.

Procediamo per passi

1. Costruire gli istogrammi per ciascuno dei due generi.La costruzione degli istogrammi relativamente ai due generi deve porci la questione diquali valori utilizzare: frequenze o densita? Per rispondere a questa domanda e necessariocalcolare le ampiezze di ciascuna classe. Poiche gli intervalli hanno ampiezza diversa sideve far riferimento alle densita di frequenza. Inoltre se l’obiettivo e costruire la piramidedelle eta con riferimento alla sola popolazione considerata, senza operare alcun confronto,possono essere impiegate le densita assolute altrimenti si devono considerare le densita difrequenza relative. A titolo esemplificativo si fara riferimento ad esntrambe le situazioni.I risultati riportati nella tabella sottostante fanno riferimento alle densita di frequenzaassolute.

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Classi di eta U D Ampiezza classi Uδi Dδi0-19 500 400 20 25 2020-39 700 600 20 35 3040-59 800 900 20 40 4560-99 320 400 40 8 10

Ad esempio

Uδ0−19 =50020

= 25 Dδ0−19 =40020

= 20

Avendo determinato le densita di frequenza assolute e possibile rappresentare i due isto-grammi riportati in Figura 4.

Istogramma per gli uomini

Classi di età

Den

sità

di f

requ

enza

ass

olut

e

0 20 40 60 80 100

010

2030

4050

Istogramma per le donne

Classi di età

Den

sità

di f

requ

enza

ass

olut

e

0 20 40 60 80 100

010

2030

4050

Figura 4: Istogrammi di frequenza basati sulle densita di frequenza assolute e distinti per genere.

Se, invece, si considerano le densita di frequenza relative si devono prima calcolar le pro-porzioni di ciascuna classe di eta sul totale della popolazione (u e d) e poi dividere perl’ampiezza delle classi:

Classi di eta U D Ampiezza classi ui di Uδ∗i Dδ

∗i

0-19 500 400 20 0.216 0.174 0.011 0.00920-39 700 600 20 0.302 0.261 0.015 0.01340-59 800 900 20 0.345 0.391 0.017 0.02060-99 320 400 40 0.138 0.174 0.003 0.004Totale 2320 2300 1.000 1.000

5

Ad esempiou0−19 = 500

2320 = 0.216 Uδ∗i = ui

hi= 0.216

20 = 0.011

d0−19 = 4002300 = 0.174 Dδ

∗i = di

hi= 0.174

20 = 0.009

I corrispondenti istogrammi sono riportati in Figura 5.

Istogramma per gli uomini

Classi di età

Den

sità

di f

requ

enza

ass

olut

e

0 20 40 60 80 100

0.00

00.

005

0.01

00.

015

0.02

00.

025

0.03

0

Istogramma per le donne

Classi di età

Den

sità

di f

requ

enza

ass

olut

e

0 20 40 60 80 100

0.00

00.

005

0.01

00.

015

0.02

00.

025

0.03

0

Figura 5: Istogrammi di frequenza basati sulle densita di frequenza relative e distinti per genere.

2. Assemblare della piramide delle eta.I due istogrammi devono essere poi assemblati per poter costruire la piramide delle eta.Siccome la piramide delle eta presenta sull’asse delle ordinate le classi di eta e sull’asse delleascisse i valori assunti dalle frequenze assolute o dalle densita di frequenza assolute o rela-tive, e necessario ruotare i grafici. Il processo di assemblaggio e riportato schematicamentein Figura 6, facendo riferimento alle densita di frequenza relative.

Un’ultima osservazione va spesa circa le densita di frequenza relative. Infatti poiche assumonovalori piuttosto “piccoli” solitamente si considerano i valori moltiplicati per 100. Cio equivale aconsiderare le percentuali anziche le proporzioni. (si veda per esempio l’Esercizio 8)

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Immagine allo specchio

Rotazione

Rotazione

Figura 6: Accostamento degli istogrammi per genere per costruire la piramide delle eta

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Esercizio 1

Costruire la piramide delle eta riguardante la seguente popolazione:

Classi di eta Uomini Donne0-19 100 20020-59 200 30060-79 100 300

Come leggere la piramide delle eta?

La piramide delle eta fornisce un’immagine della composizione per eta della popolazione ad unadata precisa, ma illustrando le caratteristiche di un centinaio di generazioni, porta con se letracce della loro storia. Per comprendere meglio questo discorso si consideri la piramide delleeta costruita sui singoli anni di eta, anziche sulle classi. Cosı facendo la dimensione di ciascunrettangolo dipende dal numero iniziale delle nascite della generazione, dai decessi, dalle entratee dalle uscite per migrazioni sperimentati dalla stessa generazione, dalla nascita fino alla dataconsiderata.Per chiarire quanto detto si analizzano ora alcune piramidi delle eta.

Effetto della seconda guerra mondiale: tasso di mortalità dal 20.1‰ del 1939 al 60.0‰.Questo trauma ha colpito numerose generazioni per cui non è evidente l’effetto. Notiamoperò il diverso effetto rispetto al genere: gli uomini sono più colpiti dalla mortalità.

La popolazione tra i 50 e i 55 anni è meno numerosa rispetto alle generazioni precedenti e seguenti. Questo è giustificato dal fatto che sono le generazioni nate durante la seconda guerra mondiale, quando la maggior parte delle coppie in età feconda è stata temporaneamente separata coppie in età feconda è stata temporaneamente separata dalla guerra.

L’impatto delle mancate nascite causa una nuova perturbazione quando le generazioni decurtate dalla guerra sono entrate nelle età feconde.

La natalità diminuisce bruscamente generando delle nuove classi decurtate. Questofenomeno non è solo l’effetto del calo delle nascite degli anni ottanta ma anche diun’effettiva diminuzione della propensione a procreare.

8

Anche la piramide della Romania è segnata dalle perturbazioni cicliche legate alla secondaguerra mondiale. Oltre a ciò la piramide presenta una peculiarità in corrispondenza dellegenerazioni nate nel 1967, il cui ammontare è di gran lunga superiore a quello dellegenerazioni precedenti e successive. Nel 1966 il governo rumeno ha deciso improvvisamentedi vietare l’aborto, fino ad allora liberamente praticato e largamente impiegato come metododi controllo delle nascite. Il tasso di natalità è schizzato dal 14‰ del 1966 al 27‰ del1967, raddoppiando l’ammontare di quest’ultima generazione rispetto a quello dellagenerazione precedente. Negli anni successivi le donne rumene hanno ripreso a controllare lenascite attraverso l’aborto clandestino e un uso più intenso dei metodi contraccettivi.

Anche la piramide delle età cinese mostra deficit delle nascite, non legate però alla guerra ma alle conseguenze di una grave crisi del 1957 provocata dal governo di Mao Zhé Dong.

Il brusco cambiamentopolitico non ha solo causatoda 15 milioni a 30 milioni dimorti tra il 1957 e il 1961,ma anche il crollo dellanatalità. Tale declino ègiustificabile da dueragioni:� la separazione forzata diun gran numero di coppie;�la volontà di non mettere�la volontà di non mettereal mondo figli in un periododi carestia.A questi effetti si deveaggiungere l’aumento dellamortalità dovuta alla crisi,che ha colpito soprattutto ineonati non ancora svezzati

Queste classi decurtate provocano una nuova perturbazione auna ventina d’anni di distanza. Pertanto la piramide èfortemente segnata da rientranze in corrispondenza delle età29-32 anni. In particolare i nati a cavallo degli anni ottantasono fortemente meno.

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La forma della piramide delle eta

Indipendentemente dagli eventi storici che possono aver influito maggiormente su alcune classidi eta, l’aspetto generale della piramide e determinato soprattutto dall’evoluzione della natalita,della mortalita e delle migrazioni.Le popolazioni della vecchia Europa (ma anche recentemente, quelle dei paesi del sud del mon-do) presentavano una piramide delle eta quasi perfettamente triangolare ed e proprio da cio chederiva il termine piramide. La forma a triangolo e tipica di una popolazione in cui la mortalitariduce progressivamente la consistenza numerica della popolazione all’aumentare dell’eta. Nellospecifico si osserva una numerosita elevata nelle eta giovanili (graficamente cio si traduce inun’ampia base della piramide) e man mano sempre piu scarsa al crescere delle eta, fino a giun-gere al vertice del triangolo, cui corrispondono i pochi individui in eta avanzata. Questa formae caratteristica di un regime demografico dove natalita e mortalita sono elevate, ma la crescitae relativamente bassa, e dove l’alto livello della natalita viene compensato da livelli di mortalitapressoche uguali. Essa rappresenta, dunque, la struttura delle popolazioni che si trovano nellafase pre-transizionale.All’inizio del processo di transizione il declino della mortalita si manifesta soprattutto in cor-rispondenza delle eta infantili, provocando un ringiovanimento della popolazione, che equivalead un allargamento della piramide delle eta.A distanza di alcuni decenni dall’inizio del declino della mortalita, anche la natalita inizia aridursi, provocando cosı un restringimento della base della piramide e un invecchiamento dellapopolazione. Quando la popolazione entra nella fase post-transizionale si ritorna a condizionidi equilibrio tra natalita e mortalita e la piramide tende ad assumere una forma rettangolare,poiche gli ingressi alla base si contraggono e le generazioni precedenti salgono verso l’alto. Questae la forma tipica dei paesi occidentali del XX secolo.

Figura 7: Esempi di forme delle piramidi delle eta a seconda del periodo di transizione

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Consideriamo ora alcuni esempi riportati in Figura 7. La piramide delle eta della popolazionecamerunense del 1986 riflette una situazione di alta natalita e mortalita, tipica delle popolazionidei paesi in via di sviluppo. Da essa traspare una base molto larga, conseguenza della natalitaelevata ed in continua espansione, e un rapido restringimento nella parte superiore, causa di unamortalita altrettanto elevata.Anche l’Italia nel 1901 presentava una piramide caratterizzata da una base molto ampia, infattie proprio a cavallo del secolo scorso che il nostro paese ha iniziato a manifestare un declinodella natalita. In questo caso pero la popolazione aveva sperimentato un regime di mortalitamolto meno pesante, rispetto a quello della popolazione camerunense, e pertanto il profilo dellapiramide risulta molto meno acuminato. Le strutture per eta di queste popolazioni sono tipichedi una popolazione giovane. Si considera ora il caso di bassa mortalita e di bassa natalita, dallaquale possono derivare stazionarieta oppure diminuzioni tendenziali della popolazione. Un esem-pio del primo caso e la piramide delle eta della popolazione bulgara del 1990, che evidenzia unacerta stabilita della natalita fin verso la fine degli anni ottanta. In un contesto di bassa mortalitail ricambio della popolazione e modesto e quindi la popolazione e stazionaria.Un esempio del secondo caso e invece fornito dalla piramide delle eta della popolazione italia-na nel 1991. Essa mette in evidenza una natalita decrescente che, pur in un regime di bassamortalita, causa un calo della popolazione. Contrariamente ai due casi precedenti queste strut-ture per eta sono caratterizzate da un elevato peso di anziani e da una bassa percentuale digiovani. Queste piramidi sono tipiche delle popolazioni che sono entrate nella loro fase post-transizionale.Esistono pero piramidi delle eta che presentano delle forme piuttosto strane. Esempi sono lepopolazioni di Sun City e di Marina del Ray (Figura 8) e di Tolosa (Figura 9).A Sun City (Arizona) l’attivita si basa quasi esclusivamente sull’accoglienza di pensionati: es-sa offre lo spettacolo di una piramide dell’eta ribaltata, come fosse sospesa nell’aria. Un’altrasituazione simile, ma con una base “piu consistente” e rappresentata dalla piramide delle eta diMarina Del Ray, un’area di Los Angeles con appartamenti, condomini, bar e ristoranti abitatain prevalenza da single. La forma della piramide e giustificata dalla scarsa presenza di personeche sono molto giovani o molto anziane.Infine la citta di Toulouse presenta una piramide delle eta a forma di albero di Natale. L’attivitadi questa citta si fonda sulla vita universitaria e su industrie moderne e dinamiche, e per talemotivo ha attirato flussi di giovani adulti che hanno gonfiato la parte centrale della piramide,per altro monotona. Infatti la popolazione nelle fasce di eta al di sotto dei 35 anni e quella al disopra dei 60 anni, fino a quasi gli 85 anni, ha la stessa dimensione.

Figura 8: Piramidi delle eta di Sun City (Arizona) e di Marina Del Ray (Los Angeles)

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Figura 9: Piramide delle eta di Toulouse (Francia)

Indici di struttura per eta

Sebbene con la rappresentazione grafica della composizione per eta di una popolazione si rendanopossibili confronti nel tempo e nello spazio, e utile sintetizzare la distribuzione della popolazioneper eta con indici significativi. I piu importanti ed i piu utilizzati sono: l’eta media, l’indice divecchiaia, l’indice di dipendenza e l’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa.

L’eta media

L’eta media di una popolazione coincide con la media aritmetica delle eta relative a tutti gliindividui che la compongono.Per calcolare tale indicatore e necessario distinguere due casi. Il caso piu semplice si presentaquando si considerano le singole eta x. L’eta viene, infatti, calcolata come una media delle etaponderata per l’ammontare della popolazione avente quegli anni, Px:

x =

ω−1∑x=0

(x+ 0.5)Px

ω−1∑x=0

Px

dove ω rappresenta l’eta limite che non viene raggiunta da alcun individuo e ciascun intervalloannuale viene identificato dal suo valore centrale (x+ 0.5).Se, invece, si ragiona per classi di eta, le cose si complicano, perche per ciascuna classe e necessarioindividuare un valore che la rappresenti opportunamente. Come fatto in precedenza, si attribuisce

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a ciascuna classe di eta l’eta centrale della classe2. Pertanto se si considera la classe [x, x+h], conh l’ampiezza della classe, il valore centrale e fornito da x+ h

2 e l’indice viene calcolato mediantela seguente formulazione:

x =∑(

x+ h2

)Px,x+h∑

xPx,x+h

Si deve osservare che l’eta media non e generalmente un buon indice per stabilire il grado diinvecchiamento di una popolazione, inteso come proporzione di anziani presenti. Infatti la stessaeta media puo essere ottenuta anche in corrispondenza di distribuzioni per eta tra loro moltodissimili.

Esercizio 2

Data la seguente distribuzione per eta di una popolazione:

Eta (anni compiuti) Popolazione11 40012 20013 30014 100

calcolare l’eta media.

Indice di vecchiaia

L’indice di vecchiaia (Iv) e un indicatore sintetico che consente di mettere in evidenza il livello diinvecchiamento raggiunto dalla popolazione. Esso viene calcolato rapportando l’ammontare dellapopolazione anziana (oltre i 65 anni o oltre i 60) al numero degli individui nelle eta giovanili:

Iv =P65e+

P0−14× 100 Iv =

P60e+

P0−14× 100

Questo indice e dinamico, poiche quando una popolazione invecchia, si ha contemporaneamenteuna diminuzione del peso dei giovanissimi e un aumento del peso degli anziani, cosicche numera-tore e denominatore del rapporto variano in senso opposto. Da cio segue che quanto piu e elevatoil valore assunto dall’indice tanto piu elevato e il livello di invecchiamento della popolazione.Talvolta, anziche considerare a denominatore il sottoinsieme dei soggetti giovani, si fa riferimentoall’intera popolazione:

Iv =P65e+

P× 100 Iv =

P60e+

P× 100

L’indice di dipendenza o Indice di carico sociale

L’indice di dipendenza (Id) e un indicatore che ha una certa rilevanza economica e sociale. Esso eespresso come rapporto tra l’ammontare della popolazione al di fuori dell’eta attiva (quest’ultimadefinita, convenzionalmente come l’eta tra i 15 e i 64 anni) e l’ammontare della popolazione cheappartiene a tale fascia di eta:

Id =P0−14 + P65e+

P15−64

Questo indice viene solitamente scisso nelle sue due componenti:

Idg =P0−14

P15−64Ida =

P65e+

P15−64

2Si osservi che e necessario apporre un tetto all’ultima classe di eta in base a conoscenze derivanti dalle analisirelative alla popolazione.

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Si osservi che mentre il rapporto Id misura la dipendenza totale, gli indici Idg e Ida sono misuredel carico sociale capaci di tener conto della diversa natura dei servizi che i due segmenti dellapopolazione, giovani e anziani, ricevono dalla collettivita. Per esempio il rapporto Ida risultaparticolarmente utile per descrivere il rapporto prestazioni-contributi.

L’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa

L’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa Ir e stato proposto per misurare l’inten-sita del potenziale ricambio della popolazione in eta lavorativa in un certo intervallo temporale.Esso viene calcolato rapportando il numero di coloro che stanno per uscire dalla popolazione ineta attiva al numero di coloro che vi stanno per entrare.Se l’intervallo e quinquennale, allora:

Ir =P60−64

P15−19× 100

Tale indice, ha significato sotto l’ipotesi che, in assenza di mortalita e di migrazioni, coloro cheentreranno a far parte della popolazione in eta lavorativa nel corso di un quinquennio, e coloroche ne usciranno, provengano tutti dalla popolazione che si trova in eta 15-19 e 60-64 all’iniziodel quinquennio. Naturalmente si possono definire le classi di eta coinvolte nel calcolo dell’indicein base ai diversi contesti normativi e socioculturali, in cui le soglie di ingresso e di uscita sianodiverse da quelle adottate in questa formulazione.L’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa ha un interesse soprattutto congiunturale;le nuove leve troveranno lavoro non solo in funzione dell’espansione dell’economia e della creazioni di nuovi posti, ma anche in funzione dei posti che vengono resi disponibili da coloro che esconodal mercato del lavoro, soprattutto per motivi di eta e di pensionamento. Quando l’indice siabbassa, le condizioni si fanno piu difficili, in quanto pochi escono dall’eta lavorativa in relazioneai molti che vi entrano.

Esercizio 3

Avendo a disposizione i seguenti dati

Classi di eta Px,x+h

0-14 60215-19 24120-59 251960-64 30065-74 57275+ 563

Totale 4797

calcolare gli indici di struttura per eta.

Esercizio 4

Con riferimento ai seguenti dati rilevati in occasione dei censimenti 1971 e 1991

Classi di eta 1971Px,x+h 1981Px,x+h

0-14 13200 900015-19 3850 430020-59 28000 3150060-64 2900 330065e+ 6100 8700Totale 54050 56800

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si valuti l’evoluzione di alcuni fenomeni riguardanti la popolazione italiana (valori in migliaia)attraverso gli indici di struttura per eta.

Esercizio 5

Avendo a disposizione i seguenti indici Idg = 30, Ida = 50 e sapendo che P0−14 = 12000determinare:

a) l’indice di vecchiaia

b) l’indice di carico sociale

Altri Esercizi

Esercizio 6

Avendo a disposizione i seguenti dati:

Calssi di eta Uomini Donne0-14 3000 270015-24 3500 320025-39 4200 390040-59 3600 320060-79 1800 2100

costruire la piramide delle eta.

Esercizio 7

In base ai seguenti dati

Classi d’eta Totale0-14 15920015-19 6210020-24 5580025-59 28170060-64 4950065e+ 83900

Completare la seguente tabella:

Formula Calcoli e risultatoIndice di vecchiaiaIndice di dipendenza anzianiIndice di carico socialeIndice di dipendenza giovaniIndice di ricambio

Esercizio 8

Avendo a disposizione i seguenti dati:

Calssi di eta Uomini Donne0-14 2300 200015-24 2700 250025-39 2500 250040-59 3000 420060-79 3800 4500

Rappresentare la piramide delle eta in modo da poter confrontare i due generi.

15

Esercizio 9

Si considerino i seguenti dati rilevati nel 2009 e relativi alle citta di Como e di Salerno .

Salerno ComoClassi Uomini Donne Uomini Donne

0-9 5700 5500 3600 340010-19 7200 7050 3550 345020-29 8100 8000 4200 395030-39 9100 9700 6350 600040-49 10200 11700 6500 660050-59 8800 10100 5100 555060-69 7150 9100 4700 580070-79 5800 8500 3800 543080-89 2650 5000 1750 340090 e + 300 800 200 700Totale 65030 75450 39750 44280

Si costruiscano le piramidi delle eta relative alle due citta e si confrontino le due popolazionisecondo la composizione per genere e struttura per eta.

Soluzioni

Esercizio 1

Poiche le classi di eta hanno ampiezza differente e necessario ricorrere alle densita di frequenza.Inoltre siccome non si richiede alcun confronto si possono calcolare le densita di frequenzaassolute. E’ dunque necessario calcolare le ampiezze di ciascuna classe e le relative densita difrequenza:

Classe d’eta Uomini Donne hi Uδi Dδi0-19 100 200 20 5 1020-59 200 300 40 5 7,560-79 100 300 20 5 15

Disponendo di tutte queste quantita non resta che rappresentare la piramide dell’eta.

Uomini

15 10 5 0

0−19

20−59

60−79

Donne

0 5 10 15

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Esercizio 2

Accettando l’ipotesi di uniforme distribuzione della popolazione nell’ambito delle eta compreseentro i due compleanni che delimitano un intervallo annuale, ciascuno di questi puo essereindividuato dal suo valore centrale. Pertanto:

x =11.5× 400 + 12.5× 200 + 13.5× 300 + 14.5× 100

400 + 200 + 300 + 100=

126001000

= 12.6

Esercizio 3

L’indice di vecchiaia assume valore:

Iv =P65e+

P0−14× 100 =

572 + 563602

× 100 = 188.538%

e dunque e possibile dire che nella popolazione considerata ogni 100 persone in eta 0-14 ci sonocirca 189 anziani. Di conseguenza la popolazione e “vecchia”.Si considera ora l’indice di dipendenza:

Id =P0−14 + P65e+

P15−64× 100 =

602 + 563 + 572241 + 2519 + 300

× 100 =17373060

× 100 = 56.675%

Quindi per ogni 100 persone in eta lavorativa, circa 57 sono a carico. Distinguendo tra giovanied anziani e poi possibile stabilire quali delle due categorie pesa di piu:

Idg =P0−14

P15−64× 100 =

602241 + 2519 + 300

× 100 =6023060

× 100 = 19.673%

Idg =P65e+

P15−64× 100 =

563 + 572241 + 2519 + 300

× 100 =11353060

× 100 = 37.092%

Osservando i valori assunti dai due indici si nota che gli anziani pesano piu dei giovani. Cio inaccordo col fatto che la popolazione presenta una struttura vecchia.Rimane da calcolare l’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa:

Ir =P60−64

P15−19× 100 =

300241× 100 = 124.481%

Tale indice consente di dire che ogni 100 persone che entreranno nella popolazione in etalavorativa ne usciranno circa 125.

Esercizio 4

Si comincia col valutare l’invecchiamento demografico, attraverso il calcolo degli indici di vec-chiaia:

Iv(1971) =P65e+

P0−14× 100 =

610013200

× 100 = 46.212%

Iv(1991) =P65e+

P0−14× 100 =

87009000

× 100 = 96.667%

Dall’aumento di tale indice si conclude che la popolazione italiana e invecchiata. Per quantoriguarda, invece, l’indice di carico sociale, si osservaun’attenuazione nel 1991 rispetto al 1971:

Id(1971) =P65e+ + P0−14

P15−64× 100 =

13200 + 61003850 + 28000 + 2900

× 100 =1930034750

× 100 = 55.540%

Id(1991) =P65e+ + P0−14

P15−64× 100 =

9000 + 87004300 + 31500 + 3300

× 100 =1770039100

× 100 = 45.269%

17

Distinguendo tra le due componenti giovani e anziani si osserva che la forte diminuzione del-l’indice di dipendenza dei giovani non e completamente compensato dall’aumento dell’indice didipendenza degli anziani. Ecco perche si osserva l’attenuazione a livello globale.

Idg(1971) =P0−14

P15−64× 100 =

132003850 + 28000 + 2900

× 100 =1320034750

× 100 = 37.986%

Idg(1991) =P0−14

P15−64× 100 =

90004300 + 31500 + 3300

× 100 =900039100

× 100 = 23.018%

Ida(1971) =P65e+

P15−64× 100 =

61023850 + 28000 + 2900

× 100 =610034750

× 100 = 17.554%

Ida(1991) =P65e+

P15−64× 100 =

87004300 + 31500 + 3300

× 100 =870039100

× 100 = 22.251%

Si puo osservare che l’indice di carico e anche determinabile come somma dell’indice di caricodei giovani e dell’indice di carico degli anziani. Infatti

Id(1971) = Idg(1971) + Ida(1971) = 37.986 + 17.554 = 55.540%

Id(1991) = Idg(1991) + Ida(1991) = 23.018 + 22.251 = 45.269%

Consideriamo infine l’indice di ricambio della popolazione in eta lavorativa. Tale indice deve es-sere riferito ai quinquenni 1971-1976 e 1991-1996, coinvolgendo classi di ampiezza quinquennale.Applicando le formule:

Ir(1971− 1976) =P60−64

P15−19× 100 =

29003850

× 100 = 75.325%

Ir(1991− 1996) =P60−64

P15−19× 100 =

33004300

× 100 = 76.744%

si puo concludere che in entrambi i quinquenni si riscontra una situazione di squilibrio caratte-rizzata da un eccesso delle potenziali entrate sulle potenziali uscite.

Esercizio 5

Ricordando che i due indici sono definiti attraverso i seguenti rapporti:

Iv =P65e+

P0−14× 100 Id =

P0−14 + P65e+

P15−64× 100

si devono, dunque, determinare gli ammontari della popolazione ultrasessantacinquenne e diquella con eta compresa tra i 15 e i 64 anni. Tali informazioni sono deducibili dai valori fornitidall’indicatore di carico giovani e dall’indicatore di carico anziani. Infatti:

Idg =P0−14

P15−64× 1000⇒ P15−64 =

P0−14

Idg× 100 =

1200030

× 100 = 40000

Ida =P65e+

P15−64× 100⇒ P65e+ =

IdaP15−64

100=

50× 40000100

= 20000

Pertanto l’indice di vecchiaia e pari a:

Iv =P65e+

P0−14× 100 =

2000012000

× 100 = 166.667%

mentre l’indice di dipendenza assume valore:

Id =P0−14 + P65e+

P15−64× 100 =

12000 + 2000040000

× 100 = 80%

18

Esercizio 6

Poiche le classi hanno ampiezza differente occorre calcolare le densita di frequenza:

Calssi di eta Uomini Donne hi Uδi Dδi0-14 3000 2700 15 200 18015-24 3500 3200 10 350 32025-39 4200 3900 15 280 26040-59 3600 3200 20 180 16060-79 1800 2100 20 90 105

A questo punto e possibile rappresentare la piramide delle eta.

Uomini

350 300 250 200 150 100 50 0

0−14

15−24

25−39

40−59

60−79

Donne

0 100 200 300 400

Esercizio 7

Formula Calcoli e risultato

Indice di vecchiaia Iv = P65e+

P0−14× 100 83900

159200 × 100 = 52.701%

Indice di dipendenza anziani Ida = P65e+

P15−64× 100 83900

449100 × 100 = 18.682%

Indice di carico sociale Id = P0−14+P65e+

P15−64× 100 159200+83900

449100 × 100 = 54.130%

Indice di dipendenza giovani Idg = P0−14

P15−64× 100 159200

449100 × 100 = 35.449%

Idg = Id − Ida 54.130− 18.681 = 35.449%

Indice di ricambio Ir = P60−64

P15−19× 100 49500

62100 × 100 = 79.710%

Esercizio 8

Per poter confrontare la distribuzione tra i due generi e necessario rendere omogenee gli am-montari delle due sottopopolazioni e quindi calcolare le densita di frequenza relative per ciascunsottogruppo:

19

Classi di eta Uomini Donne hi %U %D Uδ∗i Dδ

∗i

0-14 2300 2000 15 16,084 12,739 1,072 0,84915-24 2700 2500 10 18,881 15,924 1,888 1,59225-39 2500 2500 15 17,483 15,924 1,166 1,06240-59 3000 4200 20 20,979 26,752 1,049 1,33860-79 3800 4500 20 26,573 28,662 1,329 1,433Totale 14300 15700 100,000 100,000

Disponendo di tutte queste quantita non resta che rappresentare la piramide dell’eta.

Uomini

2 1.5 1 0.5 0

0−14

15−24

25−39

40−59

60−79

Donne

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Esercizio 9

Poiche l’ultima classe ha ampiezza 11, mentre le altre ampiezza 10 e viene richiesto un confrontoe necessario ricorrere alle densita di frequenza relative (calcoli riportati nelle tabelle seguenti).

Salerno

Classi Uomini Donne hi %Uδi %F δi Uδ∗i F δ

∗i

0-9 5730 5500 10 8.811 7.290 0.881 0.72910-19 7200 7050 10 11.072 9.344 1.107 0.93420-29 8100 8000 10 12.456 10.603 1.246 1.06030-39 9100 9700 10 13.994 12.856 1.399 1.28640-49 10200 11700 10 15.685 15.507 1.569 1.55150-59 8800 10100 10 13.532 13.386 1.353 1.33960-69 7150 9100 10 10.995 12.061 1.099 1.20670-79 5800 8500 10 8.919 11.266 0.892 1.12780-89 2650 5000 10 4.075 6.627 0.408 0.66390 e + 300 800 11 0.461 1.060 0.042 0.096Totale 65030 75450 100.000 100.000

Como

Classi Uomini Donne hi %Uδi %F δi Uδ∗i F δ

∗i

0-9 3600 3400 10 9.057 7.678 0.906 0.76810-19 3550 3450 10 8.931 7.791 0.893 0.77920-29 4200 3950 10 10.566 8.921 1.057 0.89230-39 6350 6000 10 15.975 13.550 1.597 1.35540-49 6500 6600 10 16.352 14.905 1.635 1.49150-59 5100 5550 10 12.830 12.534 1.283 1.25360-69 4700 5800 10 11.824 13.098 1.182 1.31070-79 3800 5430 10 9.560 12.263 0.956 1.22680-89 1750 3400 10 4.403 7.678 0.440 0.76890 e + 200 700 11 0.503 1.581 0.046 0.144Totale 39750 44280 100.000 100.000

20

Entrambe le piramidi evidenziano una situazione di bassa mortalita e natalita tipica di duesocieta entrate nella loro fase post-transizionale. In particolare la piramide delle eta relativaalla citta di Como mostra una forma piu rettangolare, frutto soprattutto di una stabilita dellanatalita nell’arco degli ultimi 30 anni, mentre quella della provincia di Salerno sta sperimentandonello stesso arco temporale il declino della natalita.Se si considerano i generi, si nota che in entrambi i casi la popolazione maschile e piu consistentenelle eta dagli 0 ai 60 anni, dopodiche sono le donne a prevalere. Questo in accordo con la maggiorlongevita della popolazione femminile e le nascite piu numerose di figli maschi (si ritornera suquesto punto nella terza esercitazione).Per quanto riguarda, invece, la struttura per eta, si osserva che la citta di Como presentaproporzioni di individui maggiori nella prima fascia di eta e nelle fasce di eta piu avanzate,mentre la citta di Salerno nelle classi di eta centrali. Pertanto la popolazione comasca ha unastruttura piu anziana rispetto a quella Salernitana.

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Uomini

2 1.5 1 0.5 0

0−9

10−19

20−29

30−39

40−49

50−59

60−69

70−79

80−89

90+

Donne

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Salerno

Uomini

2 1.5 1 0.5 0

0−9

10−19

20−29

30−39

40−49

50−59

60−69

70−79

80−89

90+

Donne

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Como

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