Sollecitazioni composte€¦ · Mx sarà POSITIVO se genera trazione dalla parte delle ordinate...
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Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
SOLLECITAZIONI COMPOSTE
AGGIORNAMENTO 28/10/2011
Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì
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FLESSIONE DEVIATA
Si ha flessione deviata quando il piano di sollecitazione, pur contenendo l’asse della trave, non contiene uno degli assi centrali d’inerzia della sezioni. In altri termini l’asse momento non coincide con uno degli assi principali d’inerzia.
Essa si può considerare composta da due flessioni rette le quali invece hanno asse momento coincidente con degli assi centrali d'inerzia.
x
y
G
0-Mx/Wx
Mx/Wx
x
y
G
σ n
α
= + x
y
G
M
Mx
My
-My/Wy
My/Wy
n
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La formula di Navier assume la seguente formula binomia:
Mx sarà POSITIVO se genera trazione dalla parte delle ordinate positive My sarà POSITIVO se genera trazione dalla parte delle ascisse positive
L’equazione dell’asse neutro, nel sistema di riferimento fissato per la sezione, si ricava osservando che esso, per definizione, è il luogo dei punti che hanno tensione nulla:
0=+=y
y
x
x
J
xM
J
yMσ
da cui y
y
x
x
J
xM
J
yM−=
cioè x
J
J
M
My
y
x
x
y−=
N.B. L’asse neutro si può trovare anche sfruttando le proprietà dell’ellisse d’inerzia della sezione. Infatti l’asse di sollecitazione e l’asse neutro sono coniugati.
y
y
x
x
J
xM
J
yM+=σ
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ESEMPIO N°1
Determinare la distribuzione delle tensioni normali sulla sezione di incastro di una mensola a sezione rettangolare (20x35), di luce l=1.5 m, sottoposta ad un carico F=50 kN inclinato di 30° rispetto alla direzione verticale.
Il momento massimo nella sezione di incastro è: kNmlFM 7550.150 =⋅=⋅=
Calcoliamo le sue componenti rispetto agli assi x e y:
kNmMM x 95.6430cos =°= POSITIVO: genera trazione dalla parte delle y positive
kNmMM y 50.3730sin =°= POSITIVO: genera trazione dalla parte delle x positive
Calcoliamo i momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici x e y:
443
1014.712
35.020.0mJ x
−⋅=
⋅= ;
443
1033.212
20.035.0mJ y
−⋅=
⋅=
F=50 kN
1.50 m
M
M
75 kNm
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x
y
30°
F=50 kN
M=75 kNm
Mx
My
30°
n
n
+32 MPa
-32 MPa
σ
Troviamo l’equazione dell’asse neutro imponendo:
01033.2
50.37
1014.7
95.6444
=⋅
+⋅
=⋅
+⋅
=−−
xyJ
xM
J
yM
xx
yxσ ;
xy95.64
1014.7
1033.2
50.37 4
4
−
−
⋅
⋅−= ; xy 77.1−=
Il valore della massima tensione si ha nello spigolo della sezione di coordinate x=10 e y=17.5:
MPam
kN
J
xM
J
yM
xx
yx
3253.32013
1.01033.2
50.37175.0
1014.7
95.64
2
44
==
=⋅⋅
+⋅⋅
=⋅
+⋅
=−−
σ
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PRESSO-TENSO FLESSIONE SEMPLICE (AZIONE COMBINATA di FLESSIONE RETTA + SFORZO NORMALE)
N
M=N•e
yJ
eN
x
⋅=σA
N=σ
N
yJ
eN
A
N
x
⋅±+=σ
yJ
eN
A
N
x
⋅±−=σ
TENSO-FLESSIONE
PRESSO-FLESSIONE
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Troviamo l’equazione dell’asse neutro imponendo:
0=⋅
+= n
x
yJ
eN
A
Nσ
;
A
Ny
J
eNn
x
−=⋅
;
eN
J
A
Ny x
n⋅
−= ; eN
J
A
Ny x
n⋅
−=
n
x
eA
Jy
⋅−=
Distanza dell’asse neutro dall’asse baricentrico
A
Nx −=σ
x
y
xW
eN ⋅−=σ
x
y
xW
eN ⋅+=σ
A
Nx −=σ
N
N
ye
yeNM ⋅=
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ESEMPIO N°2
Sulla sommità di un muro di lunghezza b=300 cm e dello spessore s=25 cm gravano due carichi ripartiti rispettivamente q1=60 kN/m, applicato in asse, e q2=30 kN/m applicato a 6 cm dall’asse. Determinare le tensioni massime e minime in sommità.
I carichi concentrati agenti in sommità sono:
kNmqQT
180311 =⋅= ; kNmqQT
90322 =⋅=
Assumiamo come polo lo spigolo sinistro della sezione
e applichiamo il Teorema di Varignon per calcolare
l’eccentricità del carico risultante:
( ) d⋅+=⋅+⋅ 901805.18905.12180 ; cmd 5.14=
L’eccentricità del carico risultate N=270 kN è :
cme 25.125.14 +=−=
z
d = 1 4 .5 c m
s = 2 5 c m
N = 2 7 0 k N
e = 2 c m
yC
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Il momento d’inerzia baricentrico rispetto all’asse longitudinale del muro vale:
433
0039.012
25.03
12m
sbJ x =
⋅=
⋅=
La tensioni massime minime sono:
( )MPa
m
kNs
J
eN
A
N
x
186.092.18607.1733600039.02
25.002.0270
25.03
270
2 21 −=−=+−=⋅
⋅⋅+
⋅−=
⋅+−=σ
( )MPa
m
kNs
J
eN
A
N
x
533.007.53307.1733600039.02
25.002.0270
25.03
270
2 22 −=−=−−=⋅
⋅⋅−
⋅−=
⋅−−=σ
Calcoliamo la posizione dell’asse neutro:
( )m
eA
Jy x
n 26.002.025.03
0039.0−=
⋅⋅−=
⋅−=
Poiché 0.26 > 0.125 l’asse neutro è esterno
alla sezione che risulta essere completamente
compressa.
Ci troviamo in condizioni di:
piccola eccentricità
z
25 cm
N=270 kN
26 cm
-0.5
33 M
Pa
C
0
-0.1
86 M
Pa
y
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ESEMPIO N°3: LA TORRE DI PISA
Calcolare le tensioni di scarico al suolo della torre di Pisa.
Assimiliamo la sezione trasversale della torre ad una corona circolare e
adottiamo uno schema semplificato di asta mensola incastrata alla base.
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La posizione dell’asse neutro è:
meA
Jy x
n 88.733.25.145
2674−=
⋅−=
⋅−=
Poiché 7.88 > 7.74 l’asse neutro è esterno alla sezione
che risulta essere completamente compressa: piccola
eccentricità
La tensioni massime minime sono:
MPa02.02674
74.733.2144000
5.145
1440001 −=
⋅⋅+−=σ
MPa96.12674
74.733.2144000
5.145
1440002 −=
⋅⋅−−=σ
La sezione di base risulta interamente compressa
pertanto non parzializzata. Ciò è compatibile con le
caratteristiche di resistenza della muratura e del terreno
di fondazione, entrambi non reagenti a trazione.
-1.96 MPa
-0.02 MPa
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PRESSO-TENSO FLESSIONE DEVIATA (AZIONE COMBINATA di FLESSIONE DEVIATA + SFORZO NORMALE)
La presso/tenso-flessione deviata è una sollecitazione che nasce da un sistema di forze composto da una forza N di compressione (o trazione) agente al di fuori del baricentro in modo tale da creare due flessioni rette con asse momento coincidente con i due assi centrali d'inerzia della sezione; la composizione di tali coppie fornisce una flessione deviata.
Per esplicitare l'andamento delle tensioni nel grafico bisognerà conoscere:
• l'asse di sollecitazione, che in una sezione passa per il punto d'applicazione della forza e per il baricentro di tale sezione;
• l'asse neutro, che si può trovare eguagliando a zero la formula trinomia di Navier.
N
N
N
N
xJ
eNy
J
eN
A
N
y
x
x
y ⋅±
⋅±+=σ
xJ
eNy
J
eN
A
N
y
x
x
y ⋅±
⋅±−=σ
TENSO-FLESSIONE DEVIATA
PRESSO-FLESSIONE DEVIATA
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ESEMPIO N°4 Determinare la distribuzione delle tensioni sulla sezione di un profilato HEB 160 sottoposto ad uno sforzo normale di compressione N=60 kN applicato nel punto A rappresentato in figura.
Dalle tabelle si ricavano le caratteristiche della sezione:
Area 54.3 cm^2
Momenti d'inerzia
Jx 2492 cm^4
Jy 889 cm^4
Jxy 0.00 cm^4
Moduli di resistenza
Wx 311 cm^3
Wy 111 cm^3
Calcoliamo i momenti rispetto agli assi:
kNcmeNM yx 480860 =⋅=⋅= NEGATIVO
kNcmeNM xy 480860 =⋅=⋅= NEGATIVO
L’equazione dell’asse neutro è:
0=−−− xJ
My
J
M
A
N
y
y
x
x; 0
889
480
2492
480
3.54
60=−−− xy
054.019.010.1 =−−− xy ; 79.584.2 −−= xy
Inclinazione: ( ) °−≅−= 7184.2arctanα
Gx
y
A
1313
413
160
76 8 76
160
ex=80
ey=
80
e=11
3,14
Mx
My
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Calcolo delle tensioni:
MPacm
kN
W
M
W
M
A
N
y
y
x
x 6.6996.6111
480
311
480
3.54
6021 −=−=
+−−=
+−−=σ
MPacm
kN
W
M
W
M
A
N
y
y
x
x 6.4776.4111
480
311
480
3.54
6022 ==
++−=
++−=σ
Si riporta di seguito la mappatura dello stato tensionale nella
sezione valutata attraverso una procedura di calcolo numerico.
Gx
yn
n
-69.6 MPa
71°
47.6 MPa
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ESERCIZIO N°1 La trave rappresentata in figura è realizzata con un profilo in acciaio IPE 220. Calcolare lo stato tensionale in corrispondenza della sezione maggiormente sollecitata.
3.00 2.00
50 kN
A B
1.00
110
9,2
201,
69,
2
220
5,9
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ESERCIZIO N°2
Data la struttura in figura, determinare lo stato tensionale della trave e del pilastro nelle sezioni maggiormente sollecitate.
h=2.
50 m
L=1.50 m
q=200 kN/m
p=50
kN
/m
A
B
C
IPE330
HE
A24
0
IPE330
11,
530
71
1,5
330
7,5
HEA240
160
240
1220
612
230
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Caratteristiche della sollecitazione
N T M
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Dalle tabelle si ricavano le caratteristiche della sezione:
IPE 330
Peso 49.15 daN/m
Area 62.62 cm^2
Jx 11769.15 cm^4
Jy 788.15 cm^4
Wx 713.28 cm^3
Wy 98.52 cm^3
HEA 240 Peso 60.33 daN/m
Area 76.85 cm^2
Jx 7764.47 cm^4
Jy 2768.84 cm^4
Wx 675.17 cm^3
Wy 230.74 cm^3
TENSIONI PILASTRO
La sezione più sollecitata è la sezione C in cui M=156.25 kNm e N=-45.83 kN. Poiché il piano si sollecitazione contiene l’asse y del profilo, siamo in presenza di PRESSOFLESSIONE RETTA. Le fibre tese sono quelle di destra, cioè quelle inferiori nel riferimento locale dell’asta. Il momento va considerato negativo in quanto le fibre tese sono dalla parte del semiasse negativo dell’asse y.
L’equazione dell’asse neutro è:
cmyyyJ
M
A
N
x
30.0047.7764
15625
85.76
83.450 −==−−=−−
La tensioni massime e minime sono:
MPacm
kN
W
M
A
N
x
22554.2217.675
15625
85.76
83.4521 ==+−=+−=σ
MPacm
kN
W
M
A
N
x
23774.2317.675
15625
85.76
83.4522 −=−=−−=−−=σ
Gx
y
M=156.25 kNmN=-45.83 kN
n
-237 MPa
225 MPa
n
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TENSIONI TRAVE
La sezione più sollecitata è quella in corrispondenza della quale il taglio si annulla e, di conseguenza, il momento e massimo e vale M=161.50 kNm. Non c’è sforzo normale pertanto siamo in presenza di FLESSIONE RETTA. Le fibre tese sono quelle inferiori nel riferimento locale dell’asta.
La tensioni massime e minime sono:
MPacm
kN
W
M
x
22664.2228.713
1615021 ±=±==±=σ
G
y
M=161.50 kNmn
-226 MPa
226 MPa
n
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Fonti
• Facoltà di ingegneria – Università degli studi di Messina - Materiale didattico