Elementi di Matematica

Geometria analitica

prof. Paolo Peranzoni

Due lingue La geometria analitica consiste

essenzialmente nella sintesi fra geometria e algebra, mediante una traduzione dei problemi geometrici in algebrici e viceversa

Come in ogni traduzione fra due lingue, è necessario conoscere il vocabolario e la grammatica delle lingue stesse

Poiché gli elementi base della geometria sono i punti e dell’algebra i numeri, vedremo come tradurre gli uni negli altri

Coordinate cartesiane Ad ogni punto nel piano la geometria

analitica associa una coppia (ordinata) di numeri, secondo un metodo estremamente semplice ed intuitivo

I due numeri della coppia sono detti coordinate del punto: il primo è detto ascissa il secondo è detto ordinata

Assi cartesiani Le due rette orientate e graduate che

servono da riferimento per la “traduzione” sono chiamate asse x (o delle ascisse) e asse y (o delle ordinate) I due assi cartesiani sono, di solito, fra

loro perpendicolari Gli assi si incontrano, usualmente, in

un punto chiamato origine

Grammatiche Le strutture fondamentali

(“grammatica”) della geometria sono i luoghi geometrici

Quelle dell’algebra sono le relazioni (equazioni e disequazioni)

In generale, le figure geometriche (luoghi) si tradurranno mediante opportune equazioni

Equazione della retta Si può dimostrare che qualsiasi retta del

piano cartesiano “si traduce in” (corrisponde a) un’equazione lineare (ossia di primo grado) in due variabili x e y, che rappresentano l’ascissa e l’ordinata dei suoi (infiniti) punti

Tale equazione può assumere varie forme: canonica (o normale) esplicita segmentaria .....

Vari tipi di equazione L’equazione canonica (normale) della retta ha

la forma: ax + by + c = 0

essendo a, b e c tre coefficienti reali L’equazione esplicita ha invece la forma

y = mx + q e può essere ricavata dalla precedente se b

0 m si chiama coefficiente angolare (o pendenza) q si chiama intercetta sull’asse y (oppure ordinata

all’origine)

Esempio La retta mostrata in figura ha

equazione canonica 3x + 2y – 6 = 0

ed equazione esplicita

Il coefficiente angolare negativo ( ) sta ad indicare che la retta scende da sinistra a destra

32

3 xy

2

3

Retta per due punti Come si fa a determinare l’equazione di

una retta? Come è noto, una retta è identificata

conoscendone due punti La formula (che dimostreremo poi) è:

dove x1, y1, x2, y2 sono rispettivamente le

coordinate dei due punti noti

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Esempio Troviamo l’equazione della retta mostrata in

figura, conoscendo i due punti A(0, 3) e B(2, 0):

, ossia ,

da cui ,

L’equazione esplicita è allora:

,

che corrisponde a quella riportata in precedenza

02

0

30

3

xy

23

3 xy

xy 332 0623 yx

632 xy 32

3 xy

Casi particolari... La formula vista in precedenza funziona

quasi sempre, tranne quando la retta è parallela ad uno degli assi

In tal caso, infatti, l’uno o l’altro dei due denominatori diventa zero, cosa notoriamente vietata!

L’equazione di una retta parallela all’asse x è semplicemente y = k, mentre quella di una parallela all’asse y è x = h

... casi particolari (seguito)

La figura a lato mostra le rette di equazione x = –3 e y = 4

Analogamente, l’assedelle x (ascisse) haequazione y = 0,mentre quello delle yha equazione x = 0

Detto in altre parole... In conclusione, possiamo dire che:

le coordinate di tutti gli infiniti punti di una retta sono soluzioni della sua equazione (ossia la verificano, la soddisfano)

l’equazione di una retta ha per soluzioni (infinite) tutte e sole le coordinate dei suoi punti

Si noti che una soluzione è costituita da una coppia di numeri (ascissa e ordinata)

La pendenza di un segmento

La formula per la retta …

Consideriamo una retta passante per i punti P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

Sappiamo che l’equazione generica di una retta è

ax + by + c = 0 Sostituendo alle variabili le coordinate dei punti,

otteniamo: , che, risolto col metodo di

riduzione,

dà , ossia

0

0

22

11

cbyax

cbyax

0

0

11

2121

cbyax

yybxxa

11

21

21

byaxcxx

yyba

... seguito Sostituendo nell’equazione iniziale, si

ottiene:

da cui, moltiplicando ambo i membri per e dividendoli per b, si ottiene: ,

,

,

,

011

21

21

21

21

byxxx

yybbyx

xx

yyb

21 xx

02111212121 xxyxyyxxyxyy

0211112112121 xyxyxyxyyxyxxyxy

2112121121 yyxyyxxxyxxy

211211 yyxxxxyy

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Parabole La parabola è una curva

appartenente alla famiglia delle coniche

Vedremo in seguito la sua definizione geometrica; ora vediamo soltanto la sua equazione cartesiana

Una parabola con l’asse parallelo all’asse y (“verticale”) ha equazione normale (canonica): y = ax2 + bx + c

Qualche formula utile Il vertice di una parabola ha

coordinate:

mentre il suo asse ha equazione:

a

bac

a

bV

4

4 ,

2

2

a

bx

2

Concavità La concavità della parabola è rivolta verso l’alto (cioè la “bocca” guarda in

alto) se a > 0, verso il basso se a < 0 Non può essere a = 0, perché altrimenti la parabola si ridurrebbe ad una

retta!

a > 0 a < 0

Esempio La parabola di equazione

y = x2 – x – 2 ha vertice V(0,5; –2,25)

ed asse di equazione x = 0,5

Volge la concavità versol’alto

Interseca gli assi in A(–1; 0),B(2; 0) e C(0; –2)

Intersezioni Come si fa a determinare le intersezioni di una parabola (o in

generale di una curva) con gli assi cartesiani? Bisogna trovare i punti comuni alla curva e alla retta, cioè quei punti

le cui coordinate soddisfano entrambe le equazioni Ciò significa, in pratica, risolvere il sistema delle due equazioni stesse

Si ricordi che l’equazione dell’asse x è y = 0, mentre quella dell’asse y è x = 0

Esempio... Calcoliamo le intersezioni

della parabola di equazione y = x2 – x – 2

con l’asse x (y = 0):

; ;

La parabola interseca l’asse x in A(–1; 0) e B(2; 0)

0

22

y

xxy

01

2

y

x

0

022

y

xx

... Esempio (seguito) Calcoliamo le intersezioni

della parabola di equazione y = x2 – x – 2

con l’asse y (x = 0):

;

La parabola interseca l’asse y in C(0; –2)

0

22

x

xxy

0

2

x

y

Disequazioni di secondo grado

Le parabole possono aiutarci a risolvere le disequazioni di secondo grado

Vogliamo risolvere la disequazione:

Se chiamiamo y l’espressione a primo membro, la nostra disequazione equivale al sistema:

Nel piano cartesiano, la prima equazione rappresenta una parabola; la seconda disequazione un semipiano

022 xx

0

22

y

xxy

Disequazioni... (seguito) Il semipiano è quello che

sta al di sotto dell’asse x (in grigio nel grafico)

Si tratta del luogo geometrico dei punti che hanno ordinata negativa(y < 0)

La parte comune (intersezione) alla parabola e al semipiano è l’arco di parabola AB

Soluzioni Dunque le soluzioni del

sistema

e quindi della disequazione

sono i punti dell’arco AB, o meglio le loro ascisse: si tratta dei valori interni

all’intervallo ]–1, 2[, cioè:

0

22

y

xxy

022 xx

21 x

Un altro caso Vogliamo risolvere ora la disequazione:

che equivale al sistema:

In questo caso, il semipiano daconsiderare è quello che sta sopraall’asse x (compreso l’asse stesso):

Non ci sono punti comuni fra la parabolae il semipiano!

La disequazione non ha soluzioni(è impossibile)

0222 xx

0

222

y

xxy

... e ancora un altro Si voglia risolvere adesso la disequazione:

che equivale al sistema:

Il semipiano da considerare è ancoraquello che sta sopra all’asse x (compresol’asse stesso):

Questa volta i punti comuni fra la parabola e ilsemipiano sono quelli dell’arco in zona grigia

La disequazione ha per soluzioni i valori:

022 xx

0

22

y

xxy

20 x

Che cosa guardare? Dagli esempi considerati possiamo capire che gli

elementi importanti da analizzare sono: il segno di a (primo coefficiente della diseq.);

esso determina infatti la concavità della parabola il discriminante della disequazione; il segno di , infatti,

ci dice se vi sono intersezioni fra la parabola e l’asse x il verso (e il tipo, se con o senza =) della

disuguaglianza; esso determina infatti quale semipiano dobbiamo considerare

Dopo di che, basta disegnare il grafico e decidere!

Tangenti Come per la

circonferenza, anche per la parabola vale la proprietà che da qualunque punto esterno alla conica è possibile condurre sempre due tangenti alla curva

Distanza fra due punti Per determinare la distanza fra due punti A e B,

costruiamo un terzo punto C come mostrato in figura

Per il Teorema di Pitagora, si ha che:

Ma e

Si ha dunque:

Ma e :

222ACCBAB

12 CA yyAC

413 CB xxCB

171231 2222 BABA yyxxAB

AC xx BC yy 222

CACB yyxxAB

222

BAAB yyxxAB

Definizione di parabola Si definisce parabola il luogo

geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice

Imponendo la condizione che sia

,

mediante la formula della distanza fra due punti si ottiene facilmente l’equazione della parabola

PHPF

Circonferenza Anche la circonferenza è una curva

appartenente alla famiglia delle coniche Abbiamo già visto la sua definizione:

la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

Come possiamo trovare la sua equazione canonica? Traducendo in linguaggio algebrico la sua

definizione geometrica

Equazione della circonferenza

Consideriamo la circonferenza di centro C(–1, 1) e raggio r = 2

La distanza di un generico punto P della circonferenza dal centro C è dunque pari a 2

Utilizzando la formula della distanza fra due punti otteniamo l’equazione: ossia :222 2)1()1( yx

022222 yxyxequazione canonica della circonferenza

Casi particolari 1 Dunque l’equazione canonica

della circonferenza è del tipo:

con a, b e c numeri reali qualsiasi

Se c = 0, la circonferenza passa per l’origine degli assi cartesiani Infatti, l’equazione

è soddisfatta dalle coordinate(0, 0) dell’origine

022 cbyaxyx

022 byaxyx

Casi particolari 2 Se invece a = 0, la

circonferenza ha il centro sull’asse y e la sua equazione si riduce a

Infatti, si può dimostrare che le coordinate del centro sono

022 cbyyx

2 ,

2

baC

Casi particolari 3 Analogamente, se b =

0, la circonferenza ha il centro sull’asse x e la sua equazione si riduce a

Che cosa succederà se a = 0 e b = 0 ?

022 caxyx

Casi particolari 4 Se a = 0 e b = 0, il centro

starà su entrambi gli assi e dunque coinciderà con l’origine degli assi stessi

L’equazione si riduce in questo caso a

, ossia a E se risulta –c < 0 ?

022 cyx cyx 22

In tal caso l’equazione è impossibile e non rappresenta nulla!

Condizione di esistenza La circostanza appena esaminata ci fa

porre una domanda: L’equazione canonica

rappresenta sempre una circonferenza? La risposta è negativa:

Tale equazione rappresenta una circonferenza se e solo se

In caso contrario essa non rappresenta niente!

022 cbyaxyx

0422 cba

Qualche calcolo… Consideriamo una generica circonferenza di

centro C(xC, yC) e raggio r

La distanza di un generico punto P(x, y) della circonferenza dal centro C è dunque pari a r

Utilizzando la formula della distanza fra due punti otteniamo l’equazione:

, ossia , che diventa ponendo , e

022 cbyaxyx

222 )()( ryyxx CC 022 22222 ryyyyxxxx CCCC

Cxa 2

Cyb 2 222 ryxc CC

… seguito … Abbiamo detto che l’equazione canonica

rappresenta una circonferenza solo se Perché? Trasformiamo l’equazione come segue:

e, tenendo presente le posizioni fatte in precedenza:

022 cbyaxyx

0422 cba

cyxybyyxaxx CCCC 222222

cyxyyyyxxxx CCCCCC 222222 22

cyxyyxx CCCC 2222 )()(

... finale

Ma, in base alla posizione ,

si ricava che , Perciò l’equazione precedente diventa:

Ossia l’equazione di una circonferenza di centroC(xC, yC) e raggio r

Ma questo solo se , ossia se

e quindi

0422 cba

222 )()( ryyxx CC

222 ryxc CC cyxr CC 222

022 cyx CC

022

22

c

ba

cyxr CC 22