Elementi di Matematica

Geometria

prof. Paolo Peranzoni

Concetti elementari Il concetto più fondamentale ed

elementare di tutta la geometria è quello di punto

Si tratta di una astrazione rispetto alla nostra idea concreta di punto disegnato con la matita sul foglio il punto geometrico è privo di dimensioni

Gli altri oggetti della geometria sono insiemi di punti

Luoghi geometrici Si dice luogo geometrico (o

semplicemente luogo, con notevole risparmio di fiato...) un insieme di punti che possiedono tutti una stessa proprietà caratteristica

Ad esempio: la circonferenza è il luogo geometrico

dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

Rette Un luogo geometrico particolarmente

semplice e fondamentale è la retta L’idea di retta nasce in noi per

astrazione da oggetti o situazioni del mondo reale: un filo teso un raggio di luce il segno della piegatura di un foglio ecc.

Proprietà delle rette Per due punti distinti passa una ed

una sola retta Ogni retta è un insieme di infiniti punti Due rette nel piano o sono parallele o

si incontrano il un solo punto Per un punto esterno ad una retta

passa una ed una sola parallela alla retta data

Figure Altri oggetti della geometria (che sono pure

luoghi geometrici) sono (oltre alle rette): gli angoli i poligoni (fra cui triangoli, quadrilateri, ecc.) le coniche (circonferenza, parabola, ellisse,

iperbole) figure “vuote” e figure “piene”:

circonferenza e cerchio perimetro di un poligono e superficie dello stesso

ecc.

Perimetri ed aree Fra i pochi ricordi di geometria “pratica”

che rimangono dallo studio scolastico ci sono (forse) le formule per calcolare aree e perimetri

Il perimetro di una figura piana chiusa è la lunghezza del suo contorno per le figure a lati rettilinei basta sommare

le lunghezze dei lati L’area della stessa figura è l’estensione

della sua superficie

Aree di poligoni Meno semplice calcolare le aree; se è facile

calcolare l’area del rettangolo: A = base altezza

altezza

base

non è così immediato capire che la stessa formula vale anche per il parallelogramma

Area del triangolo L’area del triangolo si calcola

ricordando che un triangolo equivale ad un parallelogramma con la stessa base e l’altezza dimezzata

A = base altezza / 2

Trapezio Una formula simile vale per l’area del

trapezio: A = (base mag. + base min.) altezza / 2 base minore

altezza

base maggiore

infatti, un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la sommadelle basi e come altezza la stessaaltezza

Le figure curve Più complesso è il problema di

calcolare perimetro ed area delle figure curve

Noi ci limiteremo qui alla circonferenza e al cerchio:

C = 2R A = R2

senza per altro dimostrare queste formule

Proporzioni È importante capire quali relazioni vi siano fra le

dimensioni lineari di una figura, la sua superficie e il suo volume (se è una figura solida)

Guardando un cubo di Rubik, si capisce che, triplicando lo spigolo di un cubo, le superfici delle facce diventano 9 volte (32) più grandi

Il volume diventa 27 volte (33) maggiore!

Triangoli I triangoli vengono classificati secondo vari

criteri: acutangoli: hanno tutti gli angoli acuti (< 90°) rettangoli: hanno un angolo retto e due acuti ottusangoli: hanno un angolo ottuso (> 90°) e

due acuti Un triangolo si dice invece:

scaleno, se tutti i lati hanno lunghezze diverse isoscele, se due lati hanno la stessa lunghezza equilatero, se tutti i lati hanno la stessa

lunghezza

Segmenti notevoli In un triangolo si considerano spesso

alcuni segmenti (o rette) notevoli: altezze: vanno da un vertice

perpendicolarmente al lato opposto mediane: vanno da un vertice al punto medio

del lato opposto bisettrici: dividono a metà ciascun angolo del

triangolo assi dei lati: sono rette perpendicolari al lato

passanti per il suo punto medio

Punti notevoli In un triangolo vi sono alcuni punti notevoli:

baricentro: punto di incontro delle mediane ortocentro: punto di incontro delle altezze incentro: punto di incontro delle bisettrici; è il

centro della circonferenza inscritta nel triangolo circocentro: punto di incontro degli assi; è il

centro della circonferenza circoscritta al triangolo

Triangoli particolari In un triangolo isoscele coincidono l’altezza, la

mediana, la bisettrice e l’asse relativi alla base (il lato non necessariamente uguale agli altri)

In un triangolo equilatero coincidono l’altezza, la mediana, la bisettrice e l’asse relativi a tutti i lati

Quindi nel triangolo equilatero coincidono pure il baricentro, l’ortocentro, l’incentro e il circocentro

Teoremi Moltissimi sono i teoremi della geometria

piana, ma ve ne sono alcuni particolarmente importanti, fondamentali: Teorema di Talete Primo teorema di Euclide Secondo teorema di Euclide Teorema di Pitagora .......

Teorema di Talete Il teorema di Talete afferma che, prese le

parallele a, b, c, d tagliate dalle due trasversali s e t rispettivamente nei punti A, B, C, D e A’, B’, C’, D’ (detti corrispondenti di A, B, C, D), tra i segmenti corrispondenti vale la proporzione:

Primo teorema di Euclide

Il primo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide

Il secondo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa

Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora afferma che, in ogni

triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti

Questo teorema si dimostra facilmente a partire dal primo teorema di Euclide

Terne pitagoriche Se i cateti di un triangolo rettangolo misurano,

in una certa unità di misura, 3 e 4, l’ipotenusa (per il teorema di Pitagora) misura 5 unità

Si dice che i numeri (interi) 3, 4 e 5 costituiscono una terna pitagorica

Esistono infinite terne pitagoriche; una serie si può ottenere moltiplicando i tre numeri precedenti per qualsiasi numero intero positivo

Un’altra terna base è 5, 12 e 13 (verificare!) ecc.

Tangente ad una circonferenza

Una retta t che ha un unico punto in comune con una circonferenza C si dice tangente alla circonferenza

Se una retta è tangente in P ad una circonferenza di centro O, la distanza del punto O dalla retta è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza

La tangente è perpendicolare al raggio OP della circonferenza

Tangenti alla circonferenza

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono ad essa due rette tangenti, valgono alcune proprietà notevoli: I segmenti di tangenza PA e PB sono congruenti

La semiretta di origine P che passa per O è bisettrice sia dell’angolo APB, sia dell’angolo AOB

La retta PO è asse della corda AB