Elementi di Matematica

Equazioni

e

disequazioni

prof. Paolo Peranzoni

Equazioni Si dice equazione una uguaglianza fra

due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per alcuni valori attribuiti alle variabili (ma non per tutti!) 3x – 2 = x + 4 (è vera solo per x = 3)

Le variabili (una o più) presenti in una equazione vengono chiamate solitamente incognite

Identità Si dice identità una uguaglianza fra

due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per tutti i valori attribuiti alle eventuali variabili (potrebbero anche non essercene!) 3x – 2 = 3x – 2 (è vera per qualsiasi x) (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 (vera per qualsiasi a) 3 +2 = 5 (qui non ci sono nemmeno

variabili: quindi è sempre vera!)

Risolvere le equazioni Risolvere una equazione significa

trovare quei valori (uno o più) che, sostituiti alle incognite rendono vera l’uguaglianza

I valori trovati vengono detti soluzioni (o radici) dell’equazione

Per raggiungere questo obiettivo si utilizzano, fra l’altro, alcuni metodi standard

Regole del trasporto Esistono due regole del trasporto,

da non confondere assolutamente fra loro: Regola del trasporto di un addendo (o

termine) Regola del trasporto di un fattore

Le regole del trasporto discendono dalle proprietà invariantive delle uguaglianze

Prima proprietà invariantiva

La prima proprietà invariantiva dell’uguaglianza afferma: Un’uguaglianza (o un’equazione) si

trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si somma (o sottrae) ad ambo i membri la stessa quantità

Ad esempio, da 3a = 2a + a si ottiene 3a + 5 = 2a + a + 5

Prima regola del trasporto

Consideriamo l’esempio: 2x + 5 = 3 2x + 5 – 5 = 3 – 5

ossia 2x = 3 – 5 In pratica il termine (addendo) +5 è stato

trasportato nell’altro membro cambiato di segno

Questa viene chiamata prima regola del trasporto: Se in un'equazione si trasporta un termine

(addendo) da un membro all'altro cambiandolo di segno, si ottiene un'equazione equivalente

Seconda proprietà invariantiva

La seconda proprietà invariantiva dell’uguaglianza afferma: Un’uguaglianza (o un’equazione) si

trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità diversa da zero

Ad esempio, da 3a = 2a + a si ottiene 7 3a = 7 (2a + a)

Seconda regola del trasporto

Consideriamo l’esempio:

2x = 8

In pratica il fattore 2 è stato trasportato nell’altro membro portandolo al denominatore

Questa viene chiamata seconda regola del trasporto: Se in un'equazione si trasporta un fattore (non

nullo) da un membro all'altro facendone il reciproco, si ottiene un'equazione equivalente

2

8

2

2

x4

2

8 xx

Attenzione! Bisogna fare molta attenzione a non

confondere la prima regola del trasporto con la seconda: la prima si applica al trasporto di un

addendo (termine di una somma/differenza) la seconda si applica al trasporto di un

fattore (elemento di un prodotto/quoziente) Applicare una regola al posto dell’altra

porta a risultati disastrosi!

Invece delle regole... Per evitare le insidie connesse con lo scambio

erroneo fra le due regole del trasporto, conviene non usarle affatto, se si ha qualche dubbio, e basarsi direttamente sulle proprietà invariantive

Nell’esempio considerato sopra 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5

anziché trasportare il termine 5 nel secondo membro cambiandolo di segno, possiamo sottrarre 5 da entrambi i membri 2x + 5 = 3 2x + 5 – 5 = 3 – 5 2x = 3 – 5

L’effetto è lo stesso, ma è meno facile sbagliare!

Esempio

Risolviamo l’equazione lineare (cioè di primo grado) già vista sopra, applicando le regole del trasporto: 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5 2x = –2

Abbiamo applicato la prima regola del trasporto

2x = –2 x = –1

Abbiamo applicato la seconda regola del trasporto

2

2x

Formalizzare i problemi...

Equazioni e disequazioni sono la traduzione matematica di problemi che vogliamo risolvere

Prendiamo ad esempio il noto problemino ingannevole: Un mattone pesa un chilo più mezzo

mattone: quanto pesa un mattone? Detto x il peso di un mattone, si ottiene

l’equazione:

21

xx

... e risolverli Con successive applicazioni delle regole

del trasporto, l’equazione si trasforma:

La risposta al nostro problema è quindi:

Il mattone pesa due chili

21

xx 1

2

xx 1

2

2

xx

12

x

221 x

Un altro esempio... Risolviamo il problema:

L’età di Giovanna è minore del triplo della sua stessa età diminuito di 13 anni: quanti anni può avere al minimo Giovanna?

Questo problema si formalizza con una disequazione lineare (avendo chiamato x l’età di Giovanna):

133 xx

... e la risoluzione La disequazione si risolve con le stesse

regole del trasporto valide per le equazioni, tranne per un dettaglio (che esamineremo nella prossima diapositiva):

133 xx 133 xx

132 x2

13

x

2

13x 5,6x

Un dettaglio fondamentale

Giovanna dunque deve avere almeno 7 anni Notiamo che nel terzo passaggio risolutivo della

disequazione, quando abbiamo diviso ambo i membri per –2, abbiamo contestualmente cambiato il verso della disuguaglianza Una disuguaglianza (o disequazione) si trasforma

in una equivalente se si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità positiva

Se invece si moltiplicano (o si dividono) ambo i membri per la stessa quantità negativa, è necessario cambiare il verso della disuguaglianza

Definizione Si dice disequazione una disuguaglianza

fra due espressioni algebriche che sia verificata (soddisfatta) per alcuni valori attribuiti alle variabili (ma non per tutti!) 3x – 2 > x + 4 (è vera solo per x > 3)

Le variabili (una o più) presenti in una disequazione vengono chiamate solitamente incognite

Come si può notare, questa definizione è molto simile a quella di equazione

Salire di grado Oltre alle equazioni (e disequazioni) di primo grado (lineari),

vi sono naturalmente anche quelle di grado superiore Noi ci limiteremo qui a studiare le equazioni di secondo

grado in una incognita; ad esempio: 3x2 – 2x – 5 = 0

Vedremo che essa ha due soluzioni:

e x = –1

3

5x

Tipi particolari Prima di vedere come si risolvono le

equazioni di secondo grado, esaminiamo i loro diversi casi particolari: Un’equazione del tipo ax2 + bx + c = 0

si dice completa del tipo ax2 + bx = 0 viene detta spuria del tipo ax2 + c = 0 viene detta pura del tipo ax2 = 0 viene detta monomia

La formula risolutiva Per risolvere un’equazione di secondo grado

completa si utilizza una formula (f. risolutiva) di cui non daremo qui la dimostrazione:

La quantità sotto radice viene chiamata discriminante e indicata col simbolo (delta):

a

acbbx

2

42

acb 42

Cosa discrimina? Dato che non esistono radici quadrate

(reali) dei numeri negativi, la formula risolutiva fornisce soluzioni solo se il discriminante è non negativo ( )

Se invece il discriminante è negativo ( ), l’equazione non ha soluzioni: si dice in tal caso che essa è impossibile

Se il discriminante è nullo ( ) l’equazione ha una sola soluzione (o due coincidenti, che è lo stesso!)

00

0

Esempio L’equazione vista sopra:

3x2 – 2x – 5 = 0

applicando la formula risolutiva, ha le soluzioni:

6

82

6

6042

32

53422 2

x

1

3

5

Casi particolari Le equazioni incomplete di

secondo grado si possono anche risolvere con la formula risolutiva, ma non ne vale la pena!

Oltre tutto, così facendo si rischiano insidiosi errori di calcolo...

Si usano perciò metodi particolari

Equazione spuria... Abbiamo detto che un’equazione del

tipo ax2 + bx = 0 viene detta spuria

Per risolverla, raccogliamo x a fattor comune: x(ax + b) = 0

Applichiamo ora il principio di annullamento del prodotto: Il prodotto di due fattori è nullo se e solo se

almeno uno dei fattori è nullo

... equazione spuria (seguito)

Nel nostro caso, dunque, dovrà essere x = 0 oppure ax + b = 0

Risolvendo la seconda equazione lineare, otteniamo:

per cui le due soluzioni dell’equazione sono:

x = 0 e

a

bx

a

bx

Esempio L’equazione spuria:

3x2 – 2x = 0

si risolve come illustrato sopra:

x(3x – 2) = 0

per cui le due soluzioni dell’equazione sono:

x = 0 e 3

2x

Equazione pura... Abbiamo detto che un’equazione del tipo

ax2 + c = 0 viene detta pura Per risolverla, trasportiamo c nel secondo

membro e poi dividiamo ambo i membri per a:

Se risulta possiamo estrarre la radice quadrata di entrambi i membri (che sono non negativi!)

a

cx

2

0a

c

... equazione pura (seguito)

Otteniamo così:

ossia

(dato che )

Otteniamo in questo caso due soluzioni

fra loro opposte (solo se ,

ovviamente!)

a

cx

a

cx

0a

c

xx 2

Esempio L’equazione pura:

3x2 – 5 = 0

si risolve come illustrato sopra:

Constatato che il secondo membro è non negativo, si ottiene:

3

52 x

3

5x

Possibile o impossibile Se un’equazione non ha nessuna

soluzione, si dice impossibile Se invece essa ha un numero finito di

soluzioni (una, due, tre, ....) essa si dice determinata Le equazioni algebriche determinate di grado

n hanno (al massimo) n soluzioni Se ha infinite soluzioni, si dice invece

indeterminata

Esempi L’equazione:

3x2 + 7 = 0 è impossibile, perché la somma di due numeri, uno non negativo e l’altro positivo, non può essere uguale a zero!

L’equazione:

è indeterminata (ma non è una

identità!), perché (per definizione!)

e è vera per ogni

xx 2

xx 2

xx 0x

Esercizi 1 Risolvere le seguenti equazioni:

a) 15x – 4 = 16 b) –7x + 25 = –10 c) (x + 2) / 3 = 3 d) 20 + 5x = 10 e) 3x – 20 = x f) 2x – 7 = x – 2 g) 5x + 1 = 3x – 4 h) 8x + 4 = 9x – 7 i) 2,3x – 4,5 = 5,4 – x j) 199 + 225x = 270x + 169

Esercizi 2 Risolvere le seguenti equazioni:

a)

Esercizi 3 Risolvere le seguenti equazioni:

a)

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa f)

Esercizi 4 Risolvere le seguenti

disequazioni:

c) d)

e)

f)