DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI SULLE EQUAZIONI · TEORIA CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI...

La risposta a pag. 19

DISEQUAZIONIE APPROFONDIMENTISULLE EQUAZIONI

BODY MASS INDEX Nella pratica medica una prima indica-

zione sullo stato del peso forma di una persona è data dal cosiddetto BMI (dall’inglese Body Mass Index). Recentemente l’Organizzazione Mon-diale della Sanità ha fissato nuovi criteri per

classificare lo stato di sottopeso, normopeso, sovrap-peso e obesità di una persona a seconda dell’indice di massa corporea…

…considerato un peso di 70 kilogrammi, per quali fasce di altezza possiamo ritenere una persona sottopeso, normale, sovrappeso o obesa?

1CAPITO

LO

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]

PROBLEMI MODELLI

CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI SULLE EQUAZIONITEORIA

2

1. LE DISEQUAZIONIE LE LORO PROPRIETÀ

DEFINIZIONE

DisequazioneUna disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono espressioni let-terali per le quali cerchiamo i valori di una o più lettere che rendono la disuguaglianza vera.

Le lettere per le quali si cercano valori sono le incognite. I valori delle incognite che rendono vera la disuguaglianza sono le soluzioni della disequazione. Ci occuperemo, per il momento, di disequazioni a una sola incognita e cerchere-mo di determinare l’insieme delle soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.

ESEMPIO

La disequazione5 - x � 0

ha come insieme delle soluzioni S = {x ! R u x 1 5}, che indichiamo, per bre-vità, con x 1 5.

Una disequazione è numerica se nell’equazione non compaiono altre lettere oltre all’incognita. È letterale se invece contiene altre lettere, che possono anche essere chiamate parametri.

Una disequazione è intera se l’incognita compare soltanto nei numeratori delle eventuali frazioni presenti nella disequazione. Se invece l’incognita è contenuta nel denominatore di qualche frazione, allora la disequazione è fratta.

ESEMPIO

La disequazione

x x52 3 12+

-

è fratta e ha senso solo quando x + 5 ! 0, cioè per ogni x ! - 5.Diciamo anche che la sua condizione di esistenza è x ! 5.DEFINIZIONE

Condizioni di esistenzaLe condizioni di esistenza di una disequazione sono quelle condizioni che le variabili devono soddisfare affinché tutte le espressioni scritte abbiano significato.

Gli intervalli Spesso gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni che studieremo saranno par-ticolari sottoinsiemi di R chiamati intervalli.

DEFINIZIONE

Intervallo limitatoDati due numeri reali a e b, con a 1 b, si chiama intervallo limitato l’insie-me dei numeri reali x compresi fra a e b.

● Le disuguaglianze sono enunciati fra espressioni che confrontiamo mediante le seguenti relazioni d’or-dine:1 (minore),2 (maggiore),# (minore o uguale),$ (maggiore o uguale).Per esempio: 2 + 1 1 5, 3a + 1 $ b.

● Non esistono frazioni con denominatore nullo.

● Gli insiemi delle solu-zioni potranno anche essere unioni di intervalli.

● Per brevità, indicheremo le condizioni di esistenza con C.E.

● Se una disequazione è scritta nella forma normale

( )P x 02 ,

con P(x) polinomio nell’in-cognita x ridotto in forma normale, il grado della dise-quazione è il grado di P(x).Analoga definizione si ha con , ,1 # $ .

TEORIA

3

DEFINIZIONE

Intervallo illimitatoDato un numero reale a, si chiama intervallo illimitato l’insieme dei nu-meri reali x che precedono a, oppure l’insieme dei numeri reali x che se-guono a.

Distinguiamo i seguenti casi, dove rappresentiamo gli intervalli in tre modi diver-si: con una disuguaglianza, mediante parentesi quadre o con una rappresentazio-ne grafica.

ESEMPIO

1. ;2 517; E, ossia x2 5

17# # , è un intervallo limitato chiuso; 2 è l’estremo infe-

riore, 517 l’estremo superiore. 2 17

5—

2. ; 53- 6@ , ossia x 51 , è un intervallo aperto illimitato inferiormente.

Ð � 5

Le disequazioni equivalentiDEFINIZIONE

Disequazioni equivalentiDue disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di solu-zioni.

ESEMPIO

x - 3 2 0 e x - 2 2 1 sono disequazioni equivalenti perché hanno per solu-zioni i valori dell’intervallo x 2 3.

a. Intervallo aperto ]a; b[.

d. Intervallo aperto a sinistra ]a; b].

b. Intervallo chiuso [a; b].

c. Intervallo aperto a destra [a; b[.

a b

a < x < b

a b

a ≤ x ≤ b

a b

a ≤ x < b

a b

a < x ≤ b

a. Intervallo aperto illimitato superiormente ]a; +`[.

d. Intervallo chiuso illimitato inferiormente ]–`; a].

b. Intervallo aperto illimitato inferiormente ]–`; a[.

c. Intervallo chiuso illimitato superiormente [a; +`[.

+`a

x > a

+`a

x ≥ a

–` a

x ≤ a

–` a

x < a

Intervalli limitati Intervalli illimitati

PARAGRAFO 1. LE DISEQUAZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

● Un intervallo si dice chiuso quando include i propri estremi, in caso con-trario si dice aperto.


4

● Con S indichiamo l’in-sieme delle soluzioni.

● I membri di una dise-quazione sono le due espressioni che si trovano a sinistra (primo membro) e a destra (secondo membro) del segno di disuguaglianza.

Valgono i seguenti princìpi.

PRINCIPIO

Primo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero o espressione.

ESEMPIO

La disequazione x2 - 3 1 x è equivalente alla disequazione x2 - x - 3 1 0, ottenuta sommando - x a entrambi i membri.

Nell’esempio precedente, dopo l’applicazione del primo principio, il termine x sparisce dal secondo membro e compare al primo con il segno cambiato.In questo senso possiamo dire che un termine può essere trasportato da un membro all’altro della disequazione cambiandogli il segno.

PRINCIPIO

Secondo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente:• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) positivo.

• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero (o espres-sione) negativo e cambiando il verso della disuguaglianza.

In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e si inverte il verso della disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente.

ESEMPIO

1. La disequazione x25

2 1 è equivalente alla disequazione 5x 2 2. La seconda

si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 2.

2. -x2 2 - 9 è equivalente a x2 1 9. La seconda disequazione si ottiene dal-la prima moltiplicando entrambi i membri per - 1 (ovvero cambiando il segno di tutti i termini) e invertendo il verso della disuguaglianza.

2. LE DISEQUAZIONIDI PRIMO GRADO

Le disequazioni intere di primo grado possono sempre essere scritte in una delle seguenti forme, dopo aver opportunamente applicato i princìpi di equivalenza:

ax 2 b, ax $ b, ax 1 b, ax # b, con a, b ! R.

Risolvendo ax 2 b, otteniamo, a seconda dei valori di a:

• se a 2 0, x 2 ab ;

se b 2 0, S = ∅;• se a = 0, 0 $ x 2 b se b = 0, S = ∅; se b 1 0, S = R ;• se a 1 0, x 1 a

b .

● Questa operazione equi-vale a moltiplicare per - 1i membri della disequazione e a invertire il verso.

2

TEORIA

5

Un ragionamento analogo vale anche per le altre tre disequazioni.Un esempio di disequazione numerica intera è

x x2 4 1#+ + ,

che, risolta, ha come soluzione 4x 3$ , mentre un esempio di disequazione lettera-

le è ax a1 2$- . Per risolvere una disequazione di questo tipo occorre discutere le sue soluzioni al variare di a.

Lo studio del segno di un prodotto Consideriamo una disequazione costituita da un prodotto di binomi di primo grado:

(x - 1)(3x + 2)(x + 4) 2 0.

Per risolverla possiamo studiare il segno del prodotto al variare di x.Studiamo il segno dei singoli fattori e rappresentiamo i risultati in uno schema grafico (figura 1):

x - 1 2 0 " x 2 1

3x + 2 2 0 " x 2 - 32

x + 4 2 0 " x 2 - 4.

La disequazione richiede che il prodotto sia positivo, quindi l’insieme delle solu-zioni è:

-4 1 x 1 - 32 0 x 2 1.

Discutere le soluzioni di una disequazione letterale permette di ottenere le soluzioni di infinite disequazioni numeriche, quelle che si hanno sostituen-do nell’equazione data valori particolari alla lettera (o alle lettere).

La disequazione richiede che il prodotto sia positivo quindi l’insieme delle solu

segno di x − 1

segno di 3x + 2

segno di x + 4

segno di(x − 1) (3x + 2) (x + 4)

segno di x − 1

segno di 3x + 2

segno di x + 4

a. Disegniamo una retta orientata esegniamo su di essa i valori per cui ifattori si annullano. Sotto alla retta,usando una riga per ogni fattore,scriviamo 0 nei punti in cui i fattori siannullano, dei segni + dove sonopositivi, dei segni − dove sono negativi.

b. Aggiungiamo una riga per ilprodotto. I punti in cui si annulla sonoquelli in cui uno dei fattori è nullo. Ilsegno si ricava applicando «in verticale»la regola dei segni. Per finire,evidenziamo in giallo gli intervalli in cuila disequazione è verificata.

233−—2

3−— −4

0

0

1

0

0 0 0

−4

0

0

1

0

● Negli esercizi vedremo esempi di discussione di disequazioni letterali.

b Figura 1

PARAGRAFO 2. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO


6

3. LE DISEQUAZIONIDI SECONDO GRADO

Ogni disequazione intera di secondo grado nell’incognita x può essere ricondotta alla forma normale

ax2 + bx + c 2 0, con a ! 0,o alle analoghe che si ottengono con i segni 1, # o $.Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il coefficiente a è positivo. Infatti, se a è negativo, basta cambiare segno a tutti i termini e invertire il senso della disuguaglianza.Per determinare le soluzioni di una disequazione di secondo grado si considera l’equazione associata

ax2 + bx + c = 0e si distinguono tre casi, a seconda del segno del discriminante D:

D 2 0, D = 0 e D 1 0.

L’equazione associata ha � 2 0REGOLA

Se l’equazione ax 2 + bx + c = 0 ha D 2 0, ossia due soluzioni reali di-stinte x 1 1 x 2, allora:

• la disequazione ax 2 + bx + c 2 0 (con a 2 0) è verificata per

x 1 x 1 0 x 2 x 2,

ossia per valori esterni all’intervall-lo di estremi x 1, x 2;

• la disequazione ax 2 + bx + c 1 0 (con a 2 0) è verificata per x 1 1 x 1 x 2, ossia per valori interni all’intervallo di estremi x 1, x 2.

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione:

3x2 - x - 2 1 0.

L’ equazione associata è

3x2 - x - 2 = 0,

con D = 25 2 0.

Le radici dell’equazione associata sono:

x1 = - 32 ; x2 = 1.

La disequazione è verificata per valori interni all’intervallo delle radici:

- 32

1 x 1 1.

x1

x2

x1

x2

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

x < x1 ∨ x > x

2

a > 0, Δ > 0

x1 < x < x

2

● Le prime due regole che utilizziamo si ricavano dallo studio del segno del trinomio ax2 + bx + cscomposto in fattori.Ricorda che: D = b2 - 4ac.

● x ab2,1 2! D

=- .

● 25=( )4 3 2$ $- -1=D

e x 61 25

,1 2!

= .

TEORIA

7

L’equazione associata ha � = 0REGOLA

Se l’equazione ax2 + bx + c = 0 ha D = 0, ossia ha due soluzioni reali coincidenti x1 = x2:• la disequazione ax2 + bx + c 2 0 (con a 2 0) è verificata per qua-lunque valore di x diverso da x1;

• la disequazione ax2 + bx + c 1 0 (con a 2 0) non è mai verificata.

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione 25x2 - 20x + 4 2 0.L’equazione associata 25x2 - 20x + 4 = 0 ha D = 0, quindi ha due soluzioni

coincidenti: x1 = x2 = 52 .

La disequazione è verificata per ogni x ! R, con x ! 52 .

L’equazione associata ha � 1 0

REGOLA

Se l’equazione ax2 + bx + c = 0 ha D 1 0, ossia non ha soluzioni reali:• la disequazione ax2 + bx + c 2 0 (con a 2 0) è verificata per qua-lunque valore di x;

• la disequazione ax2 + bx + c 1 0 (con a 2 0) non è mai verificata.

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

∀x ∈ R − {x1}

x1

a > 0, Δ = 0

∃ x ∈ R

● 400 4 4 25$ $D = - =

400 400 0= - =

e x 5020

,1 2 = .

PARAGRAFO 3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

∀ x ∈ R

a > 0, Δ < 0

∃ x ∈ R

● Il segno del trinomio ax2 + bx + c quando � 1 0

Consideriamo il trinomio ax2 + bx + c.Raccogliamo a (a ! 0):

a x ab x a

c2+ +b l.Consideriamo il termine a

b x come il doppio prodotto

2 $ x $ ab2 ; aggiungiamo e togliamo entro parentesi il qua-

drato di ab2 :

a x ab x a

cab

ab

2 22

2 2+ + + -b bl l< F.

Poiché 2x ab x a

b x ab

22

2 2+ + = +b bl l , otteniamo:

2 4a x ab

ac

ab2

2

2+ + -b l< F.

Sommiamo le due frazioni ac

+ , ab4 2

2- :

( )ac

ab

aac b

ab ac

a4 44

44

42

2

2

2

2

2

2D

- =-

=- -

=- .

Abbiamo trasformato il trinomio ax2 + bx + c nel seguente prodotto:

a x ab

a2 42

2D

+ +-b l; E.

Essendo D 1 0, l’espressione a4 2D- è positiva. Anche la som-

ma dentro le parentesi quadre è allora positiva per ogni valore di x.

Pertanto, quando D 1 0, il trinomio ax2 + bx + c assume sempre lo stesso segno del coefficiente a.


8

ESEMPIO


12x2 - 3x + 1 1 0.

L’equazione associata 12x2 - 3x + 1 = 0 ha D 1 0. La disequazione non è mai verificata.

4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDOE LE DISEQUAZIONI FRATTE

Le disequazioni di grado superioreal secondo

Dato un polinomio P(x) di grado maggiore di 2, le disequazioni del tipo P(x) 1 0 o P(x) 2 0 sono di grado superiore al secondo e possono essere risolte scompo-nendo in fattori di primo e secondo grado il polinomio P(x) e studiando il segno del prodotto di polinomi che si ottiene.In particolari casi di disequazioni, possiamo utilizzare metodi specifici, che esami-niamo negli esempi 2, 3 e 4.

ESEMPIO

1. Risolviamo la disequazione:

x3 - 2x2 - 5x + 6 2 0.

Scomponiamo il polinomio x3 - 2x2 - 5x + 6 in fattori mediante la regola di Ruffini.

Se sostituiamo nel polinomio i divisori del termine noto 6, scopriamo che 1 è uno zero del polinomio.

Applichiamo la regola di Ruffini:

1 - 2 - 5 61 1 - 1 - 6 1 - 1 - 6 0

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1)(x2 - x - 6).

La disequazione iniziale è equivalente a:

(x - 1)(x2 - x - 6) 2 0.

Studiamo il segno del polinomio iniziale esaminando il segno dei due poli-nomi fattori:

x - 1 2 0 per x 2 1;

x2 - x - 6 2 0 per x 1 - 2 0 x 2 3.

● Ricorda che se un poli-nomio ha zeri in Z, questi devono essere divisori del termine noto. Perciò i pos-sibili zeri interi del polino-mio sono !1, !2, !3, !6.

● La disequazione x2 - x - 6 2 0 è verificata per valori di x esterni all’in-tervallo delle radici x1 = - 2 e x2 = 3 dell’equa-zione associata.

TEORIA

9

Dal quadro della figura 2 ricaviamo che la disequazione è verificata per

- 2 1 x 1 1 0 x 2 3, ossia ]- 2; 1[ , ]3; 3+ [.

2. Risolviamo la disequazione biquadratica:

x4 - 13x2 + 36 $ 0.

L’equazione associata

x4 - 13x2 + 36 = 0

è un’equazione biquadratica. Per risolverla, introduciamo l’incognita ausi-liaria z e poniamo x2 = z:

z2 - 13z + 36 = 0 per z1 = 4, z2 = 9.

La disequazione di quarto grado, nell’incognita x, è equivalente alla dise-quazione di secondo grado, nell’incognita ausiliaria z. Otteniamo

z2 - 13z + 36 $ 0 per z # 4 0 z $ 9,

da cui

x4 - 13x2 + 36 $ 0 per x2 # 4 0 x2 $ 9,

ossia:

- 2 # x # 2 0 (x # - 3 0 x $ 3).

3. Risolviamo la disequazione binomia:

x3 - 8 # 0.

L’equazione associata

x3 - 8 = 0

è un’equazione binomia, con esponente n = 3 dispari. La sua soluzione è:

x3 = 8, da cui 8x 23= = .

La disequazione è verificata per:

x # 2, ossia ] 3- ; 2].

D l d d ll fi 2 i i h l di i è ifi t

00

0

0 0

0

x2 − x − 6

(x − 1) (x2 − x − 6)

x − 1

− 2 31

b Figura 2 Il quadro dei segni.

● In generale, un’equa-zione biquadratica nell’in-cognita x è riconducibile alla forma: ax4 + bx2 + c = 0,con a ! 0.

PARAGRAFO 4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E LE DISEQUAZIONI FRATTE

● Essendo x2 = z, sostitu-iamo a z i due valori trovati e otteniamo: x 2 = 4, x 2 = 9.

● In generale, un’equa-zione binomia è riconduci-bile alla forma: axn + b = 0,con a ! 0 e n intero posi-tivo.


10

Osservazione. Per giustificare il risultato precedente, ricordiamo chea3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Quindi x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4).

Inoltre il trinomio x2 + 2x + 4, che ha 4D

= 1 - 4 1 0, assume sempre

segno positivo, e questo spiega perché il segno di x3 - 8 dipende solo dal segno del fattore (x - 2).

4. Risolviamo la disequazione trinomia:

x6 - 3x3 + 2 2 0.

L’equazione associata x6 - 3x3 + 2 = 0

è un’equazione trinomia. Per risolverla, introduciamo l’incognita ausiliaria z e poniamo x3 = z:

z2 - 3z + 2 = 0 per z1 = 1, z2 = 2.

Procediamo in maniera analoga all’esempio 2.

La disequazione di sesto grado, nell’incognita x, è equivalente alla disequa-zione di secondo grado, nell’incognita ausiliaria z.

Ricaviamo

z2 - 3z + 2 2 0 per z 1 1 0 z 2 2,

da cui

x6 - 3x3 + 2 2 0 per x3 1 1 0 x3 2 2,

vale a dire:

x 1 1 0 x 2 23 .

Le disequazioni fratteUna disequazione è fratta se contiene l’incognita al denominatore. Può essere sempre trasformata in una disequazione del tipo

( )( )

B xA x 02

o in altre analoghe con i diversi segni di disuguaglianza.

Per risolvere una disequazione fratta dobbiamo studiare il segno della frazione

( )( )

B xA x , esaminando quelli di A(x) e di B(x). Dobbiamo imporre B(x) ! 0 per la

condizione di esistenza della frazione.

ESEMPIO


x xx

2 7 41

2

2

- -

- $ 0.

● In generale, un’equa-zione trinomia nell’inco-gnita x è riconducibile alla forma: ax2n + bxn + c = 0,con a ! 0 e n intero posi-tivo.

● Per ottenere una qual-siasi disequazione fratta in questa forma, trasportiamo tutti i termini al primo membro e li scriviamo con denominatore comune. Può succedere che A(x) sia una costante. In questo caso il numeratore è sempre posi-tivo o sempre negativo.

● Osserva che le equazioni biquadratiche sono partico-lari equazioni trinomie: quelle nelle quali n = 2.

TEORIA

11

Il denominatore deve essere non nullo, perciò:

C.E.: 2x2 - 7x - 4 ! 0 " x ! - 21

) x ! 4.

Studiamo il segno del numeratore.Si ha x2 - 1 2 0 per x 1 - 1 0 x 2 1.

Studiamo il segno del denominatore: risolviamo 2x2 - 7x - 4 2 0.

Le radici dell’equazione associata sono - 21 e 4, quindi:

2x2 - 7x - 4 2 0 per x 1 - 21

0 x 2 4.


x # - 1 0 - 21

1 x # 1 0 x 2 4.

5. I SISTEMI DI DISEQUAZIONIDEFINIZIONE

Sistema di disequazioniUn sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo le soluzioni comuni.

Le soluzioni del sistema sono quei numeri reali che soddisfano contemporanea-mente tutte le disequazioni.

ESEMPIO

1. Risolviamo il seguente sistema di due disequazioni:

0x xx3 21 02 2

#

-

-(

Risolvendo separatamente le due disequazioni, otteniamo: x2 - x 2 0 per x 1 0 0 x 2 1; 3x - 21 # 0 per x # 7.

Per ogni disequazione rappresentiamo su una retta orientata gli intervalli del-le soluzioni (figura 4). Coloriamo poi la parte che rappresenta le soluzioni comuni alle due disequazioni.


−1

−x2 − 1

1 4

0

00

0

0 02x2 − 7x − 4

12− —

+

—————x2 − 12x2 − 7x − 4

● Con C.E. indichiamo le condizioni di esistenza della frazione. Si ottengono ponendo il denominatore diverso da 0.

b Figura 3 Rappresenta-zione grafica delle soluzioni. Il simbolo b indica che la frazione non esiste quando il denominatore è 0.

● Una frazione è uguale a 0 quando il suo numeratore è uguale a 0.

Pertanto ( )x( )xB

A = 0 nel

caso in cui A(x) = 0.

PARAGRAFO 5. I SISTEMI DI DISEQUAZIONI

b Figura 4 In ognuna delle rette la parte segnata con un tratto continuo rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione. Un pallino pieno indica che il relativo valore è una soluzione, un pallino vuoto che il valore non è una soluzione.

7

x2 − x > 0

0 1

3x − 21 ≤ 0

● In un sistema con due disequazioni, se chiamiamo S1 e S2 gli insiemi delle solu-zioni delle due disequazioni e S quello delle soluzioni del sistema, abbiamo:

S = S1 > S2.


12

Le soluzioni del sistema sono:

x 1 0 0 1 1 x # 7, ossia ] 3- ; 0[ , ]1; 7].

2. Proviamo ad aggiungere una terza disequazione al sistema precedente:0

3 21 0x xxx 4 0

2

2

2

1

#

-

-

-

* Risolvendo anche la terza disequazione otteniamo:

x 4 02 1- per x2 21 1-

Rappresentiamo su una retta orientata anche le soluzioni della terza disequa-zione e coloriamo la parte che rappre-senta le soluzioni comuni adesso alle tre disequazioni.

Le soluzioni del sistema sono:x x2 0 1 201 1 1 1- , ossia ; ;0 1 22 ,- 6 6@ @ .

6. LE EQUAZIONIE LE DISEQUAZIONICON IL VALORE ASSOLUTO

Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è l’opposto del numero se questo è negativo. In generale:

se 0se 0x x x

x x 1

$=

-'

ESEMPIO

�+ 5� = 5; �0� = 0; �- 5� = 5.

Elenchiamo alcune utili proprietà del valore assoluto:

1. �x� = �- x� 6 x ! R;2. �x $ y� = �x�$ �y� 6 x, y ! R;

3. yx

= yx 6 x, y ! R, y ! 0;

4. �x� = �y � + x = ! y 6 x, y ! R;5. �x� # �y � + x2 # y 2 6 x, y ! R;6. x2 = �x � 6 x ! R.

c Figura 5

Le soluzioni del sistema sono:

x 2 – x> 0

x 2 – 4< 0

–2 0 71 2

3x – 21 0≥

● Il valore assoluto di un numero è per definizione sempre positivo o nullo.

● Il simbolo { usato per definire il valore assoluto non ha il significato di sistema di equazioni, ma serve solo per distinguere i due casi possibili del valore assoluto.

TEORIA

13

Le equazioni con il valore assoluto Risolviamo ora equazioni nelle quali compaiono valori assoluti dell’incognita, o di espressioni che la contengono.

ESEMPIO

Risolviamo l’equazione:

ux - 5u = 3x - 1.

Studiamo il segno dell’espressione all’interno del valore assoluto:

x - 5 $ 0 per x $ 5.

Quindi ux - 5u = 5x - 5 se x $ 5 - x + 5 se x 1 5.

Pertanto dobbiamo risolvere:

x - 5 = 3x - 1 quando x $ 5,- x + 5 = 3x - 1 quando x 1 5.

Questo significa che l’insieme delle soluzioni dell’equazione è l’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi.

Primo sistema Secondo sistema

La soluzione x = - 2 non è accettabile perché non è maggiore di 5, mentre

x 23

= è accettabile perché minore di 5.

Le equazioni del tipo u A(x) u = a, con a ! R

ESEMPIO

Risolviamo l’equazione:

u3 - xu = 2.

PARAGRAFO 6. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO

b Figura 6 Quadro dei segni. Il valore assoluto coincide con x 5- quando x 5- è positivo; è l’opposto di x 5- , ossia ( )x 5- - , quando x 5- è negativo.

b

apq

x − 5

x − 5 − x + 5 x − 5

0

5

5x $ 5 x - 5 = 3x - 1

5x $ 5 - 2x = 4

5x $ 5 x = - 2

5x 1 5 - x + 5 = 3x - 1

5x 1 5 - 4x = - 6

x 1 5

5x = 23


14

Possiamo utilizzare la quarta proprietà del valore assoluto

� x � = � y � + x = ! y 6 x, y ! R

e quindi scrivere: 3 - x = ! 2.

Otteniamo allora 3 - x = 2 0 3 - x = - 2 " x = 1 0 x = 5.

In generale, se dobbiamo risolvere l’equazione

Le disequazioni con il valore assolutoPer le disequazioni con valore assoluto si procede in modo simile alle equazioni.

ESEMPIO

Risolviamo la disequazione �x - 4� 2 - 2x + 1.Studiamo il segno all’interno del valore assoluto:

x - 4 $ 0 per x $ 4.

Quindi:

�x - 4� = �x - 4 se x $ 4; -x + 4 se x 1 4.

La disequazione ha come soluzioni i valori appartenenti all’unione degli insie-mi delle soluzioni dei seguenti sistemi.


x $ 4 (figura 7); - 3 1 x 1 4 (figura 8).

Le soluzioni della disequazione data sono quindi:

- 3 1 x 1 4 0 x $ 4, cioè x 2 - 3.

�A(x)� = a, con a ! R,

se a $ 0, si risolve A(x) = ! a;se a 1 0, l’equazione non ha soluzione.

● Possiamo pensare 2 = � 2 �.

● L’equazione �7 + x� = - 3non ha soluzioni perché il valore assoluto non può essere un numero negativo.

�x $ 4 x - 4 2 - 2x + 1

x $ 4

�x 2 35

�x 1 4 - x + 4 2 - 2x + 1

�x 1 4 x 2 - 3

m Figura 7m Figura 7

x ≥ 4

4

x > –53

–53

m Figura 8m Figura 8

x < 4

4

x > − 3

− 3

TEORIA

15

PARAGRAFO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Le equazioni irrazionaliConsideriamo l’equazione del tipo

( )A xn = B(x),

con n $ 2 intero.

• Se n è dispari, l’equazione si risolve elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, cioè:

( )A xn = B(x) è equivalente ad A(x) = [B (x)]n (se n è dispari).

• Se n è pari, è necessario porre alcune condizioni. La condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

La condizione di concordanza di segno per B(x) (poiché un radicale con indice pari è sempre uguale a un numero positivo o nullo, affinché sia vera l’uguaglian-za deve essere positivo o nullo anche il secondo membro):

B(x) $ 0.

Per risolvere l’equazione possiamo poi elevare alla potenza n-esima entrambi i membri.

ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione:

x x4 33+ - = - x.

Poiché n = 3 è dispari, l’equazione è equivalente a

4 + x - x3 = - x3, cioè 4 + x = 0,

e quindi ha soluzione x = - 4.

2. Risolviamo l’equazione:

2 4x x2+ + = 2x - 1.

Un’equazione o disequazione è irrazionale se in essa ci sono radicali contenenti l’incognita.

In sintesi, se n è pari, l’equazione ( )A xn = B(x) è equivalente al sistema:

A(x) $ 0

�B(x) $ 0 A(x) = [B(x)]n

● Il metodo può essere esteso anche a equazioni più complesse.

● Osserva che la condi-zione A(x) $ 0 è implicita nella terza equazione e quindi si potrebbe trala-sciare.


16

Poiché n = 2 è pari, l’equazione è equivalente al sistema:

Il valore x 21

=- non soddisfa la disequazione del sistema, per cui non è ac-

cettabile, mentre x 3= è soluzione accettabile.

Le disequazioni irrazionaliEsaminiamo disequazioni del tipo

( )A xn 1 B (x) oppure ( )A xn

2 B (x),

con n $ 2 intero.

• Se n è dispari, sia la prima sia la seconda disequazione si risolvono elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, ottenendo così una disequazione equiva-lente a quella data, cioè:

• Se n è pari, consideriamo il caso n = 2 e applichiamo il seguente principio.

Se a e b sono due numeri reali positivi o nulli, la relazione di disuguaglianza che c’è fra i due numeri è la stessa che c’è fra i loro quadrati:

6 a, b $ 0 & a 1 b + a2 1 b2.

La relazione enunciata nel principio può non essere valida se i due numeri non sono entrambi positivi o nulli.

Questo principio sarà utile perché ci permetterà di scrivere una disequazione irrazionale in forma razionale equivalente, elevando i due membri della dise-quazione al quadrato.

Le disequazioni del tipo ( )A x 1 B(x)Data la disequazione

( )A x 1 B(x),

affinché sia soddisfatta, dobbiamo porre la condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

2x2 + x + 4 $ 0 6 x ! R

52x - 1 $ 0 " 5x $ 21

2x2 + x + 4 = (2x - 1)2

2x2 + x + 4 = 4x 2 - 4x + 1

x $ 21

x $ 21

5 " 5 2x2 - 5x - 3 = 0 x = - 21 0 x = 3

se n è dispari,

( )A xn 1 B(x) è equivalente a A(x) 1 [B(x)]n;

( )A xn 2 B(x) è equivalente a A(x) 2 [B(x)]n.

● Nell’equazione associata alla prima disequazione D 1 0, e quindi ognix ! R è soluzione della disequazione.

● L’equazione2x 2 - 5x - 3 = 0

ha discriminante D = 25 + 24 = 49,

per cui ha soluzioni:

x 45 7!

= = 3

21

-

● Il principio è ancora valido se, invece di elevare al quadrato, eleviamo a una qualsiasi potenza con espo-nente pari.

● 5 1- ma non è vero che 25 1 9.

● Il verso della disugua-glianza non cambia.

TEORIA

17

Inoltre, poiché il radicale aritmetico è un numero positivo o nullo, perché sia vera la disuguaglianza deve essere:

B(x) 2 0.

Poste queste due condizioni, i due membri della disequazione sono entrambi posi-tivi o nulli, quindi, per il principio che abbiamo illustrato sopra, possiamo elevarli al quadrato, ottenendo la relazione:

A(x) 1 [B(x)]2.

ESEMPIO


x x2 152+ - 1 x - 1.

Essa è equivalente al sistema:

x2 + 2x - 15 $ 0

5x - 1 2 0 x2 + 2x - 15 1 x2 + 1 - 2x

x # - 5 0 x $ 3 x # - 5 0 x $ 3

5x 2 1 " 5x 2 1 4x 1 16 x 1 4

Le soluzioni del sistema, e quindi della disequazione, sono:

3 # x 1 4.

Le disequazioni del tipo ( ) ( )A x B x2

Anche per una disequazione del tipo

( )A x 2 B(x)

dobbiamo porre la condizione di esistenza del radicale:

A(x) $ 0.

In sintesi, la disequazione ( )A x 1 B (x) è equivalente al sistema:

A(x) $ 0

5B(x) 2 0 A(x) 1 [B(x)]2

● Se la disequazione ha il segno #, ossia è del tipo

( ) ( )A x B x# ,si deve risolvere il sistema:

( ) 0( ) 0( ) [ ( )]

xB xA x B x

A

2

$

$

#

*

● Se B (x) # 0, la disequa-zione non ha soluzione perché un numero positivo o nullo non può essere minore di un numero nega-tivo o nullo.

● Equazione associata alla prima disequazione:

x 2 + 2x - 15 = 0

4D

= 1 + 15 = 16

x = - 1 ! 4 =3

- 5

− 5 1 3 4

x2 + 2x − 15 ≥ 0

x − 1 > 0

x2 + 2x − 15 < (x − 1)2

b Figura 9

PARAGRAFO 7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

•


18

Dobbiamo poi risolvere due sistemi, distinguendo il caso in cui B(x) è minore di 0 e quello in cui è maggiore o uguale a 0.

• Se B(x) 1 0, la disequazione è senz’altro soddisfatta, perché il secondo membro è negativo ed è minore del primo, che è positivo o nullo. Quindi una parte delle soluzioni della disequazione irrazionale è data da quelle di un primo sistema:

�A(x) $ 0 B(x) 1 0

• Se B(x) $ 0, entrambi i membri della disuguaglianza sono positivi o nulli, quin-di, se li eleviamo al quadrato, otteniamo una disuguaglianza con lo stessoverso:

A(x) 2 [B(x)]2.

Otteniamo pertanto le restanti soluzioni della disequazione iniziale da un secon-do sistema:

�B(x) $ 0 A(x) 2 [B(x)]2

ESEMPIO


x 1- 2 x - 3.Otteniamo:

�x - 1 $ 0 0 � x - 3 $ 0

x - 3 1 0 x - 1 2 (x - 3)2

�x $ 1 0 � x $ 3

x 1 3 x2 - 7x + 10 1 0

�x $ 1 0 � x $ 3

x 1 3 2 1 x 1 5

Il primo sistema ha come soluzioni 1 # x 1 3, il secondo 3 # x 1 5. L’unio-ne dei due intervalli dà l’insieme delle soluzioni della disequazione:

1 # x 1 5.

In sintesi, l’insieme delle soluzioni della disequazione ( )xA 2 B(x) è l’unio-ne delle soluzioni dei due sistemi:

�A(x) $ 0 0 � B(x) $ 0

B(x) 1 0 A(x) 2 [B(x)]2

Il primo sistema ha come soluzioni 1 # x 1 3 il secondo 3 # x 1 5 L’unio-

3 521 3

secondo sistemaprimo sistema

x − 3 ≥ 0

x − 1 > (x − 3)2

x − 1 ≥ 0

x − 3 < 0

c Figura 10

● Osserviamo che se è verificata questa relazione, A(x), essendo maggiore di un quadrato, è positivo: la condizione di esistenza del radicale, A(x) $ 0, è super-flua.

● Equazione associata: x2 - 7x + 10 = 0 D= 49 - 40 = 9 5 x = 2

7 3! =

2

TEORIA

19

RISPOSTA AL QUESITO

BODY MASS INDEX…considerato un peso di 70 kilogrammi, per quali fasce di altezza possiamo ritenere una persona sottopeso, normale, sovrappeso o obesa?

In campo medico, la valutazione della forma fisica di una persona viene compiuta tenendo conto di diversi parame-tri, quali il sesso, l’età, l’altezza, la massa, la muscolatura, la costituzione ossea e soprattutto la percentuale di massa grassa, costituita dai tessuti adiposi.L’indice di massa corporea (BMI, dall’inglese Body Mass Index) tiene conto del peso e della statura e costituisce una prima stima, seppur grossolana e semplicistica, della forma fisica di un individuo.Indicate con m la massa in kilogrammi e con h l’altezza in metri, si definisce:

hmBMI 2= .

A seconda del valore di BMI, è stata prodotta la classifica-zione che appare in tabella.

Ora si supponga che una persona pesi 70 kilogrammi. È chiaro che l’ago della bilancia, da solo, dà poche informa-zioni sulla forma: fa molta differenza se si tratta di un gio-catore di basket, alto più di un metro e ottanta, o di un bambino sotto il metro e cinquanta.Considerando la classificazione dei valori di BMI, ci si chiede per quali fasce d’altezza si può considerare una persona di 70 kilogrammi magra, normale, sovrappeso, obesa o gravemente obesa.

• Prendiamo come primo caso lo stato di sottopeso: BMI 1 18,5.

Utilizziamo la definizione hmBMI 2= e consideriamo

m = 70:

h702 1 18,5 " h2 2 ,

7018 5 .

Si tratta di una disequazione di secondo grado in h. Risolviamola tenendo conto della condizione h 2 0.

Risulta:

18,570 ,h 1 952 - .

Pertanto un individuo di 70 kilogrammi più alto di un metro e 95 centimetri è sottopeso o magro.

Con lo stesso procedimento si ottengono le disequazioni per gli altri stati di forma fisica, tenendo conto che h 2 0.

• Per lo stato di normopeso:

, , , ,h h h18 5 70 24 9 18 570 70

24 922 2" /# # # $ .

Le due disequazioni hanno soluzioni accettabili,

, , , ,h h0 18 570 1 95 24 9

70 1 68/1 # - $ - ,

cioè: 1,68 # h # 1,95.

Pertanto, un individuo che ha una massa di 70 kilo-grammi è normale se ha un’altezza compresa tra 1,68 e 1,95 metri.

• Per lo stato di sovrappeso di 1o grado:29,9 ,25 h h h70

29 970

2570

22 2" /# # # $ .

Le disequazioni hanno le seguenti soluzioni accettabili,

, , ,h h0 2570 1 67 29 9

70 1 53/1 # - $ - ,

cioè: 1,53 # h # 1,67.

Si conclude che una persona di 70 kilogrammi è sovrap-peso se ha un’altezza compresa tra 1,53 e 1,67 metri.

• Per lo stato di sovrappeso di 2o grado, si ottiene invece: 1,33 # h # 1,52.

Una persona di 70 kilogrammi è obesa se ha un’altezza compresa tra 1,33 e 1,52 metri.

• Per lo stato di sovrappeso di 3o grado:40 hh

7040702

2 "$ # , cioè:

0 4070 ,h 1 321 # - .

Un individuo di 70 kilogrammi è gravemente obeso se è più basso di 1,32 metri.

Ora si supponga che una persona pesi 70 kilogrammi. È

Valore BMI Stato Individuo

$ 40 sovrappeso di 3° grado obeso grave

30-39,9 sovrappeso di 2° grado obeso

25-29,9 sovrappeso di 1° grado sovrappeso

18,5-24,9 normopeso normale

< 18,5 sottopeso magro

Il quesito completo a pag. 1

PROBLEMI

MODELLI


20

ESERCITAZIONE GUIDATA

Con Derive determiniamo per quali valori del parametro reale h la disequazione ( )h x hx h3 3 3 8 3 02 2+ - - - ammette soluzioni esterne all’intervallo delle radici.

• Attiviamo Derive e immettiamo la disequazione data nell’etichetta #1 della zona algebrica (figura 1).• Assegniamo il nome a all’espressione in h che rap-presenta il coefficiente di x2.• Impostiamo il calcolo dell’espressione in h che rap-presenta il discriminante della disequazione, assegnan-dogli il nome D.• Con Semplifica_Sviluppa semplifichiamo l’espressione.• Le disequazioni di secondo grado, poste maggiori di 0, ammettono soluzioni esterne all’intervallo delle radi-ci quando il coefficiente di x2 e il discriminante sono entrambi positivi. Impostiamo e risolviamo pertanto il corrispondente sistema di disequazioni nella varia-bile h, trovando che i valori richiesti dal pro-blema sono quelli che appartengono agli intervalli

h h1 76

52

01 1 2- - - .

m Figura 1 m Figura 1

EsercitazioniCon l’aiuto del computer discuti il tipo delle soluzioni delle seguenti disequazioni in relazione ai valori del para-metro h e svolgi delle verifiche.

3 ( )x h h x2 12- - x hh x12 1 9 02 2++

-+

( )xh

h h56 1

101

1 --

( )h xx2 2

1 01- +

+

x hx x2 5 102 2#- + - xx h

1 02

2$

-

-

( 10 ) 6 1h h x x 04 2 2 #- - - 2( 2)x h x x 03 2 $+ - +

( )hx h x1 32

2-

- ( 1)h x hx 03 1+ -

1 6

2 7

3 8

4 9

5 10

Nel sito: c Altre esercitazioni

LABORATORIO DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONISTRUMENTI

21

ESERCIZILA TEORIA IN SINTESI

LA TEORIA IN SINTESIEQUAZIONI E DISEQUAZIONI

1. LE DISEQUAZIONI E LE LORO PROPRIETÀn Disequazione: è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si cercano i valori di una o più lettere (le

incognite) che la rendono vera. Tali valori sono le soluzioni della disequazione.

n Intervalli

Intervalli limitati Intervalli illimitati

n Princìpi di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una a essa equivalente:• aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero (o espressione);• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) positivo;• moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero (o espressione) negativo e cambiando il

verso della disuguaglianza.

2. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADOn Risoluzione della disequazione di primo grado intera ax 2 b:

• se a 02 , x ab

2 ;

• se a 0= , 0 x b$ 2 se 0,b x Rb$ ! ;

• se a 01 , x ab

1 . se 0,b x R61 ! ;

ESEMPIO: x x3 5 35

"2 2 ;

x x x x5 5 3 0 3 R" " 62 2 !- - ;

x x5 12 512

"2 1- - .

a. Intervallo aperto ]a; b[.

d. Intervallo aperto a sinistra ]a; b].

b. Intervallo chiuso [a; b].

c. Intervallo aperto a destra [a; b[.

a b

a < x < b

a b

a ≤ x ≤ b

a b

a ≤ x < b

a b

a < x ≤ b

a. Intervallo aperto illimitato superiormente ]a; +`[.

d. Intervallo chiuso illimitato inferiormente ]–`; a].

b. Intervallo aperto illimitato inferiormente ]–`; a[.

c. Intervallo chiuso illimitato superiormente [a; +`[.

+`a

x > a

+`a

x ≥ a

–` a

x ≤ a

–` a

x < a

CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI SULLE EQUAZIONIESERCIZI

22

3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADOn Disequazione intera di secondo grado: può essere ricondotta alla forma

ax bx c 02 2+ + , con a 02 ,

o alle analoghe che si ottengono con i segni 1, # o $.

n Per risolverla consideriamo l’equazione associata ax2 + bx + c = 0, di cui chiamiamo x1 e x2 le soluzioni (quando esistono).

ESEMPIO: La disequazione 2 5 3x x 02 2- - ha per soluzione x x21 301 2- .1

x1 = x2

ax2 + bx + c > 0

x1

ax2 + bx + c > 0

x2

ax2 + bx + c < 0

Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0

a > 0

ax2 + bx + c < 0 mai ax2 + bx + c < 0 mai

ax2 + bx + c > 0

4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDOE LE DISEQUAZIONI FRATTE

n Una disequazione del tipo ( )P x 02 , con P(x) polino-mio di grado maggiore di 2, può essere risolta scompo-nendo in fattori di primo e secondo grado il polinomio P(x) e studiando il segno del prodotto.Analogamente, per risolvere una disequazione frat-ta del tipo:

( )( ) 0B x

A x2 , posto ( )B x 0! ,

dobbiamo studiare il segno della frazione ( )( )

B xA x .

ESEMPIO: xx

12 02

+

- .

Compiliamo il quadro della figura.

5. I SISTEMI DI DISEQUAZIONIn Sistema di disequazioni: è un insieme di più disequa-

zioni nella stessa incognita, per le quali cerchiamo le soluzioni comuni.

ESEMPIO:xx

21

1

2-'

Compiliamo il quadro della figura.

x < 2

−1

x > −1

2

−1 < x < 2

x − 2 0

0

0

−1

x + 1

x − 2——–x + 1

x < −1 ∨ x > 2

2

23

ESERCIZILA TEORIA IN SINTESI

6. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTOn Per risolvere equazioni o disequazioni con il valore assoluto di espressioni contenenti l’incognita, si esamina il segno

di ogni espressione che sia all’interno di un valore assoluto.

n L’equazione ( )A x = non ha soluzione se a 01 , altrimenti si risolve ponendo ( )A x a!= .

n La disequazione ( ) ( )A x B x2 ha come soluzioni i valori appartenenti all’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi.


: ( )( ) ( )

x A xA x B x

02

$* : ( )( ) ( )

x A xA x B x

02

1

-)

7. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALIn Un’equazione o disequazione è irrazionale se contiene radicali con l’incognita nel radicando.

Equazioni irrazionali

L’equazione equivale a

( ) ( )A x B xn= • ( ) [ ( )]A x B x n= se n è dispari

• ( )( )( ) [ ( )]

A xB xA x B x

00

n

$

$

=

* se n è pari

Disequazioni irrazionali

La disequazione equivale a

( ) ( )A x B xn1 • ( ) [ ( )]A x B x n1 se n è dispari

• ( )( )( ) [ ( )]

A xB xA x B x

00

n2

1

$* se n è pari

( ) ( )A x B xn2 • ( ) [ ( )]A x B x n2 se n è dispari

• ( )( )

( )( ) [ ( )]

B xA x

B xA x B x

00

0n0

1

2$

$( ( se n è pari

ESERCIZI CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI SULLE EQUAZIONI

24

1. LE DISEQUAZIONI c Teoria a pag. 2

E LE LORO PROPRIETÀ Gli intervalli

Stabilisci se i seguenti insiemi sono intervalli e, in caso affermativo, stabilisci se sono aperti o chiusi. Rappresen-tali sulla retta orientata e utilizzando la notazione con le parentesi quadre.

— {xux ! R; 3 # x # 7} [[3; 7]]

— {xux ! R; -5 # x 1 8} [[-5; 8[]

— {7, 9} [non è un intervallo]

— {xux ! R; x $ 7} [[7; +3[]

1

2

3

4

Rappresenta i seguenti intervalli (o unioni di intervalli) mediante disuguaglianze e mediante parentesi quadre.

— –1 6 [-1 # x 1 6; [-1; 6[]

— –3 [x 2 -3; ]-3; +3[]

— – 2 8 [x # -2 0 x 2 8; ]-3; -2] , ]8; +3[]

— –2 1–3 [x 1 -3 0 -2 1 x # 1; ]-3; -3[ , ]-2; 1]]

— 4 [x # 4; ]-3; 4]]

Scrivi i seguenti intervalli con le disuguaglianze e con le parentesi quadre. Indica tutti i numeri reali che sono:

5

6

7

8

9

— compresi tra -2 e 9, estremi inclusi.

— compresi tra - 2

1 e 2, estremi esclusi.

— compresi tra -4 e 5, con -4 incluso e 5 escluso.

— minori o uguali a 4.

10

11

12

13

Rappresenta su una stessa retta orientata l’unione o l’intersezione dei seguenti insiemi e scrivi il risultato anche con le disuguaglianze e con le parentesi quadre.

— 42–1<– 4

< [x $ -4; [-4; +3[]

— >–2–1 6 4 [-1 1 x 1 4; ]-1; 4[]

14

15

— R , {x ! Rux 2 2} [R]

— � , {x ! Rux $ 1} [x $ 1; [1; +3[]

— R ù {x ! Ru1 # x # 3} [1 # x # 3; [1; 3]]

— ]1; 9] ù [-4; 3[ [1 1 x 1 3; ]1; 3[]

16

17

18

19

Le disequazioni equivalentiRisolvi le seguenti disequazioni, applicando il primo o il secondo principio di equivalenza. Per ogni passaggio indica quale principio hai applicato.

— x - 5 1 7; 2x 2 10; -3x 1 4; 2x 2 x + 3; 9 2 x + 1; 3x + 2 1 1 + 2x.

— 9 1 -3x; 12x 2 4x; 3

1 x 2 2; 5x - 7 1 6x; 2

9 x 2 1; 12x - 4 1 7.

20

21

ESERCIZI

25

PARAGRAFO 2. LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO


DI PRIMO GRADO Le disequazioni intere numeriche

—VERO O FALSO?

a) La disequazione (1 - 3 )x 2 1 ha come soluzione x1 3

12

-. V F

b) La disequazione x2 3

22 34

2-

-

- ha come soluzione x 1 6. V F

c) La soluzione della disequazione x x3

42

-

+ è x 2 -1. V F

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione intera numerica:

7 ( 4)( 4)x x x x x3 51

32 12

53 1 3

5 22+ + - + -+

- -b bl l.

23

Eliminiamo le parentesi svolgendo i calcoli:

16x x x x37

57

32 12

532 22+ + - -

+- + .

Eliminiamo i denominatori, moltiplicando en-trambi i membri per il loro minimo comune mul-tiplo, cioè 15 (applicando il secondo principio di equivalenza):

35x + 21 + 15x2 - 240 2 - 10x - 60 - 9 + 15x2.

Trasportiamo i termini con l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro, applicando il primo principio di equivalenza:

35x + 15x2 + 10x - 15x2 2 - 21 + 240 - 60 - 9 45x 2 150.

Dividiamo per 45 entrambi i membri, applicando il secondo principio:

x 310

2 .

L’intervallo delle soluzioni è ;310

3+ :D .

10—3

Risolvi le seguenti disequazioni intere numeriche.

22

— 5x - 8 2 3x - 6 [x 2 1]

— 7x - 3 + 5(- 2x + 1) 1 3x - 7 x 2

32: D

—5( 1) 2x x2

1513

21

2- + + + +b l x 52

2: D

—x x x2

3 57

8 514

11

+-

- - x 223

1-: D

24

25

26

27

— (x + 1)(x2 - x + 1) + (x + 1)2 - 5x 2 5(1 - x) + x2(1 + x) + 2 x 2

52: D

— (x - 3)2 + 3(3x + 4) 2 (x + 6)(x + 3) + 12 x 2

31-: D

—

( )x x x x x12

482

245 1

41

246

2+

-+

+- -

-- [x 1 - 3]

— x2 + 3(x + 1) 2 (x + 3)2 - 3(x + 2) [bx ! R]

28

29

30

31


26

—0x x x x

53 2

155 6

103

303$

-+

-+

--

- [x $ 1]

— x(x - 2) 2 (x - 1)2 + 2 [bx ! R]

—( 3) 2 ( 3)x x x x4

121

415 3

222+ - + - + -b bl l [bx ! R]

—2 0x x x2 3

131

81

7212 2- + - - +b b bl l l x 24

112-: D

——1

( )( )x x

3 5 3 52

3 5 3 52 5

2-

++

-+ -

- +x 52-6 @

—— ( ) ( ) ( 4 )x x x2 2 2 22 2 1- - + - + [6x ! R]

—— 12 ( ) 7(10 7 ) 2x x x x12 2

132 3 4 1 3

422- + - + - +b bl l; E [x 1 0]]

Le disequazioni intere letteraliESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione intera letterale: (x + a)2 - (x - a)(x + a) # 0.

Eseguiamo i calcoli che permettono di arrivare alla forma ax 1 b:

x2 + 2ax + a2 - x2 + a2 # 0 " 2ax + 2a2 # 0 " ax # - a2.

DiscussioneAbbiamo casi diversi a seconda del segno del coefficiente a di x.• Se a 2 0, possiamo dividere per a senza cambiare verso alla disequazione e troviamo le soluzioni:

x # - a.

• Se a = 0, sostituendo, otteniamo 0x # 0, vera per qualunque valore della x: la disequazione è sempre verificata. Scriviamo: 6x ! R.

• Se a 1 0, dividiamo per una quantità negativa, quindi cambiamo il verso alla disequazione; le soluzioni sono:

x $ - a.

39

Risolvi le seguenti disequazioni intere letterali.

—2ax a1- R0, ; 0, 0,;a x a

a a x a x aa2 2

62 1 1 2!+

=+: D

—( 1) 3(1 )a x a1- - R0, ; 0, 0,;a x a

a a x a x aa3 2 3 2

62 1 1 2!-

=-: D

—( )ax a1 2 1$- - - R0, ; 0, 0,;a x a

a a x a x aa2 1 2 1

62 1!# $-

=-: D

—( ) ( )m x m m x1 02+ - - R, ; , ; ,m x m m x m m x0 2

1 0 21 0 b1 1 2 2 !

- -=: D

—(3 2 ) 2 ( 1) 2x a x a x x21+ + - R, ; , ; ,a x a x a x0 5

2 0 52 0 b2 1 1 2 !=: D

— ( ) ( 1) ( 2)( 1)x a a x a1- + + - x a a

23 22

1+ -; D

32

33

34

35

36

37

38

40

41

42

43

44

45

ESERCIZI

27

PARAGRAFO 3. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Lo studio del segno di un prodottoESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione:

( )( )x x x21 2 4 0$- - - .

Studiamo il segno di ognuno dei fattori, cercan-do i valori di x per i quali ciascun fattore è po sitivo:

- 21 x 2 0 " x 1 0

x - 2 2 0 " x 2 2

4 - x 2 0 " x 1 4.

Compiliamo il quadro dei segni, qui a lato.Poiché si richiede che il prodotto sia positivo o nullo, le soluzioni della disequazione sono:

0 # x # 2 0 x $ 4.

46

Risolvi le seguenti disequazioni.

0

0

0

0 0 0

0

2 4

x – 2

4 – x

– — x12

– —x (x – 2) (4 – x)12

0 42

— 3(2 1)(1 ) 0x x 2- + x x1 2

101 2-: D

— ( 8)(2 4 ) 0x x #- - x x2

1 80# $: D

— ( 3) 0x x2

1 1 1- - -b l x x3 201 2-5 ?

— 6 (10 2) 0x x #+ x5

1 0# #-: D

—( 2) 0x x3

131

2- + -b l x2 31

1 1-: D

—(2 5)(1 ) 0x x 1- + - x2

5 11 1-: D

47

48

49

50

51

52

—(1 )(1 4 ) 0x x x 2- + x x4

1 0 101 1 1-: D

— ( 4)( 6)( 5) 0x x x $- + + x x6 5 40# # $- -5 ?

—0x x x2

141

81

$- + -b b bl l l x x41

81

21

0# # $-: D

—( 1)(6 2 )(4 8) 0x x x x 1- + - x x3 0 1 201 1 1 1-5 ?


DI SECONDO GRADO Le disequazioni di secondo grado numeriche

L’equazione associata ha D 2 0

53

54

55

56

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione numerica intera: 5x(x - 1) + x 2 + 1 1 0.

57


28

Sviluppiamo i calcoli e otteniamo:

6x2 - 5x + 1 1 0.

Risolviamo l’equazione associata 6x2 - 5x + 1 = 0; determiniamo il D:

D = 25 - 24 = 1.

Essendo D 2 0, le soluzioni sono:

21

x 125 1!

= = 3

1

Possiamo ora continuare la soluzione dell’eserci-zio in tre modi:

• con lo studio del segno di un prodotto;• con la regola del segno del trinomio;• con il metodo grafico della parabola.

Lo studio del segno di un prodottoTenendo presente che

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),

la disequazione si può scrivere:

6 0x x31

21

1- -b bl l .

Semplifichiamo, dividendo per 6, e studiamo il segno dei fattori:

per ,x x31 0 3

12 2-

0 per .x x21

21

2 2-

Compiliamo il quadro dei segni.

La disequazione 6x2 - 5x + 1 1 0 è verificata per:

x31

21

1 1 .

La regola del segno del trinomioSe l’equazione ax2 + bx + c = 0 (con a 2 0) haD 2 0, la disequazione ax2 + bx + c 1 0 è verifi-cata dai valori della x interni all’intervallo delle radici dell’equazione.

L’intervallo delle soluzioni di 6x2 - 5x + 1 1 0 è:

; , x31

21

31

21ovvero 1 1:D .

1—2

1—3

d 2 f

0

−0

0

0

x – –13

x – –12

13 x – –1

2

13–

12–

x – –

Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado (D 2 0).

L’equazione associata ha D = 0

— 3 12 0x2 2- x x2 201 2-5 ?

— 10 4 0x x 2

12 #+ - x21

101

# #-: D

—7 0x x3 3

421+ - x7 31 1-5 ?

—3 0x x2

112 $- - x x21 60# $-: D

—4 8 12x x2 1+ x3 11 1-5 ?

—6 0x x2 1- - x x6 001 2-5 ?

58

59

60

61

62

63

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione numerica intera: -(2x - 3)(2x + 3) - 12(1 - x) $ 6.

64

ESERCIZI

29

RIEPILOGO LE DISEQUAZIONI DI 2° GRADO NUMERICHE INTERE

Sviluppiamo i calcoli e otteniamo

-4x2 + 9 - 12 + 12x - 6 $ 0,

da cui, semplificando e moltiplicando per -1, ricaviamo:

4x2 - 12x + 9 # 0.

Calcoliamo il discriminante dell’equazione asso-ciata 4x2 - 12x + 9 = 0:

36 36 04D

= - = .

Poiché il coefficiente di x2 è positivo e D = 0, la disequazione 4x2 - 12x + 9 # 0 è verificata solo

per x 23

= , valore per cui il trinomio

4x2 - 12x + 9 si annulla.

—4 2 0x x4

12 $+ - Rx6 !5 ?

— 9 12 4 0x x2 1- + Rxb !5 ?

—4 4x x2 #+ x 2=5 ?

— 7 (7 2) 1x x $- - Rx6 !5 ?

— 8 (2 1) 1x x 2+ - x 4

1!-: D

—36 12x x2 $+ Rx6 !5 ?

65

66

67

68

69

70

Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado (D = 0).

L’equazione associata ha D 1 0

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la disequazione numerica intera 5(2x + 3) + 3x(x - 2) + 4 x 1 2(x2 - 10) - 2x.

71

Sviluppiamo i calcoli e otteniamo:

x2 + 10x + 35 1 0.

Calcoliamo il discriminante dell’equazione asso-ciata x2 + 10x + 35 = 0:

25 35 104D

= - =- .

Poiché il coefficiente di x2 è positivo e D 1 0, la disequazione non è mai verificata.Scriviamo pertanto:

Rxb ! .

Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado (D 1 0).

— 3 2 5 0x x2 2+ + Rx6 !5 ?

—9 0x x9

1 2 #+ + Rxb !5 ?

—(2 ) 6x x 1- Rx6 !5 ?

— 25 10 4x x2 $- - Rx6 !5 ?

—4 8 9 0x x2 1- + - Rx6 !5 ?

— 2( 4)x x2 1+ Rxb !5 ?

72

73

74

75

76

77

Le disequazioni di 2° grado numeriche intereRIEPILOGO

Risolvi le seguenti disequazioni.

—1x x4

152 2- x x41 401 2-: D

—4 11 3 0x x2 #+ - x3 4

1# #-: D78 79


30

—4 12 0x x2 $- - x x2 60# $-5 ?

—9 0x2 #- + x x3 30# $-5 ?

—4 4 9 0x x2 1+ + Rxb !5 ?

—8 0x x2 $- + x0 8# #5 ?

—1 0x2 2- + x1 11 1-5 ?

—0x4

1 2 #- Rx6 !5 ?

—2 9 0x x2 $+ + Rx6 !5 ?

— 3 ( 1) ( 1) 0x x x2 1- + + Rxb !5 ?

—14 49 0x x2 1- + - x 7!5 ?

—x x2 7 3 02 1- + - x x3 2

102 1: D

— 2( 1)( 3) 0x x $- + x x3 10# $-5 ?

—2 2 0x x22 #- + x 2=6 @

— 2( 1) 5x x2 1+ x2

1 21 1: D

— 3 ( 4) 0x x3

2$- +b l x4 3

2# #-: D

— 16( 1) 40 7x x2 1+ + x4

149

1 1: D

— ( 3) 12(2 ) 3(3 4 )x x x2 2+ + - - Rx6 !5 ?

— ( 1) (2 1)x x x

252 2+ + -

-

x x25 101 2- -: D

—2(8 ) (49 8 )x x x2

7412

1- + + +b l Rxb !5 ?

— 2 ( 1) ( 1) 2x x x x2 21+ - + x 1!5 ?

—4( 1) ( 1)( 3) 0x x x2 1- + + - x1 5

71 1-: D

—

( ) ( )x x x x3

32

2 123

2+

+-

- Rx6 !5 ?

— (1 ) ( 4) 2(8 )x x x x2 1- + + + -

x15 4 15 41 1- - -6 @

—( 1) 5x x x2

121 7 2

1 22- + - -b lx x4 5 3 4 5 302 1- - -6 @

— 8( 2 ) (16 )x x x x2 1+ - - Rxb !5 ?

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

—( 1) 0x x x x2

523

34

2412 2+ + - - +b l x 4

1!-: D

— (2 3) 7 2x x x x2

341

27

2+ + - -b bl l x x2 101 2- -5 ?

— ( 1) ( 2) ( 2)( 1)x x x x x3 22+ - + - + x x2

3 32

3 301 2

- - - +; E

— 1 (3 1) (14 9 ) 1 3x x x x3

131

1+ + + + - -b l Rxb !5 ?

— 3( 3)( 1) 3( 6 1) 2( 11) 1x x x x x2 2 2- + + + - - - x 2

3!-: D

—( ) ( )x x x x x3

7 3 32 18 5 2

22+ +

++ + x x2 3

501 2- -: D

—(2 )(4 2 ) 1 0x x x x x x x7

11732 2 2+ + - + + + + +b bl l Rx6 !5 ?

—( 2 ) 2( 6) 3x x x x2 2 21+ + - x3 2 2 21 1-6 @

——0x x x

22 3

32

612

2-

+-

++

Rx6 !5 ?

——( 1)( 1)x x x x2

1 1 41

412

2$- + - + -b l Rx6 !5 ?

——(1 )(1 )x x x x x2

121

212

1+ + + - - +b b bl l l Rxb !5 ?

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

ESERCIZI

31

RIEPILOGO LE DISEQUAZIONI DI 2° GRADO NUMERICHE INTERE

——x x x x2 1 2 2

623 22+ - + +c m x x2

123

01 2-; E

—— ( 21) 5x x x x

71

7 31

413

123 402 2+ + + +-b l Rx6 !5 ?

Le disequazioni intere letterali di secondo grado

115

116

Risolvi le seguenti disequazioni intere letterali di secondo grado.

— 2 5 3 0a x ax2 2 1+ - ( 0)a 2 a x a

321

1 1-: D

—( 1) 0ax x a a2 2 1+ - - ( 0)a 2 a x a

11 1-: D

—3 2 ( ) 3 0x a a x ax2 $- + + - ( )a 01 a x a3

2# #-: D

— ( ) ( ) (3 ) ( 1) 0x a x a a x a a #- + + + + - ( )a9 11 1- - Rxb !5 ?

—

( ) ( ) 0ax x a

aax x

2 32

1+

-- a 2

31-b l a

a x3 24 3 01 1+

-: D

—3 10 0a x ax2 2 $+ - ( 0)a 2 x a x a

5 20# $-: D

118

119

120

121

122

123

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione intera letterale di secondo grado:

(x - 3)(x + 3) + 2k(1 - x) 2 -12.

Sviluppiamo i calcoli:

x 2 - 9 + 2k - 2kx + 12 2 0 " x 2 - 2kx + (2k + 3) 2 0.

Determiniamo il discriminante D dell’equazione associata:

D = 4k 2 - 4(2k + 3) = 4k 2 - 8k - 12.

DiscussioneAbbiamo casi diversi a seconda del segno di D.• D = 0, cioè k2 - 2k - 3 = 0, per k = -1 e k = 3; poiché il coefficiente a di x2 è positivo, la disequazio-ne è verificata per ogni x ! R, esclusa la radice dell’equazione associata:

k = -1 " x ! -1, k = 3 " x ! 3.

• D 1 0 per -1 1 k 1 3; poiché a 2 0, la disequazione è sempre verificata.• D 2 0 per k 1 -1 e k 2 3; allora l’equazione associata ha due soluzioni,

x1 = k - k k2 32- - , x2 = k + k k2 32- - ,

e, poiché a 2 0, la disequazione è verificata per valori di x esterni all’intervallo di estremi x1 e x2.

Riassumendo, le soluzioni della disequazione sono le seguenti:

• se -1 1 k 1 3, 6x ! R;• se k = -1, x ! -1;• se k = 3, x ! 3;• se k 1 -1 0 k 2 3, x 1 k - k k2 32- - 0 x 2 k + k k2 32- - .

117


32

4. LE DISEQUAZIONI DI GRADO c Teoria a pag. 8

SUPERIORE AL SECONDOE LE DISEQUAZIONI FRATTE

Le disequazioni di grado superiore al secondoLe disequazioni binomie

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo le seguenti disequazioni:

a) x3 + 125 1 0; b) x5 + 32 2 0; c) x6 - 64 $ 0.

124

a) Per scomporre il binomio x3 + 125, ricordiamo il prodotto notevole

a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2), a, b ! R,

dove a2 - ab + b2 è un trinomio con D 1 0. Nel nostro caso è:

x3 + 125 = (x + 5)(x2 - 5x + 25),

da cui:

x3 + 125 1 0 per x + 5 1 0.

La disequazione è verificata per x 1 -5.

b) Risolviamo l’equazione binomia associata:

x5 + 32 = 0 " x5 = -32 " x = 325- = -2.

Il segno del binomio x5 + 32 coincide con il segno del binomio x + 2.

La disequazione è verificata per x 2 -2.

c) Scomponiamo il binomio x6 - 64, ricordando il prodotto notevole:

a2 - b2 = (a + b)(a - b), a, b ! R.

Nel nostro caso è:

x6 - 64 = (x3 + 8)(x3 - 8).

Studiamo il segno di ciascun fattore binomio:

x3 + 8 2 0 per x 2 -2; x3 - 8 2 0 per x 2 2.

La disequazione è verificata per x # -2 0 x $ 2.La disequazione è verificata per x#-2 0 x$2

0

00

–2 2

0x3 + 8

x3 − 8

x6 − 64

Risolvi le seguenti disequazioni binomie.

—3 0x4 $+ Rx6 !5 ?

—1 0x3 #+ x 1#-5 ?

— 5 1 0x5 2- x

5152< F

—81 0x4 1- x3 31 1-5 ?

—4 1 0x8 $+ Rx6 !5 ?

—x4 5 06 #+ Rxb !5 ?

125

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128

129

130

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la disequazione x8 - 15x4 - 16 $ 0.

131

Consideriamo l’equazione associata: x8 - 15x4 - 16 = 0.

Le disequazioni trinomie

ESERCIZI

33


Risolvi le seguenti disequazioni trinomie.

Si tratta di un’equazione trinomia e la risolviamo ponendo:

x4 = z z2 - 15z - 16 = 0 " z1 = -1, z2 = 16.

La disequazione di ottavo grado, nella variabile x, è equivalente alla disequazione di secondo grado, nella variabile ausiliaria z, ricavata ponendo x4 = z. Otteniamo:

z2 - 15z - 16 $ 0 per z # -1 0 z $ 16,

vale a dire:

x8 - 16x4 - 16 $ 0 per x4 # - 1 0 x4 $ 16.

Essendo:

x4 + 1 # 0 impossibile, x4 - 16 $ 0 per x # -2 0 x $ 2,

la disequazione x x15 16 08 4 $- - ha per so lu-zio ni:

x x2 20# $- .

—1 0x x6 3 1+ + Rxb !5 ?

—1 0x x4 2 2+ + Rx6 !5 ?

—2 15 0x x4 2 2+ - x x3 301 2-6 @

— 2 3 0x x8 4 2+ - x x1 101 2-5 ?

— 16 24 9 0x x4 2 #- + x 2

3!=; E

—2 15 0x x6 3 1+ - x5 33 3

1 1-6 @Le disequazioni risolubili con scomposizioni in fattori

132

133

134

135

136

137

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la disequazione di terzo grado:

x 3 - 5x 2 - 4x + 20 2 0.

138

Cerchiamo di scomporre il polinomio

x3 - 5x2 - 4x + 20

tentando un raccoglimento parziale. Selezionia-mo, per esempio, il primo e il secondo termine, il terzo e il quarto. Si ha:

x2(x - 5) - 4(x - 5) 2 0.

Mediante il successivo raccoglimento si arriva a:

(x2 - 4)(x - 5) 2 0.

Consideriamo separatamente i due fattori e li poniamo maggiori di 0, per studiarne il segno.

• Primo fattore: x2 - 4 2 0.

Consideriamo l’equazione associata: x2 - 4 = 0. Le soluzioni sono: x = ! 2.

L’insieme delle soluzioni di x2 - 4 2 0 è: x 1 - 2 0 x 2 2.

• Secondo fattore: x - 5 2 0 per x 2 5.

Compiliamo il quadro dei segni e determiniamo il segno di x3 - 5x2 - 4x + 20 con la regola del prodotto dei segni.


- 2 1 x 1 2 0 x 2 5.


x2 − 4 0

00

x − 5

x3 − 5x2 − 4x + 20

0

0

0

5−2 2


34

Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo, scomponendo in fattori.

— x2(x2 + 2) - 2x2 - (x - 1)(1 + x) $ 0 [6x ! R]

— x3 + 2x2 - 9x - 18 1 0 [x 1 - 3 0 - 2 1 x 1 3]

—( ) ( )x x x x x3 1 9 1 03 2 2 #+ - + + - x x3 2

121

0# # #- -: D

—(1 ) 2 ( )x x x x x2 33 2 21+ - - [ ]x x1 601 2-

— 2 (2 3) 4 3(2 )x x x x 1 02 2 2 2+ + - + 2

1x 2: D

—5 5 0x x x4 3 1- - + x1 51 15 ?

—( 11) 7 (1 )x x x x2 1- - x x9 0 201 1 1-5 ?

—( 1) 2 ( 14) 0x x x x3 2 2 1- - + x x7 0 701 1 1-6 @

— 16 25( 5)( 5) 0x x x x x4

5452 2- + + - +b bl l x x2

525

01 2-: D

— 7 2( 2) 0x x x x3

1 1 314 2 4 2 2+ + - - +b l Rx6 !5 ?

—( ) ( 2) 4x x x x x x1 3 21+ - + -6 @ x2 21 1-5 ?

— 2 ( 1) ( 1) (3 1) 0x x x x x2 3 2+ + - - + x x1 101 2-5 ?

——(3 1) ( 1)x x x x x x2

1215 3 3 42+ - - + x x1 0 101 1 2-5 ?

——( ) ( )x x x x8 2 73 52+ - 1 0 4 4x x x0 01 1 1 2-5 ?

—— ( 2) 2( 3 ) 2(2 ) 0x x x x2 2 2 #+ + + - + + Rxb !5 ?

—— ( 1) 4 ( 1)x x x x x3

53 1 3

1323 2 1- + + - +b l x x1 1 3

201 1 1- -: D

—— 2 (1 2 ) (2 )x x x x x x3

1 32 21

23

326 2 2 22+ + - + + + -b bl l x x4

2 0 42

01 1 2-; E

Le disequazioni fratte

—VERO O FALSO?

a) Le disequazioni A(x) $ B(x) 2 0 e ( )( )

B xA x

2 0 sono equivalenti. V F

b) Le disequazioni A(x) $ B(x) $ 0 e ( )( )

B xA x

$ 0 sono equivalenti. V F

c) La disequazione ( ) 0xx1 2

2$

+

- non è mai verificata. V F

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

—x x7 6 03 $- + 3 1 2x x0# # $-5 ?

—4x x x 623 1+ + x x3 2 101 1 1- -5 ?

— 5 7 0x x2 4 #+ x 0=5 ?

—8 0x6 #- x2 2# #-6 @

— 27 1 0x6 $- x x3

333

0# $-; E

—5 0x x4 2 $- x x x5 5 00 0# $- =6 @

—8 0x x6 3 $+ x x2 00# $-5 ?

— 8 7x x3 2$ + x 1$5 ?

139

140

141

142

143

144

145

146

ESERCIZI

35


Risolvi le seguenti disequazioni fratte numeriche.

ESERCIZIO GUIDA

Risolviamo la seguente disequazione fratta numerica:

0x x

x x2 7 15

10 242

22

- -

- + .

165

• Studiamo il segno del numeratore:

x2 - 10x + 24 2 0.

Equazione associata:

x2 - 10x + 24 = 0; 6 4

D = 25 - 24 = 1; x = 5 ! 1 =

4

Il numeratore è positivo per valori esterni all’in-tervallo di estremi 4 e 6:

x 1 4 0 x 2 6.

• Studiamo il segno del denominatore:

2x2 - 7x - 15 2 0.

Equazione associata:

2x2 - 7x - 15 = 0; 5 D = 49 + 120 = 169; x = 4

7 13! =

23

-

Il denominatore è positivo per valori esterni al-

l’intervallo di estremi 23

- e 5:

x 1 - 23

0 x 2 5.

Compiliamo il quadro dei segni.


x 1 - 23

0 4 1 x 1 5 0 x 2 6.

OsservazionePer brevità, non abbiamo scritto la condizione di esistenza, segnando direttamente nel quadro i valori per cui la frazione non esiste.


N 0

00

D 0

3−—2

0

5

0

4 6

N—D

—0x

x531

+

- x5 31 1-5 ?

—4 0x

x3 2#

-- x x2 00 2#-5 ?

— 3 2 0x x

x52

55 3

1- + +- x0 6

11 1: D

—1x

x3

5 1$

-

- x x21 30 2#-: D

— ( ) ( )( ) ( ) 0x x x

x x x x3 1 1 3

4 5 12

21

+ - +

+ - - - x3 51 15 ?

— ( )( )( ) 0x xx x

14 22 $+

- + x x2 0 401# $-5 ?

— ( )( ) ( ) 0x x

x x3

1 22

4 32

-

- - ,x x x0 2 301 2 !5 ?

— ( ) 0xx

xx

3 37 4

2 1-

+-

+Rxb !5 ?

—

( ) 0xx4 24 1 2

$-

+ x 215 ?

—0x x

x x12 4 9

4 42

2$

- -

+ + x 2=-5 ?

—

( ) ( ) 0xx x x

48 2 92 #-

- + - + x x2 201 2-5 ?

—0x x

x5 14

42

21

+ -

- x7 21 1- -5 ?

—0x x

x x2 7 3

7 122

22

- +

- + -

x x21 3 3 401 1 1 1: D

— 1 0x

xxx

12

12 1+-

++

x21 11 1: D

— xx

xx

23

32

1-

+

+

- x x3 21 201 1 1- -: D

— xx

xx

11

11

$+

-

-

+ x x1 0 101 1#-5 ?

—0x x2

43

72-

++

+

x x3 2 32

01 1 2- - -: D

166

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DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI SULLE EQUAZIONI · TEORIA CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI E APPROFONDIMENTI...

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