EQUAZIONI

DISEQUAZIONI

Indice

1 Background 1

1.1 Proprieta delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Equazioni e disequazioni razionali 3

2.1 Equazioni e disequazioni di I◦ grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Equazioni e disequazioni di II◦ grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Equazioni e disequazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2 Equazioni e disequazioni trinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.3 Algoritmo di Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Equazioni e disequazioni fratte 9

4 Sistemi di disequazioni 10

5 Equazioni e disequazioni con valori assoluti 11

5.1 Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Equazioni e disequazioni contenenti due o piu valori assoluti . . . . . . . . . . . 12

6 Equazioni e disequazioni irrazionali 13

7 Equazioni e disequazioni esponenziali 14

7.1 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.2 Equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.3 Disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8 Equazioni e disequazioni logaritmiche 17

8.1 Proprieta dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8.2 La funzione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.3 Equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.4 Disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9 Esercizi 20

1Background

1.1 Proprieta delle potenze

1. ab · ac = ab+c

2. ab : ac = ab−c

3.(

ab)c

= ab·c

4. (a · b)c = ac · bc

5. (a : b)c = ac : bc

6. (a)c =

(

1

a

)

−c

7. c

√a = a1/c

1.2 Prodotti notevoli

1. (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

2. (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3

3. (A ± B + C)2 = A2 + B2 + C2 ± 2AB + 2AC ± 2BC

4. (A − B − C)2 = A2 + B2 + C2 − 2AB − 2AC + 2BC

5. (A2 − B2) = (A − B) · (A + B)

1

Background

6. (A3 − B3) = (A − B) · (A2 + AB + B2)

7. (A3 + B3) = (A + B) · (A2 − AB + B2)

Gli ultimi 3 punti sono un caso particolare della fattorizzazione dei binomi del tipo An ±Bn.

La tabella illustra quando il polinomio xn ± an e divisibile per il polinomio x± a in funzione

di n numero naturale.

x − a x + a

xn − an ∀ n ∈ N n ∈ N pari

xn + an 6 ∃ n n ∈ N dispari

Tabella 1.1: Fattorizzazione dei binomi del tipo xn ± an

In particolare si ha che:

• xn + an

– con n dispari e divisibile solo per x + a e si ha

xn + an = (x + a) · (xn−1 − axn−2 + · · · − an−2x + an−1)

– con n pari non e scomponibile

• xn − an

– con n dispari e divisibile solo per x − a e si ha

xn − an = (x − a) · (xn−1 + axn−2 + · · · + an−2x + an−1)

– con n pari e divisibile sia per x − a che per x + a. Per la scomposizione conviene

comunque considerare il binomio come differenza di due quadrati:

xn − an =(

xn/2 + an/2)

·(

xn/2 − an/2)

Si controlla poi se i due binomi cosı ottenuti sono o meno ulteriormente scompo-

nibili.

2

2Equazioni e disequazioni razionali

2.1 Equazioni e disequazioni di I◦ grado

Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della

dell’equazione disequazione disequazione

ax = b ax > b ax < b

a > 0 x =b

ax >

b

ax <

b

a

a < 0 x =b

ax <

b

ax >

b

a

2.2 Equazioni e disequazioni di II◦ grado

Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si puo sempre ricondurre.

3

Equazioni e disequazioni razionali

∆ := b2 − 4ac Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della

dell’equazione disequazione disequazione

(a > 0) ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

∆ > 0 x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2ax < x1 ∪ x > x2 x1 < x < x2

(x1 < x2)

∆ = 0 x1 = x2 = − b

2ax 6= − b

2a6 ∃ soluzione

∆ < 0 6 ∃ soluzione reale ∀ x 6 ∃ soluzione

Ricordiamo che

• ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2)

•

x1 + x2 = − b

ax1 · x2 =

c

a

Vediamo ora di giustificare geometricamente la tabella precedente. Allo scopo, associamo al

trinomio ax2 + bx + c l’equazione della parabola avente la medesima espressione e vediamo

graficamente le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0 come intersezioni di tale curva con

l’asse delle x.

Nella colonna di sinistra abbiamo i tre casi in cui a > 0; dall’altro verso il basso: due

intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. ∆ > 0, ∆ = 0, ∆ <

0). Analogamente a destra abbiamo i tre casi in cui a < 0; dall’altro verso il basso: due

intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. ∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0).

Per risolvere la disequazione ax2 + bx+ c > 0 o ax2 + bx+ c < 0 e allora sufficiente esaminare

la posizione della parabola associata nel piano:

• in blu sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax2 + bx + c > 0;

• in verde sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax2 + bx + c < 0;

• i pallini rappresentano le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0.

4

Equazioni e disequazioni razionali

(∆ > 0)��

x

y

x1 x2

��

x

y

x1 x2

(∆ = 0)�

x

y

x1

�

x

y

x1

(∆ < 0)

x

y

x

y

2.3 Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II◦

2.3.1 Equazioni e disequazioni binomie

Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si puo sempre ricondurre.

5

Equazioni e disequazioni razionali

(a > 0) Soluzioni dell’equazione Soluzioni della disequazione Soluzioni della disequazione

axn + b = 0 axn + b > 0 axn + b < 0

n dispari x =n

√

− b

ax >

n

√

− b

ax <

n

√

− b

a

b > 0 6 ∃ x ∈ R ∀ x ∈ R 6 ∃ x ∈ R

n pari b = 0 x = 0 x 6= 0 6 ∃ x ∈ R

b < 0 x1,2 = ± n

√

− b

ax < − n

√

− b

a∪ x >

n

√

− b

a− n

√

− b

a< x <

n

√

− b

a

2.3.2 Equazioni e disequazioni trinomie

Le equazioni (disequazioni) trinomie hanno forma normale

ax2n + bxn + c = (<>) 0

La strategia risolutiva consiste nel porre xn = t. Ci si riconduce cosı ad un’equazione (dise-

quazione) di II◦ grado in t: at2 + bt + c = (<>) 0. Ottenute le soluzioni t1 e t2 si risolvono

le due equazioni (disequzioni) binomie xn = (<>) t1 e xn = (<>) t2.

2.3.3 Algoritmo di Ruffini

A Paolo Ruffini e dovuto un algoritmo per la divisione di un polinomio p(x) per un binomio

del tipo x − k (con k ∈ R).

Si scrive il polinomio p(x) in modo completo (considerando i termini eventualmente mancanti

come termini con coefficiente 0) e ordinando secondo le potenze decrescenti di x:

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

Per il teorema del resto le radici razionali del polinomio p(x) (ossia i valori che sostituiti alla x

annullano il polinomio) sono da cercare fra i divisori del termine noto a0, presi sia con il segno

positivo sia con il segno negativo o tra i rapporti tra tali divisori e quelli del coefficiente del

termine di grado massimo an. Pertanto si pone k uguale ad uno di essi in modo che p(k) = 0.

Si scrivono i coefficienti e il termine noto inserendoli in uno schema di questo tipo:

6

Equazioni e disequazioni razionali

an an−1 · · · a1 a0

k ↓

an

Si moltiplica il coefficiente an per k e si scrive il risultato nella colonna successiva:

an an−1 · · · a1 a0

k ↓ an · k

an

Si esegue l’addizione in colonna e si trova cosı un nuovo coefficiente bn−1 := an−1 + an · k:

an an−1 · · · a1 a0

+

k ↓ an · k

‖an bn−1

Si ripete l’operazione per ogni coefficiente bn−i := an−i + (bn−i+1 · k) :

an an−1 an−2 · · · a1 a0

k ↓ an · k bn−1 · k · · · b2 · k b1 · k

an bn−1 bn−2 · · · b1 b0

b0 e il resto della divisione. Per la scelta iniziale di k, esso dovra essere 0:

7

Equazioni e disequazioni razionali

an an−1 an−2 · · · a1 a0

k ↓ an · k bn−1 · k · · · b2 · k b1 · k

an bn−1 bn−2 · · · b1 0

In conclusione

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = (x−k) · (anxn−1 + bn−1x

n−2 + · · · + b1)

8

3Equazioni e disequazioni fratte

• f(x)

g(x)= 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) = 0

• f(x)

g(x)> 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) e g(x) hanno segno

concorde percio nel grafico del “confronto dei segni” si considerano gli intervalli positivi

• f(x)

g(x)< 0 e verificata per quei valori di x per i quali g(x) 6= 0 e f(x) e g(x) hanno segno

discorde percio nel grafico del “confronto dei segni” si considerano gli intervalli negativi

Osserviamo che, come il quoziente, anche il prodotto di due termini e positivo se e solo se essi

sono di segno concorde. Dunque, come per le disequazioni fratte, si tratta semplicemente si

studiare separatamente il segno di ciascun termine e di impostare l’opportuno schema per il

“confronto dei segni”.

9

4Sistemi di disequazioni

Due o piu disequazioni costituiscono un sistema di disequazioni se devono essere verificate

contemporaneamente.

Risolvere un sistema significa percio determinare le soluzioni COMUNI a tutte le disequazioni

che formano il sistema stesso. Ovviamente, essendo le soluzioni delle disequazioni rappresen-

tate da intervalli, occorrera “sovrapporre” tali intervalli per determinare un sottointervallo in

cui tutte le disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte. Il procedimento risolutivo

di un sistema di questo tipo, percio, non comporta altra difficolta se non la predisposizione

corretta di uno schema che consenta il confronto dei singoli intervalli risolutivi. Il confronto in

se non dipende dal grado delle disequazioni del sistema, le quali saranno risolte singolarmente

con i metodi visti in questi appunti.

10

5Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Elenchiamo alcune proprieta del valore assoluto di un numero:

1. |a| = 0 ⇔ a = 0

2. |a| = | − a| ∀a ∈ R

3. |a · b| = |a| · |b| ∀a, b ∈ R

4.∣

∣

∣

a

b

∣

∣

∣=

|a||b| ∀a, b ∈ R, b 6= 0

5. |a| = |b| ⇔ a = b o a = −b ∀a, b ∈ R

6. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b ∀a, b ∈ R, b ≥ 0

7. |a| ≥ b ⇔ a ≤ −b o a ≥ b ∀a, b ∈ R, b ≥ 0

8. |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2 ∀a, b ∈ R

9.√

a2 = |a| ∀a ∈ R

11

Equazioni e disequazioni con valori assoluti

10. ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ R (disuguaglianze triangolari)

5.1 Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto

|f(x)| :=

{

f(x) se f(x) ≥ 0

−f(x) se f(x) < 0

Pertanto

|f(x)| = g(x) ⇔{

f(x) ≥ 0

f(x) = g(x)∪

{

f(x) < 0

−f(x) = g(x)

|f(x)| > g(x) ⇔{

f(x) ≥ 0

f(x) > g(x)∪

{

f(x) < 0

−f(x) > g(x)

|f(x)| < g(x) ⇔{

f(x) < g(x)

f(x) > −g(x)

In particolare per k ∈ R:

k < 0 k = 0 k > 0

|f(x)| = k 6 ∃ x ∈ R f(x) = 0 f(x) = ±k

|f(x)| > k ∀ x ∈ R f(x) 6= 0

{

f(x) ≥ 0

f(x) > k∪

{

f(x) < 0

−f(x) > k

|f(x)| < k 6 ∃ x ∈ R 6 ∃ x ∈ R

{

f(x) < k

f(x) > −k

5.2 Equazioni e disequazioni contenenti due o piu valori asso-

luti

Si suddivide l’asse reale in sottoinsiemi in cui ciascun modulo ha segno costante. Le soluzioni

della equazione o disequazione sono date dall’UNIONE delle soluzioni dei sistemi ottenuti.

12

6Equazioni e disequazioni irrazionali

Soluzioni Soluzioni Soluzioni

dell’equazione della disequazione della disequazione

A(x) = n

√

B(x) A(x) > n

√

B(x) A(x) < n

√

B(x)

n dispari (A(x))n = B(x) (A(x))n> B(x) (A(x))n

< B(x)

n pari

{

A(x) ≥ 0

(A(x))n = B(x)

B(x) ≥ 0

A(x) > 0

(A(x))n> B(x)

{

A(x) < 0

B(x) ≥ 0∪

{

A(x) ≥ 0

(A(x))n< B(x)

13

7Equazioni e disequazioni esponenziali

7.1 La funzione esponenziale

1

2

x

y

y = ax

0 < a < 1

1

2

x

y

y = ax

a > 1

7.2 Equazioni esponenziali

Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita compare a esponente.

14

Equazioni e disequazioni esponenziali

Equazione Soluzione

ax = c x = loga c

(con a > 0, a 6= 1)

maf(x) = nbg(x) lnm + f(x) ln a = lnn + g(x) ln b

(con a, b > 0, a 6= 1 , b 6= 1)

f (ax) = c Si pone ax = t

(con a > 0, a 6= 1)

7.3 Disequazioni esponenziali

Disequazione Parametri Soluzione

c ≤ 0 ∀ x ∈ R

ax > c 0 < a < 1 x < loga c

c > 0

(con a > 0, a 6= 1) a > 1 x > loga c

c ≤ 0 6 ∃ x ∈ R

ax < c 0 < a < 1 x > loga c

c > 0

(con a > 0, a 6= 1) a > 1 x < loga c

Osservando che per a > 0 si puo scrivere ax =

(

1

a

)

−x

possiamo allora ricondurci sempre a

disequazioni con base maggiore di 1.

15

Equazioni e disequazioni esponenziali

0 < a < 1 a > 1

af(x) > ag(x) f(x) < g(x) f(x) > g(x)

con a > 0 e a 6= 1

af(x) > bg(x) lnm + f(x) ln a > lnn + g(x) ln b

con a, b > 0 e a 6= 1, b 6= 1

16

8Equazioni e disequazioni logaritmiche

8.1 Proprieta dei logaritmi

Sia a > 0, a 6= 1.

1. Se b1 > 0 e b2 > 0 allora loga(b1 · b2) = loga b1 + loga b2.

2. Se b1 > 0 e b2 > 0 allora loga

(

b1b2

)

= loga b1 − loga b2.

3. Se b > 0 allora loga bk = k loga b.

4. loga 1 = 0.

5. loga a = 1.

6. loga (ac) = c.

7. Se c > 0 allora aloga

c = c.

8. Se b > 0 allora loga b =logc b

logc acon c > 0 e c 6= 1 (Regola del cambiamento di base).

In particolare vale la seguente successione di uguaglianze:

loga x = − loga

1

x= − log 1

a

x = log 1

a

1

x=

1

logx a

17

Equazioni e disequazioni logaritmiche

8.2 La funzione logaritmica

1 2 3x

y

y = loga x

0 < a < 1

1 2 3x

y

y = loga x

a > 1

8.3 Equazioni logaritmiche

Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento dei logaritmi.

Equazione Soluzione

loga x = c x = ac

(con a > 0, a 6= 1)

logx a = c

x > 0

x 6= 1

x = a1/c

loga f(x) = c

{

f(x) > 0

f(x) = ax

(con a > 0, a 6= 1)

loga f(x) = loga g(x)

f(x) > 0

g(x) > 0

f(x) = g(x)

(con a > 0, a 6= 1)

f (loga g(x)) = c Deve essere g(x) > 0

(con a > 0, a 6= 1) Si pone loga g(x) = t

18

Equazioni e disequazioni logaritmiche

8.4 Disequazioni logaritmiche

0 < a < 1 a > 1

loga x > c 0 < x < ac x > ac

loga x < c x > ac 0 < x < ac

loga f(x) > c 0 < f(x) < ac f(x) > ac

loga f(x) < c f(x) > ac 0 < f(x) < ac

loga f(x) > loga g(x) 0 < f(x) < g(x) f(x) > g(x) > 0

loga f(x) < loga g(x) f(x) > g(x) > 0 0 < f(x) < g(x)

Poiche per a > 0, a 6= 1 si puo scrivere loga x = − log1/a x e sempre possibile ridursi a

disequazioni con base maggiore di 1.

19

9Esercizi

1. m2x2 + m − 1 = 0

2.a − 1

a − 2x2 − 2x +

5 − 15a

a − 2= 0

3.x2 − 4x + 6

x2 − 3x + 2− 27

x − 2= 1 − 26 + x

x − 1

4. 3x8 − 768 = 0

5. x6 − 7x3 − 8 = 0

6.−2x − 1

3+ 1 <

1

2− 3 − 2x

6

7. x2 − 3x + 1 > 0

8. −3x2 + x + 2 > 0

9. 3x2 − 3x +3

4< 0

10. x2 + x +1

2> 0

11.

4x − 12 ≥ 0

x2 + 4 > 0

x2 − 5x + 6 > 0

12. 9x6 − 10x4 + x2 ≥ 0

13. 1 − 2(x3 − 1) − 12x2 + 17x

4 − x2≥ 0

20

Esercizi

14. |x2 − 16| = 12

15. |2x − 5| = x − 2

16. |x2 − 1| + |x| = x + 2

17. |x2 − 1| < 15

18.

∣

∣

∣

∣

1 +2 − x

x

∣

∣

∣

∣

> 2

19. |4 − x2| − |3 − x| > x

20. 2x =1

32

21. 4x + 22x−1 = 3x+1 + 3x−1

22. 2x+9

1−x =1

4

23. 3x =3√

32x−1 x

√9

24. 22x+1 − 2x − 1 = 0

25. 25x > 5

26. 8x+2 > 324x+1

27.

(

1

2

)x

> 4

28. 2x+1 ≥ 51−x

29. 64 − 2 · 3x > 45 + 32−x

30. ln(ex + e) = 2

31. log3(x2 − 2x) = 1

32. 2 ln(√

3)

= ln(x2 − 4)

33.1

2lnx +

1

2ln(x − 1) = ln 2 +

1

2ln 5

34. ln3 x + 2 ln2 x − 3 lnx = 0

35. log2 3 > log2 x

36. log1/2 x < log1/2 5

37. log1/4(1 − x) < log1/4(2x + 3)

38. ln(x − 3) < 1

21

Esercizi

39. lnx − 2

lnx+ 1 ≥ 0

40. log1/2(32x − 3x + 1) > 0

❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧

1.

x2 + 22x + 40 < 0

3x + 15 ≥ 0

x2 + 3x ≤ 0

2. 3(3x3 + 1) > 2x4 + 9x2 + x

3.x2 + 2x + 3

x2 + 2x − 1+ 2 <

x2 + 2x + 2

x2 + 2x − 2

4.1

x + 2− 1

x − 2< 1 +

1

4 − x2

5.

∣

∣

∣

∣

x + 1

x − 1

∣

∣

∣

∣

< 4

6. |x + 2| < 1 + |x − 1|

7. log100 x = −1

2

8. 2 lnx + ln 3 = ln(5x − 2)

9.ln(10 − x)

ln(4 − x)= 2

10. 2 log2 x + log1/2(3 − x2) − log2

(

1

x2 + 1

)

= 0

11. 1 + ln(x − 1) = ln 5

12.ln(2 − x)

ln(3 + x2)=

1

2

13. 3x+4 = 9

14. 123x = 127x−2

15. 22−x − 23−x + 2x = 0

16. e2x + ex − 2 = 0

17.6

2x − 1+

3

2x + 1=

2

2x − 1+ 5

22

Esercizi

18.

(

1

2

)x2−3x

< 4

19. 3x2

> 81

20. 3x2+2x ≥ 1

21.3−x − 81

5x+2

x − 25≤ 0

22. 21−x + 21+x > 4

23. log1/2(x2 − 8) > 0

24. (log3 x)2 + log3 x − 6 > 0

Soluzioni:

1. −3 ≤ x < −2 2. −12 < x < 1 ∨ 1 < x < 3

3. −3 < x < −√

3 − 1 ∨ −√

2 − 1 < x < −2 ∨ 0 < x <√

2 − 1 ∨√

3 − 1 < x < 1

4. x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2 5. x < 35 ∨ x > 5

3 6. x < 0

7. x = 110 8. x = 1 ; x = 2

3 9. x = 1

10. x = 1 11. e+5e 12. x = 1

4

13. x = −2 14. x = 12 15. x = 1

16. x = 0 17. x = 1 18. x < 1 ∨ x > 2

19. x < −2 ∨ x > 2 20. x ≤ 2 ∨ x ≥ 0 21. x ≤ −4 ∨ 0 < x < 2

22. x 6= 0 23. −3 < x < −2√

2 ∨ 2√

2 < x < 3 24. 0 < x < 127 ∨ x > 9

23