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GEOMETRIA SFERICA

a cura diOmbretta LocatelliCristina Turrini

SoloCopertina 20-11-2006 10:16 Pagina 1

1QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica

INTRODUZIONE

Il materiale che qui proponiamo è stato pensatoper organizzare in classe un laboratorio riguar-dante la geometria sferica e in particolare i trian-goli sferici. Questo stesso laboratorio è stat sperimentato sianell’ambito dell’attività che il centro matematitaporta avanti da diversi anni per affiancare l’inse-gnamento pre-universitario (http://www.mate-matita.it/progetti/laboratori.php), sia in alcuneclassi di liceo scientifico a Milano nell’ambito delprogetto “lauree scientifiche”, nell’a.s. 2005-2006.Sulla base del materiale contenuto in questo kitsono possibili diverse scelte, e in questa introdu-zione vengono date alcune indicazioni, su comeorganizzare un perocrso laboratoriale completoe su come si possano estrarre alcune propostepiù circoscritte.

PERCHÉ LA GEOMETRIA SFERICA?La geometria sferica costituisce un argomento dinotevole importanza e di naturale interesse, an-zitutto perché fornisce una buona descrizione delmondo in cui viviamo. Questo però non è l’uni-co, e forse nemmeno il principale, motivo per cuiabbiamo scelto questo come tema di un labora-torio.La geometria della sfera è un capitolo bello e ric-co di geometria: esso richiede assai pochi prere-quisiti, eppure può portare lo studente a fare unavera e propria esperienza di matematica. A par-tire dall’osservazione di semplici fatti sperimen-tali, lo studente può intuire, congetturare e in al-

cuni casi anche dimostrare, risultati importanti einaspettati di geometria non euclidea, quali quel-li che riguardano la somma degli angoli internidi un triangolo, o il rapporto tra l’eccesso sfericoe l’area dei triangoli, o ancora le mutue pro-prietà di incidenza di rette sulla sfera. Nelle schede di lavoro contenute nel CD che ac-compagna questo fascicolo i concetti di geome-tria sferica sono quasi sempre introdotti a partiredalle analoghe nozioni di geometria euclidea, e,in ogni caso, sono continui i rimandi dall’uno al-l’altro contesto: questo da un lato può fornire al-l’insegnante il pretesto per un ripasso con moda-lità laboratoriale di alcuni capitoli della geome-tria euclidea, dall’altro è da stimolo per gli stu-denti affinché siano essi stessi a proporre le nuo-ve definizioni per analogia con quelle già note.Le osservazioni fatte sulla sfera possono fornirelo spunto per avviare gli studenti allo studio dellegeometrie non euclidee.Il fatto che questo tema sia in genere poco af-frontato nella scuola superiore ci sembra chepossa portare dei vantaggi. Ci pare cioè che, alfine di incuriosire i ragazzi sui metodi e sui risul-tati della matematica, possa essere utile presen-tare temi in qualche modo svincolati dal pro-gramma scolastico. Questo anche perché pro-prio il fatto che si tratti di un argomento “extra”rispetto al normale curriculum presenta il vantag-gio di togliere ai ragazzi la paura relativa allanecessità di prerequisiti e di far loro affrontare iproblemi nello spirito del laboratorio: una coo-perazione per una ricerca comune.

Impa_OmbrettaNew 1-04-2008 10:42 Pagina 1

2 QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica

Si tratta infine di un argomento che si presta mol-to bene a essere trattato in laboratorio, anchegrazie agli ottimi materiali che si hanno a dispo-sizione, quali le Sfere di Lénárt (Lénárt Sphere).

I CONTENUTIIl laboratorio verte sui concetti di punti, “rette” eangoli nella geometria sferica, sulle proprietà deitriangoli sferici e affronta inoltre la questione del-la posizione reciproca di due rette su una sfera,in particolare la non validità del V postulato diEuclide. Nelle schede sono previste attività prevalente-mente sperimentali e le giustificazioni richiesteagli studenti dei vari fenomeni.Fa eccezione la scheda dal titolo “Rette sulla sfe-ra: alcune dimostrazioni”, che è di natura pretta-mente teorica poiché contiene un’attività di tipodimostrativo. Tuttavia anche in queso caso puòessere di grande aiuto la manipolazione del ma-teriale a disposizione.

I METODITutto il materiale è organizzato in schede di lavo-ro (di cui si può trovare l’impaginato da stampa-re e distribuire ai ragazzi nel CD allegato); perciascuna di queste è predisposta anche una pre-sentazione per gli insegnanti, contenuti in questofascicolo, comprendente soluzioni e commenti.Le schede di laboratorio sono state progettate peressere utilizzate dagli studenti suddivisi in piccoligruppi, in modo da favorire un atteggiamentoattivo di “ricerca” rispetto ai problemi proposti,

un interscambio delle idee, degli errori, delle sco-perte. Ognuna di esse prevede degli spazi bian-chi in cui scrivere le risposte ai diversi quesiti bensappiamo che la rielaborazione e la scrittura diciò che si è “scoperto” o intuito è una fase di la-voro non semplice che i ragazzi tendono a rifiu-tare! È peraltro indispensabile non saltarle masia come momento di confronto all’interno delgruppo (prima di scrivere una risposta infattivanno confrontate le diverse soluzioni, in mododa arrivare a una risposta condivisa dai varimembri del gruppo) sia per agevolare il confron-to tra le risposte ai quesiti fornite dai diversigruppi, in una discussione finale collettiva conl’intera classe.Spesso i problemi richiedono di costruire qualco-sa, con fili, materiale adesivo, o con il materialead hoc fornito in questo kit; in questo caso oc-corre sempre curare un rapporto equilibrato trail momento concreto della costruzione e la suc-cessiva formalizzazione astratta di quanto si os-serva. Da un lato quindi vanno stimolati i ragaz-zi a non “snobbare” l’aiuto effettivo che può ve-nire all’intuizione dalla manipolazione di oggetti(anche se, in genere, non c’è bisogno di questostimolo, perché i ragazzi tendono ad accoglierecon entusiasmo questa possibilità); dall’altro van-no frenati a non riporre una fiducia cieca in que-sti supporti: il che significa contribuire ad affina-re sia le proprie capacità di immaginazione (cer-cando quindi sempre di “prevedere” il risultatodi una costruzione prima di realizzarla effettiva-mente), sia le proprie capacità di astrazione che



permettono dall’osservazione di alcuni fenomenidi arrivare a ipotizzare (e magari poi a dimo-strare) un risultato valido in generale.

IL MATERIALE A DISPOSIZIONEIl kit che presentiamo con questo quaderno com-prende:

• 5 Sfere di Lénárt con calotte intercambiabilie lavabili, complete di squadra, compasso egoniometro sferici, e istruzioni per l'uso;

• 6 caleidoscopi (2 blu, 2 rossi e 2 gialli);• 5 coppie di specchi piani;• materiale adesivo;• un poster (50x70) con immagini;• un CD-rom da cui l’insegnante può estrarre

le schede di laboratorio da stampare e di-stribuire ai ragazzi e le immagini delle sferenecessarie per l’arrività della scheda B.

Nella presentazione per l’insegnante delle diver-se schede di laboratorio verrà, di volta in voltaspecificato, se è necessario altro materiale di usocomune (carta, fili elastici, ...) che è opportunoavere a portata di mano e mettere a disposizio-ne dei ragazzi per il singolo problema discusso.

I POSSIBILI PERCORSI: ORGANIZZAZIO-NE E TEMPILe schede di laboratorio sono quattro e si trove-ranno di seguito commentate. Esse sono:

A. Rette, semipiani e angoliB. Caleidoscopi e triangoli sfericiC. Triangoli sferici: alcune proprietàD. Rette sulla sfera: alcune dimostrazioni.

In particolare segnaliamo che la scheda A contie-ne le definizioni di punti, “rette” e angoli nellageometria sferica, per cui consigliamo di non pre-scindere da questa, quandosi propone il laborato-rio agli studenti. L’insegnante può scegliere perl’incontro successivo una delle schede rimanenti eorganizzare il percorso che preferisce. In partico-lare, le schede A, B e C costituiscono un percorsocompleto sul tema dei triangoli sferici, la scheda Dè di natura diversa dalle altre poiché contiene at-titàdi tipo dimostrativo, come già dichiarato puòessere omessa, o rinviata a un lavoro in tempi suc-cessivi (ad esempio qualora si voglia introdurre ilproblema del V postulato).Le schede A, B, C e D corrispondono a un per-corso di 8 ore effettivamente sperimentato nellasua totalità nelle classi terze e quarte di alcuni li-cei scientifici di Milano, nell’ambito del progettolauree scientifiche. Parti di questo percorso sonostate sperimentate, inoltre in questa forma o informe lievemente diverse, nei laboratori per lescuole offerti dal centro matematita presso ilDipartimento di Matematica “F. Enriques”dell’Università degli Studi di Milano.

Il materiale è stato pensato per un triennio di scuo-la secondaria superiore. Tuttavia, proprio la man-canza di specifici prerequisiti a cui già si è fattoriferimento fa sì che il materiale sia utilizzabileanche in classi del biennio (e parti di esso sonostate effettivamente sperimentate sia al biennio,sia anche, con diversa formulazione, con classi discuola media): la differenza in questi casi consiste



essenzialmente nel livello di rigore e di conse-quenzialità che l’insegnante potrà richiedere, neisingoli problemi, come giustificazione delle argo-mentazioni fatte: è ragionevole pensare che que-ste si limiteranno a un livello osservativo nellascuola media, per arrivare a livelli via via più con-sapevoli e razionali con i ragazzi più grandi.

Per finire vi invitiamo a utilizzare il sito www.ma-tematita.it per segnalare osservazioni, commentie quant’altro. Il forum aperto sul sito stesso potràessere un utile strumento di confronto tra gli uti-lizzatori di questo kit.



A. RETTE, SEMIPIANI E ANGOLI

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I problemi posti in questa scheda riguardano “ret-te”, “semipiani” e “angoli” sulla superficie sferi-ca. Per arrivare alla definizione di questi enti siricorre a continui paragoni con gli analoghi entidella geometria euclidea del piano. Questi conti-nui rimandi dal contesto della geometria sferica aquello della geometria piana da un lato fornisco-no il pretesto per un ripasso di alcuni capitoli del-la geometria euclidea e dall’altro stimolano glistudenti a proporre autonomamente le nuove de-finizioni per analogia con quelle già note.Lo scopo di porre agli studenti i quesiti presentiin questa scheda è quello di introdurre gli ogget-ti utili per affrontare lo studio di una nuova geo-metria. Per fare ciò si fa leva sulle preconoscen-ze degli studenti, per esempio sulle nozioni di la-titudine e longitudine; ciò è reso possibile dal fat-to che la geometria sferica descrive con buonaapprossimazione il mondo in cui viviamo. Per losvolgimento delle attività proposte in questa sche-da è necessario fornire ad ogni gruppo un filoelastico lungo circa 10 centimetri.

A1. “RETTE” NEL PIANO E SULLA SFERAImmaginate di avere un filo elastico e di disporrei suoi estremi su due punti del piano in modo datenerlo teso. Quale traiettoria descrive il filo? Data la semplicità della domanda, può essere in-teressante che gli studenti provino a intuire la so-luzione e, solo in un secondo momento, a visua-lizzarla con il materiale a disposizione, ovvero ifili elastici. Se da un lato il materiale elastico èmolto comodo per visualizzare la soluzione del

problema, dall’altro comporta una sovrapposi-zione di concetti: un filo di tale materiale infattinon solo minimizza la lunghezza del percorsotra due punti, ma minimizza anche l’energia delsistema. Per evitare quindi confusione si potreb-bero utilizzare fili non elastici, ma l’effetto nonsarebbe lo stesso.

Tra le infinite possibili traiettorie che congiungonoi due punti, la linea retta ha una proprietà che èmessa in evidenza da questo fenomeno. Quale?Anche in questo caso la domanda non presentaparticolari difficoltà e invita gli studenti a riflette-re sulla proprietà che hanno le rette nel piano diminimizzare la lunghezza del percorso tra duepunti. A volte gli studenti fraintendono il sensodell’affermazione “infinite possibili traiettorie checongiungono i due punti” ritenendo che le traiet-torie possibili siano infinite poiché sono infiniti imodi in cui si possono scegliere due punti nelpiano.

Ora dal piano passiamo ad un’altra superficie,la superficie sferica.

Sapete che cosa sono meridiani e paralleli sullasuperficie terrestre? E che cosa vogliono dire itermini latitudine e longitudine? Scrivetelo quisotto.Il quesito fornisce lo spunto per collegarsi a ciòche gli studenti conoscono già per esperienzapersonale o perché affrontato in classe. Se non ricordano la definizione, e comunque per



conferma della correttezza delle risposte che for-niscono, si può dire loro di cercarla per il suc-cessivo incontro. Non è il caso in questa sede diinsistere per ottenere la definizione formale: que-sta può semplicemente costituire un punto di rife-rimento, per gestire la discussione e chiarire glieventuali dubbi dei ragazzi.

Disegnate un punto sulla sfera da interpretarsicome Polo Nord e, utilizzando il compasso e lasquadra sferica tracciate l’equatore, due meri-diani e un parallelo diverso dall’equatore.Questa affermazione chiama in causa le sferepresenti nel kit. È fondamentale che gli studentiacquisiscano dimestichezza con il materiale lorofornito e che lo utilizzino per rispondere o percontrollare le risposte ai quesiti. Se ricordano ilsignificato dei termini latitudine e longitudine sipuò far disegnare loro un punto sulla sfera, echiedere di misurare con gli strumenti a disposi-zione latitudine e longitudine di quel punto (unavolta assunto il meridiano che hanno già dovutodisegnare sulla sfera come meridiano di Green-wich). Se non lo ricordano si può proporre que-sta attività nell’incontro successivo.

Tenendo il filo teso per le estremità e ponendoqueste su un meridiano, come si dispone il filo?Segue una traiettoria particolare?E ponendo le estremità sull’equatore? Cosa succede se i due estremi sono su un paral-lelo diverso dall’equatore?Anche in questo caso sarebbe interessante che

gli studenti facessero delle congetture prima diverificare con il materiale la propria risposta.Anche perché in genere gli studenti forniscono lastessa risposta a tutti e tre i quesiti, rimanendoquindi stupiti quando osservano che nell’ultimocaso il filo non si dispone lungo un parallelo di-verso dall’equatore, ma su di un arco di circon-ferenza con centro nel centro della sfera. Le figu-re seguenti mostrano le soluzioni nel caso in cuigli estremi del filo vengano scelti su di un meri-diano (o sull’equatore) e su di un parallelo.



Tra le infinite traiettorie che congiungono duepunti della sfera uno dei due possibili archi dicerchio massimo ha una proprietà che è statamessa in evidenza dagli esperimenti che avetefatto con i fili: quale?Analogamente alle proprietà già viste per le rettenel piano, l’arco di cerchio massimo minimizzala lunghezza del percorso tra due punti. Questo èil motivo per cui, ad esempio, le rotte degli aereiseguono circonferenze massime (le cosiddette“rotte polari”): in tal modo il percorso risulta il piùbreve possibile.

A2. SEMIPIANI, SEMISFERE E LORO INTERSEZIONINel piano una retta individua due semipiani.Cosa individua sulla sfera una circonferenza mas-sima? Una circonferenza massima divide la sfera in duesemisfere.

Sapreste utilizzare la nozione di semipiano perdefinire il concetto di angolo convesso nel pia-no? Illustrate con un disegno quanto detto.Gli studenti potrebbero avere qualche difficoltà arispondere a questo quesito. In genere infatti essisono abituati a definire un angolo (convesso) tra-mite semirette e non come intersezione di due se-mipiani con rette generatrici non parallele. Si potrebbe poi chiedere l’analogo per angoliconcavi (unione di semipiani).

Quali sottoinsiemi del piano potete ottenere, in-

vece, intersecando tre semipiani?Ci sono varie possibilità: il vuoto, un punto, untriangolo, una “striscia”, ecc. La risposta dipen-de anche da che cosa intendano per semipiano(cioè se con o senza il bordo), conveniamo quidi considerare come semipiano la parte di pianodelimitata da una retta comprendendo la rettastessa. Ci aspettiamo che i ragazzi realizzinoqualche figura come le seguenti:

Come modifichereste la definizione di angolo nelcaso di una sfera?Che forma ha allora un angolo su una sfera?


Come si può ottenere allora un “triangolo” suuna sfera (triangolo sferico)?Si arriva a questo punto a dare una definizionedi triangolo sferico come intersezione di tre se-misfere (si veda la figura seguente), chiedendoagli studenti di riflettere sul fatto che si può defi-nire un angolo (convesso) su una sfera come in-tersezione di due semisfere, e che questo risultaavere la forma di uno spicchio.


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