Colombi Simone

Oberti Marco

Piantoni Stefano

Pirola Andrea

Spinella Giuseppe

Differenziazione / Oligopolio

Differenziazione / Oligopolio

• Introduzione al Modello di Bertrand

• Riconsiderazioni del Modello

• Conclusioni

Modello di Bertrand

• Si basa sull’esistenza di un Duopolio• Nasce in risposta al modello di Cournot che basava la propria teoria

sulla competizione per quantità da produrre

• Sostiene che le imprese Concorrano sul Prezzo

• Il prezzo P eguaglia il costo marginale MC ( P = MC )

Il guadagno di ogni impresa è pari a 0

• Bene omogeneo (Perfetta sostituibilità)

• Costo marginale uguale e costante per le due imprese (Identica tecnologia al servizio delle imprese)

MC1 = MC2 = MC

• Funzione di Domanda del mercato

Q = a – b P

• Profitti delle imprese

πi = ( P – MC ) Qi (dove i = 1, 2)

Ipotesi del Modello

Modello di Bertrand

Prendiamo in considerazione due imprese e studiamo il loro comportamento all’interno del Duopolio.

Le due imprese attueranno una politica di “Undercutting” del prezzo, generando così situazioni di

Equilibrio Instabile

Fino a quando non avranno P = MC

E quindi il guadagno di ogni impresa sarà pari a 0

1°Step Intermedio: Le due imprese fissano lo stesso prezzo P1 = P2 = P

Modello di Bertrand

Questo però non è un equilibrio stabile!

La Domanda è divisa in parti uguali:

1°Step Intermedio: Le due imprese fissano lo stesso prezzo P1 = P2 = p

Π (p1, p2) = (p – MC) ( a – b p )

2

Il Profitto è diviso in parti uguali:

q1 = q2 =( a – b p )

2

Modello di Bertrand

2°Step Intermedio:

Per massimizzare il profitto conviene proporre un prezzo

leggermente inferiore a quello dell’avversario P1 < P2 .

Modello di Bertrand

2°Scenario Intermedio: Si genera un meccanismo di “Undercutting” per cui, dato un prezzo dell’avversario, ciascuna impresa ha un incentivo a deviare proponendo un prezzo leggermente inferiore.

Modello di Bertrand

Questo però non è un equilibrio stabile!

La domanda quando P1 < P2:

Π2 (p1, p2) = 0

Il profitto quando P1 < P2:

q2 = 0

q1 = ( a – b p1 ) Π1 (p1, p2) = (p1 – MC) ( a – b p1 )

Scenario Finale:

Tale meccanismo finisce quando i prezzi di entrambe le imprese

eguagliano il costo marginale

P = MC

Modello di Bertrand

Se entrambe le imprese scelgono un prezzo uguale ai costi marginali fanno profitti nulli, ma non hanno incentivo a deviare.

Infatti: dato che l’impresa 2 sceglie un prezzo P2 = MC

Se l’impresa 1:

Quindi l’impresa 1 non ha incentivo a deviare data la scelta dell’avversario.

Dunque il profilo di strategie (P 1 = MC; P 2 = MC) è un

Equilibrio di Nash

Modello di BertrandScenario Finale:

Controlliamo che P = MC sia un equilibrio di Nash.

• Sceglie P 1 < MC � Profitti negativi

• Sceglie P 1 > MC � Profitti nulli

Il modello di Bertrand può essere rivisto, considerando altre leve all’interno del Duopolio oltre a quella del Prezzo, che possono agire

sulla differenziazione di un prodotto o di un’impresa rispetto ai

Concorrenti.

Nello specifico, consideriamo due leve, che, nel caso in cui

un’azienda opti per un prezzo più alto, non faranno perdere tutti i clienti all’azienda.

Riconsiderazione del Modello

Le due leve considerate sono:

1. La capacità produttiva Un’azienda può non soddisfare interamente la domanda di mercato

2. DifferenziazioneI due prodotti possono non essere perfetti sostituti

Riconsiderazione del Modello

ESEMPIO:

2 aziende sciistiche (A e B) competono offrendo servizi identici.

• Domanda di servizi sciistici Q = 6000 – 60 P

dove: P = prezzo del biglietto giornaliero

Q = numero di sciatori al giorno

• Costi marginali MC = 10$

• Capacità delle 2 aziende Cap A = 1000 pers/gg

Cap B = 1400 pers/gg

Capacità Produttiva

Se, come affermato da Bertrand, l’equilibrio si raggiunge quando:

P = MC e quindi P = 10$

Avremmo la Domanda Q = 6000 – 60 P = 5400

Quando la Capacità Produttiva Cap A + Cap B = 2400

Risulta evidente come questo:

non possa essere un Equilibrio di Nash

in quanto parte della domanda resta insoddisfatta, anche se potenzialmente, pur di ottenere il servizio, la clientela sarebbe disposta a

spendere più dei 10$.

Capacità Produttiva

In una situazione come questa entrambi i competitor sono incentivati a modificare la propria strategia aumentando il prezzo del biglietto poichéquesto permetterebbe loro, a parità di numero di clienti, di ottenere un profitto.

P > 10$ = MC ΠΠΠΠ > 0

Questa situazione, andrebbe in contrasto con il

Modello di Bertrand.

Capacità Produttiva

Quindi, dato che l’offerta aggregata delle 2 imprese è minore alla domanda complessiva, se un’impresa dovesse fissare un prezzo superiore al costo marginale, es. 11$, non perderebbe la clientela riuscendo comunque a saturare la capacità dei suoi impianti.

Possiamo dunque affermare che: PA = PB = MC

Non è un equilibrio di Nash se la capacitàdell’offerta è inferiore alla domanda.

Capacità Produttiva

Le due imprese continueranno ad alzare il prezzo finché la domanda

non eguaglierà la somma delle capacità delle 2 imprese.

PA = PB = 60$otteniamo

Q = Cap A + Cap B = 2400

ed essendo Q = 6000 – 60 P

Capacità Produttiva

È un Equilibrio di Nash?

Verifichiamo ora la situazione definita da P > MC.

• Se applicasse un prezzo minore di 60$

Saturerebbe gli impianti ottenendo però una marginalità inferiore.

• Se applicasse un prezzo maggiore di 60$

Non saturerebbe la capacità dei suoi impianti ottenendo perciò un profitto minore.

Capacità Produttiva

Vediamo la situazione di B, nel caso in cui decidesse di deviare da questo prezzo:

ESEMPIO dei possibili profitti di B:

� PB = 60$ QB = (6000 – 1000) – 60 x 60 = 1400 ΠΠΠΠ = (60 - 10) x 1400 = 70000$

� PB = 50$ QB = (6000 – 1000) – 60 x 50 = 2000 ΠΠΠΠ = (50 - 10) x 1400 = 56000$( Cap B = 1400 )

� PB = 70$ QB = (6000 – 1000) – 60 x 70 = 800 ΠΠΠΠ = (70 - 10) x 800 = 48000$

Concludiamo che:

PA = PB = 60$ è un Equilibrio di Nash

in quanto nessuna delle 2 imprese ha convenienza a modificare la propria strategia dato il comportamento della concorrente.

Capacità Produttiva

Le due leve considerate sono:

1. La capacità produttiva Un’azienda può non soddisfare interamente la domanda di mercato

2. DifferenziazioneI due prodotti possono non essere perfetti sostituti

Riconsiderazione del Modello

Solitamente due aziende non producono beni perfettamente identici come assume Bertrand.

Se prendiamo ad esempio due parrucchieri, non offriranno lo stesso taglio di capelli e nemmeno la stessa acconciatura. Allo stesso modo probabilmente non avranno la stessa apparecchiatura, e avranno locazioni differenti.

Questo è spesso sufficiente per generare una preferenza per un salone piuttosto che per l’altro, seppure abbiano prezzi differenti.

Differenziazione

ESEMPIO (Salone Acconciatura)

Potenziali caratteristiche di Differenziazione:• Taglio di capelli • Acconciatura• Apparecchiatura• Locazione parametro su cui agiremo per differenziare

0 1

Parrucchiere A Parrucchiere B

Distribuiti uniformemente

Differenziazione

Ipotesi:• MCA=MCB MCX= Costi Marginali

• V = valore che i consumatori attribuiscono al servizio offerto

• I clienti hanno un comportamento razionale, per cui preferiscono andare dal parrucchiere a loro più vicino.

0 1Χ1 ( 1 – Χ1 )Χ1

Costo utilità

t*x1 = costo per andare dal parrucchiere A

t(1-x1) = costo per andare dal parrucchiere B

x1 = posizione del cliente 1

t = costo unitario dello spostamento (disutilità unitaria)

DifferenziazioneP

arr

ucch

iere

A P

arr

ucch

iere

B

Un importante implicazione di questa assunzione consiste nell’esistenza del consumatore marginale xm, per il quale risulta indifferente servirsi da uno piuttosto che dall’altro.

V - pA – t xm = V - pB – t ( 1 – xm )

xm ( pA, pB ) = ( pB – pA + t )

2t

L’equazione precedente può essere risolta per trovare l’indirizzo del consumatore marginale xm

Differenziazione

V >= P i + Disutilità i (dove i = A, B)

0 1Χm ( 1 – Χm )

Χm

Differenziazione

Anche per possibili prezzi diversi dei due servizi:

• Tutti i consumatori sulla sinistra di xm si serviranno dal Parrucchiere A

• Tutti i consumatori sulla destre di xm si serviranno dal Parrucchiere B

In altre parole:

• xm (pA, pB) è la parte di mercato che si servirà dal Parrucchiere A

• [1 – xm (pA, pB)] è la parte di mercato che si servirà dal Parrucchiere B

Parrucchiere A Parrucchiere B

Consumatore indifferente

• Identificato con N il numero totale di consumatori nel Mercato• Definita la clientela uniformemente distribuita.

Le due funzioni di domanda risultano essere:

DA(pA, pB) = xm (pA, pB) * N

DA ( pA, pB ) = * N( pB – pA + t )

2t

DB(pA, pB) = [1 – xm (pA, pB)] * N

DB ( pA, pB ) = * N( pA – pB + t )

2t

DOMANDA A DOMANDA B

Differenziazione

Abbiamo in precedenza visto, come secondo il Modello di Bertrand, nel caso una delle due aziende operasse un prezzo superiore, quell’azienda avrebbe perso tutto il mercato.

Esempio PA < PB:

DB ( pA, pB) = 0

ΠA = 0 (PA = MC)

ΠB = 0 (DB= 0)

Nel nostro caso invece, con la stessa condizione, dove PA < PB notiamo come D B ( pA, pB ) > 0, quindi ΠΠΠΠ B > 0

Abbiamo in precedenza visto, come secondo il Modello di Bertrand, nel caso una delle due aziende operasse un prezzo superiore, quell’azienda avrebbe perso tutto il mercato.

Esempio PA < PB:

DB ( pA, pB) = 0

ΠA = 0 (PA = MC)

ΠB = 0 (DB= 0)

Nel nostro caso invece, con la stessa condizione, dove PA < PB notiamo come D B ( pA, pB ) > 0, quindi ΠΠΠΠ B > 0

Differenziazione

I profitti dell’impresa B (ΠΠΠΠB) e dell’impresa A (ΠΠΠΠA) risultano essere:

ΠA(pA, pB) = (pA – MC) * * N( pB – pA + t )

2t

ΠB(pA, pB) = (pB – MC) * * N( pA – pB + t )

2t

Margine Unitario Domanda

Margine Unitario Domanda

Differenziazione

Dato PB , procediamo calcolando il Prezzo Ottimo per l’Impresa A:

Uguagliando i due prezzi ottimi determiniamo l’equilibrio di Nash

Differenziazione

∂ ΠA pB + t + MC = 0 � P*A =

∂ pA 2

Dato PA , procediamo calcolando il Prezzo Ottimo per l’Impresa B:

∂ ΠB pA + t + MC = 0 � P*B =

∂ pB 2

P*A = P*B = t + MC

Determiniamo il Prezzo ottimo per le due aziende.

DifferenziazioneFunzioni di miglior risposta per la competizione dei prezzi con prodotti non perfettamente sostituibili.

Assunzioni di Bertrand:

- Capacità produttiva estesa ( posso servire tutti i clienti del concorrente).

- Prodotto identico.

Se queste ipotesi non vengono rispettate l'efficienza di Bertrand viene meno.

Un prezzo più alto per un’azienda non produce una perdita di tutti i clienti.

Conclusioni

Concludiamo dicendo che:

Ci sono più Leve da considerare in un Oligopolio oltre a quella del Prezzo