Oligopolio

Roberto MaviliaUniversità per Stranieri “Dante Alighieri” di Reggio CalabriaUniversità per Stranieri Dante Alighieri di Reggio Calabria

Università Commerciale “L. Bocconi” di Milano

roberto.mavilia@unibocconi.it

OLIGOPOLIO

Quando le imprese sanno si rendono conto che le decisioni diciascuna di loro riguardo al prezzo e al volume di produzioneinfluiscono sui profitti di tutte le altre si dice che sono consapevoliinfluiscono sui profitti di tutte le altre, si dice che sono consapevolidella loro interdipendenza reciproca.

L l d ll’i di d i h dLa consapevolezza dell’interdipendenza reciproca ha dueimportanti conseguenze:

i) a ogni impresa interessa sapere che cosa stanno facendo iconcorrenti;

ii) ogni impresa sa che gli altri produttori la sorvegliano e chereagiranno in qualche modo alle sue iniziative.

Quindi l’impresa deve tener conto delle possibili reazioni dei suoiconcorrenti quando prende qualche decisione; se un’impresa tiene

2conto delle possibili reazioni degli altri produttori quando decidecome agire, si dice che assume un comportamento strategico.

Ipotesi fondamentali

L’oligopolio si basa su quattro ipotesi fondamentali:

1) I venditori fanno il prezzo) p

2) I venditori si comportano in modo strategico: ogniimpresa sa che le sue azioni influenzano i prezzi che le altreimpresa sa che le sue azioni influenzano i prezzi che le altreimprese possono applicare sui loro prodotti; quindi ogniimpresa sa di influenzare le azioni degli altri

3) Gli acquirenti non fanno il prezzo

4) L’accesso al mercato può essere del tutto libero o4) L’accesso al mercato può essere del tutto libero ocompletamente bloccato

3

Struttura di mercatoStruttura di mercato

i) I venditori sono pochi e fronteggiano una curva di domandaindividuale decrescente;individuale decrescente;

ii) I compratori sono tanti e nessuno ha dimensioni tali dai fl ilinfluenzare il prezzo;

iii) I prodotti offerti dai vari produttori possono esserediff i idifferenziati oppure no;

iv) Gli acquirenti possono essere ben informati o pocoinformati sulle alternative disponibili;

v) Possono esistere barriere all’entrata oppure no.) pp

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OLIGOPOLIOOLIGOPOLIO• Le interazioni strategiche danno luogo a diversi modelli.Le interazioni strategiche danno luogo a diversi modelli.

I più importanti sono:

• La competizione mediante la fissazione delle quantità ( d ll di C t)(modello di Cournot)

• La competizione mediante la fissazione ripetuta del prezzo (modello di Bertrand)

• La concorrenza mediante fissazione delle quantità dove quna delle imprese agisce per prima (modello di Stackelberg) non presente in queste slides.

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g) p q• Il comportamento collusivo

Duopolio di CournotDuopolio di Cournot

Consideriamo il modello di oligopolio più semplice, noto comed li di C i b l i i i iduopolio di Cournot; esso si basa su queste ulteriori ipotesi:

i) Nell’industria ci sono solo due imprese, che scelgono il lorovolume di produzione contemporaneamente;

ii) L’accesso all’industria è completamente bloccato;

iii) I prodotti offerti dalle imprese sono omogenei;

i ) Il t i l di d i è t t liv) Il costo marginale di produzione, c, è costante e uguale perle due imprese.

Queste ipotesi sono ovviamente restrittive, ma questo modellorivela importanti caratteristiche del comportamento deglioligopolisti di validità più generale

6

oligopolisti di validità più generale.

Il duopolio Cournot può evidentemente essere rappresentatocome un gioco simultaneo con informazione imperfetta.

Gli elementi fondamentali di tale gioco sono:g

i) Giocatori: le due imprese;

ii) A i i l’i i d i ibili l i di d i (iii) Azioni: l’insieme dei possibili volumi di produzione (inquesto caso, l’insieme delle azioni possibili non è discreto maè continuo);è continuo);

iii) Strategie: l’insieme dei possibili volumi di produzione;

iv) Vincite: i profitti associati a ogni combinazione di livelli diproduzione.

7

La curva di domanda del mercato dipende dalla quantitàcomplessiva offerta dalle due imprese:complessiva offerta dalle due imprese:

21 yypypp 21 yypypp

Dal punto di vista dell’impresa 1, la quantità dell’impresa 2 èp p , q pdata (e non osservabile); quindi:

21 yypp Rappresenta la curva di domanda residuale che l’impresa 1Rappresenta la curva di domanda residuale che l impresa 1deve affrontare, cioè la sua curva di domanda individualedata la strategia di quantità congetturata dell’altra impresa.

La curva di domanda residuale indica il prezzo al qualel’impresa può vendere il suo prodotto, in funzione del suo

8

p p plivello di produzione, dato un che l’impresa 2 ha scelto unacerta quantità.

I ricavi totali per l’impresa 1, basati sul suo livello did i ll tt i d ll t t i d ll’ ltproduzione e sulla congetture riguardo alla strategia dell’altro,

sono uguali a : yyypyR 12111 yyypyR

I ricavi marginali diventano:I ricavi marginali diventano:

ydpyR 121

1

1111 ·)()( y

dyydpyyp

yyRyMR

dato che:

ydpyyp

21

9dyy 1

Data la congettura sulla strategia dell’impresa 2, l’impresa 1massimizza il suo profitto sulla domanda residuale; la condizionemassimizza il suo profitto sulla domanda residuale; la condizionedi ottimo usuale

yMCyMR 1111 yMCyMR diventa

cyd

ydpyyp 121 ·)( ydy

yyp 121 )(

Intuitivamente, l’impresa 1 si comporta come un monopolista sullafrazione di mercato che prevede non sia coperto dall’impresa 2.

Questa condizione di ottimo definisce implicitamente la rispostaottima dell’impresa 1 a ogni livello di produzione che l’impresa 2

ò li t f i i lit t hi t10

può scegliere; questa funzione viene solitamente chiamatafunzione di reazione.

Analogamente, data la congettura sul livello di produzionedell’impresa 1 l’impresa 2 massimizza i suoi profitti sulla suadell impresa 1, l impresa 2 massimizza i suoi profitti sulla suadomanda residuale; la condizione di ottimo usuale

2222 yMCyMR diventa

cyydpyyp ·)( cydy

yyp 212 )(

L’impresa 2 si comporta come un monopolista nella frazione dimercato che prevede non sia coperto dall’impresa 1.

Come prima, la condizione di ottimo definisce implicitamente larisposta ottima dell’impresa 2 a ogni livello di produzione chel’i 1 ò li t l f i di i

11l’impresa 1 può scegliere, e rappresenta la funzione di reazionedell’impresa 2.

Equilibrio nel duopolio di Cournot

Un mercato oligopolistico è in equilibrio se ogni singolaimpresa adotta una strategia che è una risposta ottima, date lestrategie adottate da tutte le altre imprese.

In altre parole, il mercato è in equilibrio se nessuna impresa hainteresse a modificare il suo comportamento unilateralmente.

Questa definizione vi ricorda qualcosa? SI’, ci ricorda ladefinizione dell’equilibrio di Nash…

Un duopolio di Cournot è in equilibrio quando ogni impresaproduce la quantità che massimizza i suoi profitti data lap q pquantità prodotta dall’altra impresa.

Quest’equilibrio viene detto equilibrio di Cournot-Nash.12

Quest equilibrio viene detto equilibrio di Cournot Nash.

L’equilibrio di Cournot-Nash si trova usando le curve direazionereazione.

Analiticamente, l’equilibrio di Cournot-Nash risolve ilt i tseguente sistema:

ydp

cydy

ydpyyp 121

cy

dyydpyyp 221 dy

Quindi l’equilibrio di Cournot Nash è caratterizzato da dueQuindi l equilibrio di Cournot-Nash è caratterizzato da duequantità e dal prezzo di mercato:

13 2121 ˆˆˆ,ˆ,ˆ yyppyy

Graficamente, l’equilibrio di Cournot-Nash è individuatodall’intersezione delle due curve di reazione:

2y

RF 21 yRFEquilibrio di Cournot-Nash

2y2y

12 yRF 12 y

141y1y

Cournot-Nash vs. concorrenza perfetta

Consideriamo un modello di Cournot con diverse imprese, cioèun oligopolio di Cournot, e focalizziamoci sulla funzione direazione della generica impresa:

cyydpyp ·)( cydy

yp j )(

Questa funzione di reazione può essere riscritta come:

c

syp

yy

ypy

dyydpyp jj

1)(1)( yypdy

dove sj= yj / y è la quota di mercato della generica impresa j cioè15

dove sj yj / y è la quota di mercato della generica impresa j, cioèla quota della produzione aggregata prodotta dall’impresa j.

Notiamo che:

PERFETTAACONCORRENZ0

MONOPOLIO1

j

s

s

OLIGOPOLIO10

PERFETTA A CONCORRENZ0

j

j

s

s

)( cyp 1)(

j c

syp

11)(

cyp

ncompetitioPerfect0

)(

js

cyp

10

1)(

cyp

1

1)(

s

cyp

ncompetitioPerfect Oligopoly

10 jsMonopoly

1js

Quindi:

COli liM li16

aConcorrenzOligopolioMonopolio yyy

Accordo autosanzionante

Un accordo tra imprese è detto autosanzionante se ènell’interesse di ciascuna impresa rispettarlo a condizione chenell interesse di ciascuna impresa rispettarlo a condizione cheanche le altre vi si attengano.

Il concetto di equilibrio di Cournot-Nash si basa sull’idea cheIl concetto di equilibrio di Cournot-Nash si basa sull idea cheun equilibrio deve essere autosanzionante per essere attuabile.

Se le imprese si accordano in modo tale che ognuna produca ilSe le imprese si accordano in modo tale che ognuna produca ilvolume di prodotto dell’equilibrio di Cournot-Nash, allora sarànell’interesse di ogni singola impresa non rompere l’accordo,g g p p ,dato che ritiene che l’altra impresa si stia comportando nellostesso modo.

Naturalmente le tipologie di accordo che stiamo considerandosono accordi taciti, cioè accordi in cui ogni impresa intuisce

17quali sono i termini dell’accordo implicito senza discuterneesplicitamente i termini con le altre imprese.

EsempioEsempio

Domanda di mercato: 21 yyyyp

Costi marginali: 222111 , cyMCcyMC

Ricavi totali: jjj yyyyR 21 jjj yyyy 21

Ricavi marginali:

2111

22

yyyMRyyyMR

18

1222 2 yyyMR

1212 cyy

Funzioni di reazione: 212

121

2 cyyyy

Possiamo trovare l’equilibrio di Cournot-Nash:

122222 cycy

221 2 cyy

3

2 211

ccyT

23

12

1

ccy

y

T Equilibrio di Cournot-Nash

19

32y

2 21 ccyT

T

23

12

1

cc

y

T

21

s

s

cey

ceyT

T

Perché?

3

122yT 12 s cey

Supponiamo ora che c1 = c2 = c:

32,

32,

3cpcycy TTT

j

333

Quindi:

2 2ccccT

20

933

cj

Il d ll di B t dIl modello di Bertrand

Nel modello di Cournot, le imprese scelgonocontemporaneamente le quantità e il mercato fissa il prezzo diequilibrio.

In molte situazioni, è più appropriato è preferibilerappresentare il mercato con un modello in cui le impresefi il i d l l di d ifissano il prezzo, invece del volume di produzione.

Il modello in cui le imprese scelgono i prezzi e il mercatodetermina le quantità di equilibrio viene detto modello diBertrand.

Supponiamo che le nostre due imprese debbano deciderecontemporaneamente a quale prezzo venderanno il loro

d tt l i d di t id t i i lt21

prodotto nel periodo di tempo considerato; assumiamo inoltreche le due imprese affrontino gli stessi costi marginali, c.

Il modello di Bertrand può essere rappresentato come un giocosimultaneo con informazione imperfetta.

Gli elementi fondamentali di questo gioco sarebbero:

i) Giocatori: le due imprese;i) Giocatori: le due imprese;

ii) Azioni: l’insieme dei prezzi possibili;

iii) Strategie: l’insieme dei prezzi possibili;

iv) Vincite: i profitti associati a ogni insieme di prezzi.) p g p

22

La domanda di mercato, D(p), dipende dal prezzo a cui ilbene (omogeneo) è venduto sul mercatobene (omogeneo) è venduto sul mercato.

Dal punto di vista dell’impresa 1, il prezzo decisod ll’i 2 è d t ( bil ) i di l d ddall’impresa 2 è dato (e non osservabile); quindi la domandaresiduale l’impresa 1, cioè la sua curva di domandaindividuale date le congetture sulla strategia di prezzo sceltaindividuale date le congetture sulla strategia di prezzo sceltadal rivale, può assumere una delle seguenti forme:

1) Se p <p allora D (p )=D(p ) e D (p )=0 dato che nessuno1) Se p1<p2, allora D1(p1)=D(p1) e D2(p2)=0, dato che nessunocomprerà dall’impresa 2 (le imprese producono lo stesso beneomogeneo);g );

2) Se p1>p2, allora D2(p2)=D(p2) e D1(p1)=0, dato che nessunocompra dall’impresa 1;compra dall impresa 1;

3) Se p1=p2=p, allora D1(p)=D(p)/2 e D2(p)=D(p)/2 per ipotesi,cioè i consumatori si dividono equamente fra le due imprese

23

cioè i consumatori si dividono equamente fra le due imprese.

Modello di Bertrand: Modello di Bertrand: rappresentazione grafica

PP

Se P2>P1, Q2 = 0

Se P2=P1, Q2 = Q1

P1 Se P2<P1, Q2 = QM

P2

MC1= MC2

P2

24Q1QQ2

Quindi data ogni strategia p2>c, scelta dall’impresa 2, lamiglior risposta dell’impresa 1 sarebbe di applicare un prezzop leggermente più basso di pp1 leggermente più basso di p2.

Sfortunatamente per l’impresa 1, il suo rivale ha esattamente lat f i di i > l’i 2 ò fistessa funzione di reazione: se p1>c, l’impresa 2 può fissare un

prezzo leggermente inferiore a p1, e ottenere tutta la domandadel mercato.del mercato.

Questa guerra dei prezzi deve fermarsi quando p1=p2=c, perchénessuna impresa che massimizza i suoi profitti potrebbe fissarenessuna impresa che massimizza i suoi profitti potrebbe fissareun prezzo inferiore al proprio costo marginale.

E identemente ness na combina ione di pre i tale per c iEvidentemente nessuna combinazione di prezzi tale per cuip1>c o p2>c può essere un equilibrio di Nash, dato che larisposta ottima di almeno un’impresa sarebbe di fissare un

25

risposta ottima di almeno un impresa sarebbe di fissare unprezzo minore di quello del rivale.

Modello di Bertrand: rappresentazione graficarappresentazione grafica

PP

P1= P1=MC1= MC2

1 1

MC1= MC2

26QM QQ2 Q1

Questo implica che, se tutte le imprese operanti in un’industriali li i h i l i lloligopolistica hanno un costo marginale costante pari a c, nella

situazione di equilibrio di Bertrand applicheranno tutte lostesso prezzo pari a cstesso prezzo pari a c.

L’equilibrio di Bertrand-Nash ha una caratteristica moltointeressante: replica perfettamente l’allocazioneinteressante: replica perfettamente l allocazionedell’equilibrio concorrenziale (cioè genera lo stesso volumedi produzione, lo stesso prezzo e gli stessi profitti)di produzione, lo stesso prezzo e gli stessi profitti)

Infatti notiamo che: 0 Bjj cp jj

Due domande:

i) Quali sono le ipotesi che portano a questo risultato?

ii) C d l i h di i ti i li27

ii) Cosa succede se le imprese hanno diversi costi marginali,c1<c2?

Cournot vs. Bertrand

Perché nel modello di Cournot le imprese oligopoliste riesconoa limitare la quantità prodotta e a mantenere il prezzo al disopra di c mentre nel modello di Bertrand non ci riescono?

Nel modello di Cournot, se l’impresa 1 devia e espande lap pproduzione, il prezzo a cui entrambe le imprese vendono illoro prodotto diminuisce, e quindi l’impresa 1 non prende tuttoil l f d d ’ ilil mercato solo facendo scendere un po’ il suo prezzo.

Nel modello di Bertrand, se l’impresa 1 devia abbassandoleggermente il suo prezzo (e l’impresa 2 non diminuisce il suoprezzo, almeno temporaneamente), l’impresa 1 puòaggiudicarsi l’intero mercato con una minima riduzione diaggiudicarsi l intero mercato con una minima riduzione diprezzo.

L’i ti d i è MOLTO i h l d ll di28

L’incentivo a deviare è MOLTO maggiore che nel modello diCournot.

CartelliCartelli

Un cartello è un accordo stipulato tra imprese operanti nellastessa industria che si mettono insieme e agiscono come unstessa industria che si mettono insieme e agiscono come unmonopolista, cioè limitano il volume di produzione complessivoe fanno salire il prezzo di mercato; accordi formali per lap pcostituzione di cartelli nei mercati di prodotti sono rari perchénormalmente sono illegali.

Un esito di cartello pieno è rappresentato dalla combinazioneprezzo-quantità prodotta che massimizza il profitto complessivodelle imprese che fanno parte di un cartello; a livello di industria,l’esito di cartello pieno corrisponde all’esito di monopolio.

Per avere successo un cartello deve essere in grado di:

i) far rispettare l’accordo ai suoi membri29

) p

ii) limitare l’entrata di nuove imprese

La collusione: è analoga alLa collusione: è analoga al monopoliomonopolio

PMC

AC

Le imprese peròMC

E

Le imprese però si spartiscon il

mercato

ACP*

Curva diCurva di domanda

MR30

QQ*Qi

L’equilibrio in collusioneL equilibrio in collusione(formula generale)(formula generale)

Siano date per il mercato la funzione di domanda P=f(Q) (inversa) e le due funzioni di Costo totale delle

2 i )costo totale g(Q1) e g(Q2).

)()()(*)( qgqgqqqqf

2 imprese)

)()()(*)( 21212121 qgqgqqqqf

P fitt Ri t t l d ll Profittototale

Ricavo totale delle2 imprese)

(Qt t=q1+q2) 0q(Qtot q1 q2)

La condizione per

0

1q

31

pavere Profitto max è

02q

Il fatto che le imprese collettivamente traggano vantaggiop gg ggdalla costituzione di un cartello non implica che rispettare gliaccordi di cartello sia nell’interesse di ogni singola impresa.

Quando un cartello riesce a far salire il prezzo al di sopra delcosto marginale, le singole imprese che ne fanno parte sonoincentivate a violare gli accordi espandendo il volume diproduzione.

p MCSe il prezzo deciso dai

cpΔΠcp membri è pc > MC, ogni

impresa ha incentivo ad

c *

espandere il volume di produzione fino al punto in

32jyc

jy jy cui pc = MC(yj*)

E’ possibile che un cartello sia supportato da un accordoE possibile che un cartello sia supportato da un accordoautosanzionante nel duopolio di Cournot?

S i h l i i di di id lSupponiamo che le imprese si accordino per dividere laproduzione (e i profitti) egualmente fra loro; se l’impresa 1 credeche l’impresa 2 venderà yM/2 unità (dove yM è il volume diche l impresa 2 venderà y /2 unità (dove y è il volume diproduzione di monopolio), è nell’interesse di 1 onorare l’accordovendendo yM/2 unità?

L’impresa 1 ha un incentivo a incrementare la produzione al disopra di yM/2 pari alla variazione nei profitti quando vendep y p p qun’unità aggiuntiva, cioè MR1-MC1

In corrispondenza di yM il volume di produzione che massimizzaIn corrispondenza di y , il volume di produzione che massimizzai profitti dell’industria, il ricavo marginale dell’industria è pari alcosto marginale dell’industria: MR=MC1=MC2

33La domanda è: a yM/2, MR1=MR o no?

La risposta è: NO!p

Il ricavo marginale dell’industria ha tre componenti:

i) t di i i l’ ità i ti di) un aumento di ricavi per l’unità aggiuntiva venduta

ii) una perdita di ricavi perché l’aumento della produzionenell’industria abbassa il prezzo ricevuto dall’impresa 1 per leunità che stava vendendo prima della variazione delle vendite.

iii) una perdita di ricavi perché l’aumento della produzionenell’industria abbassa il prezzo ricevuto dall’impresa 2 per le

ità h t d d i d ll i i d ll ditunità che stava vendendo prima della variazione delle vendite.

I ricavi marginali delle singole imprese hanno solo due diqueste tre componenti.

Il ricavo marginale dell’impresa 1 considera (i) e (ii), mentre il

34ricavo marginale dell’impresa 2 considera (i) e (iii).

Paragonando i ricavi marginali dell’industria con quelli dellasingola impresa, notiamo che:

i) L’impresa 1 ignora l’effetto negativo che l’espansione della suaproduzione ha sull’impresa 2 quando calcola il suo ricavo

i lmarginale;

ii) Allo stesso modo, l’impresa 2 ignora l’effetto negativo che lai h ll’isua espansione ha sull’impresa 1.

Quindi, in entrambi i casi, il ricavo marginale dell’impresa èmaggiore del ricavo marginale dell’industria.

Sarebbe quindi nell’interesse delle due imprese di rompereq p pl’accordo di cartello.

Quindi, l’esito di cartello pieno non è un accordo autosanzionante,35

Quindi, l esito di cartello pieno non è un accordo autosanzionante,e certamente non un equilibrio di Cournot-Nash.

Riprendiamo l’esempio seguito per Cournote applichiamolo al cartelloe applichiamolo al cartello

Domanda di mercato: 21 yyyyp

Costi marginali: 222111 , cyMCcyMC

Ricavi totali: jjj yyyyR 21 jjj yyyy 21

Ricavi marginali:

2111

22

yyyMRyyyMR

36

1222 2 yyyMR

In un cartello, l’industria riproduce l’esito di monopolio:

2 cycyMCMR M

22 ycyMCMR

2Quindi:

4

,2

,2

2cΠcpcy MMM

A livello di impresa:

2cΠΠcyy

MjM

MM

37

82

,42

Πy jjj

Possiamo ora paragonare i profitti ottenuti nelle diverse formedi mercato:

CConcorrenza perfetta: 0Cj

2 9

2cTj

Duopolio di Cournot:

2cMj

Cartello:

8j

i diQuindi:

MTC

38

Mj

Tj

Cj 0

Supponiamo ora che l’impresa 1 rompa l’accordo di cartello eespanda la produzione; dato che si suppone che l’impresa 2espanda la produzione; dato che si suppone che l impresa 2tenga fede all’accordo, quale sarà la risposta ottimadell’impresa 1?

Possiamo sostituire la congettura del livello di produzionedell’impresa 2 nella funzione di reazione dell’impresa 1:

cyccy D

83

42 111 yy

yM

84 111

2

21 649

83

83

4cccccD

39

688112DDM yyy

Notiamo che:

233 ccD

22 323

483

4ccccc

MDM

D

212MDM yyy

Questo implica che:Questo implica che:

MDMD2211 , 2211 ,

dato che:

2cMM

40

821

Il “gioco di cartello” può essere rappresentato in formal

2 R D

normale:2

R D R D

R 0.13 , 0.13 0.01 , 0.14

R D

R 1/8 , 1/8 3/32 , 9/641

D 0.14 , 0.01 0.11 , 0.111

D 9/64 , 3/32 1/9 , 1/9

dove R sta per “rispettare l’accordo” e D per “deviare”

Non è difficile vedere che { D , D } è un equilibrio constrategie dominanti, e quindi l’univo equilibrio di Nash perquesto giocoquesto gioco.

Quindi, l’esito di cartello pieno NON è un accordoi l’i i d i b l i

41autosanzionante: l’incentivo a deviare per entrambe le impreseè troppo forte.

APPLICAZIONI DEL MODELLO DI COURNOT E DI BERTRAND

42

Cooperazione e sanzioni

Un oligopolista deve

i) cercare di prevedere quali strategie adotteranno i suoi concorrenti;i) cercare di prevedere quali strategie adotteranno i suoi concorrenti;

ii) tener conto di come questi potrebbero reagire alle sue decisioni.

I modelli di Cournot e Bertrand illustrano adeguatamente il primoaspetto, ma non tengono conto delle possibili reazioni deiconcorrenti.

Dato che le imprese fanno un’unica scelta e la fannocontemporaneamente, non c’è modo di mostrare eventuali reazioni aquesta scelta.

Un modello più realistico deve tener conto del fatto che le impresenon decidono una volta per tutte, ma ripetutamente: in questo caso,l i li ll b d ll i i i è

43le imprese possono scegliere sulla base delle azioni passate, cioèreagiranno al comportamento dei concorrenti.

Un gioco di Cournot ripetuto

Supponiamo che le nostre due imprese tentino di raggiungereun accordo autosanzionante per aumentare i profitti, e

i i l h d bb li isupponiamo inoltre che debbano scegliere ripetutamente conun orizzonte infinito.

Se le imprese sono ora in grado di reagire al comportamentodei concorrenti, possono “punire” in qualche modo le impreseh h d i di i l l’ d i i di d tiche hanno deciso di violare l’accordo nei periodi precedenti.

Supponiamo che l’impresa 2 segua la strategia “Tit for tat”:

Rispetta l’accordo di cartello finché l’impresa 1 lo fa e deviaper un periodo se l’impresa 1 ha deviato nel periodoprecedente.

NB: Per definizione, una strategia deve specificare l’azione da

44

g pscegliere in ogni possibile situazione in cui il giocatore puòessere chiamato a muovere!

2R DR D

R 0.13 , 0.13 0.01 , 0.1411

D 0.14 , 0.01 0.11 , 0.11

In ogni periodo, l’impresa 1 deve decidere se deviare o no:

Se l’impresa 1 devia i suoi profitti aumentano da 0 13 a 0 14Se l impresa 1 devia, i suoi profitti aumentano da 0.13 a 0.14(+ 0.01); nel periodo successivo, i suoi profitti diminuirannoda 0.13 a 0.11 (- 0.02)

L’impresa 1 devia sono se:

020r

1

02.001.0

45dove r è il tasso di sconto.

L’impresa 1 considera la strategia “Tit for tat” seriamente solose soddisfa la condizione di credibilità, cioè il principio della

i li à i lrazionalità sequenziale.

In altre parole, la punizione è una minaccia credibile? Deviarenel periodo corrente è la miglior risposta dell’impresa 2 al fattoche l’impresa 1 ha deviato nel periodo precedente?

Notiamo che “D” è una strategia strettamente dominante perentrambi i giocatori nel gioco uniperiodale.

Quindi, se l’impresa 2 si rende conto che l’impresa 1 hadeviato, cioè che l’esito di cartello pieno è diventatoinsostenibile, la risposta ottimale dell’impresa 2 è “D”,qualunque decisione l’impresa 1 stia scegliendo.

46La strategia “Tit for tat” è quindi credibile.

Simmetricamente, se l’impresa 1 segue la strategia “Tit for tat”allora l’impresa 2 devierà solo se di nuovo 0 01>0 02/(1+r)allora l impresa 2 devierà solo se, di nuovo, 0.01>0.02/(1+r)

Questo implica che la coppia di strategie:

{ “Tit for tat” , “Tit or tat” }

può essere un equilibrio di Nash perfetto per il gioco ripetuto sepuò esse e u equ b o d N s pe e o pe g oco pe u o see solo se:

02.0010

r

101.0

In altre parole il tasso di sconto deve essere sufficientementeIn altre parole, il tasso di sconto deve essere sufficientementebasso!

N ti h t ilib i di N h è i l’ it diNotiamo che questo equilibrio di Nash non è unico: l’esito diCournot ripetuto, cioè una situazione in cui entrambe le impresenon seguano mai l’accordo è un altro equilibrio di Nash perfetto.

47

non seguano mai l accordo è un altro equilibrio di Nash perfetto.

Comunque, l’equilibrio “Tit for tat” è Pareto superiore!

Un gioco di Bertrand ripetuto

Supponiamo che le due imprese vengano chiamate a scegliereSupponiamo che le due imprese vengano chiamate a sceglieresimultaneamente i prezzi su un orizzonte infinito.

Supponiamo inoltre che le nostre imprese scelgano leSupponiamo inoltre che le nostre imprese scelgano lecosiddette strategie “grim-trigger”:

Fi > h d i iFissa un prezzo ps>c se nessuno ha deviato in passato; sequalcuno ha violato l’accordo, fissa per sempre un prezzo paria ca c.

48

Se le imprese si sono accordate di fissare un prezzo ps esnessuna impresa viola l’accordo, le due imprese dividono le ilmercato e ottengono:

cppD ssRj

21

Se l’impresa j resta fedele all’accordo e fissa un prezzo pari aps, mentre l’impresa i devia fissando un prezzo leggermentepiù basso di quello del rivale, l’impresa i si aggiudicheràl’intero mercato; nel periodo corrente le imprese ottengono:l’intero mercato; nel periodo corrente, le imprese ottengono:

0 DD D 0, Djss

Di cppD

Da quel periodo in poi entrambe le imprese faranno profitti49

Da quel periodo in poi, entrambe le imprese faranno profittinulli.

Il beneficio della deviazione è:

cppDRj

Dj

1 cppD ssjj 2

Il costo della deviazione è un po’ più complicato:

RRRR

rrrr

Rj

Rj

Rj

Rj

...

111 32

Quindi le imprese devieranno solo se:

1

RjRRD

50

1 rr

jjjj

Questo implica che, se r<100%, allora queste strategie “grim-trigger” costituiscono un equilibrio di Nash perfetto per ilgioco di Bertrand ripetutogioco di Bertrand ripetuto.

Si noti che questo risultato è indipendente dal valore di ps!Ri hi d l h >Richiede solo che ps>c.

Questo significa che, se le imprese possono sostenere unl iù l d l l i lprezzo leggermente più alto del loro costo marginale, possono

anche sostenere il prezzo di cartello pieno.

Le imprese à la Bertrand che fanno una scelta di prezzo unavolta sola, fissano il prezzo pari a l costo marginale e hannoprofitti n lli; le imprese che fissano il pre o ripet tamenteprofitti nulli; le imprese che fissano il prezzo ripetutamente,invece, possono fissare il prezzo di monopolio e dividere iprofitti di monopolio: che differenza si ottiene solo facendo

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profitti di monopolio: che differenza si ottiene solo facendoripetere il gioco!

Gioco ripetuto un numero finito di volteGioco ripetuto un numero finito di volte

I giochi dinamici che abbiamo analizzato finora sono chiamatigiochi ripetuti all’infinitogiochi ripetuti all infinito.

Supponiamo che le nostre imprese debbano giocare il gioco diB t d fi t di i di i è d iBertrand per un numero fissato di periodi, cioè devono giocareun gioco ripetuto un numero finito di volte.

i d h l ilib i f i i iRicordate che per trovare l’equilibrio perfetto siamo partitidalla fine dell’albero del gioco con il processo dell’ induzioneretrogradaretrograda.

Che cosa succederà nell’ultimo periodo in cui le nostreimprese sono s l mercato?imprese sono sul mercato?

A quel punto le imprese affronteranno un gioco di Bertrandd d i i fi à il i l i l

52standard: ogni impresa fisserà il prezzo pari al costo marginalee nessun’impresa avrà profitti economici.

Che cosa succederà nel periodo precedente? Indipendentemente daChe cosa succederà nel periodo precedente? Indipendentemente daquello che farà in quel periodo, l’impresa sa che nel periodosuccessivo fisserà un prezzo pari al costo marginale.

Quindi non c’è modo di introdurre minacce: il prezzo futuro èessenzialmente già fissato, quindi un’impresa dovrebbe scegliere ilg , q p gproprio prezzo nel penultimo periodo come se non ci fossero altriperiodi.

Ma allora otteniamo l’esito di Bertrand anche in questo periodo.

Man mano che procediamo all’indietro troviamo che l’esito diMan mano che procediamo all indietro, troviamo che l esito diogni periodo è equivalente all’esito del gioco di Bertrand statico.

In generale q ando c’è n nico eq ilibrio di Nash per il giocoIn generale, quando c’è un unico equilibrio di Nash per il giocostatico, l’unico equilibrio di Nash perfetto per il gioco ripetutoun numero finito di volte è semplicemente l’equilibrio statico

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un numero finito di volte è semplicemente l equilibrio staticoripetuto in ogni periodo.