Teoria dei giochi - D'orio - I parte1 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati)...

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto senza saper ciò che ha fatto l’altra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p 1 e p 2 ,. La quantità che i consumatori domandano all’impr. 1: q 1 (p 1 , p 2 ) = a p 1 + bp 2 . La quantità che i consumatori domandano all’impr. 2: q 2 (p 1 , p 2 ) = a p 2 + bp 1 . Il costo per l’impresa i di produrre la quantità q i è C i (q i )=cq i .

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 1

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto

senza saper ciò che ha fatto l’altra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p1 e p2,.

La quantità che i consumatori domandano all’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 + bp2.

La quantità che i consumatori domandano all’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 + bp1.

Il costo per l’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 2

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati)

La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)

Funzioni di payoff: u1(p1, p2)=(a – p1 + bp2 )(p1 – c)u2(p1, p2)=(a – p2 + bp1 )(p2 – c)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 3

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash:

Trovare la coppia di prezzi (p1*, p2*) tale che p1* è la risposta ottima dell’impresa 1 al prezzo dell’impresa 2 p2* e p2* è la risposta ottima dell’impresa 2 al prezzo dell’impresa 1 p1*

Quindi , p1* risolve Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c)s. a 0 p1 +∞

e p2* risolveMax u2(p1*, p2) = (a – p2 + bp1* )(p2 – c)s. a 0 p2 +∞

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 4

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 1Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c)s. a 0 p1 +∞

FOC: a + c – 2p1 + bp2* = 0 p1 = (a + c + bp2*)/2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 5

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 2 Max u2(p1*, p2)=(a – p2 + bp1* )(p2 – c)s. to 0 p2 +∞

FOC: a + c – 2p2 + bp1* = 0 p2 = (a + c + bp1*)/2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 6

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash

La coppia di prezzi (p1*, p2*) è un equilibrio di Nash se:

p1* = (a + c + bp2*)/2 p2* = (a + c + bp1*)/2

Risolvendo le due equazioni troviamo che p1* = p2* = (a + c)/(2 –b)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 7

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il proprio prezzo senza

conoscere le scelte altrui. I prezzi sono denotati rispettivamente con p1 e p2.

La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 se p1 < p2 ; = (a – p1)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi.

La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 se p2 < p1 ; = (a – p2)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi.

Il costo dell’impresa i per produrre qi è Ci(qi)=cqi.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 8

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)La rappresentsazione in forma normale:

Insieme dei giocatori: { impresa 1, impresa 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)

Funzioni di payoff:

12

2122

1222

212

21

2111

2111

211

se0

se2/))((

se))((

) ,(

se0

se2/))((

se))((

) ,(

pp

pppacp

pppacp

ppu

pp

pppacp

pppacp

ppu

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 9

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima: pm =( a + c )/2

1

1

1122

1122

12

2

2

2211

2211

21

se

se

se} :{

se} :{

)(

se

se

se} :{

se} :{

)(

ppp

ppc

cpppp

cpppp

pB

ppp

ppc

cpppp

cpppp

pB

mm

m

mm

m

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 10

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima:

p1

p2

c

c

pm

pm

p1

p2

c

c

pm

pm

Risposta ottima dell’impresa 1 al p2

dell’impresa 2

Risposta ottima dell’impresa 2 al p1 dell’impresa 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 11

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei)Funzioni di risposta ottima:

p1

p2

c

c

pm

pm

Equilibrio di Nash

( c, c )

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 12

Concorrere alle spese per i beni pubblici Due individuo: persona 1 e persona 2. Persona 1 ha

una ricchezza di w1 e persona 2 ha una ricchezza w2,

Ogni persona sceglie con quanto contribuire senza sapere ciò che fa l’altra. I contributi sono denotati rispettivamente da c1 e c2.

L’ammontare di bene pubblico ottenuto sarà uguale alla somma dei contributi.

Il payoff di Persona 1: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1

Il payoff di Persona 2: u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2

v1(c1 + c2) e v2(c1 + c2) sono entrambi funzioni concave

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 13

Concorrere alle spese per i beni pubblici

La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Persona 1, Persona 2} Insieme delle strategie: S1=[0, w1], S2=[0, w2]

Funzione di payoff: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1 u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 14

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash

Trovare la coppia di contributi (c1*, c2*) tale che c1* sia la risposta ottima di sig. 1 al contributo c2* di sig. 2 e c2* sia la risposta ottima di sig. 2 al contributo c1* di sig. 1

Quindi, c1* risolve Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0 c1 w1

e c2* risolveMax u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0 c2 w2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 15

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvere il problema di max della persona 1Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0 c1 w1

1111

211

211

0 qualcheper ,1)( :che Assumete

1*)(

01*)( :FOC

wrrv

ccv

ccv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 16

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash

Risolvere il problema di max della persona 2Max u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0 c2 w2

2222

212

212

0 qualcheper ,1)( :Assumete

1)*(

01)*( :FOC

wrrv

ccv

ccv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 17

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash

La coppia di contributi (c1*, c2*) è un equilibrio di Nash se

2222

1111

212

211

0 qualcheper ,1)(

0 qualcheper ,1)( :Assumete

1*)*(

1*)*(

wrrv

wrrv

ccv

ccv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 18

Concorrere alle spese per i beni pubblici

Funzione di risposta ottima Funzione risposta ottima persona 1 rispetto al contributo c2:

R1(c2) = r1 – c2 se c2 < r1; =0, se c2 r1

Funzione risposta ottima persona 2 rispetto al contributo c1: R2(c1) = r2 – c1 se c1 < r2 ; =0, se c1 r2

c1

c2

r2

r1

r2

r1

(r1, 0)è un NE

Assumendo che r1 > r2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 19

Riassunto

Il modello di duopolio di Bertrand I contributi ai beni pubblici

Prossimo argomento L’equilibrio di Nash in strategie miste

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 20

Il problema dei beni comuni

n contadini in un paesino. Ogni estate, tutti i contadini pascolano le capre nel campo comune del paesino.

Sia gi il numero di capre possedute dal contadino i. Il costo d’acquisto e mantenimento di una capra è c, ed è

indipendente dal numero di capre possedute. Il valore complessivo di tutti i greggi è v(G) per singolo gregge,

dove G = g1 + g2 + ... + gn

C’è un numero massimo di capre (greggi) che si possono pascolare nel campo. Considerato ciò si ha che, v(G)>0 se G < Gmax, e v(G)=0 se G Gmax.

Le assunzioni su v(G): v’(G) < 0 e v”(G) < 0. Ogni primavera viene deciso da tutti i contadini

contemporaneamente quante capre comprare.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 21

Il problema dei beni comuni

La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Contadino 1, ... Contadino n}

Insieme strategie: Si=[0, Gmax), per i=1, 2,..., n

Funzione di Payoff : ui(g1, ..., gn)=gi v(g1 + ...+ gn) – c gi per i = 1, 2, ..., n.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 22

Il problema dei beni comuni

Ricerca dell’equilibrio di Nash Trovare (g1*, g2*, ..., gn*) tale che gi* sia la risposta

ottima del contadino i alla scelta degli altri. Ciò implica che g1* risolve il problema seguente:

Max u1(g1, g2*, ..., gn*)= g1 v(g1 + g2* ...+ gn*) – c g1 s. a 0 g1 < Gmax

e g2* risolveMax u2(g1*, g2 , g3*, ..., gn*)= g2v(g1*+g2+g3*+ ...+ gn*)–cg2 s. a 0 g2 < Gmax ………..

e gn* risolveMax un(g1*, ..., gn-1*, gn)= gnv(g1*+...+ gn-1*+ gn)–cgn s. a 0 gn < Gmax

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 23

Il problema dei beni comuni

FOCs:

0)*...*()*...*(

.........

0*)...**(*)...**(

0*)...*(*)...*(

1111

3212321

21121

cgggvggggv

cggggvgggggv

cgggvggggv

nnnnn

nn

nn

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 24

Il problema dei beni comuni

Ricerca dell’equilibrio di Nash (g1*, g2*, ..., gn*) è un equilibrio di Nash se

0*)*...*(*)*...*(

.........

0*)...***(*)...***(

0*)...**(*)...**(

1111

3212321

21121

cgggvggggv

cggggvgggggv

cgggvggggv

nnnnn

nn

nn

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 25

Il problema dei beni comuni

Sommando tutte le FOC dei singoli n contadini e quindi dividendo per n otteniamo

*...*** dove

0*)(*1

*)(

21 ngggG

cGvGn

Gv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 26

Il problema dei beni comuni

Il problema sociale

0*)*(***)*(

soddisfa ** ottima soluzione la Quindi,

0)()(

:FOC

0 s.t.

)(Max

max

cGvGGv

G

cGvGGv

GG

GcGGv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 27

Il problema dei beni comuni

?***

0*)*(***)*(

0*)(*1

*)(

GG

cGvGGv

cGvGn

Gv

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 28

Nel gioco in forma normale {S1 , S2 , ..., Sn , u1 , u2 , ..., un}, siano si', si" Si strategie fattibili per il giocatore i. la strategia si' è debolmente dominata dalla strategia si" se

ui(s1, s2, ... si-1, si', si+1, ..., sn) (ma non sempre =) ui(s1, s2, ... si-1, si", si+1, ..., sn)

per ogni s1 S1, s2 S2, ..., si-1Si-1, si+1 Si+1, ..., sn Sn.

..sulle strategie debolmente dominate

1 , 1 2 , 0

0 , 2 2 , 2Gioc. 1

Gioc. 2

R

U

B

LIndipendenza dalla scelta altrui

si” almeno tanto buono quanto si’, ma non sempre uguale.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 29

Matching pennies

Head è la risposta ottima di Player 1alla strategia Tail di Player 2 Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Tail di Player 1

Tail è la risposta ottima di Player 1alla strategia Head di Player 2 Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Head di Player 1

Quindi, NON c’è equilibrio di Nash

-1 , 1 1 , -1

1 , -1 -1 , 1Player 1

Player 2

Tail

Head

Tail

Head

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 30

Risolvere Matching pennies

Rendete casuale la vostra strategia per sorprendere il rivale Player 1 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità r e

1-r. Player 2 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità q e

1-q. Strategie miste:

Specificano che una mossa sia scelta casualmente dall’insieme delle strategie pure con delle probabilità specifiche.

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

q 1-q

r

1-r

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 31

Strategia mista

La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle sue strategie (pure). Una strategia mista per Chris è una distribuzione di

probabilità (p, 1-p), dove p è laprobabilità di giocare Opera, e 1-p è la probabilità di giocare Prize Fight (boxe).

Se p=1 allora Chris gioca sicuramente Opera. Se p=0 allora Chris gioca sicuramente Prize Fight.

Battaglia dei sessi Pat

Opera Prize Fight

ChrisOpera (p) 2 , 1 0 , 0

Prize Fight (1-p) 0 , 0 1 , 2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 32

Risolvere matching pennies

I payoffs attesi dal giocatore 1 sono: Se Player 1 sceglie Head, -q+(1-q)=1-2q Se Player 1 sceglie Tail, q-(1-q)=2q-1

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

q 1-q

1-2q

2q-1

Payoffs attesi

r

1-r

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 33

1 q

r1

1/2

1/2

Risolvere matching pennies

La risposta ottima di Player 1B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0r1)

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

q 1-q

1-2q

2q-1

Payoffs attesi

r

1-r

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 34

Risolvere matching pennies

I payoffs attesi dal giocatore 2 sono se Player 2 sceglie Head, r-(1-r)=2r-1 se Player 2 sceglie Tail, -r+(1-r)=1-2r

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

1-2q

2q-1

Payoffs attesi

r

1-rq 1-q

Payoffs attesi 2r-1 1-2r

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 35

Solving matching pennies

Risposta ottima di Player 2B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0q1)

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

q 1-q

1-2q

2q-1

Payoffs attesi

r

1-r

Payoffs attesi 2r-1 1-2r

1 q

r1

1/2

1/2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 36

1 q

r1

1/2

1/2

Risolvere matching pennies

Risposta ottima Player 1B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente

(0r1) Risposta ottima Player 2

B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente

(0q1) Controllo

r = 0.5 B1(0.5)q = 0.5 B2(0.5)

Player 2

Head Tail

Player 1Head -1 , 1 1 , -1

Tail 1 , -1 -1 , 1

r

1-r

q 1-q

Equilibrio di Nash in strategie

miste

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 37

Riassunto

Il problema dei beni comuni Strategie miste Soluzione di matching pennies

Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 38

Strategia mista

Strategia mista: La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di

probabilità sulle strategie (pure) del giocatore stesso.

Definizione Sia G un gioco a n-giocatori con insiemi di strategie S1, S2 ,.., Sn. Una startegia mista i per il giocatore i è una distribuzione di probabilità su Si. Se Si ha un numero finito di strategie pure, i.e. } ... , ,{ 21 iiKiii sssS allaora una

strategia mista è una funzione ii S: tale che 1)(

1

iK

jiji s . Possiamo scrivere questa

strategia mista come ))( ..., ),( ),(( 21 iiKiiiii sss .

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 39

Strategia mista: esempio

Matching pennies Player 1 ha due strategie pure: H e T

( 1(H)=0.5, 1(T)=0.5 ) è una strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.5 e 0.5.

( 1(H)=0.3, 1(T)=0.7 ) è un’altra strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.3 e 0.7.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 40

Strategia mista: esempio

Player 1: (3/4, 0, ¼) è una strategia mista. Ciò implica,

1(T)=3/4, 1(M)=0 e 1(B)=1/4. Player 2:

(0, 1/3, 2/3) è una strategia mista. Ciò implica, 2(L)=0, 2(C)=1/3 e 2(R)=2/3.

Player 2

L (0) C (1/3) R (2/3)

Player 1

T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1

M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3

B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 41

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie

Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 1 giocando s11 è:

EU1(s11, (q, 1-q))=q×u1(s11, s21)+(1-q)×u1(s11, s22) Il payoff atteso di Player 1 giocando s12 è: EU1(s12, (q, 1-q))= q×u1(s12, s21)+(1-q)×u1(s12, s22)

Quindi il payoff atteso di Player 1, data la strategia mista è :v1((r, 1-r), (q, 1-q))=rEU1(s11, (q, 1-q))+(1-r)EU1(s12, (q, 1-q))

Player 2

s21 ( q ) s22 ( 1- q )

Player 1

s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)

s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 42

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie

Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 2 giocando s21 è:

EU2(s21, (r, 1-r))=r×u2(s11, s21)+(1-r)×u2(s12, s21)

Il payoff atteso di Player 2 giocando s22 è: EU2(s22, (r, 1-r))= r×u2(s11, s22)+(1-r)×u2(s12, s22)

Quindi il payoff atteso di Player 2, data la strategia mista è :v2((r, 1-r),(q, 1-q))=qEU2(s21, (r, 1-r))+(1-q)EU2(s22, (r, 1-r))

Player 2

s21 ( q ) s22 ( 1- q )

Player 1

s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)

s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 43

Esempio di payoff attesi

Player 1: EU1(H, (0.3, 0.7)) = 0.3×(-1) + 0.7×1=0.4 EU1(T, (0.3, 0.7)) = 0.3×1 + 0.7×(-1)=-0.4 v1((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.40.4+0.6(-0.4)=-0.08

Player 2: EU2(H, (0.4, 0.6)) = 0.4×1+0.6×(-1) = -0.2 EU2(T, (0.4, 0.6)) = 0.4×(-1)+0.6×1 = 0.2 v2((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.3×(-0.2)+0.7×0.2=0.08

Player 2

H (0.3) T (0.7)

Player 1H (0.4) -1 , 1 1 , -1

T (0.6) 1 , -1 -1 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 44

Esempio di payoff attesi

Strategie miste: p1=( 3/4, 0, ¼ ); p2=( 0, 1/3, 2/3 ).

Player 1: EU1(T, p2)=3(1/3)+1(2/3)=5/3, EU1(M, p2)=0(1/3)+2(2/3)=4/3

EU1(B, p2)=5(1/3)+0(2/3)=5/3. v1(p1, p2) = 5/3

Player 2: EU2(L, p1)=2(3/4)+4(1/4)=5/2, EU2(C, p1)=3(3/4)+3(1/4)=5/2,

EU2(R, p1)=1(3/4)+7(1/4)=5/2. v1(p1, p2) = 5/2

Player 2

L (0) C (1/3) R (2/3)

Player 1

T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1

M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3

B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 45

Equilibrio in strategie miste

Equilibrio in strategie miste Una distribuzione di probabilità per ciascun

giocatore Considerando le distribuzioni di probabilità nei

payoff dei giocatori esse sono risposte ottime mutuali.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 46

Equilibrio in strategie miste: 2-giocatori ognuno con 2 strategie pure.

Equilibrio di Nash in strategie miste: Una coppia di strategie miste

((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))è un equilibrio di Nash se (r*,1-r*) è una risposta ottima a (q*, 1-q*), e (q*, 1-q*) è una risposta ottima a (r*,1-r*). Ciò significa,v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v1((r, 1-r), (q*, 1-q*)), per ogni 0 r 1v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v2((r*, 1-r*), (q, 1-q)), per ogni 0 q 1

Player 2

s21 ( q ) s22 ( 1- q )

Player 1

s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)

s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 47

Ricerca dell’equilibrio in strategie miste di un gioco a 2 giocatori ognuno dei quali ha 2 strategie Trovate la distribuzione di probabilità che dia

una risposta ottima per il giocatore 1 data la strategia mista del giocatore 2

Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 2 data la strategia mista del giocatore 1

Utilizzate queste due corrispondenze per determinare l’equilibrio di Nash in strategie miste.

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 48

Controllare i dipendenti…. I dipendenti possono lavorare (W) o defilarsi

(S) Salario: $100K a meno che colti senza far niente Costo dello sforzo: $50K

I manager possono monitorare o no Valore del prodotto del dipendente: $200K Profitto se i dipendenti non lavorano: $0 Costo del monitoraggio: $10K

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 49

La risposta ottima del dipendente B1(q): Defilarsi(S) (r=0) se q<0.5 Lavorare (W) (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5

Controllare i dipendenti…Manager

Monitor ( q ) Non Monitor (1-q)

Dipend.W ( r ) 50 , 90 50 , 100

S (1-r ) 0 , -10 100 , -100

50

100(1-q)

Payoff attesi

Payoff attesi

100r-10 200r-100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 50

La risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) if r<0.9 Non Monitor (q=0) if r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9

Controllare i dipendenti…Manager

Monitor ( q ) Non Monitor (1-q)

Dipend.W ( r ) 50 , 90 50 , 100

S (1-r ) 0 , -10 100 , -100

50

100(1-q)

Payoffs attesi

Payoffs attesi

100r-10 200r-100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 51

1 q

r1

0.5

Risposta ottima dei dipendenti B1(q):

S (r=0) se q<0.5 W (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5

Risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) se r<0.9 Non Monitor (q=0) se r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9

Controllare i dipendenti…

0.9

Equilibrio di Nash in strategie miste

((0.9,0.1),(0.5,0.5))

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 52

2 giocatori ognuno con 2 strategie

Teorema 1 (proprietà dell’equilibrio di Nash in strategie miste) Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un

equilibrio di Nash se e solo se v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU1(s11, (q*, 1-q*))v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU1(s12, (q*, 1-q*)) v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*))v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU2(s22, (r*, 1-r*))

Player 2

s21 ( q ) s22 ( 1- q )

Player 1

s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)

s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 53

Riassunto

Strategie miste Equilibrio di Nash in strategie miste

Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste Utilizzo dell’indifferenza per la ricerca del MNE

(Equilibrio di Nash in strategie Miste).

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 54

Payoff atteso di Chris giocando Opera: 2q Payoff atteso di Chris giocando Prize Fight: 1-q

Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) se q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=1/3

Battaglia dei sessiPat

Opera (q) Prize Fight (1-q)

ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0

Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 55

Payoff atteso di Pat giocando Opera : r Payoff atteso di Pat giocando Prize Fight: 2(1-r) La risposta ottima di B2(r):

Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=2/3,

Battaglia dei sessiPat

Opera (q) Prize Fight (1-q)

ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0

Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 56

1 q

r1

Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) if q>1/3 Qualsiasi strategia mista

(0r1) se q=1/3

Risposta ottima di Pat B2(r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista

(0q1) se r=2/3

Battaglia dei sessi

2/3

TRE equilibri di Nash:

((1, 0), (1, 0))

((0, 1), (0, 1))

((2/3, 1/3), (1/3, 2/3))

1/3

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 57

Teorema 1: applicazione

Player 1: EU1(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1) + 0.5×1=0

EU1(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×1 + 0.5×(-1)=0

v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.50+0.50=0

Player 2: EU2(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×1+0.5×(-1) =0

EU2(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1)+0.5×1 = 0

v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.5×0+0.5×0=0

Matching pennies Player 2

H (0.5) T (0.5)

Player 1H (0.5) -1 , 1 1 , -1

T (0.5) 1 , -1 -1 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 58

Teorema 1: applicazione

Player 1: v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU1(H, (0.5, 0.5))

v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU1(T, (0.5, 0.5))

Player 2: v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU2(H, (0.5, 0.5))

v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU2(T, (0.5, 0.5))

Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per l’enunciato del Teorema 1.

Matching pennies Player 2

H (0.5) T (0.5)

Player 1H (0.5) -1 , 1 1 , -1

T (0.5) 1 , -1 -1 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 59

Payoff atteso dei dipendenti giocando “W (lavoro)” EU1(W, (0.5, 0.5)) = 0.5×50 + 0.5×50=50

Payoff atteso dei dipendenti giocando “S (defilarsi)” EU1(S, (0.5, 0.5)) = 0.5×0 + 0.5×100=50

Payoff atteso di questa strategia mista per i dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.950+0.150=50

Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager

Monitor (0.5) Non Monitor (0.5)

Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100

S (0.1) 0 , -10 100 , -100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 60

Payoff atteso dei manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) = 0.9×90+0.1×(-10) =80

Payoff atteso dei manager giocando“Non Monitor” EU2(Not, (0.9, 0.1)) = 0.9×100+0.1×(-100) = 80

Payoff atteso di questa strategia mista per i manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.5×80+0.5×80=80

Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager

Monitor (0.5) Non Monitor (0.5)

Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100

S (0.1) 0 , -10 100 , -100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 61

Dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU1(W, (0.5, 0.5)) v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU1(S, (0.5, 0.5))

Manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU2(Not, (0.9, 0.1))

Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per il Teorema 1.

Teorema 1: applicazioneControllo dei dipendenti Manager

Monitor (0.5) No Monitor (0.5)

Dipend.W (0.9) 50 , 90 50 , 100

S (0.1) 0 , -10 100 , -100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 62

Usate il teorema 1 per controllare se ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) è un MNE.

Teorema 1: applicazione

Battaglia dei sessi Pat

Opera (1/3) Prize Fight (2/3)

ChrisOpera (2/3 ) 2 , 1 0 , 0

Prize Fight (1/3) 0 , 0 1 , 2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 63

Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie

Teorema 2 Sia ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) una coppia di strategie miste, dove 0 <r*<1, 0<q*<1. Allora ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*))

Ciò significa che ogni giocatore, nell’equilibrio, è indifferente tra le due proprie strategie.

Player 2

s21 ( q ) s22 ( 1- q )

Player 1

s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22)

s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22)

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 64

Utilizzo dell’indifferenza per trovare l’ Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Usate il Teorema 2 per trovare MNE

Risolvete EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*))

Risolvete EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*))

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 65

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione

Il Player 1 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU1(H, (q, 1–q)) = q×(-1) + (1–q)×1=1–2q EU1(T, (q, 1–q)) = q×1 + ×(1–q) (-1)=2q–1

EU1(H, (q, 1–q)) = EU1(T, (q, 1–q)) 1–2q = 2q–1 4q = 2 Ciò indica la probabilità q = 1/2

Matching pennies Player 2

H ( q ) T ( 1–q )

Player 1H ( r ) -1 , 1 1 , -1

T ( 1–r ) 1 , -1 -1 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 66

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione

Il Player 2 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU2(H, (r, 1–r)) = r ×1+(1–r)×(-1) =2r – 1 EU2(T, (r, 1–r)) = r×(-1)+(1–r)×1 = 1 – 2r

EU2(H, (r, 1–r)) = EU2(T, (r, 1–r)) 2r – 1= 1 – 2r 4r = 2 Ciò indica la probabilità r = 1/2

Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2.

Matching pennies Player 2

H ( q ) T ( 1–q )

Player 1H ( r ) -1 , 1 1 , -1

T ( 1–r ) 1 , -1 -1 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 67

Payoff atteso dai dipendenti giocando “W” (lavoro) EU1(Work, (q, 1–q)) = q×50 + (1–q)×50=50

Payoff atteso dai dipendenti giocando “S” (defilarsi) EU1(Shirk, (q, 1–q)) = q×0 + (1–q)×100=100(1–q)

Il dipendente è indifferente se giocare W o giocare S se: 50=100(1–q) q=1/2

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione

Controllo dei dipendenti Manager

Monitor ( q ) Non Monitor (1–q )

Dipend.W (r) 50 , 90 50 , 100

S (1–r) 0 , -10 100 , -100

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 68

Payoff atteso dai manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (r, 1–r)) = r×90+(1–r)×(-10) =100r–10

Payoff atteso dai manager giocando“Non MOnitor” EU2(Not, (r, 1–r)) = r×100+(1–r)×(-100) =200r–100

Il Manager è indifferente fra giocare Monitor e Non Monitor se 100r–10 =200r–100 e ciò implica che r=0.9.

Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2.

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione

Controllo dei dipendenti Manager

Monitor ( q ) Non Monitor (1–q )

Dipend.W (r) 50 , 90 50 , 100

S (1–r) 0 , -10 100 , -100

Page 69: Teoria dei giochi - D'orio - I parte1 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie.

Teoria dei giochi - D'orio - I parte 69

Usate il Teorema 2 per trovare il MNE

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazioneBattaglia dei sessi Pat

Opera (q) Prize Fight (1-q)

ChrisOpera ( r ) 2 , 1 0 , 0

Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 70

Usate il Teorema 2 per trovare il MNE

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazioneEsempio Player 2

L (q) R (1-q)

Player 1T ( r ) 6 , 4 2 , 6

B (1-r) 3 , 3 6 , 1

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Teoria dei giochi - D'orio - I parte 71

Riassunto

Strategie miste MNE Ricerca del MNE con l’utilizzo

dell’indifferenza

Prossimo argomento Gioco a due giocatori ognuno con un numero

di strategie finite