DIDATTICA DELLA MATEMATICA

TFA A059

Incontro

3 aprile 2013

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Scena 6: Marco

Deve moltiplicare x + 1 per x +2:

x + 1 (x+2) =

= x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Il segno di uguale

“In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?”

1063 + 217 = 1280 – 425 = 855

“4 + 5 = 3 + 6”

‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un altro problema!’

“4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.

Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto quest’estate?

30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97

"Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?"

giugno luglio agosto settembre

Il segno di uguale

Una discussione in classe

CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA?

• INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" , quel segno lì in matematica che significa?

• ILA: Vuol dire che viene il risultato.

• LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato.

• GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così

• INS: E se io scrivo 8=8 va bene?

• GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce…

…devi metterci anche qualcosa.

Scena 9: Irene

Irene, prima liceo classico:

x2 = 3x - 2

x2 + 3x + 2 = 0

… e trova quindi le due soluzioni.

Irene

“Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano!

Mi adeguo senz’altro.

Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di un’equazione, non cambia niente!”

L’allievo interpreta…concetti

misconcetti la moltiplicazione fa “ingrandire”

un numero è negativo nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno “-”

insieme

Modelli primitivi (E. Fischbein)Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta • Operando: può essere un numero positivo

qualsiasi,• Operatore: deve invece essere un numero intero

si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65

…ma 0,65 volte 3 ???

la moltiplicazione “fa ingrandire”

PROBLEMA 1Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina.

Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano?

PROBLEMA 2Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente?

35%

76%

In contesto scolastico

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

L’allievo:• interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’

MISCONCETTI

ITALIANO

Verbi riflessivi:Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio.Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

Come?

• Cercare di scardinarli

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

1. Indicatori: Errori sistematici

Strategia: chiedere la collaborazione dell’allievo nel descrivere i propri processi di pensiero

2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano

3. Questionari

2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano

Il giardino di Torquato?

Problema: Il giardino del signor Torquato

Questo è il giardino del signor Torquato:

Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato la parte bianca.Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede:“Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il prato?”E voi che cosa ne pensate?Spiegate la vostra risposta.

Alcune difficoltà evidenziate

• L'approccio al problema più frequente consiste nel misurare con il righello i lati del quadrilatero 'grigio', per poi cercare di calcolarne l'area direttamente o attraverso la scomposizione in triangoli rettangoli.

• Nel fare questi tentativi gli allievi si scontrano con la difficoltà di ricondurre il quadrilatero a uno dei poligoni studiati o di trovare l'altezza relativa all'ipotenusa dei triangoli rettangoli, dato che i cateti non vengono riconosciuti come altezze.

• Non riuscendo a calcolare l'area delle due figure alcuni allievi utilizzano le misure ottenute per calcolarne il perimetro e fanno quindi un confronto dei due perimetri.

fornisce una relazione approssimativa fra n e P, dove:

n = numero di passi al minuto, e

P = lunghezza del passo in metri

Dalle prove PISA. ‘Andatura’

La figura mostra le orme di un uomo che cammina.

La lunghezza P del passo è la distanza fra la parte posteriore di due orme consecutive.

Per gli uomini, la formula 140P

n

- Domanda 1:

Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico?

Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.

140P

n n = numero di passi al minuto

P = lunghezza del passo in metri

Risultati (Italia):

23% risposte corrette

35% omissioni

- Domanda 1:

Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico?

Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.

140P

n n = numero di passi al minuto

P = lunghezza del passo in metri

70 / P = 140 Errore più frequente:

140 / 70

3. Questionari

positivo negativo dipende

a2 + 1 è un numero

a2 - 5 è un numero

aaa + 3 è un numero

a è un numero

3000+ a è un numero

- 5 a2 è un numero

- a è un numero

Negli esempi che seguono a è un numero diverso da zero. Allora:

Decisioni dell’insegnante

• Portare alla luce i misconcetti

• Cercare di scardinarli

• Rendere gli allievi consapevoli

• Costruire situazioni di ‘conflitto cognitivo’

• Discussione collettiva

Alcune implicazioni generali

1. Il ruolo del contesto

2. Il ruolo dell’errore:2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore

2.2 L’interpretazione dell’errore2.2.1 Distinzione errore / fallimento

2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

COMPITO PER CASA

Riflettere:• sulla distinzione fra errore e fallimento•sulle implicazioni di tale distinzione

successo / fallimento

In contesto scolastico:

Un soggetto: l’insegnante

riconosce il fallimento…

ed individua i comportamenti fallimentari

di un altro soggetto: l’allievo

L’insegnante…

• Vuole che l’allievo modifichi i suoi comportamenti fallimentari

• Cioè i comportamenti che secondo l’insegnante lo hanno portato…

• …al fallimento riconosciuto dall’insegnante stesso

l’insegnante vuole che l’allievo modifichi i propri comportamenti

INSEGNANTE ALLIEVO

ma è l’allievo che deve modificarli

!

implicazioni didattiche

Se l'allievo si è posto un obiettivo diverso, o non si è posto alcun obiettivo, non necessariamente condivide il fallimento osservato dall'insegnante.

E se d’altra parte non riconosce un fallimento, per quali motivi dovrebbe cambiare i propri comportamenti?

OSSERVAZIONE 1

l’insegnante ha in mente un obiettivo interno alla matematica

(trovare l’ipotenusa, le soluzioni di un’equazione, …)

INSEGNANTE ALLIEVO

l’allievo si pone un obiettivo esterno alla matematica

(dare la risposta giusta, prendere un buon voto, …)

Spesso…

• L’allievo non riconosce il fallimento individuato dall’insegnante perché si è posto un obiettivo diverso

OBIETTIVO: dare la risposta corretta

Esempio: Marco

Deve moltiplicare x + 1 per x +2:

x + 1 (x+2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

per l’insegnante… ci sono 2 errori!

…per Marco l’obiettivo è stato raggiunto

ERRORE FALLIMENTO

Inoltre non è detto che l’allievo condivida l'individuazione dei comportamenti fallimentari.

E d’altra parte lui vorrà cambiare i comportamenti che lui stesso (e non l’insegnante) riconosce come fallimentari…

OSSERVAZIONE 2

Esempio 1: Se l’allievo ha copiato male il compito da un compagno bravo…

…e non ha risolto correttamente gli esercizi

Deve studiare / esercitarsi di più, meglio…

Devo copiare meglio…

Comportamenti fallimentari: Non aver studiato Aver copiato male

Esempio 2: Risposte a caso…

• Per l’allievo il comportamento fallimentare è:

Aver dato quella particolare risposta

• Per l’insegnante.

Aver risposto a caso

…cambia la risposta!

APPROFONDIMENTO:Le ricerche sui processi

decisionali

Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche.

a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby

b) Luigi fa l’architetto

c) Luigi fa il contabile

d) Luigi suona per hobby musica jazz

e) Luigi ha l’hobby del surf

f) Luigi fa il giornalista

g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz

h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo

Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari.

a) Linda insegna in una scuola elementare

b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga

c) Linda è attiva nel movimento femminista

f) Linda lavora in una banca

d) Linda è un’assistente sociale

e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile

h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista

g) Linda è un agente assicurativo

La roulette russaSei persone si sfidano alla roulette russa

usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto.

(1) Secondo te qual è la posizione più sicura?50%: la prima23%: sono tutte equivalenti

(2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima40%: l’ultima

Tversky e Shafir, 1992 1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame

universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto.

Che decideresti di fare?

Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse:2) di essere stato promosso3) di essere stato bocciato

1) Situazione di incertezza2) Sa di essere stato promosso3) Sa di essere stato bocciato

incerto

C

C

C

C

N

N

N

N

C

N

C

N

C

N

C

N

C

C

N

N

C

C

N

N

promosso bocciato C = compra

N = non compra

Le terne possibili:

Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo.

- - - - n d o

oppure più parole che hanno una n in terza posizione:

- - n - - - - ?