INFINITO & CARDINALITÀ

A cura di:

Andrei Catalioto

SAPIENZA - UNIVERSITÀ DI ROMA

ANNO ACCADEMICO 2014-2015

Docente:

Prof. Paolo Piccinni

TFA-A059 – Didattica della Matematica II

Il Paradosso del Hotel Infinito è un celebre paradosso inventato dal matematico tedesco

David Hilbert per mostrare alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra

operazioni con insiemi finiti ed infiniti.

David Hilbert (1862 – 1943)

La storia che raccontiamo narra del viaggio di Ion il Tranquillo, protagonista dell’avventura nello spazio…

Ion non ebbe fortuna perché l’hotel ospitava i delegati del congresso di zoologia cosmica.

Siccome gli zoologi cosmici venivano da tutte le galassie, e di galassie ne esiste un numero infinito, tutte le stanze erano occupate.

Ion il Tranquillo cercava una camera…. Pensò di trovarla all’Hotel Infinito, noto per avere infinite stanze.

Il direttore decide di spostare lo zoologo della stanza 1 nella 2, quello della 2 nella 3 e così via… così può mettere Ion nella stanza 1! In generale, viene spostato lo zoologo della stanza «n» nella stanza «n+1»

…Soluzione del problema…

Il problema si complicò perché arrivò un rappresentante dei filatelici per ogni galassia per partecipare al congresso interstellare dei filatelici

Il direttore, come soluzione al problema, decise di spostare l’ospite della 1 nella 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6 e così via…

Così, gli zoologi occuparono l’insieme delle stanze dei numeri pari e i filatelici occuparono l’insieme delle stanze dei numeri dispari, visto che il filatelico n-esimo nella coda ottenne il numero di stanza «2n-1»

In generale mettere l’ospite della stanza «n» nella stanza «2n»

Povero lui, che dovrà arrivare alla stanza 26.813.836!

Il congresso degli zoologi terminò, e gli ospiti andarono via, lasciando vuote infinite stanze.

Per lo stupore di Ion, il direttore si preoccupò perché non sarebbe più riuscito a raggiungere il preventivo di bilancio. Ion non capiva di che preventivo si parlasse, visto che i filatelici erano infiniti e quindi al direttore venivano pagate infinite stanze!

Alla fine il direttore decise di lasciar stare l’ospite della stanza numero 1 nella sua stanza e di spostare l’ospite della stanza numero 3 nella stanza numero 2, l’ospite della numero 5 nella 3 e così via… …Così l’hotel risultò di nuovo pieno!

I costruttori dell’Hotel Cosmos avevano smantellato tantissime galassie per costruire infiniti hotel con infinite stanze.

Furono costretti, però, a rimettere tutto in ordine e a chiudere tutti gli hotel, eccetto l’Hotel Cosmos

Quindi venne chiesto al direttore di mettere le infinite persone di infiniti hotel nel suo hotel, già pieno.

COME FARE ?

Un apprendista cuoco avanzò una proposta: Lasciare stare l’ospite della stanza numero 1 nella sua stanza, spostare l’ospite della stanza numero 2 nella stanza numero 1001, l’ospite della stanza numero 3 nella stanza numero 2001 e così via. Fatto ciò mettere gli ospiti del secondo hotel nelle stanze 2, 1002, 2002 e così via. Gli ospiti del terzo hotel nelle stanze 3, 1003, 2003 e così via. Questa idea non risultò essere utile perché non ci sarebbero state stanze per gli ospiti degli hotel 1001 e seguenti.

Quindi un contabile propose di usare una delle proprietà delle progressioni geometriche: Mettere gli ospiti del primo hotel nelle stanze 2, 4, 8, 16, 32 e così via. Gli ospiti del secondo hotel andavano messi nelle stanze 3, 9, 27, 81 e così via. Ma arrivati al numero 4, questa proposta risultò irrealizzabile perché nella stanza numero 4 c’era già un ospite…

Ion propose di usare solo le progressioni dei numeri primi poiché se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell’altro.

In questo modo nessuna stanza avrebbe avuto due occupanti!

Tutti gli insiemi hanno sottoinsiemi, formati da elementi dell’insieme stesso. Consideriamo il caso di due insiemi con un numero finito di elementi: A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 B =6,7,8,9,10

B è un sottoinsieme di A

B è una parte PROPRIA di A, cioè in B ci sono SOLO ALCUNI elementi di A.

1 6 2 7 8 3 4 9 5 10

Quindi il numero di elementi di B è minore del numero di elementi di A, cioè la cardinalità di B è minore della cardinalità di A [ |B|(=5)<|A|(=10) ]

Questo concetto diventa più complesso quando operiamo con gli insiemi infiniti. Prendiamo il caso degli insiemi numerici che abbiamo studiato. Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali e l’insieme P dei numeri pari.

N P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … …

L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme

proprio dell’insieme dei numeri naturali N?

N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..

È vero che P è sottoinsieme proprio di N perché in P ci sono SOLO alcuni elementi di N.

1 2 2 4 3 6 4 8 5 10

Quale insieme ha più elementi? N o P ?

La corrispondenza è biunivoca: ad ogni elemento di N possiamo associare uno e un solo elemento di P 2n n

Il primo a comprendere ciò è stato il matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918), che ha introdotto il concetto di EQUIPOTENZA

Se due insiemi sono in corrispondenza biunivoca, questi si dicono equipotenti . In tal caso si dice che gli insiemi hanno la stessa cardinalità o la stessa potenza.

Quindi possiamo dedurre che in un insieme infinito "una parte può essere equivalente al tutto". Questa teoria è in contrasto con l’assioma di Antonio De Zolt (1881) sul confronto delle aree, che, riprendendo quanto già affermato da Euclide negli Elementi (300 a.C. circa) dice:

«Il tutto non equivale (è maggiore ) a una (della) sua parte".

ma

Nel caso dell’esempio dei numeri pari, abbiamo visto che P è una parte di N però i

due insiemi sono equivalenti:

N e P sono EQUIPOTENTI !

Prendendo in considerazione il postulato di De Zolt, cioè «Il tutto non può essere "uguale" a una sua parte» e operando con insiemi infiniti, si generano dei paradossi, che iniziarono a tormentare già Galileo Galilei nel XVI secolo. George Cantor capì l’origine dei paradossi dell’infinito…

Egli si chiese… … UGUALE RISPETTO A COSA?

1° SIGNIFICATO (ARISTOTELE) La parte non è uguale-identica al tutto che la contiene. LA PARTE È CONTENUTA PROPRIAMENTE NEL TUTTO

2° SIGNIFICATO (CANTOR) La parte può essere uguale PER NUMERO al tutto. LA PARTE PUÒ ESSERE EQUIPOTENTE AL TUTTO

Alla luce di queste considerazioni, il matematico tedesco Richard Dedekind nel 1874 introdusse la seguente

definizione:

un insieme S si dice infinito, se è equipotente a una sua parte; nel caso opposto si chiama finito.

L’infinito che abbiamo introdotto con il racconto dell’Hotel Infinito è la cardinalità di N.

Cantor denominò la cardinalità di N con il simbolo 0

(la lettera ebraica ALEF con pedice lo zero)

Dal racconto dell’Hotel Infinito possiamo dedurre che l’infinito si comporta in modo particolare con l’addizione…..

“∞+1=∞” “∞+n=∞” “∞+∞=∞”

“∞+∞+∞+…=∞”

A Cantor sorse un dubbio:

CI SONO VARI “GRADI” DI INFINITO?

Ad esempio l’insieme N (interi positivi) è una parte propria dell’insieme Z (interi positivi e negativi), allora a Z dovrebbe corrispondere un infinito “più grande” di N ?

Mise in corrispondenza biunivoca N e Z , dimostrando che

la cardinalità di uno è uguale alla cardinalità dell’altro.

Se N ha cardinalità 0 , allora anche Z avrà cardinalità 0

cioè hanno la stessa numerosità.

0 si dice POTENZA DEL NUMERABILE !

Ragionando sulla soluzione, Cantor ebbe un’intuizione geniale:

Egli è riuscito a dimostrare che c’è una corrispondenza biunivoca anche tra N e Q e di conseguenza la cardinalità di uno è uguale alla

cardinalità dell’altro.

Siccome Z e Q si possono mettere in corrispondenza biunivoca con N ,

questi si dicono numerabili.

Ma Cantor non si è fermato a Z, si è interrogato anche sulla numerosità dell’insieme dei numeri razionali Q , che è un insieme “più fitto” di Z

dovendo contenere anche numeri con la virgola….

1° PROCEDIMENTO (O ARGOMENTO)

DIAGONALE DI CANTOR

E cosa succede se consideriamo l’insieme dei numeri reali R?

E’ anch’esso numerabile? Cantor, ha dimostrato che R non è numerabile e che quindi la cardinalità di R non è 0 .

Egli indicò con "c" la cardinalità di R !

c si dice POTENZA DEL CONTINUO !

2° PROCEDIMENTO

(O ARGOMENTO)

DIAGONALE DI

CANTOR

TEOREMA DI CANTOR

Cantor, dato un generico (vuoto o non) insieme A, costruì l’insieme P(A) come l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A che chiamò

“insieme delle parti” o “insieme potenza” di A e che indicò in simboli con P(A) X : X A dimostrò che esso non risulta essere

mai equipotente ad A stesso costruendo un’opportuna funzione

iniettiva da A a P(A) che non fosse suriettiva (quest’ultimo fatto lo

provò per assurdo!)…

Anzi, provò qualcosa di più interessante… Cioè…

| | | ( ) |A A

| || ( ) | 2 AA

IL TEOREMA DI CANTOR

DI LEGAME TRA LA CARDINALITA

DEL CONTINUO E DEL NUMERABILE

Il famoso matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918) introdusse

il concetto di “cardinalità” per confrontare le dimensioni di insiemi infiniti. Egli dimostrò infatti, che l’insieme R dei numeri reali è “non

numerabile” (in particolare ha la cosiddetta “potenza del continuo” indicata con c), cioè che la sua cardinalità è maggiore della

cardinalità dell’insieme N dei numeri naturali, indicata con 0 (alef-

zero) e detta del “numerabile”.

Ciò, di fatto asserisce che non esiste alcuna funzione biunivoca tra

l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei numeri naturali.

Si desume invece dal Teorema di Cantor-Schröder-Bernstein

relazione fra le due cardinalità esposta come incipit.

0 | |2 2

c

CARDINALITÀ DEGLI

INSIEMI NUMERI FONDAMENTALI

0| | | | | | | | | | | | | |

0| | | | | | | | 2

c

CENNI DI ARITMETICA CARDINALE TRANSFINITA…

PROPRIETÀ DI 0 E c

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

( )

max( , )

nn

c c c c

0 0

0

0 2

c c c

c c

c

Cantor dimostrò anche che •la potenza del numerabile è la minima cardinalità degli insiemi infiniti; •esistono insiemi infiniti aventi una cardinalità superiore al numerabile e alla potenza del continuo (numeri “transfiniti” 0 , 1 , 2 , …). Tuttavia ipotizzò che non esistono insiemi infiniti con cardinalità intermedia tra 0 e c , cioè il grado di infinito

successivo al numerabile è il continuo.

Questa ipotesi prende il nome di

IPOTESI DEL CONTINUO (CH) !

0 1 0 insieme : A A

c c

Nel 1940 il matematico americano di origine austriaca KURT GÖDEL dimostrò che non si può dimostrare

né che l’ipotesi del continuo sia vera né che l’ipotesi del continuo sia falsa.

(“incompletezza” di CH)

In realtà nel 1963 il matematico americano PAUL COHEN dimostrò che esistono teorie matematiche

in cui si accetta che l’ipotesi sia vera e altre teorie in cui si accetta che l’ipotesi sia falsa.

(“indipendenza” di CH)

0

1

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