L’apprendimento come attività costruttiva e implicazioni

PAS A059

Incontro

29 aprile 2014

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro:

• Deve dirigere, e non bloccare, l’interventoEsempio: ‘non è in grado’

• Deve essere puntuale, e non genericaEsempi:

‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

l’interpretazione

giusta / sbagliata

è un’ipotesi di lavoro

funziona / non funziona

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

visione ‘tradizionale’: il contenitore vuoto da riempire… l’apprendimento come attività costruttiva ...la conoscenza è in gran parte costruita dal

discente l’individuo è soggetto attivo che interpreta

l’esperienza costruisce convinzioni mondo degli oggetti fisici mondo degli organismi viventi mondo degli esseri umani teorie

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo

Anche studenti di fisica rispondono così:

Ricerche classiche

• Processi decisionali

Kahneman & Tversky

• Fisica ingenua

Processi decisionali:Kahneman, Tversky, ShafirVossPerkinsFisica ‘ingenua’: McCloskey, DiSessa

Per approfondire:Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993 Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995

Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari.

a) Linda insegna in una scuola elementare

b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga

c) Linda è attiva nel movimento femminista

f) Linda lavora in una banca

d) Linda è un’assistente sociale

e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile

h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista

g) Linda è un agente assicurativo

Alcune implicazioni generali

1. Il ruolo del contesto

Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto.Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la sfera ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione del vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.

Alcune implicazioni generali

1. Il ruolo del contesto

2. Il ruolo dell’errore

1. Popper

‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘

2. BachelardQuando si ricercano le condizioni psicologiche

dei progressi della scienza, ci si convince ben presto che è in termini di ostacoli che bisogna porre il problema della conoscenza scientifica. (…)

Tornando su un passato di errori, la verità la si trova in un vero e proprio pentimento intellettuale.

Si conosce, infatti, contro una conoscenza anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte, superando quello che nello spirito stesso fa da ostacolo alla spiritualizzazione.

3. F. Enriques‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi allievi è la

cosa più importante della sua arte didattica. Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa valutare il significato educativo: sono esperienze didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio, e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’

4. TuringAnche il matematico umano prende qualche

cantonata quando sperimenta nuove tecniche.

E’ facile per noi considerare queste sviste come non rilevanti e dare al ricercatore un’altra possibilità, ma alla macchina non viene riservata alcuna pietà.

In altre parole, se si aspetta che la macchina sia infallibile, allora essa non può anche essere intelligente.’

5. Krygowska

Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte del professore abile, delle difficoltà che l’allievo incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che l’ occasione di commettere errori sia minima.

Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al riguardo. Gli esercizi sono raggruppati sistematicamente, dopo che alcuni sono presentati come esempio, le istruzioni sono talmente suggestive che è difficile, anche a un alunno che capisca poco, di commettere un errore.

[Krygowska]

Un simile blocco degli errori non dà risultati positivi che apparentemente. Quello che è oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro benché il segnale «errore» non si accenda.

Questo modo di procedere dà delle illusioni ai professori e agli alunni e il primo passo sulla via del verbalismo è compiuto, l’abolizione delle difficoltà non essendo equivalente alla vittoria riportata sopra di esse.’

6. Gardner

‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti ad assumersi i rischi del comprendere e si accontentano dei più sicuri “compromessi delle risposte corrette”.

In virtù di tali compromessi, insegnanti e studenti considerano che l’educazione abbia avuto successo quando gli studenti sono in grado di fornire le risposte accettate come corrette.’

7. Alla maniera di Postman e Weingartner…

Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta?

Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei pazienti sono stati dimessi.

Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile?

Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa.

Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°! Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?

Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé non è calata… ma abbiamo stabilito, naturalmente dopo aver consultato diversi articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo dichiarare che il paziente 302 non è proprio malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e dimesso.

Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente che aveva le analisi del sangue così sballate? Quei valori così alti di insulina?

Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!

Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina?

Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo, capo.

Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso?

Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da dimissione immediata. E avesse visto come era contento anche il paziente!

Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci sono medici come lei che se ne preoccupano…

L’errore come risorsa didattica(Raffaella Borasi)

Esempio

dc

ba

d

b

c

a

- Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui numeratore e denominatore sono combinati separatamente?- Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello descritto sopra portano allo stesso risultato? - Ci sono delle situazioni di vita reale che possono essere descritte da quel modo di sommare, piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di frazioni?

10

7

7

5

3

2

11

9

7

6

4

3

I QUESTIONARI PRIMA / DOPO

Il questionario prima / dopo...non è un test d’ingressoma uno strumento di lavoro:• per lo studente• per l’insegnante

prende consapevolezza delle proprie conoscenze

dirige in modo consapevole l’attenzione durante lo studio o la lezione

riconosce i (piccoli) progressi dopo aver studiato, ha il

senso del lavoro fatto

prima della lezione, conosce le convinzioni degli studenti

dopo la lezione, ne controlla gli effetti

può correggere il tiro riconosce i (piccoli)

progressi ha il senso del lavoro

fatto

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

• Razionalità matematica e altre forme di razionalità

• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni

Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C. Weingartner

Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi chirurghi interni del Blear General Hospital. Essi stanno per cominciare la loro relazione settimanale sulle varie operazioni compiute negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al dottor Carstairs.

• Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le cose?

• Carstairs: Temo di essere stato sfortunato, dottor Gillupsie. Niente operazioni questa settimana, ma solo tre pazienti morti.

• Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare? Di che cosa sono morti?

• Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di penicillina.

• Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona di per se stessa”, eh, Carstairs?

• Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio.

• Gillupsie: Per che cosa li stava curando?• Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io

so che la penicillina fa star meglio gli ammalati.• Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia

fatto bene.

• Carstairs: E i morti, capo?• Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è

niente che possa fare un buon dottore quando si trova di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può farci nulla, Carstairs.

• Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante impressione che forse non avevano bisogno di penicillina, che servisse qualcos’altro.

• Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti.

Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs.

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

In contesto scolastico

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

L’allievo:• interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’

MISCONCETTI

L’allievo interpreta...

• procedure• termini• simboli• proprietà• concetti

dà loro un ‘senso’

misconcetti

L’allievo interpreta…procedure

Errori sistematici.

Molti allievi sbagliano…

...non perché applicano in modo scorretto procedure corrette

Ma perché applicano (in modo corretto) procedure scorrette!

278- 352- 406- 543- 510- 1023-135= 146= 219= 367= 238= 835 =143 214 213 224 328 1812

Scena 1: Johnnie

437 – 284 =

437-

284=

253

L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1 da 4 nella colonna delle centinaia!”

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

A

B C

A

B

C

Le altezze di un triangolo

INFLUENZA DEL LINGUAGGIO • l’altezza di una persona• …di una casa• …di un ponte

MODELLO PRIMITIVO

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Scena 6: Marco

Deve moltiplicare x + 1 per x +2:

x + 1 (x+2) =

= x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

L’allievo interpreta… termini / simboli

spigolo – rombo - altezza... ipotesi / tesi le parentesi segno di uguale

…

Il segno di uguale

“In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?”

1063 + 217 = 1280 – 425 = 855

“4 + 5 = 3 + 6”

‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un altro problema!’

“4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.

Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto quest’estate?

30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97

"Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?"

giugno luglio agosto settembre

Il segno di uguale

Una discussione in classe

CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA?

• INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" , quel segno lì in matematica che significa?

• ILA: Vuol dire che viene il risultato.

• LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato.

• GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così

• INS: E se io scrivo 8=8 va bene?

• GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce…

…devi metterci anche qualcosa.

Scena 7: Irene

Irene, prima liceo classico:

x2 = 3x - 2

x2 + 3x + 2 = 0

… e trova quindi le due soluzioni.

Irene

“Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano!

Mi adeguo senz’altro.

Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di un’equazione, non cambia niente!”

L’allievo interpreta…concetti

misconcetti la moltiplicazione fa “ingrandire”

un numero è negativo nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno “-”

insieme

Modelli primitivi (E. Fischbein)Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta • Operando: può essere un numero positivo

qualsiasi,• Operatore: deve invece essere un numero intero

si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65

…ma 0,65 volte 3 ???

la moltiplicazione “fa ingrandire”

PROBLEMA 1Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina.

Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano?

PROBLEMA 2Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente?

35%

76%

In contesto scolastico

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

L’allievo:• interpreta i messaggi dell’insegnante alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’

MISCONCETTI

ITALIANO

Verbi riflessivi:Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio.Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…

Decisioni dell’insegnante

• Ipotizzare la presenza di eventuali misconcetti

• Riconoscere i misconcetti

• Cercare di scardinarli

Come?

APPROFONDIMENTO:Le ricerche sui processi

decisionali

Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche.

a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby

b) Luigi fa l’architetto

c) Luigi fa il contabile

d) Luigi suona per hobby musica jazz

e) Luigi ha l’hobby del surf

f) Luigi fa il giornalista

g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz

h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo

La roulette russaSei persone si sfidano alla roulette russa

usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto.

(1) Secondo te qual è la posizione più sicura?50%: la prima23%: sono tutte equivalenti

(2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima40%: l’ultima

Tversky e Shafir, 1992 1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame

universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto.

Che decideresti di fare?

Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse:2) di essere stato promosso3) di essere stato bocciato

1) Situazione di incertezza2) Sa di essere stato promosso3) Sa di essere stato bocciato

incerto

C

C

C

C

N

N

N

N

C

N

C

N

C

N

C

N

C

C

N

N

C

C

N

N

promosso bocciato C = compra

N = non compra

Le terne possibili:

Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo.

- - - - n d o

oppure più parole che hanno una n in terza posizione:

- - n - - - - ?