Il problema dei problemi 1 a parte 20 maggio 2014 PAS 2014 Classe A059.

Il problema dei problemiIl problema dei problemi11aa parte parte

20 maggio 201420 maggio 2014

PAS 2014Classe A059

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.

Indicazioni Nazionali

PROBLEM SOLVING

Alcune parole chiave nelle I.N.

PROBLEM SOLVING

RESPONSABILITA’RESPONSABILITA’

OBIETTIVIOBIETTIVI

STRATEGIESTRATEGIE

CONSAPEVOLEZZACONSAPEVOLEZZA

SCELTESCELTE

DECISIONIDECISIONI

AUTONOMIAAUTONOMIA

PROGETTUALITA’PROGETTUALITA’

Alcuni punti nodali

• Problemi / esercizi / quesiti

Qual è la differenza?

• Questioni ‘significative’

Cosa vuol dire?

• Questioni ‘autentiche’, ‘legate alla vita quotidiana’

Cosa vuol dire?

Risponderemo a queste domande attraverso una riflessione più generale sui seguenti punti:

• l’attività tradizionale di soluzione di problemi: comportamenti 'patologici' degli allievi e loro interpretazione; problemi per valutare/per insegnare

• rivisitazione dell’attività di soluzione di problemi: che cos'è un problema, il ruolo dell'errore, le scelte dell’autore, le scelte dell'insegnante; le diverse dimensioni di un problema

• problemi ‘significativi’: analisi di un problema dal punto di vista della struttura matematica

• la formulazione del testo: analisi del testo di un problema da un punto di vista linguistico

• problemi ‘autentici’: analisi del testo di un problema dal punto di vista della struttura narrativa

Nel risolvere un problema scolastico molti bambini sembrano procedere combinando numeri:

• secondo strategie suggerite da parole presenti nel testo

• secondo schemi risolutivi interiorizzati nella loro precedente esperienza scolastica

• a caso

COMPORTAMENTI ‘PATOLOGICI’

Quale sarà la temperatura dell’acqua in unrecipiente se metti insieme una caraffad’acqua a 10° e una a 40°?”

Il signor Lorenz e tre colleghi partono perBielefeld alle 9 e viaggiano per 360 km finoa Francoforte, con una sosta di 30 minuti.

ISRAELE

GERMANIA

10° + 40° = 50°

I bambini delle ultime classi ‘rispondono’...

Su un battello ci sono 36 pecore.10 muoiono affogate.Quanti anni ha il capitano?

Un camion dell'esercito può portare 36soldati. Se bisogna trasportare 1128 soldatialla loro base, quanti camion servono?

STATI UNITI

45.000 studenti "31 col resto di 12" (29%) "31" (18%)

FRANCIA

…i bambini ‘rispondono’!!!!

PROBLEMA SCOLASTICO

PROBLEMA REALE

…a livello di processi risolutivi:

• razionali nel caso reale...

• ...irrazionali nel caso scolastico

…irrazionali nel caso scolastico

1. Ma sono davvero IRRAZIONALI tali processi?

v. von Neumann

2. E i problemi scolastici sono davvero simili ai problemi reali?

Problemi reali e problemi scolastici verbali sono molto diversi rispetto ad alcune caratteristiche… ed in effetti i bambini ‘vedono’ problemi reali e problemi scolastici come due mondi separati

Le convinzioni dei bambini:- sui problemi scolastici

- sui problemi reali

Fai un esempio di problema

Cosa ti fa venire in mente la parola ‘problema’ ?

250 bambini

250 bambini

250 bambini

750 bambini

Che cos’è per te un problema?

problema reale / problema scolastico

• “C’è un problema addosso alla gente, c’è un problema che si fa sul quaderno.”

• “Per me un problema è una preoccupazione, oppure un testo di matematica da risolvere, secondo che in che discorso si mette questa parola.”

Il problema ‘reale’

1. Problema = guaio/disgrazia

Non c’è un obiettivo da raggiungere.

2. Problema = situazione di disagio

Obiettivo implicito : ripristinare la situazione precedente

3. Problema: obiettivo da raggiungere, ostacolato da difficoltà (v. Duncker)

Problema = guaio / disgrazia

• “Io sono caduto e piango.” [2.6 A]

• “Una signora perde una borsa, E venuto un terremoto, Un incendio, Sono morte delle persone.” [3.25 A]

• “Per me un problema mi fa venire in mente un incidente” [3.109 B]

• “Il problema è una cosa negativa [di qualsiasi genere].” [4.131 B]

Problema = situazione di disagio

• “Fiorella a un problema. Il suo fratellino di due mesi di notte piange sempre e la sveglia. La mattina è stanca perché di notte non dorme.” [3.92 A]

• “Mi è partito ieri un parente e non tornerà fino ad un anno preciso.” [4.111 A]

• “Un problema della scuola: Un bambino è in 4.a elementare, e per problemi di lavoro la sua famiglia si trasferisce in un'altra città; inizia l’anno scolastico e lui va in un’altra scuola. Si trova male perché lui aveva studiato meno di loro e ora continua ad andare avanti senza aver studiato un pezzo del programma del maestro.” [5.22 A]

Problema reale / problema scolastico

• “mi fa venire in mente problema di una storietta corta dove finita la storia bisogna risolverla e quando non riesco a concentrarmi sul problema mi immagino sempre: ecco perché l’hanno chiamata problema.” [4.14 C]

• “Un esempio di problema può essere quello di un problema di matematica che non mi riesce.” [5.39 A]

Problema = obiettivo da raggiungere ostacolato da difficoltà

• “Oggi la mamma deve andare a fare la spesa, io e Silvia siamo malate. Il problema è che mamma non sa con chi lasciarci.” [2.8A]

• “Non parlare quando la maestra spiega.” [2.100 A]

• “Catturare un bufalo” [3.6 A]• “Un bambino non sa contare e ha fatto una

scommessa di contare le macchine che sono in un garage pubblico” [4.115 A]

…e le convinzioni dell’insegnante?

Che cos’è un problema?

A cosa serve risolvere problemi?

Che cos’è importante

in matematica?

Nel risolvere un problema scolastico molti bambini sembrano procedere combinando numeri:

• secondo strategie suggerite da parole presenti nel testo

• secondo schemi risolutivi interiorizzati nella loro precedente esperienza scolastica

• a caso

COMPORTAMENTI ‘PATOLOGICI’

Responsabilità:gli stereotipi dei problemi

Interpretazione (1)

• sono presenti tutti e soli i dati necessari per rispondere; • c’è sicuramente una e una sola soluzione;• sono risolubili per lo più in poco tempo (naturalmente se un allievo li sa risolvere);

le modalità stereotipate

• per risolverli è necessario applicare conoscenze di matematica apprese (recentemente) a scuola; • non è ammessa alcuna interazione con la realtà.

L’obiettivo che l’insegnante si pone nel proporre problemi è in genere quello di valutare conoscenze e abilità

gli stereotipi dei problemi

le modalità stereotipate dell’attività di soluzione di problemi

L’obiettivo che l’insegnante si pone nel proporre problemi è in genere quello di valutare conoscenze e abilità

L’attenzione è sulla produzione di risposte corrette

La collaborazione con i compagni è vietata

Si riduce la complessità (tipica dei problemi reali)

Si cerca di ‘aiutare’ gli allievi

Il tempo a disposizione per una verifica è limitato

Le conoscenze matematiche necessarie sono quelle su cui l’insegnante ha lavorato di recente

…aumentare la probabilità che diano la risposta corretta

Valutare

conoscenze eabilità

OBIETTIVI

Costruire conoscenze e competenze

…un’adeguata complessità è necessaria per attivare processi di pensiero significativi

la complessità viene vista come un ostacolo alla produzione di risposte corrette

OBIETTIVI

Costruire conoscenze e competenze

…un’adeguata complessità è necessaria per attivare processi di pensiero significativi

comprensione del problema

Molte difficoltà incontrate dai bambini sembrano riguardare la fase di

Interpretazione (2)

• L’allievo legge ma sembra non capire

• L’allievo mette in atto una lettura selettiva del testo: parole chiave / dati numerici

1. Spesso sembra mancare un’effettiva ricostruzione della situazione problematica

2. Altre volte l’allievo sembra confondersi in dettagli irrilevanti di tale situazione e perdere di vista la domanda


Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla.

dimensione[Duncker, 1935]

• motivazionale



problema / esercizio

[Duncker, 1935]

ESERCIZIO

comportamentoautomatico

comportamentostrategico

...nel problema si devono prendere DECISIONI

PROBLEMA



• soggettiva


• motivazionale




• temporale

• soggettiva• motivazionale

L’insegnante introduce un concetto, una procedura…

L’insegnante introduce un concetto, una procedura…

COMPITOCOMPITO

PROBLEMAPROBLEMA ESERCIZIOESERCIZIO

Ruolo diverso dell’erroreRuolo diverso dell’errore

…quindi in un problema…

• l’errore va messo nel conto

• non è necessariamente indicatore di difficoltà

Popper

‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘

Le scelte dell‘autore del problema

• parte dalla struttura matematica del problema, cioè dall’aspetto matematico su cui vuol far lavorare (o verificare) l’allievo: quindi dati, domanda, processi

risolutivi• sceglie una situazione in cui

contestualizzarli, cioè un contesto• conclude con una formulazione

E le scelte dell’insegnante?

Che tipo di problema?

…l ’insegnante!

Scelte didattiche


Perché?

Come usarlo?

…l ’insegnante!

Scelte didattiche


Perché?

Come usarlo?

OBIETTIVI

MODALITA’ D’USO

Le scelte dell‘autore del problema

• parte dalla struttura matematica del problema, cioè dall’aspetto matematico su cui vuol far lavorare (o verificare) l’allievo: quindi dati, domanda, processi

risolutivi• sceglie una situazione in cui

contestualizzarli, cioè un contesto (struttura narrativa)

• conclude con una formulazione


• struttura matematica : ambito, processi risolutivi

• contesto struttura narrativa• formulazione del testo

…l ’insegnante!

Scelte didattiche


Perché?

Come usarlo?

OBIETTIVI

MODALITA’ D’USO

STRUTTURA MATEMATICASTRUTTURA MATEMATICA

CONTESTO (STRUTTURA NARRATIVA)CONTESTO (STRUTTURA NARRATIVA)

FORMULAZIONE DEL TESTOFORMULAZIONE DEL TESTO

Scelte didattiche

Perché?OBIETTIVI


PROBLEMISIGNIFICATIVI




In che senso?

Rispetto a cosa?

Dal punto di vista matematico / didattico

Rispetto a obiettivi / traguardi dichiarati nelle Indicazioni Nazionali



significatività

• a prioriANALISI A PRIORI

• a posteriori

Attività 1

Per ognuno dei seguenti problemi:

1) Individuate la presenza di eventuali stereotipi

2) Facendo riferimento alla griglia, individuate e motivate la significatività di ognuno dei problemi proposti, rispetto a:

- ambiente d’apprendimento

- traguardi di competenze

- obiettivi d’apprendimento

3) Confrontate quindi i problemi ed esplicitate quelle che a vostro parere sono le differenze più significative.

4) Osservazioni / commenti

Problema: La festa

Cinque ragazzi decidono di organizzare una festa.

Comprano 16 lattine di bibita a mezzo euro l’una, 5 scatole di biscotti a un euro e mezzo l’una e 12 focacce a 60 centesimi di euro l’una.

Quanto spende ogni ragazzo?

Problema: Il giardino del signor Torquato

Questo è il giardino del signor Torquato:

Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato la parte bianca.Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede:“Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il prato?”E voi che cosa ne pensate?Spiegate la vostra risposta.



significatività

• a prioriANALISI A PRIORI

• a posteriori

…l ’insegnante!

Scelte didattiche


Perché?

Come usarlo?

OBIETTIVI

MODALITA’ D’USO


CONTESTO (STRUTTURA NARRATIVA)CONTESTO (STRUTTURA NARRATIVA)


ALLIEVO

INSEGNANTE

risolve il problema

pone il problema

TESTO

PROBLEMACOMPRENDERE UN

Aspetti linguistici generali

• Dizionario

Vacanze al campeggio (4a)

Tommaso ha deciso di passare una decina di giorni in campeggio con i suoi amici Alessio, Marco e Giovanni.

Se prenderanno una tenda con 4 posti letto, allora prevedono di spendere 15 euro al giorno per l'affitto della piazzola, 18 euro a testa per i pasti e 8 euro al giorno per l'ombrellone.

Quanto spendono i 4 ragazzi per stare al mare?

Osservazione • Nella pratica didattica, presentare parole non

conosciute in un problema può essere un’occasione per ampliare il dizionario degli allievi

• Ma se utilizziamo un problema per valutare, dobbiamo preoccuparci di evitare la presenza di parole di cui l’allievo non conosce il significato

Osservazione 2• A volte l’esperto (l’insegnante, l’autore

del problema) decide di utilizzare un sinonimo del termine matematico.

Le automobiline (5a el., 1a media)

Giulio e Andrea per giocare mettono insieme le loro automobiline.

Quando smettono di giocare, ciascun bambino vuole riprendersi lo stesso numero di automobiline che aveva all'inizio del gioco.

Tutte le automobiline sono 48, ma come dividerle?

Andrea ricorda che ne aveva il triplo di Giulio.

Vuoi aiutarli a dividere le macchinine nel modo giusto?

Osservazione 2• A volte l’esperto (l’insegnante, l’autore

del problema) decide di utilizzare un sinonimo del termine matematico.

• Questo accade soprattutto quando: – tale termine non è stato ancora introdotto– non si vuole segnalare esplicitamente all’allievo

quale concetto matematico andrà utilizzato

Nonna Adele

Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco.

Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.

Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

Perché?

Pulizie (Cat. 4, 5, 6)

I 18 alunni della classe di Marta e i 24 alunni della classe di Andrea hanno pulito la piazza del paese e le rive del ruscello.

Il panettiere è molto soddisfatto e per ringraziarli offre 14 pacchi di biscotti.

Marta propone che ogni classe prenda 7 pacchi.Andrea dice che non è giusto perché nella sua classe gli

alunni sono di più.Quanti pacchi di biscotti deve ricevere ogni classe per

non fare ingiustizie?Spiegate il vostro ragionamento.



• Dizionario• Legami fra le varie parti del testo

La scala (2a)

La strega Pasticcia ordina ai suoi gattini Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la lunga scala che porta alla torre più alta del castello.

Buffetto lucida 20 scalini.Sandogatt ne lucida solo 3.La strega ne lucida 7 più di lui.Quanti scalini ha quella scala? Spiega il tuo ragionamento.

ANAFORA



• Dizionario• Legami fra le varie parti del testo• Enciclopedia

Levinson (1983)

"Giovanni voleva comprare un regalo a Carlo per il suo compleanno, perciò andò a prendere il suo maialino; lo agitò ma non udì nessun rumore; avrebbe dovuto fare un regalo a Carlo con le sue mani".

Giovanni voleva comprare un regalo a Carlo per il suo compleanno

avrebbe dovuto fare un regalo a Carlo con le sue mani.

perciò andò a prendere il suo maialino;

lo agitò ma non udì nessun rumore;

?

?

?

Importanza della conoscenza enciclopedica

• Leggi attentamente il testo del seguente problema e, senza risolverlo, individua i dati mancanti o superflui:

• Un allevatore possiede 47 mucche e 10 cavalli. Una mucca produce in media 15 litri di latte al giorno. Quanto latte viene prodotto ogni giorno nell’allevamento?

• Nel problema c’è un dato: superfluo mancante• Quale?

……………………………………………………………

V elementare

• Leggi attentamente il testo del seguente problema e, senza risolverlo, individua i dati mancanti o superflui:

• Un allevatore possiede 47 mucche e 10 cavalli. Una mucca produce in media 15 litri di latte al giorno. Quanto latte viene prodotto ogni giorno nell’allevamento?

• Nel problema c’è un dato: superfluo mancante• Quale?

……………………………………………………………

Non sappiamo quanto latte producono i cavalli ogni giorno

CONTESTO DOMANDA



• Dizionario• Legami fra le varie parti del testo• Enciclopedia• Sceneggiature comuni

Umberto EcoUn testo è una macchina pigra che si attende dal

lettore molta collaborazione.

Un testo (…) è intessuto di non-detto.

La comprensione del testo• è favorita se il testo richiama ‘schemi’ in cui è

organizzata la conoscenza enciclopedica…

• cioè se richiama ‘sceneggiature comuni’ (schemi condivisi in un certo contesto socio-culturale)

Le automobiline (5a el., 1a media)

Giulio e Andrea per giocare mettono insieme le loro automobiline.

Quando smettono di giocare, ciascun bambino vuole riprendersi lo stesso numero di automobiline che aveva all'inizio del gioco.

Tutte le automobiline sono 48, ma come dividerle?

Andrea ricorda che ne aveva il triplo di Giulio.

Vuoi aiutarli a dividere le macchinine nel modo giusto?

Non va interpretato alla lettera.Richiama una sceneggiatura comune.

La comprensione del testo• è favorita se il testo richiama ‘schemi’ in cui è

organizzata la conoscenza enciclopedica…

• cioè se richiama sceneggiature comuni

• è ostacolata se:– il testo fa riferimento a ‘schemi’ sconosciuti

– o addirittura a schemi che violano le sceneggiature comuni

“Se i palloncini scoppiassero, il suono non raggiungerebbe più la sua meta, perché il tutto verrebbe a trovarsi troppo lontano dal piano giusto. Anche una finestra chiusa impedirebbe al suono di arrivare dove deve arrivare, poiché la maggior parte degli edifici tende ad essere bene isolata. Dato che l’intera operazione dipende da un flusso continuo di elettricità, se il cavo si rompesse anche questo creerebbe dei problemi. Naturalmente l’individuo potrebbe urlare, ma la voce umana non arriva così lontano.

Un ulteriore problema è che una corda dello strumento potrebbe rompersi. Se ciò succedesse non ci sarebbe più accompagnamento al messaggio. E’ chiaro che la situazione migliore richiederebbe una minore distanza. Allora ci sarebbero meno problemi potenziali. Meglio di tutto sarebbe se ci fosse contatto faccia a faccia.”

Bransford e Johnson (1973)





Nelle sperimentazioni che abbiamo condotto con questo problema, i bambini che non avevano disponibile la 'sceneggiatura' del campeggio hanno avuto difficoltà a comprendere che l'affitto della piazzola era una spesa unica per tutti e 4 gli amici. Analogamente l'espressione '8 euro al giorno per l'ombrellone' è risultata ambigua per i bambini che non avevano esperienze di giornate al mare con l'affitto dell'ombrellone, tanto che molti hanno moltiplicato tale spesa per il numero degli amici.

CONTESTO DOMANDA



• Dizionario• Legami fra le varie parti del testo• Enciclopedia• Sceneggiature comuni• Impliciti e non detto

(Da De Corte et al., 1985)Ann e Tom insieme hanno 8 libri. Ann ha 5 libri.

Quanti libri ha Tom?

I 5 libri di Ann sono parte degli 8 che Ann e Tom hanno insieme

implicito

Ann e Tom insieme hanno 8 libri. 5 di questi libri sono di Ann. Quanti libri ha Tom?

aumentano le risposte corrette!

La comprensione del testo:

• Dizionario•I legami fra le varie parti del testo

• Enciclopedia

Implicito non detto

Marco prese l’automobile e si precipitò all’aereoporto.

Non dice:

- che nell’automobile c’era il motore

- di che colore era l’automobile




implicito

Uno scenario possibile: Ann e Tom sono fratelli. Ognuno di loro ha una piccola collezione di libri: Ann ne ha 5, Tom ne ha 7.

Poi insieme hanno 8 libri, che sono stati regalati a entrambi, e che tengono nella libreria in sala.

NON DETTO




Uno scenario possibile: Ann e Tom sono fratelli. Ognuno di loro ha una piccola collezione di libri: Ann ne ha 5, Tom ne ha 7.

Poi insieme hanno 8 libri, che sono stati regalati a entrambi, e che tengono nella libreria in sala.

Non ci sono informazioni sufficienti per risolvere il problema

Il problema è risolubile

La scala (2a)

La strega Pasticcia ordina ai suoi gattini Buffetto e Sandogatt di lucidare tutta la lunga scala che porta alla torre più alta del castello.

Buffetto lucida 20 scalini.Sandogatt ne lucida solo 3.La strega ne lucida 7 più di lui.Quanti scalini ha quella scala? Spiega il tuo ragionamento.

Non viene detto:- che sono stati lucidati TUTTI gli scaliniMa se non fosse così……il problema non si potrebbe risolvere

Non viene detto:- che sono stati lucidati TUTTI gli scaliniMa se non fosse così……il problema non si potrebbe risolvere

E ’ un’interpretazione che deriva:- non direttamente dal testo- ma dalla situazione di comunicazione (contratto didattico)- dall’accettare le ‘regole del gioco’ dei problemi (stereotipi)

IMPLICATURA

Alla sera Pete ha 6 palline.

Durante il giorno ha perso 2 palline.

La mattina Pete aveva ……………………… giocato con le palline

Per allievi non esperti può essere difficile fare questo tipo di inferenze

Attività 2

Analizzare il testo dei problemi allegati, identificando per ognuno gli aspetti che possono essere d’ostacolo per la comprensione.

•DIZIONARIO

•FALSI SINONIMI

•RICHIAMI ANAFORICI

•ENCICLOPEDIA

•IMPLICITI

Compleanno (2)

Per il compleanno di Baffino, uno dei gattini gialli, sono venuti tanti amici. Nel cortile del castello ci sono 40 gattini in festa. Strega Pasticcia fa avanti e indietro dalla cucina portando frittelle di alici e succo di erba gatta. Ha preparato tavoli rotondi, coperti di tovaglie fatte di mortadella. Intorno a ogni tavolo c’è posto per 5 gattini.

Quanti tavoli ha preparato?

La spesa (3, 4)

Anna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per la mamma. Devono prendere il latte, il pane, e il detersivo per la lavatrice. La mamma dà loro 10 euro. Al supermercato comprano tutto quello che la mamma ha chiesto. Pagano 1 euro e 50 centesimi per il latte e 1 euro e 40 centesimi per il pane. Hanno di resto 3 euro.

Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?

Il maglificio (5)

Per evadere l’ordine di un cliente, in un mese di 24 giorni lavorativi, un maglificio ha prodotto in media ogni giorno 50 maglie di lana da uomo, del peso di 450 g l’una; 60 da donna, del peso di 300g l’una e 80 da bambino, del peso di 110 g l’una.

Quante maglie, in totale, erano state ordinate da quel cliente? Quanti chilogrammi di lana sono stati utilizzati per confezionare tutte le maglie?

Frazioni (5, 6)

Un fruttivendolo compra una partita di mele in Val di Non del peso complessivo di 36 q. Durante il trasporto ne perde 1/36 e alla fine della vendita 1/7 della rimanenza è stato scartato dai clienti.

Quanti quintali di mele è riuscito a vendere in totale il fruttivendolo?

Regoli (6)

Luca, che di solito è distratto, ha fatto cadere diversi regoli contenuti in due scatole.

Per terra ci sono 26 regoli arancioni, 24 regoli verde chiaro in più di quelli arancioni e il numero dei regoli bianchi supera di 21 quello dei regoli verde chiaro.

Se in ogni scatola c’erano 105 regoli, quanti regoli non sono caduti per terra?

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