I numeri perfetti

TFA A059 2014-15Università di Roma – Sapienza

A cura di:Eleonora Mattiuzzo e Sara Falasca

“Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li

imperfecti: cioè superflui e diminuiti”

(Luca Pacioli, XV secolo)

Le origini dei numeri perfetti

Le proprietà intrinseche e nascoste dei numeri hanno affascinato l'umanità fin dai tempi più antichi.

I Pitagorici ad esempio classificavano i numeri in tre categorie: difettivi, abbondanti e perfetti.

Difettivi, abbondanti e perfetti

Un numero è difettivo se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è inferiore al numero.

Un numero è abbondante se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è superiore al numero.

Un numero è perfetto se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è uguale al numero.

Esempi di numeri perfetti

Il più piccolo numero perfetto è 6, che è uguale alla somma dei suoi tre divisori 1,2,3.

6=1+2+3

Il numero perfetto successivo al 6 è il numero 28, i cui divisori sono: 1,2,4,7,14.

28=1+2+4+7+14.

I Pitagorici

I primi quattro numeri perfetti 6, 28, 496, 8128 erano già noti ai Pitagorici che si posero due domande

1. esiste un numero perfetto dispari?2. esistono infiniti numeri perfetti?

oggi note come “the oldest open problem in mathematics”

Primi risultati di Euclide

Euclide nel libro IX degli Elementi (300 a.C.) dimostra che la formula

Dà sempre un numero perfetto pari, purché il numero dato tra parentesi sia primo.

2k−1(2k−1)

Primi risultati di Euclide

Affinché il numero sia primo è necessario che k sia primo, ma non è sufficiente

Esempi:

Ma non è primo!

2k−1

3=(22−1)→ k=2 7=(23−1)→k=3

31=(25−1)→ k=5 127=(27

−1)→k=7

k=11→(211−1)=2047=23•89

Domande...

1. un numero perfetto pari è necessariamente della forma ?

2. per quali p è primo?

2 p−1(2 p−1)

(2 p−1)

Mersenne e i numeri primi

I numeri naturali della successione

si dicono numeri di Mersenne.

In questa successione incontriamo i numeri primi di Mersenne della forma

con p primo

M n=2n−1

M p=2p−1

(Francia ,1588−1648)

Potenze di 2 su una scacchiera. Nelle caselle grigie compaiono le potenze di 2 che danno i numeri primi di Mersenne.

Fermat e i numeri perfetti

Fermat studiò i numeri perfetti alla ricerca delle loro proprietà e

accidentalmente giunse a formulare uno dei sui teoremi più noti

Il piccolo Teorema di Fermat

p∤a→a p−1≡1(mod p)(Francia ,1601−1665)

2000 anni dopo Euclide...Eulero

Eulero dimostrò due importanti risultati:

1. Ogni numero perfetto pari è della forma con p primo.

Questo risolve uno dei problemi posti la ricerca dei numeri perfetti equivale a

trovare i primi di Mersenne.

2 p−1(2 p−1)

(Svizzera ,1707−1783)

2000 anni dopo Euclide...Eulero

2. Se n è un numero perfetto dispari allora la sua fattorizzazione in numeri primi è della forma:

dove q è un primo della forma 4k+1.

n=q4b+1•Π pi

2a i

Il numero perfetto più grande?

Il numero perfetto scoperto da Eulero rimase il più grande per altri 150 anni...

“è il più grande che verrà mai scoperto; anche perché essi stimolano soltanto la curiosità, senza essere utili, ed è

improbabile che qualcuno cercherà mai di trovarne uno oltre questo.”

(Peter Barlow, Theory of Numbers, 1811)

230(231−1)

Gli ultimi 2 secoli

Nel 1870 Lucas ideò un criterio per verificare la primalità dei numeri di Mersenne, che fu poi semplificato da Lehmer nel

1930.

Test di Lucas-Lehmer

Sulla base di tale criterio è possibile costruire un algoritmo che verifichi la primalità di un numero di Mersenne, con una quantità di calcoli compatibile con la potenza dei calcolatori

attuali.

Francobolli e timbri postali dedicati ai due più alti numeri primi noti nel 1963 e 1971

...fino a oggi● La possibilità di disporre di numeri primi molto grandi

permette di sviluppare metodi di crittazione sempre più sicuri.

● Attualmente si conoscono 48 primi di Mersenne 48 numeri perfetti.

● Nel 2012 fu dimostrato che se esiste un numero perfetto dispari n allora

● Nel 2013 è stato scoperto l'ultimo “più grande” numero primo di Mersenne (ha 17 milioni di cifre!)

n>101500

257885161−1

Proprietà

Un numero si dice triangolare se è dato dalla somma dei numeri consecutivi a partire dall'unità.

Ogni numero perfetto pari è triangolare.

Proprietà

n=k (2k−1) , per k intero

Un numero intero n si dice esagonale se si ottiene dalla formula

Ogni numero perfetto pari è esagonale.

Altre proprietà curiose● Ogni numero perfetto escluso il 6 ha radice numerica uguale a

1, dove la radice numerica è la somma delle singole cifre da cui è composto il numero perpetuata fino al raggiungimento di una sola cifra.

● La somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è uguale a 2.

● Ogni numero perfetto pari, tranne il 6, è uguale a somme di successioni dei numeri dispari al cubo.

8128=13+33+53+73+93+113+133+153

496 →4+9+6=19 →1+9=10 →1+0=1

2=11+

12+

13+

16

“Un problema di teoria dei numeri è senza tempo come un'opera d'arte.”

(D.Hilbert)

Bibliografia

Sitografia

● http://web.unife.it/utenti/philippe.ellia/Docs/PbiTeoNum.pdf

● http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/perfetti.pdf

● http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Feb07/Numerifebbraio2007.htm