1. Funzioni e grafici elementari

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 1

Funzioni e grafici

Grafici deducibili

Funzioni periodiche

Esercizi assegnati

Cos’è una funzione da A in B? (A,B insiemi non vuoti)È una regola che a ogni elemento a ∈ A associa (fa corrispon-dere) esattamente un elemento b ∈ B (cioè uno e uno solo):

f : A → B

a → b = f (a)

A = dom f è detto dominio di f .

Cos’è il grafico di una funzione?

Gr f = {(x,y) ∈ A×B : y = f (x)

}

Test della retta verticale.Un grafico rappresenta una funzione se e solo se ogni rettaverticale lo interseca in al più un punto (cioè in nessun punto oal massimo in un punto).

Esercizio 1Quali grafici rappresentano una funzione?

Cos’è l’immagine di una funzione f : A → B?Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A:

imm f = f (A) = {y ∈ B : y = f (x) per qualche x ∈ A

}

Data una funzione f : A → B e dato un insieme A1 ⊆ A, cos’èl’immagine di A1 tramite f ?Sono gli elementi di B associati a qualche elemento di A1:

f (A1) = {y ∈ B : y = f (x) per qualche x ∈ A1

}

Esercizio 2Determina dominio e immagine della funzione f il cui grafico èriportato in figura.

f

f

Esercizio 3Dato il grafico della funzione f in figura, determinaf (]−∞,−1]∪ [0,3[).

f

f

Data una funzione f : A → B e dato un insieme B1 ⊆ B, cos’è lapreimmagine di B1 tramite f ?Sono gli elementi di A associati a qualche elemento di B1:

f −1(B1) = {x ∈ A : f (x) ∈ B1

}

Esercizio 4Dato il grafico della funzione f in figura, determina f −1(]−2,2[).

f

f

Quando una funzione f : A → B è iniettiva?Se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B:

x1 /= x2 f (x1) /= f (x2) ∀x1,x2 ∈ A

Quando una funzione f : A → B è suriettiva su B?Se ogni elemento di B è associato a qualche elemento di A:

f (A) = B cioè ∀y ∈ B ∃x ∈ A : f (x) = y

Quando una funzione f : A → B è biettiva?Se è sia iniettiva che suriettiva, cioè ogni elemento di Bcorrisponde esattamente a un elemento di A:

∀y ∈ B ∃!x ∈ A : f (x) = y

Test della retta orizzontale.Una funzione è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale neinterseca il grafico in al più un punto.Una funzione è suriettiva su B1 se e solo se ogni rettaorizzontale y = b, con b ∈ B1, ne interseca il grafico in almeno unpunto.

Nota sulla suriettività.f : A → f (A) è automaticamente suriettiva.

Esercizio 5Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R.

f1

f2

Esercizio 6Individua le funzioni iniettive e quelle suriettive su R.

f3

f4

Funzioni e grafici

Grafici deducibili

Funzioni periodiche

Esercizi assegnati

Valore assoluto.

|x| ={

x se x Ê 0,

−x se x < 0.

Nota:

px2 = |x|.

Grafico di y = f (|x|).

Grafico di y = |f (x)|.

Esercizio 7Traccia il grafico di y = |

p3x2 −1|.

Esercizio 8Traccia il grafico di y = ∣∣x2 −1

∣∣−2x.

y = x4, y = x6

y = x3, y = x5

y = 1x2 , y = 1

x4

y = 1x3 , y = 1

x5

y = x1/2, y = x1/4 y = x1/3, y = x1/5

y = xa

a1

a2

y = xa3a4

y = 1xa

a1

a2

a3

a4

a ∈R\Q, 0 < a1 < a2 < 1 < a3 < a4

Funzione esponenziale: y = bx.Grafico per 0 < b < 1

1

Grafico per b > 1, es. y = ex

(“e” è circa 2.7)

1

Proprietà a,b > 0 r,s ∈R n ∈N,n Ê 1

b0 = 1, b1 = b ,

br > 0,np

br =(

np

b)r = br/n ,

br+s = brbs , br−s = br

bs ,

brs = (br)s , (ab)r = arbr ,

b−r =(

1

b

)r

= 1

br ,(a

b

)r= ar

br .

Grafico di y = f (x)+k , (k > 0)

Grafico di y = f (x)−k , (k > 0)

Grafico di y = f (x+h) , (h > 0)

Grafico di y = f (x−h) , (h > 0)

Traslazioni a confronto.

y = f (x)+k

y = f (x+h)

y = f (x)−k

y = f (x−h)

Esercizio 9Traccia il grafico di y = (1

2

)x−1 +2.

Quando una funzione f : A → B è invertibile?Quando è iniettiva.

Se f : A → B è invertibile, cos’è la sua funzione inversa?

f −1 : f (A) → A

b → a = f −1(b)

quell’unico a tale che f (a) = b.

Nota: f −1(x) /= (f (x)

)−1 = 1f (x).

Proprietà fondamentale delle funzioni inverse. Se f : A → B èinvertibile, allora

f −1(f (x))= x ∀x ∈ A ,

f(f −1(x)

)= x ∀x ∈ f (A) .

Grafico di y = f −1(x): simmetrico al Gr f rispetto alla bisettricey = x.

Funzione logaritmo: y = lgb x (b > 0,b /= 1).

• La funzione bx : R→ ]0,+∞[ è invertibile.• Per definizione, y = lgb x : ]0,+∞[ →R è la funzione inversa

di y = bx.

Grafico con 0 < b < 1

y = lg 12

(x)

1

Grafico con b > 1, es. b = e(lnx := lge x)

1

y = lnx1

y = ex

Proprietà dei logaritmi. a,b ∈ ]0,+∞[ \ {−1}, r,s > 0, t ∈R

lgb 1 = 0, lgb b = 1,

lgb(rs) = lgb r+ lgb s , lgb

(r

s

)= lgb r− lgb s ,

lgb rt = t lgb r , lgb r = lga r

lga b.

Inoltre

y = lgb x x = by ,

lgb bx = x ∀x ∈R ,

blgb x = x ∀x ∈ ]0,+∞[ .

Esercizio 10Traccia il grafico di y = lg 1

2(4x).

Esercizio 11Traccia il grafico di y = e2lnx.

Funzioni iperboliche.

coshx = ex +e−x

2, sinhx = ex −e−x

2, tanhx = ex −e−x

ex +e−x .

f (x) = coshx

1

f (x) = sinhx

1

−1

f (x) = tanhx

cosh2 x− sinh2 x = 1 ∀x ∈R ,

{X = coshx, Y = sinhx

X 2 −Y 2 = 1 iperbole

tanhx = sinhx

coshx∀x ∈R .

Come si ricava esplicitamente l’espressione della funzioneinversa di una funzione invertibile y = f (x)?

arcoshx := cosh−1 x = ln(x+

√x2 −1

)x ∈ [1,+∞[ ,

arsinhx := sinh−1 x = ln(x+

√x2 +1

)x ∈R ,

artanhx := tanh−1 x = 1

2ln

1+x

1−xx ∈ ]−1,1[ .

Grafico di y =−f (x).

Grafico di y = f (−x).

Esercizio 12Traccia il grafico di y = tanh(1−x).

Grafico di y = Bf (x) B > 1.

Grafico di y = bf (x) 0 < b < 1.

Grafico di y = f (Ax) A > 1.

Grafico di y = f (ax) 0 < a < 1.

Dilatazioni e contrazioni a confronto.

y = Bf (x)

y = f (Ax)

y = bf (x)

y = f (ax)

Esercizio 13Traccia il grafico di y = tan(2|x|).

Esercizio 14Traccia il grafico di y = cos

(2π−3x6

).

In alternativa: y = cos(2π−3x

6

)= cos( x

2 − π3

)

y = arccosx

π

1

y = arcsinx

π2

1

y = arctanx

π2

Conclusioni sui grafici deducibili.

• Le trasformazioni riguardano tutti i grafici reali, non soloquelli delle funzioni elementari richiamate.

• A volte è necessario applicare le trasformazioni in unpreciso ordine, altre volte no. Se un certo ordine nonfunziona, provarne un altro.

• Per tracciare y = f (|x−h|), rappresentiamo y = f (x), y = f (|x|)e infine y = f (|x−h|).

• Per tracciare y = f (h−x), riscriviamo y = f (h−x) = f(−(x−h)

)e rappresentiamo y = f (x), y = f (−x) e infine y = f

(−(x−h)).

• Per tracciare y = f (ax−h), riscriviamoy = f (ax−h) = f

(a(x− h

a

))e rappresentiamo y = f (x), y = f (ax)

e infine y = f(a(x− h

a

)).

Memorizza i grafici delle funzioni elementari conle indicazioni numeriche fondamentali!

Funzioni e grafici

Grafici deducibili

Funzioni periodiche

Esercizi assegnati

Quando una funzione f : A ⊆R→R è T-periodica (periodica diperiodo T)?Quando contemporaneamente:

• A è periodico, cioè x ∈ A x+T ∈ A;• f (x+T) = f (x) per ogni x ∈ A.

Risulta f (x+Tk) = f (x) per ogni x ∈ A, per ogni k ∈Z.

Esempi:

• y = cosx, y = sinx• y = tanx

Esercizio 15Determina il periodo di y = tan

( x3

)−cosx.

Verifica della periodicità di y = tan( x

3

)−cosx.

y = tan( x

3

)−cosx, f (x+6π) = f (x)

Esercizio 16Determina il periodo di y = sin2 x.

π

1

Funzioni e grafici

Grafici deducibili

Funzioni periodiche

Esercizi assegnati

Esercizio 17Quali grafici rappresentano una funzione?

Esercizio 18Quali grafici rappresentano funzioni iniettive, funzioni suriettivesu R, funzioni suriettive su [0,1] (fra i grafici ∗), funzioni biettiveda R in R?

Esercizio 19Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamentese sono iniettive e qual è la loro immagine.

(a) y = |3x+2| , (b) y =−2x2 +4|x|+1,

(c) y = 3|x|−1

|x|+2, (d) y =

{x se x Ê 0,

1−x2 se x < 0,

(e) y = |x+1|−x , (f) y = |x−2|+ |1−x| ,

(g) y =(

1

3

)x

+2, (h) y = −1

2x−1 ,

(i) y = ex−2−3, (j) y = lg(1−x) ,

(k) y = |lg 12

(x+3)| , (l) y = lnx2 ,

(m) y = 2sin(x− π

4

), (n) y =− tan(|x|−1) ,

(o) y = 2arctan(3x−6) , (p) y =−arccos|x| .

Esercizio 20Traccia il grafico delle seguenti funzioni; stabilisci graficamentese sono iniettive e qual è la loro immagine.

(a) y =p1−3x , (b) y =−

√1+9x2 ,

(c) y = |x2 −3x|− |x| , (d) y =−x3 +1,

(e) y = 2x−4 , (f) y = 3√

|x| ,(g) y =−x−1/2 , (h) y = ∣∣|x|π−1

∣∣ ,

(i) y =−2e−|x−1| , (j) y = ln∣∣∣|x|−1

∣∣∣ ,

(k) y = artanh(−2|x|) , (l) y = 2

coshx−2,

(m) y = 2∣∣∣sin

(π3−3|x|

)∣∣∣ , (n) y = cos2 x− sin2 x ,

(o) y = arcsin(sinx) , (p) y = cos(arccosx) .

Esercizio 21Data f (x) = 3x−1

x+2 , determina graficamente f (]−2,1]), f ([−1,1]),f (]−∞,1] \ {−2}), f −1(]3,4]).

Esercizio 22Data f (x) = 3|x|−1

|x|+2 , determina f −1([1,2]) e f −1([−2,−1]).

Esercizio 23Trova f (R), f ([−1,2]), f −1({0}) e f −1

([−12 , 1

2

]), per

f (x) ={|x−1| se x Ê 0,

x2 +2x se x < 0.

Esercizio 24Data f (x) =

p4x−x2, determina graficamente dom f , imm f ,

f ([1,2]), f (]1,4]).

Esercizio 25Data f (x) = x+|x|

x−2 , trova graficamente dominio, immagine ef −1([−1,3]).

Esercizio 26Traccia il grafico di f (x) = 1

2

p−9x2 +18x−8; in base a questo,

trova dom f , stabilisci se la funzione è iniettiva e scegli ilcodominio di f affinché sia suriettiva.

Esercizio 27Determina grafico, dominio e immagine di y = 2sinx−1 ey = cos(x+π)+2.