14. Studio grafico completo di funzioni

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 1

Studio elementare di funzioni data f (x)

(1) Trova il dominio.

(2) Studia la simmetria e la periodicità (questo punto puòessere posticipato).

(3) Trova le eventuali intersezioni con gli assi.

(4) Studia il segno.

(5) Calcola i limiti agli estremi del dominio e trova gli eventualiasintoti.

Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioniottenute.

Studio completo di funzioni data f (x)

(6) Calcola la derivata prima f ′(x) e stabilisci dove è definita(dom f ′ ⊆ dom f ).

(7) Trova i punti critici, cioè risolvi f ′(x) = 0.

(8) Studia il segno di f ′(x), cioè risolvi f ′(x) > 0, studia lamonotonia e trova i punti di massimo e di minimo locale(ascisse e ordinate).

(9) Calcola la derivata seconda f ′′(x) e stabilisci dove èdefinita.

(10) Studia il segno di f ′′(x), stabilisci la convessità e trova glieventuali punti di flesso: a tangente orizzontale sef ′(x0) = 0, a tangente obliqua se f ′(x0) ∈R\ {0}, a tangenteverticale se lim

x→x0f ′(x) ∈ {+∞,−∞ }.

Ad ogni passo, rappresentiamo graficamente le informazioniottenute.

Esercizio 1Traccia il grafico di f (x) = e1/x.

f (x) = e1/x

x

f (x)

Esercizio 2Traccia il grafico di f (x) = lnx

xe determina imm f . Trova gli

estremi dell’insieme A ={

lnnn : n ∈N, n Ê 1

}.

f (x) = lnxx

x

f (x)

Esercizio 3 (Analisi 1, 3 Settembre 2012)Sia data la funzione

f (x) = ln

2+√

|sinx|2+cosx

.

Delle seguenti affermazioni(a) f è derivabile nel suo dominio (b) x =π è un punto dicuspide (c) f ′(π/2) = 1

4(2p

2+1)(d) minR f = 0

(e) maxR f = ln(2+ 1

4p3

)le uniche corrette sonoA : (a), (c), (d) B : (b), (c), (e) C : (a), (c), (e)D : (b), (d), (e).

Abbiamo già ottenuto:

• dom f =R;• f è pari e 2π-periodica;• (0, ln2) è l’unico punto di intersezione con gli assi;• f (x) > 0 per ogni x reale;• (π, ln2) è un punto del grafico di f ;• non esistono i limiti di f (x) per x →±∞ e non ci sono

asintoti.

f (x) = ln

(2+

√ |sinx|2+cosx

)

x

f (x)

ln2

π

Esercizio 4 (Analisi 1, 1 Febbraio 2012)Sia data la funzione

f (x) = x

2+arctan

1

x+2.

Delle seguenti affermazioni(a) f è derivabile nel suo dominio (b) f ′(−3) = 0 (c) x =−1 èun punto di massimo relativo (d) f è crescente su ]−∞,−3](e) f ammette un punto di minimo assolutole uniche corrette sonoA : (a), (d), (e) B : (a), (b), (d) C : (b), (c), (d)D : (a), (c), (d).

Abbiamo già ottenuto:

• dom f = ]−∞,−2[∪ ]−2,+∞[;• f non è simmetrica e non è periodica;• (0,arctan 1

2 ) è l’intersezione con l’asse y;• abbiamo tralasciato le intersezioni con l’asse x e lo studio

del segno;• lim

x→(−2)±f (x) =−1± π

2(non ci sono asintoti verticali);

• limx→±∞ f (x) =±∞ e y = 1

2 x asintoto obliquo completo.

f (x) = x

2+ arctan

(1

x+2

)

x

f (x)

−2

π2 −1

−π2 −1

Esercizio 5 (Analisi 1, 11 Giugno 2012)Sia data la funzione

f (x) = 33p

ex −2+ ln|ex −2| .

Delle seguenti affermazioni(a) il dominio di f è ]ln2,+∞[ (b) f è pari(c) lim

x→(ln2)+f (x) =+∞ (d) f ammette asintoto orizzontale per

x →−∞ (e) f ammette y = x come asintoto obliquo perx →+∞le uniche corrette sonoA : (a), (c), (e) B : (b), (e) C : (b), (d)D : (c), (d), (e).

Abbiamo già ottenuto:

• dom f = ]−∞, ln2[∪ ]ln2,+∞[;• f non è simmetrica;• (0,−3) intersezione con l’asse y;• abbiamo tralasciato le intersezioni con l’asse x e lo studio

del segno;• y = x asintoto obliquo destro;

• y = ln2− 33p

2asintoto orizzontale sinistro;

• x = ln2 asintoto verticale completo;• lim

x→ln2±f (x) =±∞.

f (x) = 33p

ex −2+ ln|ex −2|

x

f (x)

ln2ln2− 3

3p2

Esercizio 6 (Analisi 1, 11 Giugno 2012)Sia data la funzione

f (x) = 33p

ex −2+ ln|ex −2| .

Delle seguenti affermazioni

(a) f è derivabile nel suo dominio (b) f ′(ln4) = 2[

1− 13p2

](c) f è sempre decrescente sul suo dominio (d) f ammetteun punto di minimo relativo in ln3 (e) f ammette un punto diminimo relativo in ln4

le uniche corrette sonoA : (b), (c) B : (a), (b), (d) C : (a), (b), (e)D : (a), (d).

f (x) = 33p

ex −2+ ln|ex −2|

x

f (x)

ln2ln2− 3

3p2

Esercizio 7Dimostra che, per ogni x > 0, risulta

arctan1

x= π

2−arctanx .

Esercizio 8Dimostra che 1+ t É et per ogni t ∈R. Traccia il grafico dif (x) =

pe7x −7x−1.

f (x) =p

e7x −7x−1

x

f (x)

Esercizio 9Traccia il grafico di f (x) = sinx+4sin

x

2.

f (x) = sinx + 4sinx

2

x

f (x)

1

π

Esercizio 10Dimostra che l’equazione

ln(2+arctanx) = 1−x2

ha esattamente due soluzioni, di cui una nell’intervallo ]0,1[ euna nell’intervallo ]−1,0[.Suggerimento: studia f (x) = ln(2+arctanx)+x2 −1 e dimostra che f ′(x) > 0 perx Ê 0, f ′(x) < 0 per x É−1, f ′′(x) > 0 per x ∈ [−1,0].

Esercizio 11Traccia il grafico delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = 2|x|e−(x2+1);

(b) f (x) = x+√

x2 −1;

(c) f (x) = |x2 −2x−8|x2 ;

(d) f (x) = arcsinx

3+

√|x−1| ;

(e) f (x) =(1+ 1

x

)x

;

(f) f (x) = |x| x|x−1| .

Esercizio 12Dimostra che ex É 1

1−xper ogni numero reale x < 1.