2. Estremi di funzioni e successioni

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 1

Massimo di E ⊆R è un elemento di E maggiore o uguale a tuttigli elementi di E:

M = maxEdef

M ∈ E, M Ê e ∀e ∈ E.

Maggiorante di E è un numero H maggiore o uguale a tutti glielementi di E:

H Ê e ∀e ∈ E.

Nota: Se f : A →R, max f = max f (A).Esempi grafici.

Estremo superiore di E è il più piccolo maggiorante di E:L = supE.

Se f : A →R, sup f = sup f (A).

Nota: Un massimo è un estremo superiore (e quindi unmaggiorante).Esempi grafici.

Minimo di E ⊆R è un elemento di E minore o uguale a tutti glielementi di E:

m = minEdef

m ∈ E, m É e ∀e ∈ E.

Minorante di E è un numero h minore o uguale a tutti glielementi di E:

h É e ∀e ∈ E.

Nota: Se f : A →R, min f = min f (A).Esempi grafici.

Estremo inferiore di A è il più grande minorante di A: `= infA.

Se f : A →R, inf f = inf f (A).

Nota: Un minimo è un estremo inferiore (e quindi unminorante).Esempi grafici.

Esercizio 1Trova graficamente gli estremi di f : [1,+∞[ →R, dovef (x) = 7x2−x

2x2 .

Funzione superiormente illimitata: sup f =+∞

Funzione inferiormente illimitata: inf f =−∞

Successione. È una funzione con dominio N o tutti i numerinaturali da un certo k ∈N in poi:

Jk = {n ∈N : n Ê k } ,a : Jk → R

n → an = a(n).

Si indica anche con (an)nÊk.

Estremi di una successione.

supJk

an = sup{an : n ∈ Jk } , ecc.

Esempi grafici.

Esercizio 2Trova graficamente gli estremi di an = 3n−1

|2n−9| , con n ∈N (n Ê 0).

a0 =− 19 , an = ∣∣ 3n−1

2n−9

∣∣ per n Ê 1

Esercizio 3Trova gli estremi di an = (n+1)−3 sin πn

2 , n ∈N.

Esercizio 4 (Analisi A, 11 Gennaio 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo

A ={

2(1+ (−1)n)p

nn + (1− (−1)n)

2−n : n ∈N, n Ê 1}

.

Esercizio 5 (Analisi A, 3 Aprile 2007)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo

A ={

max

{8n+1

n, n2 +1

}: n ∈N, n Ê 1

}.

Esercizio 6 (Analisi A, 3 Settembre 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo

A ={

28arctan

(7n

7n+1

): n ∈N

}.

Esercizio 7 (Analisi A, 1 Febbraio 2012)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo

A ={

(−1)n(p

n+1−pn)+2

(1− (−1)n)

: n ∈N}

.

Esercizio 8 (Analisi A, 4 Luglio 2011)Determina infA, supA ed eventualmente minA, maxA, essendo

A ={∣∣∣∣100−2n

n+2

∣∣∣∣ : n ∈N}

.

Esercizio 9Trova graficamente gli estremi delle seguenti funzioni:

f (x) =−2e−|x−1| , g(x) = 2∣∣∣sin

(π3−3x

)∣∣∣−1.

Esercizio 10Trova graficamente gli estremi delle seguenti successionidefinite per n ∈N, n Ê 1.

(a) an = 7n2 −n

2n2 , (b) an = 2cos(πn)+ 1

n,

(c) an = (−1)n(1− 1

n

), (d) an = 3n−1

|2n+9| ,

(e) an = 31/n , (f) an = 2sin(πn) ,

(g) an = sinπ

2n , (h) an = 2n+1

n.

Esercizio 11Trova graficamente gli estremi delle seguenti successionidefinite per n ∈N, n Ê 1.

(a) an = lg3

(1+ 1

n

), (b) an = (−1)n

n+ 1

2

∣∣∣sinπn

2

∣∣∣ ,

(c) an = 13arctan

(ln

6n+1

n2

), (d) an =

[ln

(1+e

pn+2−pn

)]7.