Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di...
17
1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 – 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail [email protected] presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti). Esercitazioni: lunedì 14.30 – 16.30 venerdì 14.30 – 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30 – 14.30
Transcript of Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di...
1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercitazioni di Algebra e Geometria
Anno Accademico 2010 ndash 2011
Dottssa Elisa Pelizzari
e-mail elisapeliliberoit
presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti)
Esercitazioni lunedigrave 1430 ndash 1630
venerdigrave 1430 ndash 1630
Ricevimento studenti venerdigrave 1330 ndash 1430
2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave
una lsquotabellarsquo con m righe n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al
campo K Esempi di campi sono
Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali
C il campo dei numeri complessi
Esempio minus3 0 2 4 radic2
egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave
una lsquotabellarsquo con m righe n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al
campo K Esempi di campi sono
Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali
C il campo dei numeri complessi
Esempio minus3 0 2 4 radic2
egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempi
= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Operazioni con le matrici La somma di matrici
Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per la
j-esima colonna di B
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
