Algebra Lineare e Geometria Analitica

Algebra Lineare e Geometria AnaliticaVolume II

E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella

10 marzo 2011

3PrefazioneCon lattivazione delle lauree triennali, i corsi universitari hanno sub`to una notevole ri-duzione del numero di ore a disposizione per le lezioni ed esercitazioni. Questo libro, chetrae origine dalle lezioni di Geometria e Algebra Lineare I che gli Autori hanno tenutoal primo anno del Corso di Laurea in Fisica presso lUniversita` di Torino, costituisce oraun testo completo che puo` essere anche utilizzato nelle Facolta` di Ingegneria, come purenel Corso di Laurea in Matematica per lo studio della Geometria Analitica nel Piano enello Spazio e per tutte quelle parti di Algebra Lineare di base trattate in campo reale.Esso si presenta in due volumi di agevole consultazione: il primo dedicato alla parteteorica ed il secondo formato da una raccolta di esercizi, proposti con le relative soluzioni,per lo piu` tratti dai testi desame. La suddivisione in capitoli del secondo volume siriferisce agli argomenti trattati nei corrispondenti capitoli del primo volume.Il testo e` di facile lettura e con spiegazioni chiare e ampiamente dettagliate, un po di-verso per stile ed impostazione dagli usuali testi universitari del settore, al fine di soste-nere ed incoraggiare gli Studenti nel delicato passaggio dalla scuola secondaria superioreallUniversita`.In quasi tutti i capitoli del primo volume e` stato inserito un paragrafo dal titolo Persaperne di piu` non solo per soddisfare la curiosita` del Lettore ma con il preciso obiettivodi offrire degli orientamenti verso ulteriori sviluppi della materia che gli Studenti avrannooccasione di incontrare sia in altri corsi di base sia nei numerosi corsi a scelta delle LaureeTriennali e Magistrali.Gli Autori avranno pienamente raggiunto il loro scopo se, attraverso la lettura del libro,saranno riusciti a trasmettere il proprio entusiasmo per lo studio di una materia di baseper la maggior parte delle discipline scientifiche, rendendola appassionante.La figure inserite nel testo sono tutte realizzate con il programma di calcolo simbolicoMathematica, versione 7. Alcuni esercizi proposti sono particolarmente adatti ad essererisolti con Mathematica o con Maple.Per suggerimenti, osservazioni e chiarimenti si invita a contattare gli Autori agli indirizzie-mail: [email protected], [email protected], [email protected].

4II di copertina: Ringraziamenti

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dellUniversita` di Torinoper il loro prezioso contributo.Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e per la realizzazione di moltigrafici. Grazie ai Proff. Sergio Console, Federica Galluzzi, Sergio Garbiero e MarioValenzano per aver letto il manoscritto.Un ringraziamento particolare agli Studenti del Corso di Studi in Fisica dellUniver-sita` di Torino, la loro partecipazione attiva e il loro entusiasmo hanno motivato questaesperienza.

5IV di copertina

Gli autoriElsa Abbena, professore associato di Geometria presso la Facolta` di Scienze MatematicheFisiche e Naturali dellUniversita` di Torino, svolge la sua attivita` di ricerca su argomentidi geometria differenziale. Ha tenuto innumerevoli corsi di algebra e di geometria deiprimi anni della Laurea Triennale presso vari corsi di Laurea.

Anna Fino, professore associato di Geometria presso la Facolta` di Scienze MatematicheFisiche e Naturali dellUniversita` di Torino, svolge la sua attivita` di ricerca su argomentidi geometria differenziale e complessa. Ha tenuto per vari anni un corso di geometria ealgebra lineare presso il corso di Laurea in Fisica.

Gian Mario Gianella, professore associato di Geometria presso la Facolta` di ScienzeMatematiche Fisiche e Naturali dellUniversita` di Torino, svolge la sua attivita` di ricercasu argomenti di topologia generale ed algebrica. Si occupa inoltre della teoria dei grafi epiu` recentemente della teoria dei numeri. Ha tenuto innumerevoli corsi di geometria deiprimi anni della Laurea Triennale presso vari corsi di Laurea.

LoperaCon lattivazione delle lauree triennali, i corsi universitari hanno sub`to una notevole ri-duzione del numero di ore a disposizione per le lezioni ed esercitazioni. Questo libro, chetrae origine dalle lezioni di Geometria e Algebra Lineare I che gli Autori hanno tenutoal primo anno del Corso di Laurea in Fisica presso lUniversita` di Torino, costituisce oraun testo completo che puo` essere anche utilizzato nelle Facolta` di Ingegneria, come purenel Corso di Laurea in Matematica per lo studio della Geometria Analitica nel Piano enello Spazio e per tutte quelle parti di Algebra Lineare di base trattate in campo reale.Esso si presenta in due volumi di agevole consultazione: il primo dedicato alla parteteorica ed il secondo formato da una raccolta di esercizi, proposti con le relative soluzioni,per lo piu` tratti dai testi desame. La suddivisione in capitoli del secondo volume siriferisce agli argomenti trattati nei corrispondenti capitoli del primo volume.

Indice

1 Sistemi Lineari 91.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Matrici e Determinanti 272.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Calcolo Vettoriale 433.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali 614.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Per saperne di piu` Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 Per saperne di piu` Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Spazi Vettoriali Euclidei 1035.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Applicazioni Lineari 1176.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Per saperne di piu` Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.3 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.4 Per saperne di piu` Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7

8 INDICE

7 Diagonalizzazione 1557.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.2 Per saperne di piu` Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.3 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.4 Per saperne di piu` Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8 Forme Bilineari e Forme Quadratiche 2338.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9 Geometria Analitica nel Piano 2539.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

10 Riduzione a Forma Canonica delle Coniche 26510.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

11 Geometria Analitica nello Spazio 29911.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29911.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

12 Coni, Cilindri, Superfici di Rotazione e Quadriche 36112.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36112.2 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Capitolo 1

Sistemi Lineari

1.1 Esercizi

Discutere e risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare degli eventuali parametri realiche vengono abitualmente indicati con le lettere a, b, c, h, k.

[1]

x1 + x2 x3 = 12x1 + 2x2 + x3 = 0x1 + x2 + 2x3 = 1.

[2]

2x1 + x2 + x3 = 1x1 2x2 + x3 = 2x1 + x2 2x3 = 4.

[3]

2x1 x2 x3 4x4 = 94x1 3x3 x4 = 08x1 2x2 5x3 9x4 = 18.

[4]

2x 2y + z + 4w = 0x y 4z + 2w = 0x+ y + 3z 2w = 03x 3y + z + 6w = 0.

9

10 Sistemi Lineari

[5]

x+ y + az = 1x+ 2y + bz = 3y + cz = 2.

[6]

2x+ y z = 1x+ 2y 2z = 03x y + 2z = 1x y + z = k.

[7]

ax y + z = 2x ay + z = 3 a2x y + az = a+ 1.

[8]

x+ y + z = ax ay z = 12x+ y + az = a+ 1.

[9]

x+ y + hz = 2h 1x+ hy + z = hhx+ y + z = 1.

[10]

2x+ az = 13x+ ay 2z = 2ax+ 2z = 1.

[11]

x+ y z = 12x+ 3y + kz = 3x+ ky + 3z = h.

[12]

kx+ y + z = 1x+ ky + z = 1x+ y + kz = h.

[13]

x y + z = 52x+ y + 2z = b3x 3y + az = 1.

Capitolo 1 11

[14]

2x 3y + 2z = 1x+ y 2z = 24x y + az = b.

[15]

(3 k)x y z = a2x (4 k)y 2z = b3x 3y (5 k)z = c.

[16]

(2 k)x ky + (1 k)z = 1 2k(4 2k)x 3ky + (1 2k)z = 1 k(2 k)x 2ky + kz = 5k.

[17]

(1 + h)x hy + (1 + 2h)z = 3 + 2h(1 + h)x hy + 2hz = 1 + 3h(1 h)x (1 + 2h)z = 3(1 + h).

[18]

(1 + h)x+ y + hz = 0h(1 + h)x (1 + h)y 2h2z = 2(1 + h)x+ 2y 2z = 3 + h.

[19]

(1 + k)x+ (1 + k)y + 2z = 1x+ ky + z = 1(1 + k)x+ (1 + k)z = 0.

[20]

kx 2(1 + k)y + z = 4 2k(1 + k)y + z = 3 + k2kx 5(1 + k)y + 2z = 8 9k.

[21]

kx+ 2y + 2kz = 1kx (3 + k)y + 3kz = 1kx+ (1 + k)y + 2kz = 2.

[22]

x1 + x2 + x3 = aax1 + x2 + 2x3 = 2x1 + ax2 + x3 = 4.

12 Sistemi Lineari

[23]

x y + z w = a22x+ y + 5z + 4w = ax+ 2z + w = 2.

[24]

2x y + 3z + w = 04x+ y 2z w = 02x+ 5y + az 5w = 0.

[25]

x1 + 2x2 x3 + hx4 = 0x1 + (2 + h)x2 + x3 = 02x2 + x3 = 0x1 2x2 + x3 + hx4 = 0.

[26]

x+ y z = 0x+ (1 + 2h)y (1 + h)z = 1 + 2hx+ hy z = 1 + h.

[27]

x y z = 03x+ y + 2z = 04x+ hy = 0.

[28]

3x+ 2y + z = 15x+ 3y + 3z = 27x+ 4y + 5z = 3x+ y z = 0.

[29]

x+ y + hz = 2hx+ y + 2z = 12x hy + 4z = 2.

[30]

hx+ y + hz = 12x y + 2z = 1 h3x+ 3y + (2 + h)z = 2 h.

[31]

x ay + z = aax 2y + 3z = 13x 2y + az = 5a.

Capitolo 1 13

[32]

2x+ ay = 1x+ y z = 2ax y + z = 2.

[33]

x+ y + (1 + h)z = 2 + 2hx+ y + 2z = 12x+ (1 h)y + (1 + h)2z = 2.

[34]

hx+ y + z = 2x y = 1hx 2y 2z = k.

[35]

x1 + 2x2 + x3 = 1x1 + (2 h)x2 + (2 + h)x3 = 2x1 + (2 + 3h)x2 2hx3 = k.

[36]

2x1 x2 x3 = 0(2 h)x1 + (2 + h)x2 x3 = 1(2 + 3h)x1 2hx2 x3 = k.

[37]

x1 + 2x2 x3 = 02x1 + (3 + k)x2 3x3 = 0(1 k)x1 + 4x2 3x3 = h.

[38]

(1 + a)x+ y z = 1x+ ay + z = 1 + ax+ y + z = 2a.

[39]

x1 + 2x2 hx3 = 0,hx1 + 3x2 + (1 h2)x3 = 1 + h,(6 2h2)x2 + 2x3 = 2 + 3h+ h2.

[40]

x1 x2 + hx3 = 1x1 + hx2 x3 = h(1 + h)x1 2hx2 + (1 + h2)x3 = 2h.

14 Sistemi Lineari

[41]

hx1 + (1 h)x2 2hx3 = 2x1 + hx2 + hx3 = 02x1 + hx2 + hx3 = h.

[42]

x1 x2 + 2x3 = k2x1 kx2 x3 = 1kx1 2x2 x3 = 4.

[43]

x+ ky + z = 0kx y + 2z = 1x y + 2z = k.

[44]

hx y = 1x hy + z = 22x hy + 2z = k.

[45]

x+ y z = 12x+ 3y 2az = 3x+ ay 3z = a.

[46]

x 2y z = 6hx 2y z = 2x+ y = h.

[47]

x1 + (1 + k)x2 5x3 = 42x1 (2 + k)x2 + (10 + 2k)x3 = 8x1 + x2 + (5 + 2k)x3 = 4 2k + k2.

[48]

3x+ 2ky + z = 7(3 + k)x (1 + k)y z = 12(6 + k)x+ 8ky + 2z = 11 + h.

[49]

x+ hy + hz = 1x+ hy + z = 0x hz = 0.

Capitolo 1 15

[50]

x+ y z = 0x 2y + (1 + k)z = 1(2 + k)x+ y z = h.

[51]

x+ y + z = 0(3 + a)x+ (1 + 2a)y z = 3(2 + a2)x+ az = 2 + a.

[52]

x+ y + 2z = 0x+ hy + 2z = h2x+ y + 2hz = 1.

[53]

x 2y + kz = 3x+ (2 + 4k)y + 2kz = 43x+ (3 + k)y + 3kz = 8 + h.

[54] Dato il sistema lineare:2x1 x2 x3 = 0(2 h)x1 + (2 + h)x2 x3 = 0(2 + 3h)x1 2hx2 x3 = k, h, k R,

1. determinare tutte le soluzioni nel caso di h = k = 0.

2. Discutere lesistenza delle soluzioni e determinarle (quando e` possibile) al variaredi h, k R.

[55] Dato il sistema lineare:x1 + x2 + x3 = kx1 kx2 + x3 = 1x1 + kx2 + x3 = k, k R,

1. determinare tutte le soluzioni nel caso di k = 1.

2. Discutere lesistenza delle soluzioni, al variare di k R.

16 Sistemi Lineari

1.2 Soluzioni

[1] Linsieme delle soluzioni e`{(

x1 =1

3 , x2 = , x3 = 2

3

)| R

}.

[2] Il sistema lineare e` incompatibile.

[3] Linsieme delle soluzioni e`:{(x1 =

3

41 +

1

42, x2 = 9 + 1

21 7

22, x3 = 1, x4 = 2

)| 1, 2 R

}.

[4] Linsieme delle soluzioni e`:{(x = 1 22, y = 1, z = 0, w = 2) | 1, 2 R}.

[5] Se a 6= b c lunica soluzione e` (x = 1, y = 2, z = 0);se a = b c linsieme delle soluzioni e`:{(x = 1 + (2c b)t, y = 2 ct, z = t) | t R}.

[6] Se k 6= 1 il sistema lineare e` incompatibile;

se k = 1 lunica soluzione e`(x =

2

3, y = 11

3, z = 10

3

).

[7] Se a / {2, 1} lunica soluzione e` (x = 1, y = a, z = 2);se a = 2 esistono infinite soluzioni (x = 1 + t, y = t, z = t), t R;se a = 1 esistono infinite soluzioni (x = 2 + , y = , z = ), , R.

[8] Se a / {0, 1} lunica soluzione e` (x = a, y = 1, z = 1);se a = 0 esistono infinite soluzioni (x = 1 + t, y = 1 2t, z = t), t R;se a = 1 esistono infinite soluzioni (x = 1, y = , z = ), R.

[9] Se h / {2, 1} lunica soluzione e`(x = 2

2 + h, y =

h

2 + h, z =

2(1 + h)

2 + h

);

Capitolo 1 17

se h = 2 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 1 esistono infinite soluzioni (x = 1 t t, y = t, z = t), t, t R.

[10] Se a / {2, 0, 2} lunica soluzione e`(x =

1

2 + a, y =

3 + 2a

a(2 + a), z =

1

2 + a

);

se a = 2, a = 0 il sistema lineare e` incompatibile;

se a = 2 esistono infinite soluzioni(x =

1

2 t, y = 1

4+

5

2t, z = t

), t R.

[11] Se k / {3, 2} e h R lunica soluzione e`:(x =

h+ k2 + k , y =

6 + 2h k + hk(3 + k)(2 + k) , z =

h+ k(3 + k)(2 + k)

);

se k = 3 e h 6= 3 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 3 e h = 3 esistono infinite soluzioni (x = 0, y = t, z = 1 + t), t R;se k = 2 e h 6= 2 il sistema lineare e` incompatibile;

se k = 2 e h = 2 esistono infinite soluzioni(x = , y =

1

5(5 4), z =

5

), R.


h+ k(1 + k)(2 + k) , y =

h+ k(1 + k)(2 + k) , z =

2 + h+ hk(1 + k)(2 + k)

);

se k = 2 e h 6= 2 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 2 e h = 2 esistono infinite soluzioni (x = t, y = t, z = 1 + t), t R;se k = 1 e h 6= 1 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 1 e h = 1 esistono infinite soluzioni (x = , y = , z = 1 ), , R.

[13] Se a 6= 3 e b R lunica soluzione e`:(x =

27 + 5a 3b+ ab3(3 + a)

, y =1

3(10 + b), z = 4 + 2b

3 + a

);

se a = 3 e b 6= 2 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 3 e b = 2 esistono infinite soluzioni:

18 Sistemi Lineari

(x = t, y = 8

3, z =

1

3(7 3t)

), t R.

[14] Se a 6= 2 e b R lunica soluzione e`:(x =

6 + 7a+ 4b5(2 + a)

, y =3(8 + a+ 2b)

5(2 + a), z =

5 + b2 + a

);

se a = 2 e b 6= 5 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 2 e b = 5 esistono infinite soluzioni:(x = t, y =

3

2(1 + t), z = 1

4(7 + 5t)

), t R.

[15] Se k / {2, 8} e a, b, c R lunica soluzione e`:(x =

7a b c ak(2 + k)(8 + k) , y =

2a 6b+ 2c+ bk(2 + k)(8 + k) , z =

3a+ 3b 5c+ ck(2 + k)(8 + k)

);

se k = 2 e b 6= 2a o c 6= 3a il sistema lineare e` incompatibile;se k = 2 e b = 2a e c = 3a esistono infinite soluzioni:(x = , y = , z = a+ ), , R;se k = 8 e a+ b+ c 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 8 e a+ b+ c = 0 esistono infinite soluzioni:(x = t, y =

1

6(3b+ 2c 12t), z = 1

6(3b+ 4c 18t)

), t R.

[16] Se k / {0, 2} lunica soluzione e`(x =

8(1 + k)2 + k , y =

4 3kk

, z = 3)

;

se k = 0 esistono infinite soluzioni (x = 0, y = t, z = 1), t R;se k = 2 il sistema lineare e` incompatibile.

[17] Se h / {1, 0} lunica soluzione e`(x =

1 + 2h2

1 + h, y = 1, z = 2 h

);

se h = 1 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 0 esistono infinite soluzioni (x = 1, y = t, z = 2), t R.

Capitolo 1 19

[18] Se h / {1, 1, 2} lunica soluzione e`:(x =

4 + h

2 h , y =4 2h h2

2 h , z = 1

2 h)

;

se h = 1 esistono infinite soluzioni (x = 1, y = t, z = 2 + t), t R;se h = 1 esistono infinite soluzioni (x = s, y = 1, z = 1), s R;se h = 2 il sistema lineare e` incompatibile.

[19] Se k / {2, 1} lunica soluzione e`:(x =

1(1 + k)(2 + k) , y =

1 + k

(1 + k)(2 + k) , z = 1

(1 + k)(2 + k))

;

se k {2, 1} il sistema lineare e` incompatibile.


1 + 12k

k, y =

5k

1 + k, z = 3 4k

);



1 k(1 + k)k , y =

1

1 + k , z =1

k

);


[22] Se a / {1, 2} lunica soluzione e`(x1 =

1 2a1 + a , x2 =

4 a1 + a , x3 = 3 + a

);

se a = 1 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 2 esistono infinite soluzioni (x1 = t, x2 = 2, x3 = t), t R.

[23] Se a / {3, 2} il sistema lineare e` incompatibile;se a = 3 esistono infinite soluzioni:(x = 2 2 , y = 7 2, z = , w = ), , R;se a = 2 esistono infinite soluzioni:(x = 2 2t s, y = 2 t 2s, z = t, w = s), t, s R.

20 Sistemi Lineari

[24] Se a 6= 13 esistono infinite soluzioni (x = 0, y = t, z = 0, w = t), t R;se a = 13 esistono infinite soluzioni:(x = , y = , z = 6, w = 16+ ), , R.

[25] Se h 6= 0 esiste solo la soluzione nulla (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0);

se h = 0 esistono infinite soluzioni(x1 = t, x2 = 1

4t, x3 =

1

2t, x4 = s

), t, s R.


1 hh

, y = 1, z = 1h

);

se h = 0 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 1 esistono infinite soluzioni (x = t, y = 3 + t, z = 3 + 2t), t R.

[27] Se h 6= 45

esiste solo la soluzione nulla (x = 0, y = 0, z = 0);

se h = 45

esistono infinite soluzioni(x = 1

4t, y = 5

4t, z = t

), t R.

[28] Esistono infinite soluzioni (x = 1 3t, y = 1 + 4t, z = t), t R.


5h

2 h , y = 0, z =1 2h

2 h)

;

se h = 2 esistono infinite soluzioni(x = 5

2 t, y = t, z = 3

4

), t R;

se h = 2 il sistema lineare e` incompatibile.

[30] Se h / {2, 1} lunica soluzione e` (x = 3, y = 1 + h, z = 4);

se h = 2 esistono infinite soluzioni(x = t, y = t, z = 1 3t

2

), t R;

se h = 1 esistono infinite soluzioni (x = 1 , y = 0, z = ), R.

Capitolo 1 21

[31] Se a / {4, 1, 3} lunica soluzione e`:(x =

2(1 + 9a)(4 + a)(3 + a) , y =

3 + 4a a2(4 + a)(3 + a) , z =

2 + 3a+ 5a2

(4 + a)(3 + a))

;

se a = 4 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 1 esistono infinite soluzioni (x = 3 + t, y = 2(1 + t), z = t), t R;se a = 3 il sistema lineare e` incompatibile.

[32] Se a / {1, 0} lunica soluzione e`(x = 0, y =

1

a, z =

1 + 2a

a

);

se a = 1 esistono infinite soluzioni(x =

1 + t

2, y = t, z =

1

2(5 + 3t)

), t R;

se a = 0 il sistema lineare e` incompatibile.

[33] Se h / {1, 3} lunica soluzione e`:(x =

2(1 h+ h2)3 h , y = 1 + 2h, z =

1 2h3 h

);

se h = 1 esistono infinite soluzioni(x =

1

2(5 2t), y = t, z = 3

4

), t R;


[34] Se h 6= 0 e k R lunica soluzione e`:(x =

4 kh

, y =4 + h k

h, z =

4 3h+ k hkh

);

se h = 0 e k 6= 4 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 0 e k = 4 esistono infinite soluzioni (x = t, y = 1 + t, z = 1 t), t R.

[35] Se h / {2, 0} e k R lunica soluzione e`:(x1 =

2h 2k 3hk + h2h(2 + h)

, x2 =h+ k + hk

h(2 + h), x3 =

2 + k

2 + h

);

se h = 2 e k 6= 2 il sistema lineare e` incompatibile;

22 Sistemi Lineari

se h = 0 e k 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile;se h = k = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = 2t, x2 = t, x3 = 1), t R;se h = k = 2 esistono infinite soluzioni (x1 = 2 4s, x2 = s, x3 = 1 + 2s), s R.

[36] Se h / {10, 0} e k R lunica soluzione e`:(x1 =

1 + 2h+ 3k + hkh(10 + h)

, x2 =3 + k

10 + h, x3 =

2 + h+ 6k + hkh(10 + h)

);

se h = 10 e k 6= 3 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 10 e k = 3 esistono infinite soluzioni:(x1 = t, x2 =

1

7(1 + 10t), x3 = 1

7(1 + 4t)

), t R;

se h = 0 e k 6= 13

il sistema lineare e` incompatibile;

se h = 0 e k =1

3esistono infinite soluzioni:(

x1 = , x2 =1

3, x3 = 1

3+ 2

), R.

[37] Se k / {2, 5} e h R lunica soluzione e`:(x1 =

h(3 + k)(2 + k)(5 + k) , x2 =

h

(2 + k)(5 + k) , x3 =h(1 + k)

(2 + k)(5 + k))

;

se k = 2 e h = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = t, x2 = t, x3 = t), t R;se k = 5 e h = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = 2s, x2 = s, x3 = 4s), s R;se k {2, 5} e h 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile.

[38] Se a / {0, 1} lunica soluzione e`(x =

3 + 2a

a, y = 1, z = 3 a+ 2a

2

a

);

se a = 0 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 1 esistono infinite soluzioni (x = 3 2t, y = t, z = 1 + t), t R.

[39] Se h / {0, 2} lunica soluzione e`:

Capitolo 1 23

(x1 =

1 h2

, x2 =1 + h

2(2 h) , x3 =1 + h

2(2 h))

;

se h = 0 esistono infinite soluzioni(x1 = t, x2 = t

2, x3 = 1 +

3

2t

), t R;


[40] Se h 6= 1 esistono infinite soluzioni:(x1 = (1 h)t, x2 = 1 + t, x3 = t), t R;se h = 1 esistono infinite soluzioni (x1 = 1 + u+ v, x2 = u, x3 = v), u, v R.

[41] Se h / {1, 0} lunica soluzione e`:(x1 = h, x2 =

2 2h h21 + h

, x3 =3 + h+ h2

1 + h

);

se h = 1 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = 0, x2 = 2, x3 = t), t R.

[42] Se k / {3, 2} lunica soluzione e`:(x1 =

3 + k

2(2 k) , x2 =7 k

2(2 k) , x3 =1 k

2

);

se k = 3 esistono infinite soluzioni (x1 = 2 t, x2 = 1 + t, x3 = t), t R;se k = 2 il sistema lineare e` incompatibile.

[43] Se k /{ 1

2, 1

}lunica soluzione e`

(x = 1, y =

1 + k1 + 2k

, z =1 k k2

1 + 2k

);

se k = 12


se k = 1 esistono infinite soluzioni (x = 1 3t, y = t, z = 1 + 2t), t R.

[44] Se h 6= 0 e k R lunica soluzione e`:(x =

4 + h kh2

, y =4 kh

, z =4 h+ k 2h2 h2k

h2

);

24 Sistemi Lineari

se h = 0 e k 6= 4 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 0 e k = 4 esistono infinite soluzioni (x = t, y = 1, z = 2 t), t R.

[45] Se a / {0, 2} lunica soluzione e`(x =

3 2a2 + a , y =

a

2 + a , z =1

2 + a)

;

se a = 0 esistono infinite soluzioni (x = 3t, y = 1 2t, z = t), t R;se a = 2 il sistema lineare e` incompatibile.

[46] Se h 6= 1 lunica soluzione e`:(x = 41 + h , y =

4 h+ h21 + h , z =

2(3 + 2h+ h2)1 + h

);


[47] Se k / {0, 2} il sistema lineare e` incompatibile;se k = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = 4 + t1 + 5t2, x2 = t1, x3 = t2), t1, t2 R;se k = 2 esistono infinite soluzioni (x1 = 4 + 7t, x2 = 2t, x3 = t), t R.

[48] Se k /{

0,1

3

}e h R lunica soluzione e`:

(x =

3 h 17k hkk(1 + 3k) , y =

2 + h

1 + 3k , z =9 + 3h+ 44k + 3hk + 17k2 2hk2

k(1 + 3k))

;

se k = 0 e h 6= 3 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 0 e h = 3 esistono infinite soluzioni (x = , y = 5, z = 7 3), R;

se k =1

3e h 6= 2 il sistema lineare e` incompatibile;

se k =1

3e h = 2 esistono infinite soluzioni:(

x = t, y = 15 + t4

, z =57 17t

6

), t R.

[49] Se h / {0, 1} lunica soluzione e`(x = h

1 h , y =1 + h

h(1 h) , z = 1

1 h)

;

Capitolo 1 25

se h = 0 o h = 1 il sistema lineare e` incompatibile.


h

1 + k, y =

1 2h+ k hk1 + k2 , z =

1 3h+ k1 + k2

);

se k = 1 e h 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 1 e h = 0 esistono infinite soluzioni (x = 1 + 2t, y = t, z = 1 + 3t), t R;

se k = 1 e h 6= 23


se k = 1 e h =2

3esistono infinite soluzioni

(x =

1

3, y = 1

3+ , z =

), R.

[51] Se a /{

0,1

2

}lunica soluzione e`

(x =

1

a, y =

2 + aa2

, z =2 2aa2

);

se a = 0 il sistema lineare e` incompatibile;

se a =1

2esistono infinite soluzioni (x = 2t, y = 3 9t, z = 3 + 7t), t R.

[52] Se h / {1, 2} lunica soluzione e`:(x = 1 h

2 h , y =h

1 h , z =1

2(2 h)(1 h))

;

se h {1, 2} il sistema lineare e` incompatibile.


2(2 + h k + 2hk)3 + k

, y =1 + h3 + k

, z =3 + 5k 4hkk(3 + k)

);

se k = 3 e h 6= 1 il sistema lineare e` incompatibile;se k = 3 e h = 1 esistono infinite soluzioni:(x = t, y =

2 t10

, z =1

15(17 + 6t)

), t R;

26 Sistemi Lineari

se k = 0 e h R il sistema lineare e` incompatibile.

[54] 1. Linsieme delle soluzioni e` {(x1 = t, x2 = 0, x3 = 2t) | t R}.2. Se h / {10, 0} e k R lunica soluzione e`:(

x1 =3k + hk

h(10 + h), x2 =

k

10 + h, x3 =

6k + hk

h(10 + h)

);

se h = 10 e k 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 10 e k = 0 esistono infinite soluzioni:(x1 = t, x2 =

10

7t, x3 =

4

7t

), t R;

se h = 0 e k 6= 0 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 0 e k = 0 esistono infinite soluzioni (x1 = s, x2 = 0, x3 = 2s), s R.

[55] 1. Se k = 1 linsieme delle soluzioni e` {(x1 = t, x2 = t, x3 = 1) | t R}.2. Se k 6= 1 il rango della matrice dei coefficienti e` 3, pertanto il sistema lineare e`

compatibile;

se k = 1 i ranghi della matrice dei coefficienti e della matrice completa sonoentrambi 2, pertanto il sistema lineare e` compatibile e ammette infinite soluzioni(cfr. punto 1.).

Capitolo 2

Matrici e Determinanti

2.1 Esercizi

[1] Dopo aver verificato che la matrice:

A =

1 2 01 2 21 1 1

e` invertibile, calcolare A1 .

[2] Dopo aver verificato che la matrice:

A =

1 3 12 1 12 1 0

e` invertibile, calcolare A1 .

[3] Data la matrice:

A =

1 2 30 1 21 4 h

,discutere, al variare del parametro reale h, lesistenza della matrice A1 e calcolare A1

in questi casi.

27

28 Matrici e Determinanti


A =

1 3 1 2h 0 0 01 1 0 00 0 0 h

,determinare i valori di h R per cui A e` invertibile e scrivere A1 in questi casi.

[5] 1. Stabilire per quali valori di h R la matrice:

A =

1 2 1 12 1 0 00 1 1 h3 2 1 1

e` invertibile.

2. Posto h = 0, determinare linversa di A.

[6] Stabilire per quali valori di h R la matrice:

A =

0 h 1 00 1 2 1

1+h 0 0 00 2 1 3

e` invertibile.

[7] Calcolare il determinante della seguente matrice, riducendola eventualmente a formatriangolare superiore:

A =

0 2 1 34 1 0 02 1 1 01 0 2 0

.


Capitolo 2 29

A =

1 2 3 4 15 2 6 0 12 3 4 1 70 1 2 3 41 1 0 0 0

.


A =

0 0 0 1 21 3 2 1 04 3 2 1 51 1 2 1 30 2 3 1 4

.


A =

1 2 3 42 3 4 1

3 4 1 24 1 2 3

.


A =

1+k 2+k 3+k

1 2 3

12k 22k 32k

, k R.


A =

h 1+h 2+h

1h 2 h 3 h4 5 6

, h R.



A =

1 k 21 k2 3+k2 k+k2 5+2k

,con k R,

1. calcolare il determinante di A (si suggerisce di ridurre opportunamente la matriceper righe).

2. Determinare per quali valori del parametro reale k la matrice A e` invertibile.


A =

1+h h2 4+hh 3 h 40 h 0

,con h R,

1. calcolare il determinante di A.

2. Determinare per quali valori del parametro reale h la matrice A e` invertibile.

[15] Date le matrici:

A =

1 1 01 0 10 1 2+a2

, X = x1x2

x3

, B = 23

a

,determinare le soluzioni del sistema lineare AX = B , al variare di a in R. Quando e`possibile, trovare le soluzioni applicando il Teorema di Cramer.


A =

2 3 11 14+a2 41 5 3

, X = x1x2

x3

, B = 42+a

2

,determinare le soluzioni del sistema lineare AX = B , al variare di a in R. Quando e`possibile, trovare le soluzioni applicando il Teorema di Cramer.

Capitolo 2 31


A =

2 3 2 14 6 1 26 9 1 1

, X =

x1x2x3x4

,

B1 =

120

, B2 = 12

3

, B3 = 00

0

,determinare le soluzioni dei sistemi lineari AX = B1, AX = B2, AX = B3 .

[18] Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare, al variare di h in R:

1 2h 3 2h21 h 21 h 1 h2

x1x2x3

= 2h1

h

.[19] Date le matrici:

A =

1 20 13 50 h

, B = 3 11 2

k 0

,

determinare, al variare dei parametri reali h e k , una matrice X tale che XA = B.


A =

(1 2 31 h 2h

), B =

0 1 12 1 03 0 k

0 0 k

.determinare, al variare dei parametri reali h e k , una matrice X tale che XA = B.



A =

5 1 03 0 14 1 3

, B = 2 12 0

h k

,stabilire per quali valori di h, k R lequazione matriciale AX = B e` compatibile edeterminare, quando e` possibile, le soluzioni di tale equazione.


A =

h 1 10 2 10 1 h

, B = h 10 1

2+h 0

,discutere e risolvere, al variare del parametro h R, lequazione matriciale AX = B.


A =

k 11 21 k

, B = k 10 0

2+k 0

,discutere e risolvere, al variare del parametro k R, lequazione matriciale AX = B .


A =

3 11 22 h

, B = 1 1 10 1 3

0 k h+k

,stabilire per quali valori di h e k in R le seguenti equazioni matriciali:

AX = B, X A = B,

sono compatibili. Determinare, quando e` possibile, le loro soluzioni.

Capitolo 2 33


A =

2 1h 21 0

, B = 3 1 k2 0 3

4 k 1

,determinare, al variare di h, k R, le soluzioni dellequazione matriciale AX = B .


A =

1 2 1 30 3 1 51 h 0 8

, B = 2 10 13+k 0

,discutere e risolvere, al variare di h, k R, lequazione matriciale AX = B.


A =

1 1 2 31 0 5 63 h 1 0

, B = 1 15 3

k 1

,determinare, al variare di h, k R, le soluzioni dellequazione matriciale AX = B .


A =

1 12 k1 h

, B = 0 11 1

0 k

, h, k R,risolvere lequazione matriciale AX = B .


A =

1 1h 11+k 3

, B =1 0k 0

0 1

, h, k R,risolvere lequazione matriciale AX = B .



A =

1 0 12 1 34 h k

, B = 1 31 0

3h 6

,stabilire per quali valori di h e k in R le seguenti equazioni matriciali:

AX = B, X A = B

sono compatibili. Determinare, quando e` possibile, le loro soluzioni.


A =

(2 1 11 0 5

), B =

(2 5 8 16 7 7 9

),

risolvere lequazione matriciale AX = B.

[32] 1. Date le matrici:

A =

3 2k 23 2+2k 1k 0 1

, B = 2+2k2+2k1+k2

,discutere la compatibilita` dellequazione matriciale AX = B, al variare del para-metro k R, e determinare, quando e` possibile, la matrice X.

2. Date due matrici quadrate A e B dello stesso ordine, e` sempre valida lidentita`:A2 B2 = (A+B)(AB)? Giustificare la risposta.

2.2 Soluzioni

[1] La matrice A e` invertibile in quanto det(A) = 2,

A1 =

0 1 2

1

21

21

12

3

22

.

Capitolo 2 35

[2] La matrice A e` invertibile in quanto det(A) = 3,

A1 =

1

31

3

2

3

2

32

3

1

3

4

37

3

5

3

.

[3] Esiste A1 per ogni h 6= 9;

A1 =

8 + h9 + h

12 2h9 + h

1

9 + h29 + h

3 + h

9 + h29 + h

1

9 + h69 + h

1

9 + h

.

[4] Esiste A1 per ogni h 6= 0;

A1 =

01

h0 0

01

h1 0

12

h3 2

h

0 0 01

h

.

[5] 1. Esiste A1 per ogni h 6= 1.2. Per h = 0 linversa di A e`:


A1 =

12

0 01

2

1 1 0 1

1 1 1 1

1

21 1 1

2

.

[6] A e` invertibile per ogni h /{1, 1

5

}.

[7] det(A) = 39.

[8] det(A) = 93.

[9] det(A) = 99.

[10] det(A) = 160.

[11] det(A) = 0, per ogni k R.

[12] det(A) = 0, per ogni h R.

[13] 1. det(A) = k2(1 + k).2. A e` invertibile se e solo se k / {0, 1}.

[14] 1. det(A) = h(2 + h)(2 + h).2. A e` invertibile se e solo se h / {2, 0, 2}.

[15] Se a / {1, 1} lunica soluzione e`:

Capitolo 2 37

X =

4 + 3a

1 + a

2 a1 + a

1

1 + a

,

che, in questo caso, puo` essere determinata anche usando il Teorema di Cramer;se a = 1 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 1 esistono infinite soluzioni:

X =

023

+ 11

1

t, t R.[16] Se a / {4, 4} lunica soluzione e`:

X =

2(27 + 5a)

7(4 + a)

1

4 + a

25 + 8a

7(4 + a)

,

che, in questo caso, puo` essere determinata anche usando il Teorema di Cramer;se a = 4 il sistema lineare e` incompatibile;se a = 4 esistono infinite soluzioni:

X =

0

57

13

14

+

1

1

2

12

t, t R.

[17] AX = B1 e` incompatibile;AX = B2 ammette infinite soluzioni:


X =

3

2

1

0

0

1 +

3

10

0

4

5

1

2 +

1

2

0

0

0

, 1, 2 R;

AX = B3 ammette infinite soluzioni:

X =

3

2

1

0

0

1 +

3

10

0

4

5

1

2, 1, 2 R.

[18] Se h / {1, 0, 1} lunica soluzione e`:

x1

x2

x3

=

1

1 + h

2 + h

h(1 + h)

11 + h

;

se h = 1 e h = 0 il sistema lineare e` incompatibile;se h = 1 esistono infinite soluzioni, date da: x1x2

x3

= 01

0

+11

1

t, t R.

Capitolo 2 39

[19] Esistono infinite soluzioni, date da:

X =

3 3a 5 + a hd a d1 3b 4 + b he b ek 3c 2k + c hf c f

, (a, b, c), (d, e, f) R3 .[20] Lequazione matriciale e` incompatibile per ogni valore reale di h e k .

[21] Se h 6= 4 o k 6= 1 lequazione matriciale e` incompatibile;se h = 4 e k = 1 lequazione matriciale ha infinite soluzioni:

X =

a b2 5a 1 5b2 3a 3b

, (a, b) R2 .

[22] Se h /{

0,1

2

}lunica soluzione e`:

X =

2(3 + h+ h2)h(1 2h)

2 hh(1 2h)

2 + h

1 2hh

1 2h2(2 + h)

1 2h1

1 2h

;

se h {

0,1

2

}lequazione matriciale e` incompatibile.

[23] Se k 6= 2 lequazione matriciale e` incompatibile;se k = 2 lunica soluzione e`:

X =

4

52

5

25

1

5

.


[24] Se h 6= 4 o k 6= 2 lequazione matriciale AX = B e` incompatibile;

se h = 4 e k = 2 lunica soluzione e`:

X =1

7

(2 3 11 2 10

);

lequazione matriciale X A = B e` priva di significato.

[25] Se h 6= 3 o k 6= 2 lequazione matriciale e` incompatibile;

se h = 3 e k = 2 lunica soluzione e`:

X =

(4 2 15 3 0

).

[26] Se h 6= 1 lequazione matriciale ammette infinite soluzioni:

X =

3 + 2h+ k + 8a+ 8ah1 + h

8b

5 + k1 + h

0

15 3k 5a 5ah1 + h

1 5b

a b

, (a, b) R2 ;

se h = 1, k 6= 5 lequazione matriciale e` incompatibile;se h = 1, k = 5 esistono infinite soluzioni:

X =

2 + 8a+ c 8b+ d

c d5a 3c 1 5b 3d

a b

, (a, b), (c, d) R2 .

[27] Se h 6= 2 esistono infinite soluzioni:

Capitolo 2 41

X =

a b

3 + k

2 + h

22 + h

3h 2k + 6a+ 3ah2 + h

2 h+ 6b+ 3bh2 + h

5 5h+ 5k 14a 7ah3(2 + h)

8 + h 14b 7hb3(2 + h)

, (a, b) R2 ;

se h = 2 lequazione matriciale e` incompatibile.

[28] Se h = 1 e k = 1 lunica soluzione e`:

X =

(1 21 3

);

se h 6= 1 o k 6= 1 lequazione matriciale e` incompatibile.

[29] Se h = 1 e k = 1 lunica soluzione e`:

X =

(3 12 1

);

se h 6= 1 o k 6= 1 lequazione matriciale e` incompatibile.

[30] Se k 6= 4 + 5h lunica soluzione e`:

X =

h k4 + 5h k

3(2 + 3h k)4 + 5h k

16 + 15h+ k

4 + 5h k 6(11 + k)

4 + 5h k

4(1 + h)4 + 5h k

6(3 + h)

4 + 5h k

;

se k = 4 + 5h lequazione matriciale e` incompatibile.


Lequazione matriciale X A = B e` priva di significato.

[31] Esistono infinite soluzioni:

X =

6+51 7+52 7+53 9+541491 992 2293 19941 2 3 4

, (1, 2, 3, 4) R4 .[32] 1. Se k / {3, 1} lunica soluzione e`:

X =

4 + 3k + k2

3 + k

3 + 5k

2(3 + k)

3 + 5k3 + k

;

se k = 3 lequazione matriciale e` incompatibile;se k = 1 esistono infinite soluzioni:

X =

2tt2t

, t R.2. No perche, in generale, AB 6= BA, come ad esempio nel caso delle matrici:

A =

(1 11 1

), B =

(1 10 1

).

Capitolo 3

Calcolo Vettoriale

3.1 Esercizi

Tutti gli esercizi, a meno di esplicita dichiarazione contraria, sono da considerarsi inseritinello spazio vettoriale reale V3 dei vettori ordinari, riferito ad una base ortonormale posi-tiva B = (i, j,k). I simboli e indicano, rispettivamente, il prodotto scalare eil prodotto vettoriale o esterno tra due vettori.

[1] Dati i vettori:

a = hi j + 3k, b = i hj + kk, c = 2i + kk, h, k R,trovare per quali valori di h, k esistono dei vettori x tali che:

a x + x b = ce determinare, quando e` possibile, le componenti di x.

[2] Dati due vettori a e c non nulli e ortogonali, semplificare le seguenti espressioni:

a (a c); a (a c).

[3] Dati i vettori a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 1), determinare una base ortogonale positivacontenente a e un vettore complanare ad a e a b.

[4] 1. I vettori a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 1) possono rappresentare i lati di un rettangolo?

2. Determinare una coppia di vettori paralleli alle altezze del parallelogramma indivi-duato da a e da b.

43

44 Calcolo Vettoriale

[5] 1. I vettori a = (1, 1, 0), b = (2, 0, 1) possono rappresentare i lati di un rombo?

2. Determinare le rette vettoriali bisettrici degli angoli individuati da a e da b.

[6] Dati i vettori a = (1, 0,2), b = (0, 1,1), determinare una base ortogonalepositiva contenente a e un vettore c ortogonale sia ad a sia a b.

[7] Dati i vettori:

a = (1, 3, h), b = (1, 5, 0), c = (1,2,1), h R,

determinare per quali valori di h esiste un vettore x che verifichi simultaneamente leseguenti condizioni:

a. x sia complanare ad a e a c;

b. x sia ortogonale a b c;c. il vettore proiezione ortogonale di x su c sia c.

[8] Dati i vettori u = (2, 1, 3), v = (0, 2, 3), determinare il vettore x simmetrico di urispetto a v .

[9] Dati i vettori u = (2, 1, 3), v = (0, 2, 3), determinare le rette vettoriali bisettrici degliangoli individuati da u e da v .

[10] Dati i vettori:

a = (1, 2, 3), b = (1, 3,1), c = (0, 1, 1),

determinare i vettori x tali che:

2(x a)b + x b = c.

[11] Calcolare il valore dellespressione:

(a + b c) (a b + c) (a + b + c),

dove a,b, c sono vettori qualsiansi.

Capitolo 3 45

[12] Dati i vettori u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 0), decomporre il vettore v nella somma diun vettore parallelo ad u e di un vettore ortogonale ad u.

[13] Siano u,v vettori di V3 , provare che:

u v2 = u2v2 (u v)2.

[14] Verificare che i vettori u = 2(i + j k), v = i + k sono ortogonali e determinarele componenti del vettore w = i 3j + 2k rispetto alla base B = (u,v,u v).

[15] Dati i vettori u = i k, v = i + j, determinare i vettori x, complanari a u e a v ,ortogonali a u + v e di norma 1.

[16] Dati i vettori u = i 2j k, v = i + j k,1. verificare che u e` ortogonale a v.

2. Determinare i vettori x tali che u x = v .

[17] Dati i vettori u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1), determinare i vettori x tali che la loroproiezione ortogonale sul piano vettoriale individuato da u e v sia il vettore 3u + 4v .


u = (1,1, h), v = (2, 0, h), w = (2, 1, 0), h R,determinare per quali valori di h esistono uno o piu` vettori x che verifichino tutte leseguenti condizioni:

a. x sia ortogonale ad u;

b. il vettore proiezione ortogonale di x su v sia 2v;

c. il volume (con segno) del tetraedro individuato dai vettori x,v,w valga 8.

[19] 1. Dati i vettori a = (1, 0,1), b = (2, 1, 2), determinare i vettori x che verifichi-no tutte le seguenti condizioni:

a. larea del parallelogramma individuato da a e da x sia 6;

b. B = (a,b,x) sia una base ortogonale positiva.2. Calcolare le componenti del vettore c = (4,1, 3) rispetto alla base B.


[20] 1. Dati i vettori a = (2, 1, 1), b = (0, 1, 1), determinare tutti i vettori x tali che laproiezione ortogonale di x sul piano vettoriale generato da a e da b sia il vettorea + b.

2. Scelto un vettore x tra quelli determinati nel punto 1., calcolare le componenti delvettore c = (4,1, 3) rispetto alla base B = (a,b,x).


x = i j + 2hk, y = hi + hj 2k, z = i, h R,

1. esistono dei valori di h per cui i tre vettori risultino complanari?

2. Esistono dei valori di h per cui il vettore x bisechi langolo formato da y e da z?


a1 = (1, 3,2), a2 = (2,6 + a, 4 + a),a3 = (1,3 + a, 1 + a+ a2), b = (0,2,1 + a), a R,

1. determinare i valori del parametro a per cui i vettori a1, a2, a3 siano linearmenteindipendenti.

2. Posto a = 2, determinare le componenti del vettore b rispetto alla base (a1, a2, a3).

[23] Determinare i valori di h in R per cui i vettori:

u1 = (1, 1, 2), u2 = (2,1, 3), u3 = (3, 0, h)

siano linearmente indipendenti.

[24] Dati i vettori u = (1, 3, 2), v = (2, 1, 1), verificare che sono linearmente indi-pendenti. Trovare per quali valori di t in R il vettore w = (t, 0,1) appartiene al pianovettoriale individuato da u e da v e, per tali valori, determinare le sue componenti rispettoalla base (u,v) del piano vettoriale.

[25] Dati i vettori a = (0, 1, 2), b = (3,1, 1), c = (1, 2, 2), determinare la proiezio-ne ortogonale di c sul piano vettoriale individuato da a e b.

Capitolo 3 47


v1 = (1,2 2k,2), v2 = (1,2 + 2k, 16), v3 = (4,7 k, 8), k R,

1. per quali valori di k i vettori v1,v2,v3 sono linearmente dipendenti?

2. Per i valori di k ottenuti al punto 1., provare che B = (v1,v2) e` una base del pianovettoriale generato da v1,v2,v3 e trovare le componenti di v3 rispetto a B .


a = i + 2j + k, b = 2i j + k, c = i j,

1. verificare che (a,b, c) e` una base di V3 .

2. Costruire una base ortonormale (e1, e2, e3) di V3 tale che e1 sia parallelo ad a ede2 sia complanare ad a e a b.


u = i hk, v = hj k, w = hi + 2hj k, h R,

1. determinare un valore di h per cui i vettori u,v,w siano complanari.

2. Determinare un valore di h per cui i vettori u e v siano paralleli.

3. Trovare un valore di h per cui i vettori u,v,w costituiscano una base ortogonale.

4. Posto h = 2, determinare il vettore proiezione ortogonale di u sul piano vettorialegenerato da v e da w.

[29] Determinare un vettore di norma 1, ortogonale a u = i j e a v = i + k, concomponente positiva lungo k.


u = 2hi j + hk, v = hi j, w = i hj, h R,

1. determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori u,v,w siano complanari.

2. Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori u e v siano paralleli.



a = 2i + 2j + hk, b = i j + 2hk, h R,

1. determinare h in modo che a b2 = 56.2. E` possibile determinare h in modo che a sia ortogonale a b? E in modo che a sia

parallelo a b? Giustificare le risposte.

[32] Dati i vettori u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1),

1. determinare i vettori complanari a u e a v , ortogonali ad u e aventi norma

2 .

2. Determinare le componenti del vettore i rispetto alla base (u,v,u v).


u = (1, 2,1), v = (1, 0, 2), w = (h, h, 2 + h), t R,

1. determinare il valore di t in modo che u,v,w siano complanari ed esprimere wcome combinazione lineare di u e di v .

2. Posto h = 1, determinare il vettore w ortogonale a u, a v, avente norma ugualealla norma di w e formante un angolo ottuso con j.

[34] Utilizzando il prodotto scalare di due vettori, dimostrare che un parallelogramma haquattro lati congruenti se e solo se le diagonali sono ortogonali.

[35] Utilizzando il prodotto scalare di due vettori, dimostrare che le diagonali del rombosono bisettrici degli angoli.


u = (h,h, 1), v = (1, 2, 1), w = (h,1, h), h R,

1. determinare i valori di h per cui il volume (con segno) del tetraedro individuato dau,v,w sia 5.

2. Determinare i valori di h per cui u,v,w siano complanari e langolo tra v e w siaottuso.

Capitolo 3 49

3. Posto h = 2, dopo aver verificato che B = (u,v,w) e` una base non ortogonale,determinare le componenti di j rispetto a B .


a = hi j + 3k, b = i 2j + k, c = i j k, d = i + 3j hk, h R,1. stabilire per quali valori di h esistono dei vettori x complanari ad a e a b e tali che

x c = d.2. Determinare, quando e` possibile, le componenti di x rispetto alla base B = (i, j,k).

[38] Dati i vettori:a = hi j k, b = j + k, h R,

determinare, al variare di h, tutti i vettori x che verifichino contemporaneamente leseguenti condizioni:

a. a,b e x siano complanari;

b. a sia ortogonale a x;

c. il vettore proiezione ortogonale di x su b sia 2b.


u = i + k, v = j + k, w = 2i j + k, t = 3i j + 3k,1. calcolare (u + v) w t.2. Determinare le componenti del vettore i rispetto alla base (u,v,u v).3. Determinare il vettore proiezione ortogonale di u su w .


u = (1, h, 1), v = (h, 1, 1), w = (1, 1, h), h R,determinare, al variare di h, i vettori x tali che:

x u = 1, x v = 2 h, x w = h.

[41] Decomporre il vettore v = (1, 2, 1) nella somma di un vettore appartenente al pianovettoriale W di equazione x+ y z = 0 (rispetto ad una base ortonormale B = (i, j,k))e di un vettore parallelo a u = (1, 1,1).


[42] Dati i vettori u = (0, h,1), v = (2, 1,1), con h R, determinare, al variare dih, i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. x, u, v siano complanari;

b. il vettore proiezione ortogonale di x su k sia k;

c. il prodotto scalare di x con u sia 1 + 2h.

[43] Dati i vettori u = (1, 1,2), v = (h, 0, 1), con h R, determinare, al variare di h,i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. il vettore proiezione ortogonale di x su u v sia 2(u v);

b. il prodotto scalare di x con v sia h;

c. x sia ortogonale a k.


u = (1,2, 1), v = (0, h, 1), w = (0,h, 1), h R,

determinare, al variare di h, i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. il vettore proiezione ortogonale di x su u sia (1/6)u;

b. il prodotto scalare di x con v sia 1;

c. il prodotto misto x i w sia 1 2h.

[45] Dati i vettori:a = i k, b = i + hj + k, h R,

determinare, al variare di h, i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. il volume (con segno) del tetraedro individuato da a,b e x sia 1;

b. b sia ortogonale a x;

c. il vettore proiezione ortogonale di x su a sia a.

Capitolo 3 51

[46] Dati i vettori a = 2i + k, b = j + k,

1. verificare che a,b, i sono linearmente indipendenti e determinare le componenti dij rispetto alla base (a,b, i).

2. Determinare il vettore x di norma 6, appartenente al piano vettoriale individuatoda b e da i, ortogonale ad a e formante un angolo ottuso con i.

3. Calcolare larea del triangolo di lati a e b.

[47] Dati i vettori u = i + 2j k, v = 2i 3j + k, w = i + j 2k,

1. determinare i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. x sia ortogonale a u,

b. x sia complanare a v e a w ,

c. x abbia norma

7.

2. Verificare che B = (u,v,w) e` una base di V3 .

3. Scrivere le equazioni del cambiamento di base dalla base B = (i, j,k) alla baseB = (u,v,w).

4. Determinare le componenti del vettore a = 5i + 7j + 2k rispetto alla base B.

[48] Determinare il vettore simmetrico di u = (0, 1, 1) rispetto al piano vettoriale H deivettori x = (x1, x2, x3) tali che x1 + 2x2 + x3 = 0.

[49] Dati i vettori u = i + 2j k, v = i j,

1. decomporre u nella somma di un vettore ortogonale ad u e di un vettore avente lastessa direzione di v .

2. Trovare tutti i vettori complanari ad u e a v e ortogonali a u v .

3. Determinare una base ortonormale B = (a,b, c) di V3 tale che a sia parallelo a ue b sia complanare a u e a v .



a = i j + 3k, b = i + 2j, c = i j k,

1. determinare un vettore x parallelo ad a e di lunghezza 2.

2. Determinare un vettore y complanare ad a e a b, ortogonale a b e che forma unangolo ottuso con a.

3. Verificare che B = (a,b, c) e` una base di V3 e determinare le componenti di krispetto alla base B .

4. Calcolare il vettore proiezione ortogonale p del vettore b sul piano vettoriale indi-viduato da a e da c. Esprimere, quindi, p come combinazione lineare dei vettori ae c.


u = i 2j + 3k, v = 2i j + 2k, w = i + j k,

1. determinare i vettori x che verifichino tutte le seguenti condizioni:

a. x sia complanare ad u e a v ,

b. x sia ortogonale a w ,

c. x abbia norma

26.

2. Calcolare v w .3. Scrivere le equazioni del cambiamento di base dalla base B = (i, j,k) alla baseB = (v,w,v w).

4. Determinare le componenti del vettore a = 3i + 9j + 13k rispetto alla base B .

3.2 Soluzioni

[1] Se h 6= 1 e k(3 + k) 6= 2 2h non esistono soluzioni;se h 6= 1 e k(3 + k) = 2 2h esistono infiniti vettori:

x =

(1 h3 + k t

)i +

(2 + (1 h)t3 + k

)j + tk, t R;

Capitolo 3 53

se h = 1 e k 6= 0 non esistono soluzioni;

se h = 1 e k = 0 esistono infiniti vettori x =2

3j + tk, t R.

[2] Dalle definizioni di prodotto vettoriale e scalare segue:

a (a c) = a2 c; a (a c) = 0.

[3] Una delle basi richieste e` (a, a b, a (a b)), dove:a b = 2i j + k, a (a b) = i j 5k.

[4] 1. No perche i vettori a e b non sono ortogonali.

2. Per esempio i vettori richiesti sono:

v1 = (1, 1,1), v3 =( 2

5,

1

5, 1

).

[5] 1. No perche i vettori a e b non hanno la stessa lunghezza.

2. Le rette vettoriali richieste sono generate dai vettori:

vers a + versb =

(12

+25,

12,

15

),

vers a versb =(

12 2

5,

12, 1

5

).

[6] Una delle basi richieste e` (a, c, a c), con c = (2, 1, 1).

[7] Se h 6= 83

il vettore richiesto e` x = (1, 2, 1);

se h = 83

esistono infiniti vettori x =(

1

8(18 + 5t), t, 1

8(30 11t)

), t R.

[8] Il vettore x si trova imponendo la condizione u + x = 2p, dove p e` il vettoreproiezione ortogonale di u su v;


x =

(2, 31

13,

27

13

).

[9] Le rette vettoriali richieste sono generate dai vettori:

versu + versv =

(14

7,

13

14 + 28

13

182,

39

14 + 42

13

182

),

versu versv =(

14

7,

13

14 2813182

,39

14 4213182

).

[10] Si trova un solo vettore x che verifica la condizione assegnata:

x =

(5

11, 2

11, 0

).

[11] (a + b c) (a b + c) (a + b + c) = 4 a b c.

[12] La decomposizione e` v =1

3u+

(2

3, 1

3, 1

3

)e si trova per esempio imponendo

la condizione v = u + (1 2, 1, 2), , 1, 2 R.

[13] La verifica segue dalle definizioni di prodotto vettoriale e di prodotto scalare e danote identita` trigonometriche.

[14] I vettori u e v sono ortogonali in quanto u v = 0.Il vettore w, espresso rispetto alla base B, e` dato da:

w = 23u +

3

2v +

5

12(u v).

[15] Si trovano due vettori x1 =

2

2j +

2

2k, x2 =

2

2j

2

2k.

[16] 1. I vettori u e v sono ortogonali in quanto u v = 0.2. I vettori richiesti sono infiniti, dati da x = (1 , 1 + 2, ), R.

Capitolo 3 55

[17] I vettori richiesti sono infiniti, dati da x = (3 + , 7 , 4 + ), R.

[18] Se h / {2, 2} il vettore richiesto e`:

x =

(4(2 + 7h 2h2 + h3)

2 + h ,2(4 + 10h 2h2 + h3)

2 + h ,6(8 2h+ h2)2 + h

);

se h = 2 esistono infiniti vettori x = (8 + t, 8 t, t), t R;se h = 2 non esistono vettori che verificano le condizioni assegnate.

[19] 1. Esiste il solo vettore x = (1,4, 1).

2. Il vettore c, espresso rispetto alla base B, e` c = 12a +

13

9b +

11

18x.

[20] 1. Esistono infiniti vettori dati da x = a + b + (a b), R.2. Scelto x = (2, 0, 4), allora c = a 2b + x.

[21] 1. I vettori x, y, z sono complanari se e solo se h = 1.2. Non esiste alcun valore di h per cui x verifichi la proprieta` richiesta.

[22] 1. I vettori a1, a2, a3 sono linearmenti indipendenti se e solo se a / {1, 0, 1}.2. b = 3a1 2a2 + a3 .

[23] I vettori u1, u2, u3 sono linearmenti indipendenti se e solo se h 6= 5.

[24] I vettori u e v sono linearmente indipendenti perche le loro componenti non sonoordinatamente in proporzione. Il valore di t richiesto e` t = 7; w = u 3v .

[25] Indicando con p la proiezione ortogonale di c su a b, il vettore x richiesto e` tale

che x + p = c; x =( 7

6,

5

3,

13

6

).


[26] 1. I vettori v1,v2,v3 sono linearmente dipendenti se e solo se k = 5/3.2. B e` una base in quanto e` formata da due vettori linearmente indipendenti;

il vettore v3, espresso rispetto alla base B, e` dato da v3 = 4v1 .

[27] 1. E` sufficiente verificare che i tre vettori dati sono linearmente indipendenti.

2. Una delle basi richieste e` (e1, e2, e3) con:

e1 = vers a, e2 = vers(a (a b)), e3 = e1 e2, ossia:

e1 =

6

6i +

6

3j +

6

6k, e2 =

1210

(11 i + 8j 5k), e3 = e1 e2.

[28] 1. I vettori u,v,w sono complanari per h = 0.

2. Non esistono valori di h per cui i vettori u e v siano paralleli.

3. Non esistono valori di h per cui i vettori u,v,w formino una base ortogonale.

4. Il vettore richiesto e`1

6i +

5

6j 1

3k.

[29] Un vettore richiesto e`13

(i j + k).

[30] 1. I vettori u,v,w sono complanari se h = 0 oppure se h = 1.2. I vettori u,v sono paralleli se h = 0.

[31] 1. I valori di h cercati sono h = 2

5

17.

2. a e` ortogonale a b se h = 0. Non esiste alcun valore di h per cui a e b sonoparalleli perche le loro proiezioni ortogonali sul piano vettoriale individuato da i eda j sono ortogonali.

[32] 1. Si ottengono i due vettori

3

3(1,2,1),

3

3(1,2,1).

Capitolo 3 57

2. Il vettore i, espresso rispetto alla base (u,v,u v), e` dato da:

i =2

3u 1

3v 1

3(u v).

[33] 1. u,v,w sono complanari se h = 49

, inoltre w = 29u +

2

3v .

2. w =

(4

329, 3

329, 2

329

).

[34] Se x e y sono i lati congruenti di un parallelogramma, segue x2 = y2; dalladefinizione di norma e dalle proprieta` del prodotto scalare segue (x + y) (x y) = 0.Il viceversa si ottiene in modo analogo.

[35] Siano x e y i lati di un rombo, allora x2 = y2 e dalla definizione di prodottoscalare segue:

cos( x,x + y) = cos( y,x + y) e cos( x,x y) = cos( y,x y).

[36] 1. I valori di h richiesti sono h =1249

4.

2. Il valore di h richiesto e` h = 12

.

3. B e` una base perche contiene tre vettori linearmente indipendenti, non e` una baseortogonale perche u v 6= 0; j = (2/5)v (1/5)w .

[37] 1. Il valore di h richiesto e` h = 2.

2. Il vettore x, espresso rispetto alla base B, e` dato da x = i + j + 2k.

[38] Se h 6= 0 il vettore richiesto e` x = 2

2

hi +

2 j +

2k;

se h = 0 non esiste alcun vettore che verifica tutte le condizioni assegnate.

[39] 1. (u + v) w t = 3.


2. i =2

3u 1

3v 1

3(u v).

3. Il vettore richiesto e`1

2(2i j + k).

[40] Se h / {2, 1} il vettore che risolve il problema e`:

x =

( 1 + h

2 + h,

1

2 + h,

3 + h

2 + h

);

se h = 2 non esiste alcun vettore x che verifica le condizioni assegnate;se h = 1 si ottengono infiniti vettori x = (t, u, 1 t u), t, u R.

[41] La decomposizione e` v =(

1

3,

4

3,

5

3

)+

(2

3,

2

3, 2

3

).

[42] Se h / {0, 1} il vettore richiesto e` x =(

2(2 + h)

1 h , 2, 1)

;

se h = 0 i vettori richiesti sono infiniti, dati da(t,t

2, 1

), t R;

se h = 1 non esiste alcun vettore che verifica le condizioni assegnate.

[43] Se h /{ 1

2, 0

}il vettore richiesto e` x =

(1,3 8h 10h2

1 + 2h, 0

);

se h = 12

non esiste alcun vettore che verifica le condizioni assegnate;

se h = 0 i vettori richiesti sono infiniti, dati da x = (t,4 + t, 0), t R.

[44] Se h 6= 1 il vettore richiesto e` x =( 2 + h

1 + h, 1

1 + h,

1 + 2h

1 + h

);

se h = 1 non esiste alcun vettore che verifica le condizioni assegnate;se h = 1 i vettori richiesti sono infiniti, dati da x = (3t, t, 1 t), t R.

[45] Se h 6= 0 il vettore richiesto e` x =(

3 + h

h

)i 2

hj +

(3 + hh

)k;

Capitolo 3 59

se h = 0 non esiste alcun vettore che verifica le condizioni assegnate.

[46] 1. Per esempio si puo` controllare che il determinante della matrice avente come co-lonne le componenti dei vettori dati vale 1; il vettore j, espresso rispetto alla base(a,b, i), e` dato da j = a b 2i.

2. Il vettore richiesto e` x = (1, 2, 2).

3. Larea del triangolo di lati a e b e`1

2a b = 3

2.

[47] 1. Si ottengono due vettori:

x1 =12

(3i + 2j + k), x2 = 12

(3i + 2j + k).

2. E` sufficiente controllare che i vettori u, v e w siano linearmente indipendenti ed,infatti, la matrice: 1 2 12 3 1

1 1 2

ha rango 3.3. Le equazioni del cambiamento di base da B a B sono:

x = x + 2y + z

y = 2x 3y + zz = x + y 2z.

4. a = 7u + v 4w .

[48] Il vettore simmetrico di u e` (1,1, 0).

[49] 1. La decomposizione richiesta e` u = (7i 4j k) + (6i + 6j).2. Si trovano infiniti vettori (10, , 3), R.

3. a = versu =16

(1, 2,1), b = vers(u (u v)) = 166

(7, 4, 1),

c = vers(u v) = 111

(1,1,3).


[50] 1. Per esempio x =211

i 211

j +611

k.

2. Per esempio y = 2i j 15k.3. Si puo` verificare, ad esempio, che il determinante della matrice avente sulle righe le

componenti dei vettori a, b e c e` 8;

k =3

8a +

1

4b +

1

8c e` la decomposizione del vettore k rispetto alla base B .

4. p = b( 4

3i +

2

3j +

2

3k

)=

1

3i +

4

3j 2

3k = 1

2a 5

6c.

[51] 1. Si ottengono due vettori:

x1 =13

(7i 2j + 5k), x2 = 13

(7i 2j + 5k).

2. v w = i + 4j + 3k.3. Le equazioni del cambiamento di base da B a B sono:

x = 2x + y zy = x + y + 4zz = 2x y + 3z.

4. a = v 2w + 3v w e` la decomposizione del vettore a rispetto alla base B.

Capitolo 4

Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali

4.1 Esercizi

In tutti gli esercizi di questo capitolo si sono adottate le notazioni usuali, in particolare sie` indicato con:

- Rn lo spazio vettoriale, di dimensione n, delle n-uple di numeri reali, riferito alla basestandard (o canonica):

(e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)).

- Rm,n lo spazio vettoriale, di dimensione mn, delle matrici con m righe ed n colonne,ad elementi reali, riferito alla base canonica:E11 =

1 0 . . . 0... ... ...0 0 . . . 0

, E12 = 0 1 . . . 0... ... ...

0 0 . . . 0

, . . . ,Emn = 0 0 . . . 0... ... ...

0 0 . . . 1

.

- Rn,n lo spazio vettoriale, di dimensione n2 , delle matrici quadrate di ordine n adelementi reali (caso particolare del precedente).

- S(Rn,n) lo spazio vettoriale, di dimensione n(n + 1)/2, delle matrici simmetriche diordine n ad elementi reali, riferito alla base:

1 0 . . . . . . 00 0 . . . . . . 0...

... . . ....

...... . . .

...0 0 . . . . . . 0

,

0 1 . . . . . . 01 0 . . . . . . 0...

... . . ....

...... . . .

...0 0 . . . . . . 0

, . . . ,

0 0 . . . . . . 10 0 . . . . . . 0...

... . . ....

...... . . .

...1 0 . . . . . . 0

,

61

62 Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali

0 0 . . . . . . 00 1 . . . . . . 0...

... . . ....

...... . . .

...0 0 . . . . . . 0

, . . . ,

0 . . . . . . 0 0... . . .

......

... . . ....

...0 . . . . . . 0 10 . . . . . . 1 0

,

0 . . . . . . 0 0... . . .

......

... . . ....

...0 . . . . . . 0 00 . . . . . . 0 1

.

- A(Rn,n) lo spazio vettoriale, di dimensione n(n 1)/2, delle matrici antisimmetrichedi ordine n ad elementi reali, riferito alla base:

0 1 . . . . . . 01 0 . . . . . . 0

...... . . .

......

... . . ....

0 0 . . . . . . 0

,

0 0 1 . . . 00 0 0 . . . 01 0 0 . . . 0

......

... . . ....

0 0 0 . . . 0

, . . . ,

0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 0...

... . . ....

...0 0 . . . 0 10 0 . . . 1 0

.

- V3 lo spazio vettoriale, di dimensione 3, dei vettori ordinari, riferito ad una base orto-normale positiva B = (i, j,k). In questambito indica il prodotto scalare tra duevettori e il prodotto vettoriale o esterno tra due vettori.- Rn[x] lo spazio vettoriale reale, di dimensione n + 1, dei polinomi di grado minore ouguale a n, nella variabile x, a coefficienti reali, riferito alla base (1, x, x2, . . . , xn).

- tr(A) indica la traccia della matrice quadrata A Rn,n , vale a dire la somma deglielementi della diagonale principale di A.

- tA = (bij) Rn,m indica la trasposta della matrice A = (aij) Rm,n , vale a dire lamatrice i cui elementi sono dati da bij = aji, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.

- L(v1,v2, . . . ,vk) indica il sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V generato daivettori v1,v2, . . . ,vk di V.

- Il vettore nullo di un generico spazio vettoriale e` denotato con il simbolo o, a meno didiversa indicazione.

[1] In R3 stabilire per quali valori del parametro reale h i vettori:

u1 = (1, 1, 2), u2 = (2,1, 3), u3 = (3, 0, h)sono linearmente indipendenti.

Capitolo 4 63

[2] In R4 sono dati i vettori:

u1 = (1,1, 0, 1), u2 = (2, 1, 1, 0), u3 = (3, 0, 1, 1), u4 = (0, 1,1, 0).

Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale L(u1,u2,u3,u4) di R4.Verificato che i vettori u1,u2,u4 sono linearmente indipendenti, determinare per qualivalori di t R il vettore v = (1,1,8 + 2t, 1 + t) appartiene a L(u1,u2,u4).Per i valori di t trovati scrivere v come combinazione lineare dei vettori u1,u2,u4 .

[3] Dati i vettori u = (1, 3, 2) e v = (2, 1, 1) in R3 , verificare che V = L(u,v) hadimensione 2. Trovare per quali valori di t R il vettore w = (t, 0,1) appartiene alsottospazio vettoriale V e, per tali valori, determinare le sue componenti rispetto alla base(u,v) di V .

[4] Siano W1 il sottospazio vettoriale di R3 generato dai vettori:

u1 = (1, 1,1), u2 = (2,1, 1),

W2 il sottospazio vettoriale di R3 generato dai vettori:

v1 = (1, 2,1), v2 = (1,1, 2).

Trovare la dimensione e una base di W1 W2 .

[5] In R4 si considerino i sottospazi vettoriali:

W1 = L(a,b, c), dove a = (2, 0, 1, 0), b = (1, 1, 0, 1), c = (0, 3,1,1);

W2 = L(e, f ,g), dove e = (1, 1, 5, 4), f = (0, 3,2, 1), g = (2, 7,16,5).

1. Verificato che linsieme B = {a,b, c} e` una base di W1 , stabilire per quale valoredi h R il vettore v = (5,h, 1, h) appartiene aW1 e, per tale valore, decomporlorispetto alla base B .

2. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R4 tale cheW2 W3 = R4 .

[6] In R4 scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali diversi, ma entrambi supple-mentari della retta vettoriale H = L((2, 0, 4, 3)).


[7] 1. In R3[x], considerati i polinomi:

p1(x) = x (1 + h)x2, p2(x) = h+ x, p3(x) = 1 x3, p4(x) = 4x, h R,determinare i valori di h per cui (p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)) e` una base di R3[x].

2. Fissato uno dei valori di h determinati nel punto precedente, trovare le componentidi q(x) = 1 + x+ x2 + x3 rispetto a tale base.

[8] Dire se i sottoinsiemi di R2,2 :

H ={(

x yz t

) R2,2 | 2x y z = x+ 3y 2t = 0

},

K ={(

x yz t

) R2,2 | x y + 2 = t = 0

}sono sottospazi vettoriali. In caso affermativo determinarne la dimensione e una base.

[9] In R4 sono dati i sottospazi vettoriali:

H = {(x1, x2, x3, x4) R4 | 2x1 x2 + x3 = x1 + x2 x4 = 0},

K = L((0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)).

1. Calcolare la dimensione e una base di H .

2. Calcolare la dimensione e una base di H +K . Si tratta di una somma diretta?

[10] Verificare che le matrici:

A1 =

(1 21 0

), A2 =

(1 02 1

), A3 =

(0 22 1

), A4 =

(4 12 3

)costituiscono una base di R2,2 e determinare le componenti della matrice:

A =

(1 00 1

)rispetto a tale base.

Capitolo 4 65

[11] Dati i sottospazi vettoriali di R2,2 :

H ={(

x1 x2x3 x4

) R2,2 | x1 + 2x2 = 0

},

K ={(

x1 x2x3 x4

) R2,2 | x1 + x4 = x2 + 2x3 = 0

},

determinare la dimensione e una base di H e di K . Determinare la dimensione e una basedi H +K e di H K .

[12] Sono dati in R4 i sottospazi vettoriali:

H = {(x, y, z, t) R4 | x 2z = 2y = 0},

K = L((0, 2, 1,1), (1,2, 1, 1), (1, 2, 3,1), (1, 2, 7, 1)).

1. Determinare la dimensione e una base sia di H sia di K .2. Determinare la dimensione e una base di H +K .

[13] In R5 i sottospazi vettoriali:

A = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | x1 + x2 = x3 = 0},

B = L((1, 2, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0,1, 0,1), (2, 3, 1, 3, 1))

sono supplementari?

[14] In R4 si considerino i vettori:

a = (1, 1, 1, 0), b = (0, 1, 1, 1), c = (1, 1, 0, 0).

1. Verificare che a,b, c sono linearmente indipendenti.

2. Determinare un vettore d in modo che i vettori a,b, c,d siano linearmente indi-pendenti.

3. Dire se il sottospazio vettoriale H = {(x, y, z, t) R4 | y = z+t = 0} e` contenutoin K = L(a,b, c).


[15] In R3 si consideri il sottospazio vettoriale W i cui elementi (x, y, z) sono soluzionidel sistema lineare omogeneo:

x+ y + z = 0x+ hy + (2 h)z = 0x h2y (4 3h)z = 0, h R.

1. Al variare di h determinare la dimensione e una base di W .2. Al variare di h determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale H

supplementare di W in R3.

[16] In S(R3,3) completare linsieme libero:

I = 1 0 30 0 2

3 2 0

, 0 1 21 1 0

2 0 0

, 0 0 00 5 2

0 2 6

fino ad ottenere una base di S(R3,3).


A =

(6 94 6

),

1. provare che i sottoinsiemi:

F = {X R2,2 | AX = XA}, G = {X R2,2 | AX = XA}

sono sottospazi vettoriali di R2,2 e trovare la dimensione e una base per ciascuno diessi.

2. Determinare la dimensione e una base per i sottospazi vettoriali F + G e F G .3. Data la matrice:

C =

(0 2+h0 3+h

), h R,

stabilire per quale valore di h la matrice C appartiene al sottospazio vettorialeF + G .Assegnato ad h tale valore, trovare due matrici C1 F e C2 G in modo tale cheC = C1 + C2 .

Capitolo 4 67

[18] In R4 si consideri il sottoinsieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + 2x3 + x4 = x3 x4 = 0}.1. Verificare che W1 e` un sottospazio vettoriale di R4 e determinarne la dimensione e

una base.

Si considerino, inoltre, i sottospazi vettoriali:

W2 = L(a,b, c), dove a = (1, 0, 2, 0), b = (0, 1,1, 1), c = (3,2, 8,2),

W3 = L(e, f ,g), dove e = (0, 1, 2, 1), f = (2, 1, 3, 1), g = (1,2, 4,2).2. Determinare la dimensione e una base di W2 e di W3 .3. Determinare la dimensione e una base di W1 (W2 +W3).

[19] Si considerino i sottoinsiemi di R3,3 :

H = 1 0 0a 1 0

b c 1

R3,3 | a, b, c R,

K = a 0 0b c 0

d e f

R3,3 | a, b, c, d, e, f R.

H e K sono sottospazi vettoriali di R3,3? In caso affermativo determinarne la dimensionee una base.

[20] I seguenti sottospazi vettoriali di R4 :

H = L((1, 2, 0, 0), (0, 1, 3, 0), (2, 1, 0, 0), (5, 4, 0, 0)),

K = {(x, y, z, t) R4 | 2x+ 3y z = x z = 0}sono supplementari?

[21] Si considerino i sottoinsiemi di R3[x]:

H = {p(x) = ax+ bx2 + x3 R3[x] | a, b R},

K = {p(x) = ax+ bx2 + cx3 R3[x] | a, b, c R}.


H e K sono sottospazi vettoriali di R3[x]? In caso affermativo determinarne la dimen-sione e una base.


W1 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0},

W2 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 = x1 + x3 = x1 x2 + x3 = 0},

provare che W1 W2 = R4 .

[23] Determinare la dimensione e una base della somma e dellintersezione dei due sot-tospazi vettoriali di R5 :

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | 2x1 x2 x3 = x4 3x5 = 0},

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | 2x1 x2 + x3 + 4x4 + 4x5 = 0}.

[24] In R4[x] si considerino i sottospazi vettoriali:

H = L(x+ x2, x2 + x3, x3 + x4, 2x+ 5x2 3x4),

K = {p(x) R4[x] | p(x) e` divisibile per 2 x+ x2}.1. Determinare la dimensione e una base di H +K e di H K.2. Dato il polinomio q(x) = 2 + 2x + 4x4 , verificare che q(x) H + K e de-

comporre q(x) nella somma di un polinomio di H e di un polinomio di K . Taledecomposizione e` unica?

[25] In R4[x] si considerino i sottospazi vettoriali:

W1 = L(1 x2 + 5x3, x+ 2x2 + 3x3 + x4, 2 x 4x2 + 7x3 x4),

W2 = L(x3 x4, x2 x3),

W3 = L(x4).

Provare che W1 W2 W3 = R4[x].

Capitolo 4 69

[26] In R5 si consideri linsieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | 2x1 + x2 = x3 = 0}.1. Verificare che W1 e` un sottospazio vettoriale di R5 e determinarne la dimensione e

una base.

2. Determinare la dimensione e una base di W2 = L(a,b, c,d), dove:a = (0, 3, 1,2, 0), b = (0, 0, 2, 1, 1), c = (0, 6,10,10,6), d = (0, 3, 7, 1, 3).

3. Dimostrare che W1 W2 = R5 .4. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R5 tale

che dim(W1 W3) = 1 e dim(W3) = 3.

[27] In R2,2 si considerino le matrici:

A1 =

(1 21 0

), A2 =

(0 31 2

), A3 =

(1 10 1

), A4 =

(3 21 1

).

Verificare che linsieme B = {A1, A2, A3, A4} e` una base di R2,2 e determinare lecomponenti della matrice:

A =

(2 11 2

)rispetto alla base B .

[28] 1. In A(R3,3) si considerino le matrici:

A =

0 1 21 0 02 0 0

, B = 0 0 20 0 12 1 0

,verificare che linsieme {A,B} e` libero e completarlo in modo da ottenere una baseB di A(R3,3).

2. Determinare le componenti della matrice:

C =

0 1 21 0 32 3 0

rispetto alla base B .


[29] Siano U e V due sottospazi vettoriali di dimensione 2 di R3 .1. Provare che U V 6= {o}.2. Determinare tutte le possibili dimensioni di U V e costruire un esempio in cia-

scuno dei casi.

[30] In R4[x] si consideri il sottospazio vettoriale W dei polinomi aventi il numero 3come radice.

1. Decomporre W nella somma diretta di due sottospazi vettoriali W1 e W2 .2. Scrivere il polinomio 3 5x + 5x2 10x3 + 3x4 di W come somma di un

polinomio di W1 e di un polinomio di W2 .

[31] In R4[x] si consideri linsieme W1 dei polinomi divisibili per p(x) = 3x+ x2 .1. Verificare che W1 e` un sottospazio vettoriale di R4[x], determinarne la dimensione

e una base.

2. Sia W2 = L(p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)), dove:p1(x) = 6x

2 5x3 + x4,p2(x) = 12 + x+ x2,p3(x) = 36 3x+ 3x2 5x3 + x4,p4(x) = 12 x+ 11x2 10x3 + 2x4.

Determinare la dimensione e una base di W2 .3. Determinare la dimensione e una base di W1 W2 .4. Determinare un sottospazio vettoriale W3 di R4[x] tale che W1 W3 = R4[x].

[32] 1. Verificare che:

B =((

1 22 1

),

(2 11 3

),

(4 11 5

))e` una base di S(R2,2).

2. Trovare le componenti della matrice:

A =

(4 11

11 7)

rispetto alla base B.

Capitolo 4 71

[33] 1. Verificare che:

H=

0 x1 x2 x3x1 0 x4 x5x2 x4 0 x6x3 x5 x6 0

R4,4 | x1 + x2 + x3 = 2x2 + x4 = x5 x6 = 0

e` un sottospazio vettoriale di A(R4,4), determinarne la dimensione e una base.

2. Determinare la dimensione e una base dei sottospazi vettoriali di A(R4,4):

K = L

0 1 2 31 0 2 32 2 0 13 3 1 0

,

0 0 1 20 0 0 11 0 0 72 1 7 0

,

0 1 1 21 0 2 3

1 2 0 12 3 1 0

,

0 2 1 12 0 0 2

1 0 0 121 2 12 0

;

U = L

0 0 2 10 0 0 12 0 0 0

1 1 0 0

,

0 0 1 20 0 0 01 0 0 1

2 0 1 0

.

3. E` vero che HK = A(R4,4) ?

4. Determinare la dimensione e una base di U (H +K).

5. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale V supplementaredi U .

6. Decomporre la matrice:

A =

0 1 1 11 0 2 11 2 0 11 1 1 0

nella somma di una matrice di V e di una matrice di U .



A =

(0 10 2

),

1. determinare la dimensione e una base per il sottospazio vettoriale W di R2,2 gene-rato dalle matrici:

A, tA, A+ tA.

2. Dimostrare che il sottoinsieme:

U ={(

a b0 2b

) R2,2 | a, b R

}e` un sottospazio vettoriale di R2,2; determinarne la dimensione e una base.

3. Determinare la dimensione e una base per i sottospazi vettoriali W + U e W U .

[35] In R3[x] si considerino i polinomi:

p1(x) = 3 x+ x2,p2(x) = x x2 + 2x3,p3(x) = 2 x2 + x3,p4(x) = x 2x2 + 3x3.

Verificare che linsieme B = {p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)} e` una base di R3[x] e determi-nare le componenti del polinomio p(x) = x x2 rispetto alla base B.

[36] 1. In S(R3,3) e` dato il sottoinsieme:

A = x1 x2 x3x2 x4 x5

x3 x5 x6

S(R3,3) | x1+2x4x6 = x2 + 2x6 = x3+3x5 = 0,

verificare che A e` un sottospazio vettoriale e calcolarne la dimensione e una base.2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale H di S(R3,3)

supplementare di A.

Capitolo 4 73

3. Decomporre la matrice:

A =

0 1 21 3 12 1 5

nella somma di una matrice di A e di una matrice di H .

4. Determinare la dimensione e una base dei sottospazi vettoriali di S(R3,3):

U = L 1 2 12 1 3

1 3 0

, 0 2 12 1 3

1 3 2

,1 0 10 0 1

1 1 0

, 1 2 22 3 4

2 4 2

,

V = L 0 1 11 0 11 1 0

, 1 1 01 0 1

0 1 2

,2 0 10 0 1

1 1 0

.5. E` vero che A U = S(R3,3) ?6. Determinare la dimensione e una base di V (A U).

[37] Dato il sottospazio vettoriale di R2,2 :

U ={(

a b0 a

) R2,2 | a, b R

},

1. determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale V supplementaredi U in R2,2.

2. Data la matrice:

A =

(1 23 0

),

decomporre A nella somma di una matrice A1 U e di una matrice A2 V .

[38] In R4 e` dato il sottospazio vettoriale:

W = L((1, 3, 0,1), (2, 5, 1, 2), (1, 2, 1, 0)).


1. Verificare cheW e` un iperpiano vettoriale di R4 e trovare la sua equazione, rispettoalla base canonica di R4.

2. Determinare la dimensione e una base di due sottospazi vettoriali diversi H e K diR4, entrambi supplementari di W .


U = L((1, 3,2, 2, 3), (1, 4,3, 4, 2), (2, 3,1,2, 9)),

V = L((1, 3, 0, 2, 1), (1, 5,6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1)).Determinare la dimensione e una base di U + V e di U V .

[40] Dimostrare che i sottospazi vettoriali di R4 :

U = L((1, 2,1, 3), (2, 4, 1,2), (3, 6, 3,7)),

V = L((1, 2,4, 11), (2, 4,5, 14))sono uguali.

[41] 1. In R5[x] si consideri linsieme A dei polinomi aventi come radice i numeri 1, 2,e 3. Verificare che che A e` un sottospazio vettoriale di R5[x] e calcolarne ladimensione e una base.

2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale H supplementaredi A.

3. Decomporre il polinomio p(x) = x2 + 3x3 nella somma di un polinomio di A e diun polinomio di H. Tale decomposizione e` unica?

4. Determinare la dimensione e una base dei sottospazi vettoriali di R5[x]:

U = L(1 + x+ x2, x3 + x5, 2 + 2x+ 2x2 3x3 3x5, x2 + 3x3 x4),

V = L(2 + x x3, x4 x5, x+ x2 + x3 x4).

5. E` vero che U V = R5[x]?6. Determinare la dimensione e una base di A (U + V).

Capitolo 4 75

[42] In R5[x] si consideri linsieme B = {1, 1 + x, 1 + x2, 1 + x3, 1 + x4, 1 + x5}.1. Verificare che B e` una base di R5[x], usando due metodi diversi.2. Determinare le componenti del polinomio p(x) = 1xx2 +x3x4 +x5 rispetto

alla base B.

[43] 1. Determinare linsieme W di tutte le matrici di R3,3 che commutano (rispetto alprodotto) con la matrice:

A =

0 1 00 0 10 0 0

.2. Verificare che W e` un sottospazio vettoriale di R3,3, determinarne la dimensione

e una base.

3. Determinare la dimensione e una base di due sottospazi vettoriali diversi H e K,entrambi supplementari di W in R3,3 .

[44] Dati i sottospazi vettoriali di R5 :

W1 = L((1,1, 0, 1, 1), (1,2,2, 1, 2), (0, 1, 2, 0,1), (1, 3, 4,1,3)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | x1 x4 + 2x5 = x2 + x3 = 0},1. dimostrare che R5 =W1 W2 .2. Decomporre il vettore a = (0, 2, 0, 0, 0) nella somma di un vettore a1 W1 e di

un vettore a2 W2 .

[45] Si considerino i sottospazi vettoriali di R4 :

W1 = L((1,1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (2, 0, 1, 7), (3,5,1, 3)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 2x3 = 3x3 x4 = 0}.1. Trovare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi vettoriali:

W1, W2, W1 +W2, W1 W2.2. Verificare che il vettore a = (0,2,1, 3) appartiene a W1 +W2 determinando

esplicitamente due vettori a1 W1 e a2 W2 tali che a = a1 + a2 .


[46] Si considerino i sottospazi vettoriali di R2,2 :

W1 ={X R2,2 | AX = XA, dove A =

(1 30 1

)},

W2 = {X R2,2 | tr(X) = 0}.1. Determinare la dimensione e una base per i sottospazi vettoriali W1,W2,W1 +W2

e W1 W2 .2. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 che sia supple-

mentare di W1 .

[47] Determinare la dimensione e una base di almeno due sottospazi vettoriali diversi He K ma entrambi supplementari, in R3 , di:

W = {(x1, x2, x3) R3 | 3x1 x3 = x2 + 5x3 = 0}.

[48] Completare linsieme libero di S(R3,3):

I = 1 2 02 0 0

0 0 0

, 1 0 00 1 0

0 0 1

, 0 1 11 0 01 0 0

in modo da ottenere una base di S(R3,3).


W1 = L((1, 0,2, 0, 1), (0, 1, 0,1, 0), (0, 1,1,1, 3), (1, 0, 1, 0, 2)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | x1 + 3x3 x5 = x2 2x3 + x4 + x5 = 0},1. determinare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi vettoriali W1 ,W2,W1 +W2,W1 W2.

2. Stabilire per quali valori di h R il vettore (1, 2, h,2, 1) appartiene a W1 .

[50] In R5 sono dati i sottoinsiemi:

W1 = L((2, 1, 1, 0, 2), (1, 1, 0, 0, 2), (0, 2, 0, 1, 1)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | x1 x2 x3 x4 = x1 x5 = x4 = 0}.

Capitolo 4 77

1. Provare che W2 e` un sottospazio vettoriale di R5 .2. Determinare la dimensione e una base per W1 e W2, rispettivamente.3. Trovare la dimensione e una base di W1 +W2 e di W1 W2 .

[51] In R4 e` dato il sottospazio vettoriale:

H = {(x, y, z, t) R4 | 2x+ y z = x+ 3t = 0},

determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale K di R4 tale cheHK = R4 .


W = L((0, 1, 0,1), (1,2, 2, 1), (1, 0, 2,1)),

Z = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 x2 x3 = 2x2 + x3 = 0},

1. trovare la dimensione e una base per W , Z , W + Z e W Z.2. Stabilire per quale valore di h R il vettore u = (1, h, 1 + h,h) appartiene aW + Z .

3. Per il valore di h ricavato nel punto precedente, decomporre il vettore u cos`ottenuto nella somma di un vettore di W e di un vettore di Z .

[53] In R4 si consideri il sottoinsieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | 2x1 + x2 + x4 = x1 x4 = 0}.

1. Verificare che W1 e` un sottospazio vettoriale di R4 e determinarne la dimensionee una base.

Si considerino, inoltre, i sottospazi vettoriali:

W2 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 x3 + 2x4 = x1 = 0}

e W3 = L(a,b, c), dove:a = (1,1, 2, 3), b = (1,2, 0, 1), c = (1,7, 6, 11).


2. Trovare la dimensione e una base di W2 e di W3 .3. Individuare la dimensione e una base di W2 +W3 e di W1 (W2 +W3).

[54] In R4 sono dati i sottospazi vettoriali:

H = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x3 = 0, x1 + x2 = x4},

K = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x4 = 0, x1 + x2 = x3}.

1. Trovare la dimensione e una base B di H e la dimensione e una base C di K .2. Determinare la dimensione e una base per i sottospazi vettoriali H +K e H K .3. Verificare che il vettore (2,1, 0,1) appartiene ad H ed esprimerlo come com-

binazione lineare della base B scelta.


W1 = L((0, 1,1, 0), (1,1,1, 1), (2,1,3, 2)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 = x3 + x4 = 0},

W3 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x2 + x3 = x1 + x4 = 0},

1. trovare la dimensione e una base di W1, W2, W3, W1 +W2, W1 W2.2. Dire se la somma W2 +W3 e` diretta.

[56] In R2,2 si considerino i sottospazi vettoriali:

W1 = L (A, tA, B, A+ 2B),

con A =(

1 20 1

), B =

(1 01 1

),

W2 ={(

x1 x2x3 x4

) R2,2 | x1 + x2 x3 + x4 = x1 + x2 = 0

}.

Determinare la dimensione e una base di:

Capitolo 4 79

1. W1.2. W2.3. W1 +W2.4. W1 W2.

[57] Dati i sottospazi vettoriali di R4 :W1 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 x2 + 2x3 + x4 = 0,

2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0,3x2 2x3 x4 = 0},

W2 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 x2 + x3 + x4 = x1 + 2x2 = 0},1. trovare la dimensione e una base di W1, W2, W1 +W2, W1 W2.2. Dire se la somma W1 +W2 e` diretta.

[58] Dati i sottospazi vettoriali di R5 :W1 = L((0, 1,1, 0, 1), (1,1,1, 1,1), (2,1,3, 2, 0)),

W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) R5 | x1 + x2 = x3 + x4 = x5 = 0},1. trovare la dimensione e una base di W1, W2, W1 +W2, W1 W2.2. Dire se la somma dei sottospazi vettoriali:

H1 = L((1, 0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)), H2 = L((0, 0, 0, 0, 1))e` diretta.

[59] Si considerino in R2,2 i sottospazi vettoriali:W1 = {X R2,2 | tr(X) = 0},

W2 = L((

1 01 1

),

(2 10 1

),

(4 32 5

)).

1. Determinare la dimensione e una base di W1 e di W2 .2. Determinare la dimensione e una base diW1 +W2 . Dire seW1 +W2 e` una somma

diretta.

3. Determinare la dimensione e una base di W1 W2 .


[60] Si considerino in R2,2 i sottospazi vettoriali:

W1 = {X R2,2 | tX = X},

W2 = L((

1 11 0

),

(1 20 1

),

(1 02 1

)).

1. Determinare la dimensione e una base di W1 e W2 .2. Determinare la dimensione e una base diW1 +W2 . Dire seW1 +W2 e` una somma

diretta.

3. Determinare la dimensione e una base di W1 W2 .


W1 = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 x2 + 2x3 5x4 = x2 + x4 = 0},

W2 = L(

(1, 2, 3,1),(

1

2, 1,

3

2,1

2

)),

1. determinare la dimensione e una base di W1 +W2 .2. Determinare la dimensione e una base di W1 W2 .

[62] I

Algebra Lineare e Geometria Analitica

Documents

Transcript of Algebra Lineare e Geometria Analitica