Algebra Lineare

Esercizio

Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )

ed ortogonale ad a .

Xo

a

X

2

XXo

0)-( o XXa

3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z 4 ) = 0

3 x + 2 y + 5 z = 2

Esercizio

Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )

ed ortogonale ad a .

2

0)-( o XXa

XXo = ( x + 2 , y + 6 , z 4 )

componenti di a

Xo

a

3 x + 2 y + 5 z = 2

3 x + 2 y + 5 z = 3

PARALLELI

PARALLELI

z5y2x3)z,y,x(L FORMA LINEARE

gradiente di L

)2(L 1

)3(L 1

L : R3 R

nn2211n21 xaxaxa)x,...,x,x(L )a,...,a,a(: n21a

xax )(L)x,...,x,x(: n21x

L : Rn RFORMA LINEARE

)()(L vuavu)(L)(L vuvaua ADDITIVITA’

)()(L xax)(L)( xxa

)(L)L()(L vuvu

)L()(L xx OMOGENEITA’

CONDIZIONI DI LINEARITA’

1zy2x

5z4y3x2

retta

infinite soluzioni3z2yx5 unica soluzione

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3

3z2yx5

retta

1zy2x

5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioni

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3

3z2yx5

retta

1zy2x

5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioninessuna soluzione

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3

3z2yx5

1zy2x

5z4y3x2L1(x, y, z ) L2(x, y, z) L3(x, y, z)

)z,y,x(L

)z,y,x(L

)z,y,x(L

)z,y,x(L

3

2

1

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3

TRASFORMAZIONE LINEARE

)(L)L()(L vuvu

)L()(L xx CONDIZIONI DI LINEARITA’

L : R3 R3

L : R 2 R 2

L(x) = ( , )

L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2

L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2

L2(x)L1(x)

a11 a12

a21 a22AA =

matrice di

L

a1 = L(e1)

a1 a2

1

1

0

0

1

1

0

0

a2 = L(e2)

1 , 0

1 , 0

0 , 1

0 , 1

( )

L : R 2 R 2

L(x) = ( , )

L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2

L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2

L2(x)L1(x)

a11 a12

a21 a22AA =( )

)(L: xxA

L : R 2 R 2

G : R 2 R 2

AABB

)()(L xBAxB ))(G(L))(GL( xx

)( BA

R p

G R n

R m

LAABB m x nn x p

GL m x pA BA B

m x pA BA B

colonna k-esima di : A BA B

R p

G R n

R m

LAABB m x nn x p

GL

))(G(L))(GL( kk ee

kk )(L bAb

1.....00

..............

0.....10

0.....01

idn : R n R n

Id(ej) = ejn...,,2,1j

In

matrice identica

di ordine n AIAIΑ mn

L : R n R m

L(x) = b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

mm

22

11

b)(L

..........

b)(L

b)(L

x

x

x

A A = (aij)

I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :

I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :f :A B è biettiva se e solo se :

b B , l’equazione :

f (x) = bha una e una sola soluzione

L : R 2 R 2

R2

u

d

b:

c

a: vu

dc

baA

R2

e1

u

e2v

x

b

L(x) = b

e1

L(e1)= L(e1)= u

R2R2

u

e1

e2

v

b

L(x) = b

1)L(rk 1)(rk ARango 1

L : R 2 R 2

d

b:

c

a: vu

dc

baA

R2R2

e1

u

e2v

L(x) = b

Rango 2 2)(rk A

L : R 2 R 2

d

d:

c

a: vu

dc

baA

d

b:

c

a: vu

L( I2 )

I2

u

v

u’

sin|||||||| vu

cos|||||||| vu cos||||||'|| vu vu ,'

dc

baA

d

b,

c

avu

a

c'u

bcad,' vuDet(A)

determinante di A dc

ba vu

prodotto esterno

uvvu

x

y

z

a12

a23

a31

212

231

223 aaaa

a

u

v

)c,b,a(u)'c,'b,'a(v

( c , a ) ( c , a ) (

c’ ,

a’ )

(

c’ ,

a’ )

( a , b ) ( a , b )

( b , c ) ( b , c )

( a’ , b’ )

( a’ , b’ )

( b’

, c’

)

( b’

, c’

)

'a'c

ac

'b'a

ba

'b'a

ba,

'a'c

ac,

'c'b

cb:vu

'b'a

ba,

'a'c

ac,

'c'b

cb:vu

sinvuvu

'c'b

cb

vu

prodotto vettorialecross productprodotto esterno

u v

u u xx vv

convesso

u v

v v xx uu

concavo

u u xx vvvuuv

0

R3R3

L(x) = b

i

L : R 3 R 3

k

u

x x

yy

z z

w

jI3vL( I3 )

Rango 3

u

v

w

v x

w

cos|||||||| uwv

prodotto misto

"c'cc

"b'bb

"a'aa

A

"c

"b

"a

,

'c

'b

'a

,

c

b

a

wvu

Det(A) := "c"b"a

'c'b'a

cba

)( wvu determinante di A

"b"a

'b'a,

"a"c

'a'c,

"c"b

'c'b:wv

"b"a

'b'ac

"a"c

'a'cb

"c"b

'c'ba wvu

"b"a

'b'ac

"c"a

'c'ab

"c"b

'c'ba wvu

"c"b"a

'c'b'a

cba

)( wvu =

A :

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

D E T E R M I N A N T E di A :

a11'

Det a a( ) 'A 11 11

A :

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Det a a( ) 'A 11 11

a12'

a a12 12'

D E T E R M I N A N T E di A :

A :

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33a13

'

Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13

'

D E T E R M I N A N T E di A :

A :

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a Det Aiji j

ij' : ( ) ( ) 1complemento algebricoo cofattore o aggiunto di aij

A :

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13

'

Regola di LAPLACE

0

R3R3

L(x) = b

i

L : R 3 R 3

k

u

x x

yy

z z

w

jI3vL( I3 )

Rango 3

0)(Det ABIETTIVA

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