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CORSO ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - MOD. A / ALGEBRALINEARE CON ESERCITAZIONI (2010/11)

Modalita d’esame

Gli appelli d’esame saranno tenuti durante i periodi di sospensione delladidattica (febbraio, meta giugno – fine luglio, settembre).

L’esame consistera di una prova scritta ed una prova orale, entrambeobbligatorie.

La prova scritta consistera nella soluzione di esercizi sugli argomenti svoltia lezione. Non e ammesso l’uso di libri di testo, eserciziari od appunti. L’esitodella prova scritta concorre alla valutazione finale. Nel caso di prova scrittainsufficiente, si consiglia la ripetizione della medesima prima di sostenere laprova orale.

Per la prova orale e richiesto allo studente di dimostrare la comprensionee la padronanza degli argomenti trattati durante il corso. Viene inoltre richi-esta la preparazione delle dimostrazioni della lista di teoremi sotto riportata.Per i rimanenti teoremi e comunque richiesta la conoscenza degli enunciati ela comprensione dei contenuti.

La prova scritta, se sufficiente, rimane valida per tutti gli appelli dell’annodi corso.

Lista dei teoremi di cui viene richiesta all’esame la conoscenza

delle dimostrazioni

1) Teorema di Grassmann.2) Data F : V → W applicazione lineare, dim(V ) = dim(Ker(F )) +

dim(Im(F )).3) Teorema di Binet.4) Gram-Schmidt.5) Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema di equazioni lin-

eari omogenee.6) Teorema di Sylvester.7) Teorema spettrale.

Testi consigliati

1) Serge Lang, Algebra lineare Boringhieri.2) Marco Abate, Algebra lineare, McGraw-Hill.

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Lezione 1 - 19 ottobre 2010

Terminologia: insieme, sottoinsieme, intersezione ed unione di insiemi.Vettori in Rn. Punto in un n-spazio.Addizione di punti (vettori) e moltiplicazione per una costante. Proprieta

associativa, commutativa e distributiva dell’addizione di vettori. Il vettorenullo in Rn. Interpretazione geometrica dell’addizione di vettori (regola delparallelogramma).

Prodotto scalare in Rn: definizione e dimostrazione delle sue proprieta.Esercizio: (A + B)2 = A2 + 2A · B + B2, (A − B)2 = A2 − 2A · B + B2.Dimostrazione disuguaglianza di Schwarz.Norma di un vettore.


Dimostrazione disuguaglianza triangolare.Vettori unita.Distanza fra due vettori: definizione e interpretazione geometrica.Perpendicolarita: definizione e interpretazione geometrica.Proiezione di un vettore su di un altro: definizione e interpretazione geo-

metrica.Angolo fra due vettori: definizione e interpretazione geometrica.Esercizio: dimostrare che, se due vettori non nulli A e B hanno stessa

direzione e verso, allora il coseno dell’angolo θ fra essi compreso vale +1. Di-mostrare che, se invece i due vettori hanno stessa direzione ma verso opposto,allora cos θ = −1.

Equazione parametrica retta per un punto ed avente la direzione di unvettore. Esempi in R2 e in R3.

Iperpiano in Rn: definizione ed esempi.Equazione parametrica di un piano in R3; vettori di giacitura del piano.Esercizio svolto: scrivere l’equazione parametrica del piano passante per

il punto P = (1, 2, 3) e avente come vettori di giacitura A = (1, 0, 0) eB = (0, 1, 0).

Vettori paralleli, rette parallele e piani paralleli. Piani perpendicolari edangolo fra due piani.

Esercizio: trovare il coseno dell’angolo tra i due piani 2x − y + z = 0 e

2

x + 2y − z = 1.


Definizione di corpo. Esempi: corpo dei numeri complessi, dei numerireali e dei numeri razionali. I numeri interi non costituiscono un corpo.

Esercizio: dimostrare che K = {x ∈ C, x = a + ib, a, b ∈ Q} e un corpo.Esercizio svolto: il vettore nullo e univocamente determinato.Esercizio: dimostrare che V = Kn su K e uno spazio vettoriale.Definizione di spazio vettoriale delle funzioni f : S → K, con S insieme

e K corpo. Definizione di f + g e cf , con f, g ∈ V e c ∈ K.Definizione di sottospazio vettoriale.Esercizio svolto: una retta non passante per l’origine non e un sottospazio

vettoriale in R2 su R.Esercizio svolto: W = {λv, λ ∈ R} e un sottospazio vettoriale in R2 su

R.Esercizio svolto: se W1 e W2 sono sottospazi di V , anche l’intersezione di

W1 e W2 e un sottospazio di V .Esercizio svolto: dimostrare che, se V = Rn spazio vettoriale su R e

W = {X ∈ Rn t.c. X = (x1, ..., xn−1, 0)}, allora W e un sottospazio di V .Visualizzazione geometrica casi particolari n = 2 e n = 3.

Definizione di combinazione lineare di vettori.Esercizio svolto: se v1, ..., vn ∈ V , l’insieme Span(v1, ..., vn) delle combi-

nazioni lineari di tali vettori costituisce un sottospazio di V .Esercizio svolto: siano V = R3, v1 = (3, 1, 0), v2 = (1, 0, 1); dare un’interpretazione

geometrica di Span(v1, v2).Esercizio svolto: siano V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1); dimostrare che

R2 = Span(v1, v2).Esercizio svolto: siano V = R3, v1 = (3, 1, 0), v2 = (−1,−1, 0), v3 =

(2, 0, 0); dimostrare che Span(v1, v2, v3) = Span(v1, v2) e dare un’interpretazionegeometrica di tale risultato.


Definizione di indipendenza e dipendenza lineare di vettori.Esercizio svolto: in V = Rn su R i vettori e1 = (0, 1, 0, ..., 0), e2 =

(0, 1, 0, ..., 0),..., en = (0, ..., 0, 1) sono linearmente indipendenti.Esercizio svolto: dimostrare che se due dei vettori v1, ..., vn sono uguali

allora i vettori v1, ..., vn sono linearmente dipendenti.

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Esercizio svolto: dimostrare che due vettori v1 e v2 sono indipendentise e solo se uno di loro e multiplo dell’altro, cioe v1 = kv2, con k ∈ K.Interpretazione geometrica in R2.

Esercizio svolto: dimostrare che un insieme di vettori {v1, ..., vn} che com-prende un sottoinsieme di vettori {v1, ..., vk} (con 1 ≤ k ≤ n) linearmentedipendenti e esso stesso dipendente. Dimostrare quindi che qualsiasi sottoin-sieme di un sistema indipendente di vettori e indipendente.

Esercizio svolto: se uno dei vettori v1, ..., vn e il vettore nullo, allora talivettori sono linearmente dipendenti.

Esercizio svolto: dimostrare che nello spazio V = {f : R → R} le funzionif1(t) = 1, f2(t) = t e f3(t) = 2 + 2t sono linearmente dipendenti.

Esercizio svolto: dimostrare che nello spazio V = {f : R → R} le funzionif1(t) = 1 e f2(t) = t sono linearmente indipendenti.

Definizione di base di V .Definizione di coordinate di un vettore v ∈ V rispetto ad una base

{v1, ..., vn}.Esercizio svolto: dimostrare che, se v1, ..., vn linearmente indipendenti e

∑

i xivi =∑

i yivi, allora xi = yi per tutti gli i ∈ [1, n].Isomorfismo tra gli spazi vettoriali V sul corpo K, avente una base B =

{v1, ..., vn}, e Kn.


Esercizio svolto: dimostrare che v1 = (1, 1) e v2 = (−3, 2) costituisconouna base per V = R2 su R.

Esercizio svolto: dato lo spazio vettoriale V = R2 su R, trovare le coor-dinate di v = (1, 0) rispetto alla base B = {v1 = (1, 1), v2 = (−3, 2)} e allabase canonica B′ = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.

Esercizio: dato lo spazio vettoriale V = R3 su R, dimostrare che v1 =(1, 1, 1) e v2 = (0, 1,−1) sono vettori linearmente indipendenti.

Esercizio: dimostrare che v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) e v3 = (1, 0,−1)costituiscono una base per V = R3 su R e trovare le coordinate di v = (0, 0, 1)rispetto a tale base.

Esercizio: dimostrare che v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) e v3 = (1, 0,−1)costituiscono una base per V = R3 su R e trovare le coordinate di v = (0, 0, 1)rispetto a tale base.

Definizione di sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti.Esercizio svolto: dati i vettori v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (2, 3), v4 =

(1,−1), dimostrare che {v1, v2} e un sottoinsieme massimale.

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Teorema (dimostrato): se {v1, ..., vn} generano V e {v1, ..., vr} sottoin-sieme massimale di vettori linearmente indipendenti, allora B = {v1, ..., vr}e una base per V .

Teorema (dimostrato): due basi di uno spazio vettoriale hanno il medes-imo numero di elementi.

Esercizio svolto: dimostrare che i vettori e1 = (0, 1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0),..., en = (0, ..., 0, 1) costituiscono una base per V = Kn su K, da cuidim(Kn) = n.


Esempio di spazio vettoriale: i polinomi P (t) di grado ≤ n, con t ∈ R.Esercizio svolto: dimostrare che B = {v0 = 1, v1 = t, ..., vn = tn} e una

base per lo spazio vettoriale dei polinomi P (t) di grado ≤ n. Quindi talespazio vettoriale ha dimensione n + 1.

Esercizio svolto: dimostrare che lo spazio vettoriale di tutti i polinomiP (t) (di grado qualsiasi) non ha dimensione finita.

di uno spazio vettoriale V .Teorema (dimostrato): un insieme massimale di elementi linearmente in-

dipendenti di uno spazio vettoriale V e una base di V .Esercizio: dimostrare che se W sottospazio di V e dim(W ) = dim(V ),

allora W = V .Esercizio svolto: Dati in V = R4 i vettori w1 = (1, 0, 1, 0) e w2 =

(1, 2, 3, 4), provare che sono linearmente indipendenti e quindi completarela base per V .

Definizione di somma di due sottospazi.Esercizio svolto: la somma U +W di due sottospazi U e W di uno spazio

vettoriale V e un sottospazio di V .Esempio: in R3, considerare U asse x e V asse y.Esercizio svolto: in generale l’unione di due sottospazi non e un sot-

tospazio.Definizione di somma diretta di due sottospazi.Teorema (dimostrato): se U, W sottospazi di V , V = U+W e l’intersezione

di U e W comprende il solo vettore nullo, allora V = U ⊕ W .

Lezione 7 - 2 novembre 2010

Teorema (dimostrato): se W sottospazio di V , allora esiste U sottospaziodi V tale che V = U ⊕ W . Tale sottospazio U non e univocamente determi-nato. Esempio: V = R2, W sottospazio generato da v1 = (2, 1). Definendo

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U come il sottospazio generato da v2 = (0, 1), abbiamo V = W ⊕U . D’altraparte, definendo U ′ come il sottospazio generato da v′

2 = (1, 1) abbiamo ancheV = W ⊕ U ′. Interpretazione geometrica del risultato.

Teorema Grassmann (preparazione dimostrazione richiesta per l’esameorale): dati U e W sottospazi di V , dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) −dim(U ∩ W ).

Esempio geometrico: V = R3 (dim(V ) = 3), U = {(a, b, 0), a, b ∈ R}(piano xy), W = {(0, c, d), c, d ∈ R} (piano yz). Verificato che dim(U) =dim(W ) = 2, U +W = V , U ∩W = {(0, k, 0), k ∈ R} (asse y, dim(U ∩W ) =1).

Definizione di matrice m× n sul corpo K. Vettori riga e vettori colonna.Esempi numerici.

Addizione di matrici, moltiplicazione di una matrice per uno scalare.Matrice zero.Le matrici m × n con elementi di matrice in K costituiscono uno spazio

vettoriale su K, chiamato Mm,n(K).


Esercizio svolto: Stabilire quali tra i seguenti sottoinsiemi di R4 sonosottospazi e in caso di risposta affermativa trovarne una base:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x4 = 1},

W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + x2 = 1},W3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | 2x1 − x2 + x4 = 0},

W4 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x2

1 − x2

2 = 0}.Esercizio svolto: Sia R3[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di una variabile

reale di grado minore od uguale a tre. Si consideri il sottoinsieme U definitonel modo seguente:

U = {p ∈ R3[t] | p(1) = p(−1) = 0}.

a) Dimostrare che U e un sottospazio di R3[t].b) Determinare una base di U .c) Determinare una base di U + W e una base di U ∩ W , dove W e ilsottospazio

W = {p ∈ R3[t] | p(0) = 0}.

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Esercizio svolto: Dati U = Span(v1 = (1, 0, 1)), W = Span(v2 = (2, 1, 1), v3 =(0, 1, 0)), provare che R3 = U ⊕ W .

Esercizio svolto: In R4 si considerino i sottospazi

U = Span((1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 2)),

W = Span((1, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (1, 3, 0, 0)).

Trovare le dimensioni di U , W , U + W e U ∩ W .Esercizio: Si considerino i polinomi p1(t) = t2 + 2, p2(t) = 3t + 4 e

p3(t) = −t2 + 6t + 6 e sia W il sottospazio di R2[t] generato da p1, p2 e p3.a) Si determini la dimensione e una base di W .b) Si stabilisca per quali valori di k il polinomio fk(t) = (k + 1)t2 + 3kt + 8appartiene a W .


Esercizio svolto: trovare una base dello spazio Mm,n(K). Esempio: lematrici

{

E11 =

(

1 00 0

)

, E12 =

(

0 10 0

)

, E21 =

(

0 01 0

)

, E22 =

(

0 00 1

)}

costituiscono una base per M2,2(K).Definizioni ed esempi: matrice quadrata, matrice trasposta, matrice diag-

onale, matrice identita, matrice simmetrica, matrice antisimmetrica, matricehermitiana, matrice triangolare superiore ed inferiore.

Esercizio: dimostrare che, per ogni A, B ∈ Mn,n(K), t(A+B) = tA+ tB.Esercizio: dimostrare che, per ogni A ∈ Mn,n(K) e per ogni c ∈ K,

t(cA) = c tA.Esercizio svolto: trovare una base per il sottospazio delle matrici n × n

triangolari superiori.Esercizio svolto: dimostrare che le matrici n×n simmetriche costituiscono

un sottospazio di Mn,n.Esercizio: dimostrare che le matrici n × n antisimmetriche costituiscono

un sottospazio di Mn,n.Esercizio svolto: trovare una base per lo spazio delle matrici n × n sim-

metriche. Esempio: n = 2.Esercizio svolto: trovare una base per lo spazio delle matrici n × n anti-

simmetriche. Esempio: n = 2.

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Esercizio svolto: sia V = Mn,n(R), U il sottospazio delle matrici realin×n simmetriche e W il sottospazio delle matrici reali n×n antisimmetriche.Provare che V = U ⊕ W .

Esercizio svolto: sia V = M2,2(R), U = {A ∈ V, a21 = a22 = 0}, W ={A ∈ V, a12 = a22 = 0}. Trovare una base per i sottospazio U + W e U ∩W .Verificare che dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ).

Definizioni: sistema di equazioni lineari, sistema omogeneo e non omoge-neo, soluzioni banali e non banali.

Teorema (dimostrato): sia dato un sistema omogeneo di m equazionilineari in n incognite, con n > m, e i cui coefficienti siano elementi di uncorpo K. Allora il sistema possiede soluzioni non banali in K.


Esercizio svolto: sia dato un sistema omogeneo di n equazioni lineari inn incognite e siano le colonne A1, ..., An linearmente indipendenti. Allora ilsistema ammette solo la soluzione banale.

Esercizio svolto: l’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo diequazioni lineari sul corpo K e uno spazio vettoriale su K.

Teorema (dimostrato): sia dato un sistema di n equazioni lineari in n

incognite e siano i vettori A1, ..., An linearmente indipendenti. Allora il sis-tema possiede un’unica soluzione in K.

Definizione di prodotto di matrici. Esempi.Esempio numerico di matrici A, B tali che A e B non commutano, cioe

AB 6= BA.Proprieta del prodotto di matrici : A(B + C) = AB + AC, A(xB) =

x(AB), A(BC) = (AB)C, con A, B, C matrici e x scalare.Esercizio svolto: dimostrare che t(AB) = tBtA.Esercizio svolto: dimostrare che t(ABC) = tCtBtA. Generalizzazione:

t(A1 · · ·Ak) = tAk · · · tA1.Definizione di matrice inversa. Dimostrato che la matrice inversa, se

esiste, e univocamente determinata.


Definizioni: applicazione, funzione, immagine di un’applicazione.Esempio di applicazione: f : R → R, con f(x) = x2.Esempio di applicazione: f : R+ ∪ {0} → R, con f(x) =

√x.

Esempio di applicazione: F : S → Kn, con F (t) = (f1(t), ..., fn(t)).Esempio di rappresentazione parametrica di una retta nel 2-spazio: F (t) =

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(t, 2t + 5).Definizione di applicazione composta G ◦ F .Esempio di applicazione composta: G ◦ F e F ◦ G, con F : R → R2,

F (t) = (t, t2) e G : R2 → R, G(x, y) = xy.Definizione di applicazione lineare.Esempio di applicazione lineare: siano dati V spazio vettoriale su K, una

base {v1, ..., vn} di V e l’applicazione F : V → Kn definita, per ogni v ∈ V ,v = x1v1 + · · ·xnvn, da F (v) = (x1, ..., xn). Provato che F e lineare.

Esercizio svolto: F : R3 → R3, definito da F (x, y, z) = (x, y, 0) e lineare.Si tratta della proiezione sul piano (x, y). Definizione generale di operatoredi proiezione.

Esercizio svolto: dati A ∈ R3 e l’applicazione LA : R3 → R definita daLA(X) = X · A per ogni X ∈ R3, provare che LA e lineare.

Esercizio svolto: siano date la matrice A ∈ Mm,n(K) e l’applicazioneLA : Kn → Km definita da LA(X) = AX per ogni X ∈ Kn vettore colonna.Dimostrare che LA e lineare.

Esercizio svolto: dimostrare che l’applicazione identica e l’applicazionenulla sono lineari.

Esercizio (in parte svolto a lezione): dato l’insieme L(V, V ′) delle ap-plicazioni lineari da V in V ′, con V, V ′ spazi vettoriali su K e prese duequalsiasi applicazioni lineari F, G ∈ L(V, V ′) e un qualsiasi scalare c ∈ K,dimostrare che F +G, definito da (F +G)(u) = F (u)+G(u) per ogni u ∈ V

e cF , definito da (cF )(u) = cF (u) per ogni u ∈ V , sono applicazioni lineari.Verificare quindi che L(V, V ′) e uno spazio vettoriale.

Teorema (dimostrato): un’applicazione lineare e univocamente determi-nata dai suoi valori sugli elementi di una base.


Esercizio svolto: Dato l’insieme

U =

{

M =

(

a b

c d

)

∈ M2,2(R) | AM = 0

}

, A =

(

1 33 9

)

,

verificare se U e un sottospazio vettoriale di M2,2(R) e nel caso trovare unabase di U .

Esercizio svolto: Si consideri, al variare di k ∈ R, la matrice

Ak =

1 0 k

0 1 00 0 1

.

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Determinare per quali valori di k le matrici Ak, A2k, e A3

k sono linearmenteindipendenti.

Definizione di traccia di una matrice n × n.Esercizio svolto: dimostrare che, se A e B sono matrici n × n, allora

tr(AB) = tr(BA).Esercizio svolto: Sia A una matrice n × n invertibile. Dimostrare che

t(A−1) = (tA)−1.Definizione di commutatore di due matrici.Esercizio svolto: si consideri lo spazio vettoriale V = M2,2(R) delle ma-

trici 2×2 sul corpo reale. Dimostrare che, se B ∈ V e i[A, B] = AB−BA = 0per ogni A ∈ V , allora B e multipla dell’identita.

Esercizio svolto: data la matrice A =

(

a b

c d

)

, con a, b, c, d ∈ R, di-

mostrare che A ammette inversa se e solo se ad − bc 6= 0.


Definizione di nucleo ed immagine di un’applicazione lineare.Dimostrato che, data F : V → W applicazione lineare, Im(F ) e un

sottospazio di W , mentre Ker(F ) e un sottospazio di V .Teorema (dimostrato): un’applicazione lineare il cui nucleo comprenda

solo il vettore nullo trasforma vettori linearmente indipendenti in vettorilinearmente indipendenti.

Esercizio svolto: un’applicazione lineare L : R3 → R3 il cui nucleo com-prenda solo il vettore nullo trasforma un piano in R3 in un piano in R3.

Teorema (dimostrato): se T : V → W applicazione lineare e B ={v1, ..., vn} base di V , allora Im(T ) = Span(T (v1), ..., T (vn)). Osservazione:{T (v1), ..., T (vn)} non e in generale base di Im(T ). Esempio: T : R2 → R2,con T (x, y) = (x + y, x + y).

Teorema (dimostrato): data F : V → W applicazione lineare, dim(V ) =dim(Ker(F )) + dim(Im(F )).


Definizione di applicazione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Un’applicazionelineare F e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}.

Esercizio svolto: dire se l’allplicazione F : R → R2, con F (x) = (x, 0) elineare, iniettiva, suriettiva. Trovare una base per il nucleo e per l’immaginedi F .

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Esercizio svolto: dire se l’allplicazione F : R2 → R, con F (x, y) = (x) elineare, iniettiva, suriettiva. Trovare una base per il nucleo e per l’immaginedi F .

Esercizio svolto: dire se l’ applicazione f(x) = x2 e lineare, iniettiva,suriettiva.

Esercizio: dire se l’allplicazione F : R3 → R3, con F (x, y, z) = (x, y, 0) elineare, iniettiva, suriettiva. Trovare una base per il nucleo e per l’immaginedi F .

Esercizio: dire se l’ applicazione f(x) = x3 e lineare, iniettiva, suriettiva.Applicazioni invertibili. Unicita dell’applicazione inversa.Teorema (dimostrato): un’applicazione lineare iniettiva e suriettiva e in-

vertibile e l’inversa e essa stessa un’applicazione lineare.Definizione di isomorfismo.Osservazione: se F : V → V ′ e un isomorfismo di spazi vettoriali, allora

dim(V ) = dim(V ′) = n.Composizione di applicazioni lineari.Esempio in cui F ◦ G 6= G ◦ F : F, G : R3 → R3, con F (x, y, z) = (x, y, 0)

e G(x, y, z) = (x, z, 0).Definizione di operatore (o endomorfismo).Esercizio svolto: dimostrare che T : R2 → R2, definita da T (x, y) =

(y, 2x− y) e invertibile e trovare T−1.Esercizio: data F → R3 → R3, definita da F (X) = X + A, con A =

(0,−1, 0), dimostrare che F non e lineare. In generale le traslazioni non sonoapplicazioni lineari.

Esercizio: dimostrare che F : R2 → R, con F (x, y) = (x3 + y3)1/3 non elineare. Viene infatti soddisfatta la proprieta di omogeneita ma non quelladi additivita.

Esercizio: dire se F : R2 → R, definita da F (x, y) = xy, e lineare.Esercizio: dimostrare che T : Mm,n(R) → Mn,m(R), definita da T (A) =

tA, e un isomorfismo e trovare T−1.Esercizio: siano V, W spazi vettoriali su K, con dim(V ) < dim(W ). Di-

mostrare che (a) non esiste nessuna applicazione lineare F : V → W suriet-tiva e (b) non esiste nessuna applicazione lineare G : W → V iniettiva.


Applicazione lineare associata ad una matrice.Teorema (dimostrato): se due matrici danno luogo alla stessa applicazione

lineare, esse coincidono.

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Matrice associata ad un’applicazione lineare.Esercizio svolto: trovare la matrice associata all’applicazione lineare F :

R3 → R2, con F (x1, x2, x3) = (x1, x2).Esercizio svolto: siano V = R2[t] e W = R3[t] gli spazi vettoriali dei

polinomi di una variabile reale di grado minore uguale a 2 (per V ) e a 3 (perW ), T : V → W l’applicazione lineare definita da [T (p)](t) = tp(t + 1) perogni p ∈ V e B = {p0(t) = 1, p1(t) = t, p2(t) = t2}, B′ = {q0(t) = 1, q1(t) =t, q2(t) = t2, q3(t) = t3} basi per V e per W . Trovare la matrice associata aT rispetto a queste basi.

Esercizio: sia T : R3 → R2 l’applicazione lineare definita da T (x, y, z) =(2x + 2z, x − y). Trovare la matrice associata a tale applicazione linearerispetto alle basi B = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)} di R3

e B′ = {w1 = (1, 0), w2 = (0, 1)} di R2 e rispetto alle basi C = {u1 =(1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} di R3 e C′ = {q1 = (1, 0), q2 = (1, 1)} diR2.

Esercizio svolto: trovare la matrice associata ad una rotazione antiorariadi angolo θ dei vettori in R2.

Esercizio svolto: trovare la matrice associata all’ applicazione identica inR2 quando i vettori di base vengono ruotati in verso antiorario di un angoloθ.


Esercizio svolto: dato R2[t] spazio vettoriale dei polinomi di grado minoreod uguale a due, dire se l’applicazione T , definita da [T (p)](t) = p(t + 1) perogni p ∈ R2 e lineare.

Esercizio svolto: data la matrice

A =

(

1 11 0

)

,

si consideri l’applicazione T : M2,2(R) → M2,2(R), definita, per ogni X ∈M2,2, da T (X) = AX − XA .a) Dimostrare che T e lineare.b) Determinare Ker(T ) e Im(T ).

Esercizio svolto: sia V lo spazio vettoriale delle funzioni reali e continuenell’intervallo [1, 2]. Si consideri il sottospazio W generato dalle funzionidell’insieme

B =

{

f1(x) = 1, f2(x) =1

x, f3(x) =

1

x + 1, f4(x) =

1

x(x + 1)

}

.

12

a) Determinare se le funzioni dell’insieme B sono linearmente indipendenti etrovare una base per W .b) Si consideri la trasformazione T : W → W che associa ad ogni funzioneh ∈ W la funzione g ∈ W , definita come

g(x) =h(1)

x + 1+ h(2),

dove h(1) ed h(2) sono i valori assunti dalla funzione h(x) nei punti x = 1 edx = 2. Dire se la trasformazione T e lineare e in caso affermativo determinarela matrice associata alla trasformazione T nella base precedentemente scelta.

Esercizio svolto: sia data in C3 l’applicazione lineare definita da

L(e1) = ie2 + e3,

L(e2) = −ie1 + 2e2,

L(e3) = e1 + 2e3,

dove B = {e1, e2, e3} e una base di C3.a) Scrivere la matrice M associata ad L rispetto alla base B.b) Trovare una base per il nucleo e una base per l’immagine di L.

Esercizio svolto: data l’applicazione lineare A : R3 → R4, definita da

A

x1

x2

x3

=

5x1 − x2

x1 + x2

x3

x1

,

determinare nucleo ed immagine di A.


Esercizio svolto: provare che le rotazioni in R2 conservano le distanze.Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari.Matrice associata ad un cambiamento di base.Esercizio svolto: dato V = R2, B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B′ = {v1 =

(3, 1), e2 = (−1,−1)} basi di V , trovare la matrice del cambiamento di baseda B a B′ e quella del cambiamento di base da da B′ a B.

Esercizio: dato V = R2[t] spazio vettoriale dei polinomi di grado minoreod uguale a due, B = {1, t, t2} e B′ = {1, t−1, 2t2−4t−6} basi di V , trovarela matrice del cambiamento di base da B a B′ e quella del cambiamento dibase da da B′ a B.

13

Esercizio: dimostrare che RθRθ′ = RθRθ′ e che R−1

θ = R−θ, dove Rθ

indica la rotazione antioraria di angolo θ dei vettori in R2.Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione lineare relativa-

mente a basi differenti.Determinanti di matrici 2 × 2. Definizione e proprieta.Determinanti di matrici n × n. Proprieta.Esercizio svolto: sia c ∈ K e A ∈ Mn,n(K); dimostrare che det(cA) =

cndet(A).


Dimostrazione regola di Cramer per la risoluzione di sistemi di equazionilineari.

Teorema (dimostrato): dati n vettori colonna A1, ..., An ∈ Kn linearmenteindipendenti, allora det(A1, ..., An) = 0.

Corollario: dati n vettori colonna A1, ..., An ∈ Kn tali che det(A1, ..., An) =0 e un vettore colonna B ∈ Kn, allora esistono e sono univocamente deter-minati n scalari x1, ..., xn tali che x1A

1 + · · ·xnAn = B.Sviluppo di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice n×n.Esempi numerici, con riferimento alla soluzione di sistemi lineari (regola

di Cramer).Proprieta delle permutazioni.


Unicita del determinante e sua espressione esplicita. Caso particolare:matrici 2 × 2.

Proprieta del determinante: det(A) = det(tA) (non dimostrata)Teorema di Binet (dimostrato): det(AB) = det(A)det(B) (corollario: se

esiste l’inversa A−1 di una matrice A, allora det(A−1) = [det(A)]−1).Determinante di un’applicazione lineare F : V → V .Esercizio svolto: calcolare il determinante dell’applicazione lineare F :

R3 → R3, con F (x, y, z) = (2x − 4y + z, x − 2y + 3z, 5x + y − z).Teorema (dimostrato): se det(A) 6= 0, la matrice A e invertibile. Formula

esplicita per il calcolo di A−1.


Esercizio svolto: trovare l’inversa di A =

1 2 52 3 1−1 1 1

.

14

Esercizio svolto: dimostrare che RθRθ′ = RθRθ′ e che R−1

θ = R−θ, doveRθ indica la rotazione antioraria di angolo θ dei vettori in R2. oEserciziosvolto: si considerino lo spazio M2,2(R) delle matrici 2× 2 su R e la matrice

M =

(

1 23 4

)

. Sia T : M2,2 → M2,2 l’applicazione definita, per ogni

matrice A ∈ M2,2 da T (A) = MA.a) Dimostrare che T e lineare.b) Trovare il determinante di T .c) Dire se T e invertibile.

Esercizio svolto: nello spazio vettoriale V dei polinomi p(t) di grado nonsuperiore al terzo a coefficienti reali, si consideri l’applicazione f che ad ognipolinomio p(t) associa p(t + 1). Stabilire se f e lineare e se f e invertibile.Nel caso in cui sia lineare, determinare la matrice associata ad f .

Esercizio svolto: calcolare il determinante della matrice n × n

M =

1 2 ... n − 3 n − 2 n − 1 n

2 3 ... n − 2 n − 1 n n

3 4 ... n − 1 n n n

. . ... . . . .

. . ... . . . .

. . ... . . . .

n − 1 n ... n n n n

n n ... n n n n

.

Esercizio svolto: determinare una base per il nucleo e per l’immaginedell’applicazione lineare L : R2[t] → M2,2(R), definita da

L(a + bx + cx2) =

(

a + 2b − 2c 2a + 2b−a + b − 4c 3a + 2b + 2c

)

.


Definizione di prodotto scalare. Prodotti scalari non degeneri. Prodottiscalari definiti positivi.

Esempio: prodotto scalare ordinario in Kn.Esercizio svolto: dato V = R3, dimostrare che 〈v, w〉 = v1w1 + v1w2 +

v2w1 + v2w2 + v3w3 (v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) in V ) e un prodottoscalare. E definito positivo?. E non degenere?

Esercizio svolto: dato V = R2[t] spazio vettoriale dei polinomi di gradomonire od uguale a due, dimostrare che 〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) +

15

p(−1)q(−1) (p, q in V ) e un prodotto scalare. E definito positivo? E nondegenere?

Vettori ortogonali. Complemento ortogonale.Esercizio svolto: il complemento ortogonale di un sottoinsieme di uno

spazio vettoriale V e un sottospazio di V .Esercizio: dimostrare che, se w ⊥ S, con S sottoinsieme di V , allora

w ⊥ U , con U sottospazio generato da S.Esercizio svolto: le soluzioni di un sistema di m equazioni lineari omoge-

nee in n incognite costituiscono un sottospazio vettoriale di Kn.


Basi ortogonali.Coefficienti di Fourier, proiezioni.Esercizio svolto: trovare i coefficienti di Fourier di un vettore v ∈ V

rispetto ai vettori vi (i = 1, ..., n) di una base ortogonale in V .Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (dimostrato).Norma di un vettore. Basi ortonormali.Esercizio svolto: trovare una base ortonormale per lo spazio vettoriale

generato dai vettori v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (1,−2, 0, 0) e v3 = (1, 0,−1, 2) (siconsideri l’ordinario prodotto scalare in R4).

Esercizio svolto: dati uno spazio vettoriale V su R (dim(V ) = n) e unabase ortonormale per V , calcolare il prodotto scalare 〈v, w〉, con v, w genericivettori in V . Quale e la relazione con il prodotto scalare ordinario in Rn?

Prodotti hermitiani. Esempio: dati X = (x1, ..., xn), Y = (y1, ..., yn)∈ Cn, 〈X, Y 〉 =

∑ni=1

xiyi.


Teorema (dimostrato): dati uno spazio vettoriale V su R dotato di prodottoscalare definito positivo (o uno spazio vettoriale V su C dotato di prodottohermitiano definito positivo) e un sottospazio W di V , provare che dim(W )+dim(W⊥) = dim(V ) e che V = W ⊕ W⊥.

Esempio: V = R3, W generato da v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0). Risulta chedim(W⊥) = 1 e che una base per W⊥ e costituita dal vettore v3 = (0, 0, 1).Interpretazione geometrica.

Prodotti scalari non definiti positivi.Teorema (non dimostrato): dato W sottospazio di V , con dim(V ) = n, e

dato un prodotto scalare non degenere in V , dim(W ) + dim(W⊥) = n.

16

Esempio: V = R4, 〈v1, v2〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2 − c2t1t2, con v1 =(x1, y1, z1, ct1), v2 = (x2, y2, z2, ct2) vettori in R4. Dimostrato che, datoquesto prodotto scalare e il sottospazio W = {cw, w = (1, 0, 0, 1), c ∈ R}, edim(V ) = dim(W ) + dim(W⊥) ma V 6= W ⊕ W⊥.

Metodo di ortogonalizzazione per prodotti scalari non definiti positivi(teorema dimostrato).

Caratteristica (rango) per righe e per colonne di una matrice.Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari

omogenee (teorema dimostrato).


Esercizio svolto: trovare una base ortonormale per lo spazio vettorialegenerato dai vettori v1 = (1, i, 0), v2 = (1, 1, 1) (si consideri l’ordinarioprodotto hermitiano in C3).

Esercizio svolto: dato lo spazio vettoriale delle matrici n×n sul corpo R,dimostrare che 〈A, B〉 = Tr(AB) e un prodotto scalare. E definito positivo?E non degenere? Trovare il complemento ortogonale del sottospazio dellematrici n × n diagonali.

Esercizio svolto: sia V = R2 e si definisca

〈X, X ′〉 = 〈(

x

y

)

,

(

x′

y′

)

〉 = xx′ + 2yy′ + xy′ + yx′

per ogni X, Y ∈ R2.a) Dimostrare che effettivamente si tratta di un prodotto scalare.b) Dimostrare che il prodotto scalare e definito positivo.c) Determinare una base di V ortonormale rispetto a questo prodotto scalare.

Esercizio svolto: sia R2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di una variabilereale di grado minore od uguale a due.a) Dimostrare che la forma bilineare 〈 , 〉 : R2[t] × R2[t] → R, definita da

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)

e un prodotto scalare.b) Trovare una base di R2[t] ortogonale rispetto a tale prodotto scalare.

Esercizio svolto: sia data l’applicazione g : M2,2(R) × M2,2(R) → R,definita da

g(A, B) = Tr(tBA),

17

a) Dimostrare che tale applicazione e un prodotto scalare.b) Trovare il complemento ortogonale, rispetto a g, del sottospazio

U = {A ∈ M2,2(R) | Tr(A) = 0} .

Lezione 25 - 1 dicembre 2010

Sistema di equazioni lineari non omogenee: dimensione dell’insieme dellesoluzioni.

Esercizio svolto: determinare la dimensione dell’insieme delle soluzionidel sistema lineare

{

2x + y + z = 1,y − z = 0.

Teorema di Rouche-Capelli (dimostrato).Sistemi (lineari) triangolari superiori.Teorema (dimostrato): un sistema (lineare) triangolare superiore Ax = b

ammette una sola soluzione se e solo se tutti i termini diagonali della matriceA dei coefficienti sono non nulli.

Metodo di risoluzione all’indietro.Esercizio svolto: si studino le soluzioni (qualora esistano) del sistema

3x − y + 2z = 3,−y + 2z = 0,4z = −4.

Esercizio svolto: si studino le soluzioni (qualora esistano) del sistema

2x + 4y − 2z = 8,3z = 6,2z = −2.

Esercizio svolto: si studino le soluzioni (qualora esistano) del sistema

2x + 4y − 2z = 8,3z = −3,2z = −2.

Sistemi lineari equivalenti ed operazioni elementari.


18

Metodo di eliminazione di Gauss. Pivot del metodo di Gauss.Esercizio svolto: usando il metodo di Gauss si risolva il sistema

x + 3y + z − w = 1,3x + 9y + 4z + w = 1,2x + y + 5z + 2w = 0,y − z − w = 2.

Sistemi a scala. Proprieta delle matrici a scala. Pivot di una matrice ascala.

Esercizio svolto: si risolva il sistema (a scala)

x2 − x3 + 3x4 − x5 + 1

2x6 = 1,

2x4 − x6 = 0,x5 + 4x6 = 1.

Riduzione a scala di un generico sistema di equazioni lineari.Esercizio svolto: si risolva mediante riduzione a scala il sistema

2x1 − x2 + 4x3 + x4 = −2,−2x1 + x2 − 7x3 + x4 = −1,4x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = −7.

Esercizio svolto: discutere mediante riduzione a scala la risolubilita delsistema

2x1 − x2 + 4x3 + x4 = −2,−2x1 + x2 − 7x3 + x4 = −1,4x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 7.


Applicazioni bilineari.Applicazioni bilineari e matrici. Costruzione della matrice C associata

ad una forma bilineare e viceversa.Cambiamento della matrice C associata ad una forma bilineare sotto

cambiamento di base.Nota: la matrice associata ad un prodotto scalare definito positivo rispetto

ad una base ortonormale e la matrice identita.Teorema (dimostrato): una matrice C in K rappresenta una forma bilin-

eare simmetrica se e soltanto se C e una matrice simmetrica.Operatori simmetrici.

19

Esercizio svolto: si consideri il prodotto scalare canonico in R2 e l’operatore

T , definito da T (v) = T

(

x1

x2

)

=

(

x1 + x2

x1 − x2

)

. Dimostrare che T e sim-

metrico. Trovare le matrici C (C ′) e A (A′) associate al prodotto scalare

e all’endomorfismo T rispetto alla base B = {e1 =

(

10

)

, e2 =

(

01

)

}

(B′ = {v1 =

(

11

)

, v2 =

(

12

)

}). Verificare che tA = A e che tA′C ′ = C ′A′.

Operatore aggiunto. Operatori hermitiani.Operatori ortogonali (unitari reali).Teorema (dimostrato): le seguenti tre proposizioni sono equivalenti: (1)

T e un operatore ortogonale, (2) T tramuta basi ortogonali in basi ortogonali,(3) T conserva la norma dei vettori.

Esercizio svolto: un operatore T ortogonale e invertibile.


Applicazione del metodo di riduzione a scala: nucleo ed immagine diun’applicazione lineare.

Esercizio svolto: trovare dimensione e basi per il nucleo e l’immaginedell’applicazione lineare rappresentata in una certa base dalla matrice

A =

1 0 32 1 13 1 4−1 −1 2

.

Applicazione del metodo di riduzione a scala: trovare dimensione e basedel sottospazio generato da un insieme di vettori.

Esercizio svolto: trovare dimensione e base di U = Span(u1, u2, u3), con

u1 =

1−132

, u2 =

−2101

, u3 =

8−561

.

Applicazione del metodo di riduzione a scala: completamento di una base.

Esercizio svolto: dati i due vettori linearmente indipendenti v1 =

1−132

, v2 =

20

−2101

∈ R4, completare la base di R4.

Applicazione del metodo di riduzione a scala: dimensione e base di U+W .Esercizio svolto: dati i sottospazi U = Span(u1, u2) e W = Span(w1, w2),

con u1 =

1−132

, u2 =

−2101

, w1 =

11−3−2

, w2 =

0101

, trovare

dimensione e base di U + W .Esercizio svolto: dati i sottospazi U = Span(u1, u2) e W = Span(w1, w2),

con u1 =

1−132

, u2 =

−2101

, w1 =

11−3−2

, w2 =

0101

, trovare

dimensione e base di U ∩ W .Applicazione metodo di eliminazione di Gauss: calcolo matrice inversa.

Esercizio svolto: trovare l’inversa della matrice A =

2 1 14 1 0−2 2 1

.

Applicazione metodo di eliminazione di Gauss: calcolo dei determinanti.

Esercizio svolto: calcolare il determinante della matrice A =

3 4 2 10 7 6 31 1 2 43 1 −2 4

.

Teorema degli orlati. Esempio di applicazione.


Teorema (dimostrato): una matrice n × n e ortogonale se e solo se lesue colonne costituiscono una base ortogonale rispetto al prodotto scalarecanonico in Rn.

Esercizio svolto: trovare tutte le matrici ortogonali A ∈ O(2). Interpre-tazione geometrica.

Operatori unitari.Indice di nullita.Teorema (dimostrato): una forma bilineare e non degenere se e solo se

l’indice di nullita e uguale a zero.

21

Teorema di Sylvester (dimostrato). Indice di positivita.Esercizio svolto: trovare indice di positivita e di nullita della forma bilin-

eare associata alla matrice

(

1 22 −1

)

.


Grado di un polinomio.Radice di un polinomio.Teorema: un polinomio di grado n in campo complesso ha n radici in C.Molteplicita delle radici di un polinomio.Polinomi di matrici. Esempi e proprieta.Teorema (dimostrato): data A matrice n × n sul corpo K, esiste un

polinomio non nullo f tale che f(A) = 0.Autovalori ed autovettori di un operatore. Definizione.Autovalori ed autovettori di una matrice n × n. Definizione.Esempio: trovare autovalori ed autovettori di una matrice diagonale.Teorema (dimostrato): autovettori associati ad autovalori distinti sono

linearmente indipendenti.Teorema (dimostrato): λ e autovalore di un operatore A se e solo se A−λI

non e invertibile.Teorema (dimostrato): dato un operatore A in uno spazione vettoriale V

su C, con dim(V ) ≥ 1, esiste un autovettore di A.Matrice associata ad un operatore rispetto ad una base di autovettori.Definizione di operatori (e matrici) diagonalizzabili.


Esercizio svolto: Calcolare, al variare di k ∈ R, indice di positivita e dinullita della forma bilineare simmetrica rappresentata dalla matrice

A =

1 0 k2

0 k 0k2 0 k3

.

Esercizio svolto: Dire se la funzione ν : R2 → R definita da

ν(x1, x2) = max(|x1|, |x2|)

per ogni (x, y) ∈ R2 e una norma, cioe se soddisfa alle proprieta della normadi un vettore.

22

Esercizio svolto: Si dimostri che le matrici

σ0 =

(

1 00 1

)

, σ1 =

(

0 11 0

)

,

σ2 =

(

0 −i

i 0

)

, σ3 =

(

1 00 −1

)

costituiscono una base per lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 sul corpocomplesso.

Esercizio svolto: Data l’applicazione lineare f : R3 → R3, definita da

f(x, y, z) = (−x + kz, kz, y + z), k ∈ R,

determinare, al variare di k, una base per il nucleo e una base per l’immaginedi f . Dire per quali k l’applicazione e iniettiva e/o suriettiva.

Esercizio svolto: Si consideri, al variare di k ∈ R, la matrice

A =

1 0 k

0 2 0k 1 1

.

Dire per quali valori di k la matrice e invertibile e ove possibile trovare lamatrice inversa.


Esercizio svolto: trovare autovalori ed autovettori della matrice A =(

1 2−1 1

)

.

Esercizio svolto: trovare autovalori ed autovettori della seguente matrice:

Rθ =

(

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)

.

Esercizio: trovare autovalori ed autovettori della seguente matrice: Sθ =(

cos θ sin θ

sin θ − cos θ

)

.

Polinomio caratteristico: definizione ed esempi.Teorema (dimostrato) λ e un autovalore di una matrice A se e solo se λ

e una radice del polinomio caratteristico di A.Molteplicita algebrica e geometrica di un autovalore.

23

Esercizio svolto: trovare gli autovalori (con relative molteplicita alge-

briche e geometriche) della matrice A =

3 1 12 4 23 3 6

.

Esercizio: trovare gli autovalori (con relative molteplicita algebriche e

geometriche) della matrice A =

1 1 −10 1 01 0 1

.

Teorema (dimostrato): la molteplicita geometrica di un autovalore e mi-nore od uguale alla sua molteplicita algebrica.

Teorema (dimostrato): date due matrici n × n A e B, con B invertibile,abbiamo pA(λ) = pB−1AB(λ).


Esercizio svolto: dire se la matrice A =

(

1 a

0 1

)

, con a 6= 0, e diagonal-

izzabile.Teorema (dimostrato): un operatore T : V → V e diagonalizzabile se e

solo se la somma delle molteplicita algebriche degli autovalori di T e ugualealla dimensione dello spazio vettoriale V e per ogni autovalore la molteplicitaalgebrica e uguale alla molteplicita geometrica.

Ventaglio. Base a ventaglio. Matrice (triangolare superiore) associata adun operatore relativamente ad una base a ventaglio.

Operatori triangolabili. Matrici triangolabili.Teorema: dato un operatore A definito in uno spazio vettoriale complesso,

esiste un ventaglio per A.Teorema di Hamilton-Cayley (dimostrato).

Esercizio svolto: calcolare A41, dove A =

1 0 0 03 −1 0 05 7 i 0−2 1 0 −i

.


Proprieta degli autovalori di un’applicazione unitaria.Teorema (dimostrato): dato V spazio vettoriale su C dotato di prodotto

hermitiano definito positico e A applicazione unitaria da V in V , esiste unabase ortonormale di V costituita da autovettori di A.

Corollario (dimostrato): data A matrice unitaria n×n, esiste una matrice

24

unitaria n × n U tale che tUAU sia una matrice unitaria diagonale.Proprieta degli autovalori e degli autovettori di una matrice reale sim-

metrica.Teorema spettrale, caso reale (dimostrato).Corollario del teorema spettrale: data A matrice simmetrica reale n× n,

esiste una matrice unitaria reale n × n U tale che tUAU sia una matricediagonale.

Teorema spettrale, caso complesso.


Esercizio svolto: trovare autovalori ed autovettori della seguente matrice:

Sθ =

(

cos θ sin θ

sin θ − cos θ

)

.

Esercizio svolto: autovettori di un operatore simmetrico corrispondentiad autovalori distinti sono mutuamente ortogonali.

Esercizio svolto: trovare una trasformazione di similitudine che diagonal-

izzi la matrice

0 i 0−i 0 00 0 1

.

Esercizio svolto: calcolare indice di positivita e di nullita della matrice

A =

(

1 11 1

)

.


Esercizio svolto: discutere la diagonalizzabilita della matrice

A =

1 0 02 1 01 2 0

.

Esercizio svolto: si consideri la matrice reale

A =

(

k 1 + k

1 − k k

)

,

con k ∈ R. Tale matrice opera sullo spazio R2, nel quale e definito l’ordinario

prodotto scalare 〈X, Y 〉 = x1y1+x2y2, con X =

(

x1

x2

)

e Y =

(

y1

y2

)

gener-

ici vettori in R2. Determinare:

25

(a) per quali valori del parametro k la matrice e invertibile;(b) per quali valori di k la matrice ammette autovalori in R ed autovettoriin R2;(c) per quali valori di k la matrice e diagonalizzabile;(d) per quali valori di k si possono trovare autovettori mutuamente ortogo-nali.

Esercizio svolto: sia R2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di una variabilereale di grado minore od uguale a due.a) Dimostrare che l’applicazione φ : R2[t] → R2[t], definita da

φ(p(t)) = p(ht + 1), p(t) ∈ R2[t], h ∈ R

e lineare.b) Determinare, al variare di h, gli autovalori e gli autospazi di φ.c) Dire per quali h l’applicazione φ e diagonalizzabile.

26

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