Lezione Algebra Lineare

7/30/2019 Lezione Algebra Lineare

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Elementi di Algebra Lineare

SW, appendice 18.1

Johnston, cap. 4 (5.1-5.3)


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Elementi di Algebra Matriciale(richiami)

definizione di matrice

matrice quadrata, diagonale, identit,triangolare, simmetrica

matrice trasposta

principali operazioni su matrici e vettori:somma, sottrazione, prodotto

determinante e matrice inversa rango di una matrice

forme quadratiche e matrici definite positive


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3

DEFINIZIONE DI MATRICE

Matrice: insieme composto da elementi ordinati in m righe

e n colonne

A =(m x n)

aij= elemento genericodella matrice

Ogni elemento aij individuato

dallindice di riga ie dallindicedi colonnaj.

i = 1, 2, mj = 1, 2, n

La matriceA = A(m x n)= [aij] di dimensioni m, numero di

righe, per n, numero di colonne.

Nellindicare lordine di una matrice, il numero delle righe precede

sempre il numero delle colonne

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

... ... ... ...

am1 am2 ... amn


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vettore RIGA semplicemente una matrice con solo una

rigam = 1

A= [a11, a12, , a1n](1 x n)

DUE CASI LIMITE

vettore COLONNA semplicemente una matrice con solouna colonnan = 1

a11

a21A=

(m x 1)

am1


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MATRICE QUADRATA

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

A =(n x n)

M = N

per i = j gli elementi aii (per i = 1, 2, . . . , n) si diconoelementi diagonali o appartenenti alla diagonale principale diA

per i j gli elementi aij si dicono elementi extradiagonale

una matrice con un uguale numero di righe e di colonne

In questo caso,Asi dice quadrata di ordine N.


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6

MATRICE DIAGONALE

a11 0 ... 0

0 a22 ... 0... ... ... ...

0 0 ... ann

A =(n x n)

per i = j aii 0 per i = 1, 2, . . . , n

per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n

una matrice quadrata con gli elementi diagonali diversi da

zero e gli elementi extradiagonali nulli


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7

MATRICE IDENTITA o UNITA

1 0 ... 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

I =(n x n)

per i = j aii = 1 per i = 1, 2, . . . , n

per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n

una matrice quadrata , generalmente indicata con la

letteraI, con gli elementi diagonali uguali a 1 e gli elementiextradiagonali nulli.


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8

MATRICE TRIANGOLARE

a11 a12 ... a1n

0 a22 ... a2n

... ... ... ...

0 0 ... annU =(n x n)

una matrice quadrata con gli elementi della diagonale

principale e quelli sopra/sotto la diagonale non nulli

L =(n x n)

a11 0 ... 0

a21 a22 ... 0

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

U si dice

triangolare superiore

L si dicetriangolare inferiore


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9

MATRICE SIMMETRICA

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

A =(n x n)

aij= aji per i, j = 1, 2, , n

una matrice quadrata con gli elementi simmetrici

rispetto alla diagonale principale uguali

Ogni matrice diagonale simmetrica, in quanto tutti glielementi all'esterno della diagonale principale sono nulli.


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MATRICE TRASPOSTA

A =(m x n)

Data una matrice A, la matrice B = A (o AT) i cui

elementi sono bij = aji per i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n si

dice matrice trasposta della matrice A

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

... ... ... ...

am1 am2 ... amn

B =(n x m)

a11 a21 ... am1

a12 a22 ... am2

... ... ... ...

... ... ... ...

a1n a2n ... amn

si dice trasposta di una matrice, la matrice ottenuta

scambiando ordinatamente le righe con le colonne.


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PROPRIETA DELLOPERAZIONE DI

TRASPOZIONE

loperazione di trasposizione applicabile qualsiasi siano ledimensioni della matrice (sia rettangolare che quadrata)

seAha dimensioni 1 x n alloraA n x 1il trasposto diun vettore riga un vettore colonna (e viceversa)

seA una matrice simmetrica A =A la trasposta di una matrice trasposta uguale alla matrice

originaria (A) =A

trasposta di una somma di matrici (A + B) =A + B

trasposta di un prodotto di matrici (AB) = BA e, per

estensione, (ABC) = CBA

per qualsiasiA,A=AA=AA


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UGUAGLIANZA DI DUE MATRICI

Due matrici,Ae B, si dicono UGUALI se

aij= bij per ogni i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n.

Quindi loperazione di uguaglianza tra due matrici

richiede che esse siano delle stesso ordine, in altri

termini che abbiano le stesse dimensioni, m x n.


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LOPERAZIONE DI ADDIZIONE

La somma di due o pi matrici definita se e solo se tutte

le matrici hanno lo stesso ordine devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.

a11 a12

a21 a22

b11 b21

b12 b22

Definiamo due matrici (quadrate, ma non necessario),

Ae B entrambe di dimensioni 2 x 2, e calcoliamo lamatrice C sommandoAe B

C = A + B = + =

c11=a11+b11 c12=a12+b12

c21=a21+b21 c22=a22+b22

La matrice C ottenuta semplicemente sommando glielementi corrispondentidelle matriciAe B


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PROPRIETA DELLOPERATORE

ADDIZIONE

1. proprietASSOCIATIVAA + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

2. propriet COMMUTATIVA

A + B = B + A

3. esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto allasomma data la matriceA, esiste una matrice 0 dellestesse dimensioni diA, detta matrice nulla, tale che

A + 0 = A

4. esistenza dellOPPOSTO per ogni matriceA,esiste una matrice -A, detta matrice opposta, talecheA + (-A) = 0. La matrice -Asi ottiene cambiandoordinatamente di segno gli elementi diA.


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LOPERAZIONE DI SOTTRAZIONE

La sottrazione di due o pi matrici definita se e solo se tutte

le matrici hanno lo stesso ordine

devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.

a11 a12

a21 a22

b11 b12

b21 b22

Utilizziamo le matrici definite nella slide precedente,Ae B di

dimensioni 2 x 2, e otteniamo la matrice D sottraendo B adA

D = A - B = - =d11=a11-b11 d12=a12-b12

d21=a21-b21 d22=a22-b22

Come per la somma, la matrice D ottenuta semplicementesottraendo agli elementi diAgli elementi corrispondentidi B


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PRODOTTO TRA VETTORI / 1

PRODOTTO INTERNO o SCALARE:

dati due vettori colonnaAe B entrambi(n x 1), si definisceprodotto interno o scalare, che si indica conA B, il prodotto

Il risultato del prodotto interno quindi uno scalare.

Il prodotto interno o scalare gode della propriet

commutativa: nel nostro esempio,A B = B A

A B a11 a12 ... a1N

b11

b12

...

bN1

a11b11 a12b12 ...a1NbN1


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PRODOTTO TRA VETTORI / 2

PRODOTTO ESTERNO:

dati due vettori colonnaAe B entrambi(N x 1), si definisceprodotto esterno, che si indica conA B, il prodotto

Il risultato del prodotto esterno quindi una matrice.

Il prodotto esterno nongode della propriet commutativa:

nel nostro esempio,A B B A

A B

a11

a21

...

aN1

b11

b12

... b1N

a11

b11

a11

b12

... a11

b1N

a21b11 a21b12 ... a21b1N

... ... ... ...

aN1b11 aN1b12 ... aN1b1N


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PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNOSCALARE

Dato un numero reale k (detto scalare) ed una matriceA,

si definisce prodotto della matriceAper lo scalare k

la matrice B = k Ail cui generico elemento k aij

B kAka11

a12

a21

a22

b11

k a11

b12

k a12

b21

k a21

b22

k a22


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PROPRIETA DEL PRODOTTO DI UNA

MATRICE PER UNO SCALARE

(k + h) A = k A + h A

k (A + B) = k A + k B

(kh) A = k (h A)

1 A = A


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PRODOTTO TRA MATRICI / 1

SiaAuna matrice m x ne B una matrice n x k, si definisceprodotto tra le matriciAe B la matrice C = A B che ha

tante righe quante sono le righe diAm tante colonne quante sono le colonne di B k

la matrice prodotto C = A B una matrice m x k

IMPORTANTE: per calcolare il prodotto tra due matrici

esse devono avere gli indici di dimensione interniuguali[m xn] e [n x k]

In questo caso, le due matrici si dicono CONFORMI o

DI ORDINE APPROPRIATO


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21

Il generico elemento della matrice prodotto C,cij, ottenutodalla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di

Aper i corrispondenti elementi dellaj-esima colonna di B

PRODOTTO TRA MATRICI / 2

lelemento di posizione ijdi C uguale al prodotto interno

della riga idella matriceAe della colonnajdella matrice B

Il prodotto tra matrici detto anche prodotto riga per colonna

cij aikbkjk1

N


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ESEMPIO DI PRODOTTO TRA MATRICI

ESEMPIO NUMERICO

23

2232123132

2222122122

2212121112

2132113131

2122112121

2112111111

22

2221

1211

23

32

22

12

31

21

11

babac

babac

babac

babac

babac

babac

bb

bb

a

a

a

a

a

a

22

23

32

126115104968574

123112101938271

12

11

10

9

8

7

654

321


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PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA MATRICI

il prodotto tra matrici non gode della propriet commutativalordine nel quale le matrici sono moltiplicate importanteA B B A

A B indica cheApost-moltiplicata per B oequivalentemente che B pre-moltiplicata perA

nel casoAsia m x n e B n x k il prodottoA B esiste,

mentre B Aesiste solo se k = m

anche nel caso in cui k = m, A B B A

se due matrici sono quadrate e dello stesso ordine si pu

eseguire sia il prodottoA B che il prodotto B Aottenendo

una matrice quadrata dello stesso ordine (anche in questo

caso per il prodotto non in generale commutativo).


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PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA

MATRICI QUADRATE

proprietASSOCIATIVA: A (B C) = (A B) C

propriet DISTRIBUTIVA: A (B + C) = (A B) + (A C)

esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto al prodotto

A I = I A = A dove I la matrice identit


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PRODOTTO DI KRONECKER

Siano date due matriciAdi ordine (n x m) e B di ordine (p x q)

il prodotto di Kronecker definito come

Ogni elemento della matrice A moltiplicato per tutti glielementi della matrice B la matrice risultante hadimensioni (np x mq)

BaBa

BaBa

BA

NMN

M

1

111


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PROPRIETA DEL PRODOTTO DI KRONECKER

1. proprietASSOCIATIVA

A (B + C) =AB +AC (se B e C sonoconformabili alla somma)

(k A)B =A (kB) = k (AB) con k scalare

(AB)C =A (BC)

2. PRODOTTO MISTO: se A, B, C e D sono matrici tali

che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e

tra B e D esiste anche (AB) (CD) e vale che

(AB) (CD) = (A C) (B D)

3. INVERSIONE:AB invertibile se e solo se lo sono

anche A e B e linversa data da (AB)-1 = A-1B-1


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27

POTENZA DI UNA MATRICE

Definizione: Ar = AAA A (r volte)

Propriet:

1. A0 = I

2. Ar+s = Ar + As

3. (A r)s = Ars

Matrice IDEMPOTENTE A2 = A

Matrice IDEMPOTENTE di ORDINE r Ar = A


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TRACCIA DI UNA MATRICE

Data una matrice quadrataAdi dimensioni n x n, si

definisce traccia la somma dei suoi elementi diagonali

tr(A) = a11 + a22 + a33+ + ann

Propriet:

1. data una matrice A tr(A) = tr(A)

2. date due matrici A e B quadrate dello stesso ordine e due

scalari h e k tr(hA+kB) = htr(A)+ktr(B)3. date due matriciA(n x m) e B (m x n)

tr(AB) = tr(BA)

tr(AA) = tr(AA)


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DETERMINANTE / 1

Ad ogni matrice quadrata n x n si associa uno scalare detto

determinante, indicato generalmente con det(A) o |A|.

Nel caso pi semplice di una matrice quadrataA(2 x 2) il

determinante dato da

det(A) = a11a22 a12a21

cio dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulladiagonale principale e quello degli elementi sulla diagonale

secondaria.


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30

DETERMINANTE / 2

Nel caso di matrici di ordine superiore, il determinante si

ottiene sommando i prodotti degli elementi di una riga o diuna colonna qualsiasi della matrice per i rispettivi cofattori

nel caso di una matrice di ordine (3 x 3), considerando la

prima riga della matrice si ha

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

dove Cij = (-1)i+j Mij detto cofattore o minore segnato

Mij il determinante (chiamato minore)della sottomatrice

ottenuta dalla matriceAeliminando la riga i-esima e la

colonnaj-esima.


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31

DETERMINANTE / 3

data

A a11 a12 a13a21 a22 a23

a31

a32

a33

detA a11C11 a12C12 a13C13

C11

1 11 deta22 a23

a32 a33

a22a33 a32a23

C12

1 12deta21 a23a31

a33

a22a33 a32a23

C13

1 13deta21 a22a31 a32

a21a32 a31a22

detA a11 a22a33 a32a23 a12 a22a33 a32a23 a13 a21a32 a31a22


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DETERMINANTE / 4: REGOLA DI SARRUS

Data una matrice quadrataA(3 x 3)

il suo determinante pu essere calcolato facilmente ricorrendo

alla regola di Sarrus (dal nome del matematico francese PierreFrederic Sarrus)

Il det(A) la somma deglielementi sulle 3 diagonali

principali meno la sommadegli elementi sulle 3diagonali secondarie

A

a11

a12

a13

a21 a22 a23

a31

a32

a33


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33

DETERMINANTE / 5

In generale, considerando la riga i-esima il deterimante

det(A) = jaij Cij

Se il determinante di una matrice non nullo,

la matrice detta non singolare

Se il determinante di una matrice nullo,la matrice detta singolare


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34

PROPRIETA DEL DETERMINANTE

1. il determinante di una matrice triangolare superiore,

inferiore o diagonale pari al prodotto degli elementi sulla

diagonale principale

2. il determinante di una matrice identit pari a 1

3. data una matriceA, det(A) = det(A)

4. se una matrice ha una riga/colonna di elementi tutti nulli, il

determinante sar nullo

5. se si scambiano due righe/colonne inA, cambia il segno del

determinante diA

6. moltiplicando per una costante k ogni elemento di una

riga/colonna diA, il det(A) che ne risulta pari a kdet(A)7. data una matriceAe uno scalare k, det(kA) = kndet(A)

8. date due matriciAe B, det(A+B) det(A) + det(B)

9. date due matriciAe B, det(AB) = det(A) det(B)


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35

MATRICE INVERSA

Linversa di una matrice quadrataA una matriceA-1 chepre- o post-moltiplicata perAproduce la matrice identit

AA-1 = A-1A = I

Condizione necessaria e sufficiente perch la matriceA

abbia linversa cheAsia non singolare, ossia che

det(A) 0

Linversa diAsi ottiene da:

dove adj(A) la matrice aggiunta della matriceA


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36

MATRICE AGGIUNTA

La matrice aggiunta della matriceA la matrice trasposta

della matrice dei cofattori.

dove Cij = (-1)i+j Mij rappresenta il cofattore definito

qualche lucido fa

NNNN

N

N

T

NNNN

N

N

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

Aadj

21

22212

12111

21

22221

11211


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MATRICE INVERSA: ESEMPIO NUMERICO

Data la matrice quadrataA(2 x 2)

calcoliamo i quattro cofattori

quindi laggiunta diA

ed infine linversa,A-1

A 1 2

3 4

C11 4; C12 3; C21 2; C22 1

adj A 4 32 1

T

4 2

3 1

A1

1

46

4 2

3 1

0,54 2

3 1

2 1

1,5 0,5


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LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2)

Data una matriceA(2 x 2) come nella slide precedente,

linversa pu essere calcolata con pochi semplici passaggi:

1. calcolo del determinante (differenza tra il prodotto degli

elementi sulla diagonale principale e quelli sulla

diagonale secondaria)

2. inversione di posto tra gli elementi sulla diagonale

principale, a11 e a22

3. cambio di segno degli elementi sulla diagonale

secondaria, a12 e a21

4. divisione di ogni elemento per il determinante

Attenzione: questa procedura per il calcolo dellamatrice inversa valida solo per le matrici (2 x 2)

LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /


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39

L INVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /Esempio

a11

a12

a21 a22

1

1

a11a22 a12a21

a22

a12

a21 a11


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PROPRIETA DELLINVERSA

se esiste,A-1 unica

(AB)-1 = B-1A-1

(A-1)-1 = A

(A)-1 = (A-1)

det(A-1) = 1/det(A)

seA una matrice ortogonale (ovveroAA = I) allora

A= A-1

seA una matrice diagonale,A-1 una matricediagonale di elementi aii

-1, per ogni i =1, 2, , N

seA una matrice simmetrica, lo anche la sua inversa


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41

DIPENDENZA e INDIPENDENZA LINEARE

Dati due vettori X1 e X2, essi si dicono linearmente indipendenti

se e solo se lunica soluzione di

data da1 =2 = 0. Non possibile quindi esprimere

nessuno dei duevettori come combinazione lineare dellaltro

In generale, datip vettori, si dice che essi sono linearmentedipendentise possibile determinarep costanti non tuttenulle tali che

In tal caso, almeno uno dei vettoriXi combinazione lineare

degli altri.

1X1 2X2 0

02211

ppXXX


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RANGO DI UNA MATRICE / 1

DEFINIZIONE #1

data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango di

colonna il numero massimo di vettori colonna linearmente

indipendenti contenuti nella matrice

analogamente, si definisce rango di riga il numeromassimo di vettori riga linearmente indipendenti

il rango di riga e il rango di colonna coincidono

Si ha quindi che 0 rango(A) min(n,p)

Se: rango(A) = n si dice cheAha rango pieno di riga

rango(A) =p si dice cheAha rango pieno di colonna


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RANGO DI UNA MATRICE / 2

DEFINIZIONE #2

data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango

della matrice lordine massimo dei minori non nulli

in altre parole, il rango di una matriceA lordine

massimo delle sottomatrici inAcontenute a determinante

non nullo


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44

PROPRIETA DEL RANGO

1. rango(A) = rango(A)

2. rango(AA) = rango(A)

3. seA una matrice quadrata e non singolare

rango(A) = rango(A-1

)4. seAha rango pieno di colonna e B ha rango pieno di riga

rango(AB) = min (rango(A), rango(B))

5. rango(A+B) rango(A) + rango(B)6. se una matrice quadrataAdi ordineN idempotente

(ovvero,A2 = A) rango(IN A) =N rango(A)


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45

FORME QUADRATICHE

Se: A una matrice quadrata di ordine (N x N) e

X un vettore colonna (N x 1)

il prodotto XAX prende il nome di forma quadratica

Possiamo distinguere 4 diversi casi:

1. se XAX > 0 A definita positiva

2. se XAX 0 A semidefinita positiva

3. se XAX < 0 A definita negativa

4. se XAX 0 A semidefinita negativa

Alcuni esempi importanti


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Supponiamo che e

In questo caso,

Il vettore

ha dimensione K.

46

iKiii

xxx 21

x

p p

Kbbb 21b

x

ib

b1 b2xi2 ...

bKxiKcon

xi1 1

N

iiiK

N

iii

N

iii

N

iii

yx

yx

yx

y

1

1

2

1

1

1

xyX

L t i i t i


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La matrice simmetrica

ha dimensione KK e contiene somme di quadrati e47

N

iiK

N

iiKi

N

iiKi

N

iiiK

N

ii

N

iii

N

iiiK

N

iii

N

ii

iKii

N

i

iK

i

i

N

iii

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

x

x

x

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

21

11

112

1

2

1

21

1

2

1

1

xxXX

Lezione Algebra Lineare

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