Geometria E Algebra Lineare(Materiale Cherubini Completo)

GEOMETRIAEALGEBRALINEAREDispensaufficiale

Geometria ed Algebra lineare (programma di lezioni ed esercitazioni)

VETTORI GEOMETRICI Operazioni algebriche sui vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, modulo, angolo, ortogonalit. Espressione cartesiana del prodotto scalare e vettoriale. GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO Rappresentazioni di punti e rette, distanze, angolo di due rette, parallelismo e perpendicolarit, fasci di rette, circonferenze, fasci di circonferenze. GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO Riferimenti cartesiani nello spazio e loro trasformazioni, equazioni di rette e piani, parametri direttori di rette e piani. Distanze. Rette sghembe e minima distanza. Angoli di rette e piani. Parallelismo e ortogonalit di rette e piani. Fascio di piani. MATRICI Generalit sulle matrici, operazioni, dipendenza lineare, determinante, rango, inversa di una matrice quadrata, matrici ortogonali. SISTEMI LINEARI Nozioni fondamentali, teorema di Cramer, teorema di Rouch - Capelli, procedimento di risoluzione di un sistema lineare, sistemi lineari omogenei. SPAZI VETTORIALI Operazioni tra vettori, sottospazi, dimensione, generatori e basi, somma ed intersezione di sottospazi, cambio di base. FUNZIONI LINEARI Generalit, nucleo ed immagine, funzioni lineari e matrici, funzioni lineari iniettive e suriettive. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Definizione, interpretazione geometrica, polinomio caratteristico, similitudine di matrici, diagonalizzazione, diagonalizzazione ortogonale di matrici reali e simmetriche. SPAZI EUCLIDEI Forme quadratiche, segno, riducibilit, riduzione a forma canonica. Prodotto scalare euclideo in Rn , modulo di vettori, angolo di vettori. Basi ortonormali. CONICHE Nozioni fondamentali sulle curve algebriche. Propriet elementari delle coniche, equazioni canoniche, riduzione a forma canonica, riconoscimento, centro, assi, asintoti di una iperbole. Fasci di coniche. QUADRICHE Sfere, coni, cilindri. Quadriche, quadriche di rotazione, equazioni delle quadriche in forma canonica.

Bibliografia E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli L. Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli.

GeometriaedAlgebralineareAlessandraCherubini

[email protected]

Ricevimento: Marted11.3013.30Gioved.10.3012.30(suappuntamento)

Esercitatore: [email protected]

Testievalutazione

Perlateoria: E.Schlesinger:Algebralineareegeometria;Zanichelli DispensesuBeep (perlapartediconicheequadriche)Pergliesercizi: L.Mauri,E.Schlesinger:Esercizidialgebralineareegeometria;

Zanichelli Eserciziarioallindirizzo:

http://www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/riunisci.pdf

Proveinitinere(oesamescritto)+orale

IntroduzioneGeometria=misuradellaterra Primoapproccio:assiomatico(Euclide),concettiprimitivi+assiomi

diincidenza Perduepuntidistintipassaunaedunasolaretta Pertrepuntinonallineatipassaunoedunsolopiano Seunarettaedunpianosiincontranoinpidiunpuntoalloralarettaappartiene

alpiano Seduepianidistintihannounpuntocomunealloralalorointersezioneunaretta

delleparallele DatiunarettareunpuntoPesisteunaedunasolarettapassanteperPeparallela

adr

Reciprocaposizionediduerette: Incidenti:conunpuntoincomune appartengonoadunostessopiano Parallele:appartenentiadunostessopiano,senzapunticomunistessadirezione Sghembe:nonappartenentiadunostessopiano

Introduzione

Secondoapproccio:geometriaanalitica(Cartesio)ogniproblemageometricovienetradottoinunproblemaalgebrico Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedeinumerirealieipuntidiuna

rettasucuisianofissatiunorigine,unversodipercorrenzaeununitdimisura

Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedellecoppieordinatedinumerireali(coordinate)eipuntidiunpianosucuisianofissatiduerettenonparallele,unversodipercorrenzaperciascunadelleretteeununitdimisura

Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedelleterneordinatedinumerireali(coordinate)eipuntidellospaziosucuisianofissatitrerettepassantiperunostessopuntoenongiacentisuunostessopiano,unversodipercorrenzaperciascunadelleretteeununitdimisura

Curveesuperficinellospazio sonovistecomeilluogodeipuntidellospaziolecuicoordinatesoddisfanorispettivamenteadueequazionieadunaequazionenellevariabilix,y,z (qualchevariabilepotrebbeancheessereomessa).

Curvenelpiano sonoilluogodeipuntidelpianolecuicoordinatesoddisfanoadunaequazionenellevariabilix,y.

Vettoricomelinguaggioperlageometria

Terzoapproccio(quellocheutilizzeremo):linguaggiodeivettoriSapetedallafisicacosaunvettore(applicato),essodeterminatoda:

Puntodiapplicazione Direzione Verso Modulo

Noiutilizzeremovettoriliberideterminatisoloda: Direzione Verso Modulo

Inaltreparoleunvettore(libero)unvettoreapplicatodicuisidimenticailpuntodiapplicazione(ovverounvettoreliberolinsiemedituttiivettoriapplicaticonugualedirezioneversoemodulo,visticomeununicooggetto),unvettoreliberovieneindicatoconv edilsuomodulocon

Sommadivettori

Vinotocomefarelasommadiduevettoriapplicatiinunostessopunto(regoladelparallelogrammo)

Datiduevettoriliberiv,w,lalorosommav+w ilvettorez chehastessadirezioneeglistessimoduloeversodelvettoreapplicatochesiottienesommandoduevettoriapplicatiinunpuntoOeaventirispettivamentestessadirezione,stessimoduloeversodeivettoriv,w.(LadefinizionebenpostaperchnondipendedallasceltadiO).

Lasommagodedelleseguentipropriet Commutativa:perogniv,w sihav+w= w+v Associativa:perogniv,w,u siha(v+w)+u=v+(w+u) Esistelelementoneutro:esisteunvettore0 (vettoredimodulonullo)taleche

perogniv sihav+0=v Esisteloppostodiognivettore:perogniv esisteunvettorecheindichiamo

conv (vettoreconlastessadirezioneelostessomodulodiv,maversoopposto)talechev+(v)=0

Sommadivettori

Leproprietcheabbiamoappenaelencatopossonoessereriassuntedicendochelinsiemedeivettoriliberiformaungruppoabelianorispettoallasomma cheabbiamodefinito.Dalleproprietprecedentisipossonoricavareancheleseguentipropriet: Unicitdellelementoneutro Unicitdelvettoreoppostoadunvettoredato Leggedicancellazionerispettoallasomma:v+w=v+u implicaw=u Esisteedunicalasoluzionediogniequazionex+v=w,tale

soluzionex=(v)+w.

Prodottodiunoscalareperunvettore

Siamotunnumeroreale(scalare)ev unvettore,sichiamaprodottodelloscalaretcolvettorev,ilvettorez=tv che lastessadirezionediv, modulo|t| , versougualeav set>0,oppostoav set

Spaziovettoriale

Def. UnospaziovettorialeVsuuncampoK(chepernoisarsempreolinsiemeQdeinumerirazionaliolinsiemeRdeinumerirealiolinsiemeCdeinumericomplessirispettoalleloroabitualioperazionidisommaeprodotto)uninsiemeV,dettoinsiemedeivettori,sucuidefinitaunoperazionebinariainternadettasomma,+,(ovverounaleggecheodognicoppiaordinatadivettoriassociaunoedunsolovettore),taleche(V,+)siaungruppoabelianoedunoperazioneesternadettaprodottodiunoscalareperunvettore(ovverounaleggecheodognicoppiaordinatadiunoscalareediunvettoreassociaunoedunsolovettore) chegodadellepropriet: Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w sihat(v+w)=tv+tw Perognicoppiadiscalarit,s eperognivettorev siha(t+s)v=tv+sv Perognicoppiadiscalarit,s eperognivettorev siha(ts)v=t(sv) Perognivettorev siha1v=v

Ivettoriliberisulcamporealerispettoallasommaedalprodottoscalarevettoreprimadefinitiformanounospaziovettoriale

Combinazionelineare,vettoriindipendenti,generatori

SiaVunospaziovettorialesuuncampoK,sianov1, v2,, vn V,ognivettorew =t1v1+t2v2++tnvn cont1,t2,,tnK sidicecombinazionelineare div1,v2,,vn egliscalarit1,t2,,tn sidiconocoefficientidellacombinazione

Uninsiemedivettoriv1,v2,,vnV sidicesistemadigeneratoriperVseognivettorediVsiscrivecomecombinazionelinearediv1,v2,,vn

Uninsiemedivettoriv1,v2,,vnV uninsiemedivettorilinearmentedipendentise0 sipuscriverecomecombinazionelinearediv1,v2,,vn acoefficientinontuttinulli,altrimentiuninsiemedivettorilinearmenteindipendenti.

Uninsiemedivettori chesianocontemporaneamenteuninsiemedivettorilinearmenteindipendentiedunsistemadigeneratoridiVsidicebase diV

Osservazioni Ogniinsiemedivettori{0,..}sempreuninsiemedivettorilinearmente

dipendenti Seconsideriamolinsiemedeivettoriliberinelpiano(piprecisamentedei

vettoriparallelialpiano),duevettorisonolinearmentedipendentiseesolosehannolastessadirezione(ilvettore0 siconsideraparalleloadognivettore)

Ognicoppiadivettorinonparallelifralorounabaseperlinsiemedeivettoriliberinelpiano,alloraognialtrovettorev nelpianosiscrive(inunoeunsolmodo)comecombinazionelinearedeivettoridellabase,icoefficientidellacombinazionesonodetticomponentidelvettore vrispettoallabaseconsiderata

Fissareunsistemadiriferimentoinunpianodato,significafissareunorigine(puntoOdelpiano)eunabase(coppiadivettorib1,b2nonparalleli),leretteperOconlestessedirezionirispettivamentedib1,b2sidiconoassidelsistemadiriferimentoelecomponentidelvettorecorrispondentealvettoreapplicato sonodettecoordinate delpuntoP

Osservazioni Seconsideriamolinsiemedeivettoriliberinellospazio,trevettori

u,v,w sonolinearmentedipendentiseesoloseunodiessicombinazionelinearedeirestanti(oequivalentementesetuttietreivettorisonoparalleliadunostessopiano)

Ogniternadivettorilinearmenteindipendenti(nonparalleliadunostessopiano)unabaseperlinsiemedeivettoriliberinellospazio,alloraognialtrovettorev nellospaziosiscrive(inunoeunsolmodo)comecombinazionelinearedeivettoridellabase,icoefficientidellacombinazionesonodetticomponentidelvettore vrispettoallabaseconsiderata

Fissareunsistemadiriferimentonellospazio,significafissareunorigine(puntoO)eunabase(ternadivettorib1,b2,b3nonparalleliadunostessopiano),leretteperOconlestessedirezionirispettivamentedib1,b2,b3sidiconoassidelsistemadiriferimentoelecomponentidelvettorecorrispondentealvettoreapplicatosonodettecoordinate delpuntoP

Proprietdellecomponentidiunvettore SiaVunospaziovettorialesulcampoKunafunzionef:VKsidice

funzionelinearese Perogniv,wV sihaf(v+w)=f(v)+f(w) PerognitK eperognivV sihaf(tv)=tf(v)

Perognivettoreliberov delpianoincuisifissataunabase,indichiamocon(v1,v2)la coppiadicomponentidiv rispettoallabasefissata(ricordatechev1,v2sonoelementidiK)leapplicazioni

f1:VKdefinitadaf1(v)=v1 f2:VKdefinitadaf2(v)=v2

sonofunzionilineariPerognivettoreliberov delpianoincuisifissataunabase,indichiamocon(v1,v2,v3)laternadicomponentidiv rispettoallabasefissata(v1,v2,v3 sonoelementidiK)leapplicazioni

f1:VKdefinitadaf1(v)=v1 f2:VKdefinitadaf2(v)=v2 f3:VKdefinitadaf3(v)=v3

sonofunzionilineari

Conseguenze

IvettoriliberinelpianopossonoessereidentificaticonlinsiemeR2

dellecoppieordinatedinumerireali,R= conlasommaedilprodottoscalarevettoredefinitida + = ,t =

SeAeBsonoduepuntidelpianodicoordinaterispettivamente(x1,y1)e(x2,y2)ilvettoreliberoconlastessadirezioneeversodipuessereidentificatocolvettore

diR2

Conseguenze Ivettoriliberinellospaziopossonoessereidentificaticonlinsieme

R3 delleterneordinatedinumerireali,R= conlasommaedilprodottoscalarevettoredefinitida +

= ,t

=

SeAeBsonoduepuntidelpianodicoordinaterispettivamente(x1,y1,z1)e(x2,y2,z2)ilvettoreliberoconlastessadirezioneeversodi puessereidentificatocolvettore diR3

Coordinatecartesiane(ortogonaliemonometriche) Unvettoredimodulo1sichiamaversore Langolodiduevettoriv ew langoloconvessoformatodadue

vettoriparalleliedequiversiav ew applicatiinunostessopuntoO(questadefinizionenondipendedaO)

Duevettoriv ew sonoortogonali(v w)seformanounangoloretto

Unsistemadiriferimentonelpianounsistemadicoordinatecartesiane ortogonalimonometricheseb1 eb2 sonoversoriortogonali(eb1 sisovrapponeab2 descrivendoinsensoantiorariolangoloretto)

Unsistemadiriferimentonellospaziounsistemadicoordinatecartesianeortogonalimonometricheseb1,b2 ,b3 sonoversoriadueadueortogonaliesequandob1 eb2 hannorispettivamenteilversodelpolliceedellindicedellamanodestra,b3haladirezionedelmedio(ternadestrorsa)

DistanzadiduepuntiincoordinatecartesianeSianov,w duevettoriortogonali,alloradalteoremadiPitagorasiha||v+w||2=||v||2+||w||2.

Siav= rispettoadunabasediversoriadueadueortogonali

(baseortonormale)allora = Nellospazioriferitoadunsistemadicoordinatecartesianesiano

A=(x1,y1,z1)eB=(x2,y2,z2),alloradist(A,B)= =

Sianov,w duevettori;laproiezioneortogonalediv nelladirezionediwunvettorevtaleche

vparalleloaw vvortogonaleaw

Angolodiduevettoriincoordinatecartesiane Sev ew sonovettorinonnullicheformanounangolo alloraper

definizionedicosenov= (dovevlaproiezioneortogonalediv nelladirezionediw)

Sev ew sonovettorinonnullicheformanounangolo,ilprodottoscalarediv ew ilnumerorealedefinitodavw= ,seunodeiduevettorinulloilprodottoscalare0.

Ilprodottoscalarehaleseguentipropriet: Perogniternadivettoriv,w,u,(v+w)u=vu+wu Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w, tvw=t(vw) Perogniv,vv 0evv=0seesolosev=0

Serispettoadunabaseortonormalev= ,w=

allora(dalleproprietdelprodottoscalare)siottienevw=x1x2+y1y2+z1z2,dacui !"" !## !" !# !" !#

Prodottoscalarediduevettori

SiaVunospaziovettoriale sulcampoKsidiceprodottoscalareunafunzionef:VVKcheadognicoppiadivettoriv,wV associaunoscalarevw taleche

Perogniv,w, vw=wv Perogniternadivettoriv,w,u,(v+w)u=vu+wu Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w, tvw=t(vw) Perogniv,vv 0evv=0seesolosev=0.

Ilprodottoscalarecheabbiamodefinitoprecedentementequindiunparticolareprodottoscalare

Dalladefinizionediprodottoscalaresipossonoricavare: Modulodiunvettore Angolofraduevettori Proiezioneortogonalediunvettorenelladirezionediunaltro

Prodottovettoriale

Ilprodottovettorialediduevettoriv,w definitocomeilvettorevw cheha modulo $% ,dove langoloformatodav,w direzioneperpendicolarealpianoindividuatodaivettoriv,w versotalechelaternav,w,vw siadestrorsa

Ilprodottovettorialehaleseguentipropriet: Perogniv,w vw= wv Perogniternadivettoriv,w,u,eperognicoppiadiscalarit,r

(tv+rw)u=t(vu)+r(w u)(eu(tv+rw)=t(uv)+r(uw)) Perogniv,w vw=0 seesolosev ew sonoparalleli

Serispettoadunabaseortonormalev= ,w=

alloravw (perleproprietdelprodottovettoriale)

Prodottomisto

Ilprodottomistoditrevettoriu,v,w loscalareu(vw) Ilvaloreassolutodelprodottomistou(vw)ilvolumedel

parallelepipedodispigoliu,v,w;taleprodottopositivoselaternadestrorsa,negativoselaternasinistrorsa

Itrevettoriu,v,w sonolinearmentedipendentiseesoloseu(vw)=0

Seu(vw)=0,mavw0,u combinazionelinearediv,w

Serispettoadunabaseortonormaleu= ,v=

,w=&&& allora

u(vw)= '( & & & (daconsideraredopochesarintrodottalanozionedideterminante)

Equazioniparametrichediunarettanellospazio

SupponiamodiriferirelospazioadunsistemadicoordinatecartesianeconorigineO.

Scrivereleequazionidiunarettarparallelaadunvettorev=)* epassanteperA=(x0,y0,z0).

1. UnpuntoP=(x,y,z)appartieneadrseesolose paralleloav+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)dellarettasono

- , ) , * , dovetunparametroreale Laterna(a,b,c)sidiceternadiparametridirettoridellarettar.

Rappresentandov unadirezione,lesuecomponentia,b,c nonpossonoesserecontemporaneamentenulli.Se =1lecomponentidiv sichiamanocosenidirettoridir

Rettaperduepunti

Scrivereleequazionidiunarettarpassanteperipunti(distinti)A=(x0,y0,z0)eB=(x1,y1,z1)1. LarettalarettaperAcondirezione+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)dellarettasonoallora

. , , , , , , dovetunparametroreale Osservatecheleequazionidellarettasipossonoscriverenellaforma/0/0 = "/"0"/"0= #/#0#/#0 sex0x1,y0y1,z0z1

1 /0/0 = "/"0"/"0 , sex0x1,y0y1,z0=z1 e2 , , sey0=y1,z0=z1

Condizionidiparallelismoeperpendicolaritfrarette

Daquantoabbiamovistoprecedentementeabbiamoche Duerettesonoparallele seesoloseleloroternediparametri

direttorisonoproporzionali Dueretteredssonoperpendicolari seesolosedette(a,b,c)una

ternadiparametridirettoridired(a,b,c)unaternadiparametridirettoridissihaaa+bb+cc=0.(Ricordatechedueretteperpendicolarinonsononecessariamenteincidenti)

Notatecheiparametridirettoridiunarettascrittainequazioniparametrichesonolaternadicoefficientidelparametroedingeneralesonodatidalladifferenzadicoordinateomonimediduepuntidistintisullaretta.

Equazioniparametrichediunpianonellospazio

SupponiamodiriferirelospazioadunsistemadicoordinatecartesianeconorigineO. Scrivereleequazionidiunpiano passanteperA=(x0,y0,z0)e

paralleloaivettoriv=)* ,w=

)*1. UnpuntoP=(x,y,z)appartienealpiano seesolose combinazione

linearediv ew

+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)delpianosono

- , ) )3 , * *3 , 3 dovetedusonoparametrireali

Equazionecartesianadelpiano

Eliminandoiparametritedudalleequazioniparametrichedelpianositrovaunequazionedellaformaax+by+cz+d=0(equazione

cartesianadelpiano) o( )* =vw,quindi)* unvettore

ortogonalealpiano.QuestosipotevatrovaredirettamenteosservandocheunpuntoPappartienealpianoperA,B,Cseesolose ortogonaleavw+

Viceversaogniequazioneax+by+cz+d=0rappresentaunpiano

ortogonalealvettore)*

Datalequazionecartesianadiunpianolaternadeicoefficientidelleincognitedettaternadeiparametridirettoridelpianoerappresentaladirezionedellarettanormalealpiano

Pianoper3punti

Scrivereleequazionidiunpianopassantepertrepunti(nonallineati)A=(x0,y0,z0),B=(x1,y1,z1),C=(x2,y2,z2)

IlpianoilpianoperAp)4)55(5)$(4$ e6Leequazioni(parametriche)dellapianosonoallora

. , , , 3 , , , 3 , , , 3 dovet,usonoparametrireali Condizionediallineamentoditrepunti:A=(x0,y0,z0),B=(x1,y1,z1),

C=(x2,y2,z2)sonoallineatiseesoloseivettori e6 sonoparalleli,quindiseesoloseesisteunnumerorealek0taleche

x1x0=k(x2x0),y1y0=k(y2y0),z1z0=k(z2z0)

Condizionidiparallelismoeperpendicolaritfrapianiefrarettaepiano

Duepianisonoparalleli seesoloseleloroternediparametridirettorisonoproporzionali

Duepianisonoperpendicolari seesolose lasommadeiprodottideiloroparametridirettori0

Unarettaeunpianosonoparalleliseesoloselasommadeiprodottideiloroparametridirettori0

Unarettaeunpianosonoperpendicolariseesoloseleloroternediparametridirettorisonoproporzionali

(Ricordarsicheiparametridirettoridiunpianosonoiparametridirettoridiunarettanormalealpiano)

Equazionicartesianediunarettanellospazio

Eliminandoilparametrodalleequazioniparametrichediunaretta sitrovaunsistemadidueequazionilinearinellevariabilix,y,z,quindilarettavienerappresentatacomeintersezionediduepiani.Viceversaseabbiamounsistemaformatodalleequazionididuepianinonparalleli,questosistemarappresentaunaretta.

Unsistema2) * ' 7) * ' 7 rappresentaunarettaseesoloseiduevettori

)* ,)* nonsonoparalleli.

Dataunarettainequazionicartesiane,isuoiparametridirettorisipossonotrovareriscrivendoneleequazioniparametriche,oppuretenendocontocheilvettoredirezionedellarettaortogonalealledirezionidellenormaliaipianichelaindividuanoepertantosono(b1c2b2c1,c1a2c2a1,a1b2a2b1).

Fascidipiani Dataunarettarnellospaziosichiamafascio (proprio)dipianicon

sostegnor linsiemedituttiesoliipianichecontengonolarettar.

Serhaequazioni2) * ' 7) * ' 7 tuttiesoliipianidelfasciodisostegnorhannoequazione

() * ')+() * ')=0 Linsiemedituttiesoliipianiparalleliadunpianodato sichiamafascio

(improprio) dipiani individuatoda.S$)%) * '=0e) * '=0leequazionidi

ediunpianoparalleloedistintoda ,tuttiesoliipianidelfascioimproprioindividuatoda hannoequazione() * ')+() * ')=0

Datalequazione() * ')+() * ')=0diunfasciodipianipotremmopensarediscriverlanellaforma) * ' ) * ')=0,utilizzandoilsoloparametrot=89,maquestoimplica0equindisiperdeilpianodiequazione) * '=0

Puntomediodiunsegmento SianoA=(x1,y1,z1)eB=(x2,y2,z2)duepuntidellospazio.Vogliamo

trovarelecoordinatedelpuntomedioMdelsegmentodiestremiAeB. Ilvettore: paralleloalvettore : = Q3$%'$:

/" /"# /#

: : LecoordinatediMsono(! ,"!" ,#!# )

Distanzadiunpuntodaunpiano

SianoA=(x0,y0,z0)e:ax+by+cz+d=0.Vogliamocalcolareladistanzad(A,)diAda. SiaP =(x1,y1,z1)unpuntodelpiano,cioax1+by1+cz1+d=0. d(A,)ilminimodidist(A,P)alvariarediPsu.Quindid(A,)=dist(A,B)dove

BilpiededellaperpendicolarecondottadaAsu.Nesegueched(A,)ilmodulodelvettoreproiezionedelvettore nelladirezionedelvettorennormalealpiano

Detto langolofra edn ilvettoreproiezionedelvettore nelladirezionedelvettoren ;; = ;; ;; ilcuimodulo ;;

n=)* ,

, , , ,d(A,)= ;; d(A,)= ?0!@"0!A#0!B? !@ !A

Distanzadiunpuntodaunaretta

SianoA=(x0,y0,z0)edrunarettaperP=(x1,y1,z1)conparametridirettori(a,b,c).Vogliamocalcolareladistanzad(A,r)diAdar. d(A,r)ilminimodidist(A,Q)alvariarediQvariasur.Quindid(A,r)=dist(A,B)

doveBilpuntodiintersezionefralarettaredilpianoperAperpendicolareadr.

Siar=)* ilvettoredirezionedir.

Detto langoloC sihaquindid(A,r)= = $%

Posizionereciprocadiduerettenellospazio

Dateleequazioni(parametricheocartesiane)didueretter,s nellospazioperdeciderelalororeciprocaposizione:1. calcoliamoiparametridirettoridiredsesesonodueterneproporzionali

concludiamochelerettesonoparallele2. sequestononaccadescriviamoilsistemaformatodalleequazionidireda

quellediseverifichiamosetalesistemaammettesoluzione.Sehasoluzionelerettesonoincidentisenosonosghembe.Ccomunquedaosservarecheseleequazionidientrambeleretteredssonodateinformaparametricabisognacheilparametrodirednonsiaugualeaquellodisequindiprimadifareilsistemafraleequazionibisognaincasocambiarenomeadunodeiparametri. Perchiarirelasituazione,quandoscriviamounarettainformaparametricanelparametrot

comeserappresentassimolecoordinatediunpuntochesimuovesuunatraiettoriarettilineaalvariaredeltempot.Sefacciamoilsistemadelleequazioneparametrichediduerettereds,entrambescritteinfunzionediunostessoparametrot,ilsistemaammettesoluzioneseesoloesisteunistanteincuiiduepuntisononellastessaposizione.Leduerettesonoincidentiinveceseesoloseesistonodueistantit1 et2 talichenellistantet2 ilpuntodellasecondarettasitrovanellastessaposizioneincuisitrovailpuntosullaprimarettanellistantet1.

Sistemilineari Unaequazionelineare acoefficientiinKnellenvariabilix1,x2,,xn

unequazionedeltipo a1x1+a2x2++anxn=b,ovea1,a2,an,b K. Unasoluzione (nonnsoluzioni!!)dellequazioneunanupla

(1,2,,n)dielementidiK(ciounvettoreinKn)talechea11+a22++ann=b.

Unsistemalinearedim equazioniinn incognite acoefficientiinKunsistemadeltipouninsiemedimequazionilinearinellenincognitex1,x2,,xn) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *L

Sidicesoluzionedelsistemalineare unanupla dielementidiKchesiasoluzioneditutteleequazionidelsistema,ammessochetalenupla esista.

Sistemilineari

Unsistemalinearechenonammettesoluzionisidiceimpossibile,unsistemapossibile hasempresoluzionieddettodeterminato seammetteunaedunasolasoluzione(cheunanupla dielementidiK!)altrimentidettoindeterminato.

Unsistemalinearesidiceomogeneo seitermininotiditutteleequazionidelsistemasonougualia0. Unsistemalineareomogeneosemprepossibileinquantoha

semprelasoluzionex1=x2==xn=0,dettasoluzionebanale. Perisistemilineariomogeneisiamointeressatiatrovare,seesistono,

soluzioninonbanalidetteautosoluzioni delsistema.

Sistemilineari

Ilsistema

) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *Lpusempreesserescrittonellaforma

))K)L + ))K)L +...+ ;

););K)L; =**K*L

pertantopossibileseesoloseilvettore

**K*L combinazionelinearedeivettori ))K)L ,))K)L ,...,

););K)L; .Inparticolareunsistemaomogeneohaautosoluzioniseesolosequestiultimivettorisonolinearmentedipendenti

Sistemiequivalenti

DuesistemilineariS1 edS2 sulcampoKsidiconoequivalenti setutteesolelesoluzionidiS1 sonoanchesoluzionidiS2 (ovviamentequestoimplicachetutteesolelesoluzionidiS2 sianoanchesoluzionidiS1).

DatounsistemaSilsistemaSottenutodaSfacendounasequenzaqualsiasidelleseguentioperazioni: scambiarefralorodueequazioni; moltiplicareentrambiimembridiunaequazioneperunparametro

kK ediversoda0; sommaremembroamembroadunaequazioneunadellerestanti

equazioniequivalenteadS.

Unpodialgebradellematrici

UnatabellaAdimn elementidiuncampoKdispostisumrigheedncolonnesidicematrice ditipo (m,n)

LelementodiKcheappartieneallaiesimarigaeallajesimacolonnadiAsiindicaconaij,elamatricesiscrivenellaforma

A=

a11a21

a12a22

a1n a2nK

am1K

am2M K

amn

aij Sidiconovettoreriga evettorecolonna rispettivamentele

matriciditipo(1,n)ed(m,1). Unamatriceditipo(m,n)puesserevistacome

laccostamentoorizzontaledinvettoricolonna,detticolonnedellamatrice,ocomelaccostamentoverticaledimvettoririga,dettirighedellamatrice.

Unamatriceditipo(n,n)sidicematricequadrata diordinen.

Terminologia SiaAunamatriceditipo(m,n)sichiamatrasposta diAesiindica

conAT (otA;etc)lamatriceditipo(n,m)chesiottienedaAscambiandolerigheconlecolonne(inaltreparolelelementodiposto(i,j)diAT aji).

Sichiamanoelementidiagonali diunamatricequadrataA glielementiaii ,linsiemediquestielementisichiamadiagonaleprincipale diA.

UnamatricequadrataAsichiamadiagonale seaij =0perogniij,siscrivealloraA=diag (a11,a22,,ann)

UnamatricequadrataAsichiamatriangolarealta(bassa)seaij =0perognii>j(i

Sommadimatricieprodottoscalarematrice

DuematriciA aij eB bij sonouguali sesonodellostessotipoeperogniposto(i,j)aij=bij.

SianoA aij eB bij duematricidellostessotipo(m,n),C=A+Blamatrice cij ditipo(m,n)dovecij=aij+bij. Rispettoallasomma,sopradefinita,linsiemedellematricidellostessotipo

(m,n)suuncampoKformanoungruppoabeliano Lelementoneutrolamatrice0(m,n) LoppostodellamatriceA aij lamatriceA aij

SianokK edA aij ,allorakA Naij . Rispettoallasommaealprodottoscalarematrice,sopradefiniti,linsieme

dellematricidellostessotipo(m,n)suuncampoKformanounospaziovettorialesuK

Prodotto(righepercolonne)dimatrici

Sichiamamatriceprodotto (righepercolonne)diunamatriceAaij ditipo(m,n)e diunamatriceB bhk ditipo(n,p)unamatriceC crs ditipo(m,p)definitanelmodoseguente

crs=O arini=1 bis=ar1b1s+ar2b2s++ar nbns Lelementocrs diCilprodotto(righepercolonne)delleresima

rigadiA(vistacomeunamatriceditipo(1,n))conlasesimacolonnadiB(vistacomeunamatriceditipo(n,1))

IlprodottodimatriciNONcommutativo. IprodottiABeBAsonodefinitiedellostessotiposeesoloseAeBsono

matriciquadratedellostessoordine,maancheintalecasoingeneraleABBA SeAB=BA,lematriciAeBsidiconopermutabili.

Ilprodottodimatricigodedellaproprietassociativa. SiaAunamatricequadrataednuninteropositivo,poniamoA1=Aed

An=AAA(nvolte)esihaAnAm=An+m e(An)m=Anm .

Proprietdelprodottodimatrici

PerognikK,k(AB)=A(kB)=(kA)B Valgonoleproprietdistributive(asinistraeadestra)delprodotto

rispettoallasomma: A(B+C)=AB+AC(conAditipo(m,n),B,Cditipo(n,p)) (D+E)F=DF+EF(conD,Editipo(m,n),Fditipo(n,p))

SeAunamatriceditipo(m,n),0(p,m)A= 0(p,n) e A0(n,q)=0(m,q). Esistonomatricinonnulleilcuiprodottolamatricenulla

Esempio: P 77 7 7 77 P = 7 77 7 AB=AC(DA=EA)NONimplicaB=C(D=E) PerognimatriceAditipo(m,n)sihaImA=A=AIn

PerdefinizioneseAquadratadiordinensiponeA0=In (AB)T=BTAT

MetododiGauss

SichiamanomossediGauss ooperazionielementarisullerighediunamatriceleseguentioperazioni Scambiareduerighe Sommareadunarigaunaaltrarigamoltiplicataperk

Esisteunalgoritmo(metododieliminazionediGauss)checonunnumerofinitodioperazionielementaritrasformaognimatriceAinunamatriceascala Siscambianolerigheinmodochelaprimarigasiaquellacolpivotpia

sinistra Seilpivotdellaprimarigaincolonnajsisommaallarigaiperognii>1la

primarigamoltiplicataperaij/a1j,intalmodotuttelerigheeccettolaprimahannotutti0nellacolonnaj(etuttelerighehanno0nellecolonnehconh

Matriciassociateadunsistemalineare

Ilsistemalineare ) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *L sipuscriverenellaformaAx=b con:Q ) J );K M K)L J )L; RSTUVWXYXVWZX[[VWVX\TV'(5$(]), x=

K; vettoredelleincognite b=

*K*L vettoredeitermininoti. LamatriceC=[A|b]formatadallaccostamentodellacolonnadeitermini

notiallamatricedeicoefficientisichiamamatricecompletadelsistema

MetododieliminazionediGaussperisistemilineari SiaClamatricecompletadiunsistemalineareS.OgnimossadiGauss

applicataaCtrasformaCnellamatricecompletadiunsistemaequivalenteadS

SeconapplicazionisuccessivedimossediGaussportiamoCnellamatriceCinformaascala,ilsistemaSchehaCcomematricecompletahalaforma

(1)

)^_ `` )^_ ` !` ! JJJ )^_ ;; *^_)^_ ` ` ! JJJJ )^_ ;; *^_K)^_ E `E`E J )^_ E ;; *^_E7 *^_ E !dover min (m,n),1j(1)

MetododieliminazionediGaussperisistemilineari Supponiamooradiesserenelcasoincuir=m=min(m,n),or

Sistemiomogenei Laformamatricialediunsistemalineareomogeneodimequazioniinn

incogniteAx=0(m,1),doveAlamatricedeicoefficientiditipo(m,n),x ilvettoreditipo(n,1)delleincognite.

LamatricecompletaC=[A|0]haglistessipivotdiA,quindiilsistemasemprepossibileelinsiemedellesuesoluzionivienespessochiamatoker A

SiarilnumerodipivotdiA(ediC) Ser=nalloraker A={0(n,1)} Ser

TeoremadiRouchCapelli SiaSunsistemalineare(dimequazioni)innincognitesulcampoK,che

scriviamoinformamatricialecomeAx=b.Spossibileseesoloseilrangork(A)dellasuamatricedeicoefficientiugualealrangork([A|b])dellamatricecompleta.Ser=nilsistemaanchedeterminato,ser

Interpretazionegeometricadisistemicon2incognite

SiaSunsistemalinearedinequazioniin2incognite diformaAx=b NelpianoogniequazionediSpuesserepensatacomelequazione

diunaretta Serk(A)=rk([A|b])=2,ilsistemadeterminatoedhaalmenodue

equazioni:duerettesiincontranoinunpuntoP(lecuicoordinatesonolasoluzionedelsistemaS)eleeventualialtreretteappartengonoalfascioconsostegnoP

Serk(A)=rk([A|b])=1,ilsistemapossibilemaindeterminato:lerettecoincidonoconunstessarettarele1 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedir

Serk([A|b])=3erk(A)=2,ilsistemaimpossibileedhaalmenotreequazioni:duedellerettenonsonoparalleleesiincontranoinunpuntoPedunadellealtrerettenonappartienealfasciodisostegnoP

Serk([A|b])=2erk(A)=1,ilsistemaimpossibileedhaalmenodueequazioni:lerettesonorettefraloroparallelenontuttecoincidenti

Interpretazionegeometricadisistemicon2incogniteSiaSunsistemalinearedinequazioniin2incognitediformaAx=b NellospazioogniequazionediSpuesserepensatacome

lequazionediunpianoparalleloallassez Serk(A)=rk([A|b])=2,ilsistemadeterminatoedhaalmenodue

equazioni:ipianiappartengonoadunostessofascioconsostegnolarettadiequazionix=x0,y=y0 ove[x0,y0]T lasoluzionediS

Serk(A)=rk([A|b])=1,ilsistemapossibilemaindeterminato:ipianicoincidonoconunpianoparalleloallassezequindile1 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedellarettaintersezionedelpianocolpianoz=0

Serk([A|b])=3erk(A)=2,ilsistemaimpossibileedhaalmenotreequazioni:duepianinonsonoparalleliesiintersecanolungounarettaredunaltroalmenononappartienealfasciodisostegnor

Serk([A|b])=2erk(A)=1,ilsistemaimpossibileedhaalmenodueequazioni:ipianisonopianifraloroparallelienontutticoincidenti

Interpretazionegeometricadisistemicon3incogniteSiaSunsistemalinearedinequazioniin3incognitediformaAx=b OgniequazionediSpuesserepensatacomelequazionediunpianonello

spazio serk(A)=rk([A|b])=3,Sunsistemapossibileedeterminatoconalmeno3equazioni:i

pianirappresentatidalleequazionihannounoeunsolopuntocomune(cioappartengonoadunastessastelladipianiealmenotrediessinonsonoadueaduecoincidenti),

Serk(A)= rk([A|b])=2,Sunsistemaconalmeno2equazioni,possibilemaindeterminatolecuisoluzionidipendonodaunparametrot:ipianiappartengonoadunostessofasciolacuirettasostegnohaequazioniparametrichedatedalle1 soluzionidelsistemaS

Serk(A)=rk([A|b])=1,Sunsistemapossibilemaindeterminatolecuisoluzionidipendonoda2parametri:ipianisonopianicoincidenti,le2 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedelpiano(concuituttiipianicoincidono)

Serk([A|b])=4erk(A)=3,Sunsistemaimpossibileconalmeno4equazioni:treequazionisonoequazionidipianiappartenentiadunastessastellaecalmenounpianochenonappartieneallastella

Serk([A|b])=3erk(A)=2,Sunsistemaimpossibileconalmeno3equazioni: dueequazionisonoequazionidipianinonparallelichequindiindividuanounarettaeglialtripianisonoparalleliataleretta

Serk([A|b])=2erk(A)=1,Sunsistemaimpossibileconalmeno2equazioni: leequazionirappresentanopianifraloroparallelidicuiduealmenodistinti.

MatriciinvertibiliSiaAunamatricequadratadiordinen. UnamatriceBsidiceinversadestradiA(edAsidiceinvertibilea

destra)seAB=In. UnamatriceCsidiceinversasinistra diA(edAsidiceinvertibilea

sinistra)seCA=In. Asidiceinvertibile seinvertibileadestraeasinistra SeAinvertibilelasuainversadestraesinistracoincidono

SianoB,CleinversedestreesinistrediA,BeCsonomatriciquadratediordinen.SihaAB=In eCA=In.MoltiplicandoasinistraperClaprimauguaglianzasihaC(AB)=Ceperlaproprietassociativa(CA)B=C,maCA=In equindiB=C

SeAinvertibilelasuainversaunicaenelseguitosarindicataconA1.

SeAinvertibilealloraAD=AEimplicaD=Ee FA=GAimplicaF=G Cisonomatricinonnullechenonhannoinversa

C.n.s.perlesistenzadellamatriceinversa

Teorema:SiaAunamatricequadratadiordinen.Sonoequivalenti:a)Aammetteinversab)Aammetteinversadestrac)Aammetteinversasinistrad)rk(A)=ne)ilsistemalineareomogeneoAx=0 nonhaautosoluzionif)ognisistemalineareAx=b haunaeunasolasoluzione

Dim.c)e).SiaClinversasinistradiAesiav unasoluzionedelsistemaAx=0.SihaalloraAv=0 equindiC(Av)=C0=0 dacuiperlaproprietassociativadelprodotto(CA)v=0 e,essendoCA=In,v=0

C.n.s.perlesistenzadellamatriceinversa(continua)

e)d)Seguedal(corollarioperisistemiomogeneidel)teoremadiRouchCapellid)f)SeguedalteoremadiRouchCapellif)b)Siaei unvettoreditipo(n,1)ilcuielementodipostoi1,mentretuttiglialtrisono0.OgnisistemaAx=ei per1inhaunaedunasolasoluzionebi.SiaB=[b1|b2|...|bn],sihaAB =[Ab1|Ab2|...|Abn]=[e1|e2|...|en]=In edunqueBlinversadestradiA.Ovviamenteaquestopuntoc)a).Restadaprovarecheb)c)SiaBlinversadestradiA.AlloraBammetteAcomeinversasinistraequindi,poichsappiamochec)b),AhainversadestraD.MaseunamatricehainversasinistraedestraquestecoincidonoedunqueA=DeBA= In

CalcolodellinversacolmetododiGaussJordan

SiadataAunamatricequadratadiordinennonsingolare.VogliamocalcolareA1.1. SappiamocheseAnonsingolare,lasuainversasiottieneaccostandoi

vettorisoluzionedeisistemilineariAx=ei con1in.2. ConsideriamolamatriceD=[A|In],poichAharangonancheDharango

nequindiselaportiamoinformaascalatroviamo

D(0)=

)^ )^7 )^ a )^;a )^;7 77 a M Ka )^;; ^ conaii 0perogni1in3. AggiungiamoallarigaidiD(0),perogniicon1in1,lultimarigadiD(0)

moltiplicataper?bcd ?bdde ,ottenendounamatriceD(1)lacuicolonnanhasololultimoelementodiversoda0

CalcolodellinversacolmetododiGaussJordan(cont)

4. AggiungiamoallarigaidiD(1),perogniicon1in2,larigan1diD(1)

moltiplicataper?cdf ?bdfdfg ,ottenendounamatriceD(2)lacuicolonnan1hasololelementosullarigan1diversoda0.Osservatechenonabbiamotoccatolacolonnanchequindihasololultimoelementodiversoda0.

5. Sicontinuailprocedimentosullacolonnan2dellamatriceD(2)ecosviafinoadottenereunamatricedellaformaD(n1)=[diag (a11,,ann)|B]

6. Moltiplichiamoperogniicon1inlarigaidiD(n1)per ?bcce eotteniamounamatriceD(n)=[In|B].BlinversadiA QuestodipendedalfattocheseAx=b unsistemalinearedinequazioniinnincognite

conrk(A)=nesecoipassiprecedentiriduciamolamatricecompletadelsistema[A|b]allaforma[In|b]abbiamotrasformatoilsistemaAx=b nelsistemaequivalenteInx=blacuiunicasoluzionebedalprecedentepunto1.Infattinoiabbiamocontemporaneamenteridottoognimatrice[A|bi]nellaforma[In|bi]perogniicon1in.

Determinantediunamatricequadrata

LafunzionedeterminanteassociaadognimatricequadrataAdiordinensulcampoKunelementodiK,dettodet A(determinantediA),cosdefinito: Sen=1ovveroA=[a]alloradet A=a,

SeA=) J );K M K); J );; conn>1allorachiamiamo

Aik lamatricequadratadiordinen1chesiottienedaA cancellandolasuaiesimarigaelasuakesimacolonna,

Mik =det Aik minorecomplementaredi aik , Cik =(1)i+k Mik complementoalgebrico diaik,

eponiamodet A=O )_6_ )6 )6;_h J );6;. det

) J );K M K); J );; vieneancheindicatocon) J );K M K); J );;

Determinantedimatricidiordine2e3

SiaA=) )) ) ,calcolaredet A.

C11=a22,C12=a21,dunquedet A=a11a22a12a21.

SiaA=) ) )&) ) )&)& )& )&& ,calcolaredet A.

C11=) )&)& )&& =a22a33a23a32,C12= ) )&)& )&& =a21a33+a23a31,

C13=) ))& )& =a21a32a22a31,dunque

det A=a11(a22a33a23a32)+a12(a21a33+a23a31)+a13(a21a32a22a31)==a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

RegoladiSarrus:CopiareadestradiAleprimeduecolonnediA) ) )&) ) )&)& )& )&&

) )) ))& )&efarelasommadeiprodottideglielementidelladiagonaleprincipalediAedellesueparalleleuscentidaa12 ea13 (segnateconrigacontinua)menolasommadeiprodottideglielementidelladiagonalesecondariadiAedellesueparalleleuscentidaa11 ea12 (segnateconrigatratteggiata).

LaregoladiSarrus valesolopern=3,NONsigeneralizzapern>3

ProprietdeldeterminanteSiaAunamatricequadratadiordinensulcampoK. I TeoremadiLaplace.IldeterminantediAugualeallasommadei

prodottideglielementidiunasuariga(ocolonna)peririspettivicomplementialgebrici.

det A=det AT. SeAhaunariga(colonna)tuttadi0alloradet A=0. SeAunamatricetriangolare,alloradet A=i )__;_h . SeAottenutadallamatriceAscambiandoduerighe(odue

colonne)alloradet A= det A. Sesiscambialarigaiconlarigai+1,lelementodiposto(i,k)diAuguale

allelementodiposto(i+1,k)diAequindiilcomplementoalgebricodellelementodiposto(i,k)diAloppostodelcomplementoalgebricodellelementodiposto(i+1,k)diA.

Sesiscambianoduerighenoncontiguesieffettuaunnumerodisparidiscambidirighecontigue.

Proprietdeldeterminante

SeunamatriceA haduerighe(colonne)ugualialloradet A=0. Sescambiamoleduerigheuguali,lamatricenoncambiamailsuo

determinantedovrebbecambiaredisegnoe0lunicoelementougualealsuoopposto.

II TeoremadiLaplace.Lasommadeiprodottidiunariga(colonna)diApericomplementialgebricidiunaltrariga(colonna)0.Insimboli:O )j_6k_ 7;_h (O )_j6`k 7;_h )sekh. SiaAlamatriceottenutadaAcopiandonellarigahlarigakdiA.Ahadue

righeugualiequindiilsuodeterminate0eselosviluppiamorispettoaglielementidellarigahO )j_6k_;_h

SeAottenutadallamatriceAmoltiplicandotuttiglielementidiunasuariga(ocolonna)pertK alloradet A=tdet A.

det tA =tn det A.


SeA=

K 6K;conR1,R2,...Rn,B,C vettoririgaditipo(1,n),allora

detA=

KK;+

K6K;.(Lostessovaleperlecolonne)

SeAottenutadaAaggiungendoaunasuariga(colonna)unacombinazionelinearedellerestantirighe(colonne),alloradet A=det A


det A=0seesoloseunariga(colonna)diAcombinazionelinearedellerestantirighe(colonne). SelarigaidiAcombinazionelinearedellerestanti,costruiamolamatriceA

aggiungendoadilacombinazionelinearedellerestanticontuttiicoefficienticambiatidisegno.Ahaunarigadi0edet A=det A.

Sedet A=0anchelamatriceascalaottenutadaApereliminazionegaussianahadeterminanteugualea0equindialmenolultimarigatuttadi0.QuestosignificachelarigadiAcorrispondenteallultimarigadellamatriceascalacombinazionelinearedellerestanti

TeoremadiBinet.SianoAeBduematriciquadratediordinen.Alloradet (AB)=(det A)(det B).

Aammetteinversaseesolosedet A0. SeAammetteinversadaAA1=In sihadet (AA1)=det Adet A1=det In =1 Mostriamochesedet A 0,esisteA1,costruendola(conunnuovoalgoritmo)

Calcolodellinversatramiteicomplementialgebrici

SiaAunamatricequadrataesiaBunamatricequadratadiordinenilcuigenericoelementobik ilcomplementoalgebricoCki diA

AB=diag[det A,det A,,det A] Siadrs lelementodiposto(r,s)diAB,sihadrs=O )E`;`h *`I =O )E`;`h 6I` ,quindi

ser=sperilprimoteoremadiLaplacedrs=detA,sersperilIIteoremadiLaplacedrs=0

Sedet A 0siha/ Blm = Blm =6 66 6 J 6;J 6;K K6; 6; M KJ 6;;

ProprietdellematricinonsingolariSiaAunamatricequadratadiordinen,seAammetteinversasidicecheAnonsingolare(oinvertibile) SeAnonsingolare,ancheA1 nonsingolareesiha(A1)1=A,

inoltredet A1=1/det A SeAnonsingolareAT nonsingolaree(AT)1=(A1)T SiaBunamatricequadratadiordinen.ABnonsingolareseesolo

seAeBsonononsingolarie(AB)1=B1A1

SeAnonsingolarepossiamodefinireAh perogniinterorelativohponendo Ah=AAA(hvolte)seh>0 A0=In seh=0 Ah=A1A1A1 (hvolte)seh

RegoladiCramer

SeAnonsingolareogniequazionematricialedellaformaAX=BconB(eX)ditipo(n,p)haunaeunasolasoluzionedellaformaX=A1B(analogamenteogniequazionematricialedeltipoXA=BconBedXditipo(q,n)haunaedunasoluzionedellaformaX=BA1). A1BsoluzionediAX=B,infattiA(A1B)=(AA1)B=InB=B.SiaCunaltrasoluzione

alloraAC=A(A1B)implicaC=A1B.

UnsistemalinearedinequazioneinnincognitelacuimatricedeicoefficientiAharangomassimohaunaeunasolasoluzionechexi=(det Ai)/(det A),1in,doveAi lamatricechesiottieneda Asostituendolacolonnaiconlacolonnadeitermininoti. SeAx=b lascritturamatricialedelsistema,lasuaunicasoluzionex=A1b.La

componenteidix alloraPn '( O 6k_*k;kh eO 6k_*k;kh losviluppodeldeterminantedellamatriceAisecondoglielementidellasuacolonnai.

SpazivettorialiUnospaziovettorialeVsuuncampoKuninsiemeV,dettoinsiemedeivettori,sucuidefinitaunoperazionebinariainterna,dettasomma,+,ovverounaleggecheadognicoppiaordinatadivettoriv,w associaunoedunsolovettorev+w,taleche(V,+)siaungruppoabeliano,ovvero perogniv,wV sihav+w=w+v (proprietcommutativa) perogniv,w,uV sihav+(w+u)=(v+w)+u (proprietassociativa) esisteunvettore0VtalecheperognivV sihav+0=v (esistenza

dellelementoneutro) perognivV esistev Vtalechev+(v)=0 (esistenzadellopposto)edunoperazioneesterna,dettaprodottodiunoscalareperunvettore,ovverounaleggecheadognicoppiaordinatadiunoscalaretediunvettorevassociaunoedunsolovettoretv,chegodadellepropriet: perognitK eperogniv,wV sihat(v+w)=tv+tw perognit,s K eperognivV siha(t+s)v=tv+sv perognit,s K eperognivV siha(ts)v=t(sv) perogniv V siha1v=v

Esempidispazivettorialieloropropriet Ivettoriliberidelpiano(odellospazio)rispettoalleusualioperazionidisommae

diprodottoscalare/vettoresonounospaziovettorialesuR. Lematricidiunostessotipo(m,n)suuncampoKrispettoalleoperazionidi

sommaeprodottoscalare/matricecheabbiamodefinitoprecedentementesonounospaziovettorialesuK

IpolinomiinunaindeterminataacoefficientiinuncampoKrispettoallusualesommadipolinomieallusualeprodottoscalare/polinomiosonouncampovettorialesuK

IpolinomiinunaindeterminataacoefficientiinuncampoKdigradominoreougualeaduninteropositivon(fissato)rispettoallusualesommadipolinomieallusualeprodottoscalare/polinomiosonouncampovettorialesuK

InumerirealirispettoalleusualioperazionisommaeprodottodinumerirealisonounospaziovettorialesulcampoR.

Ricordiamoleseguentipropriet: Perogniv,w,uV, v+w=v+u implicaw=u (leggedicancellazione) Perogniv,wV esisteunoedunsolovettorex talechev+x=w (x=v+w) PerognitK eperognivV tv=0 seesoloset=0ov=0 (leggedi

annullamentodelprodotto)

DipendenzaeindipendenzalineareSiaVunospaziovettorialesulcampoK.Ricordiamoche: UnvettorevV combinazionelinearedeivettoriv1,v1,,vn se

esistononscalarik1,k2,,kn K,detticoefficientidellacombinazione,talichev=k1v1+k2v2++knvn.

Ivettoriv1,v1,,vn sidiconolinearmenteindipendentisesipuottenereilvettore0 comelorocombinazionelinearesolamenteprendendotuttiicoefficientidellacombinazioneugualia0,altrimentisidiconolinearmentedipendenti,ovverov1,v1,,vn sonolinearmentedipendentiseesistononscalarih1,h2,,hn Kenontuttinullitaliche0=h1v1+h2v2++hnvn v1,v1,,vn sonolinearmentedipendentiseesoloseunodiessi(NONciascuno

diessi)combinazionelinearedeirestanti;inparticolaresev1,v2,,vr sonovettorilinearmenteindipendentiev1,v2,,vr,v sonovettorilinearmentedipendenti,allorailvettorev combinazionelinearediv1,v1,,vr.

SeH={v1,v1,,vn}uninsiemedivettorilinearmentedipendentidiV,alloraogniinsiemedivettoriT,talecheHTuninsiemedivettorilinearmentedipendenti.QuindiseI={w1,w1,,wm} uninsiemedivettorilinearmenteindipendentidiV,alloraogniinsiemedivettoriJ,talecheJIuninsiemedivettorilinearmenteindipendenti

{v}uninsiemedivettorilinearmentedipendentiseesolosev=0

Sottospazidiunospaziovettoriale

UnsottoinsiemeHdiunospaziovettorialeVsulcampoKsidicesottospazio(vettoriale)diVseHasuavoltaunospaziovettorialesuKrispettoallastessasommaeallostessoprodottoscalarevettoredefinitiinV(ciolasommadiduequalsiasivettoridiHunvettorediH,0 stainH,perognivettorev diHanchev stainHeperognitK anchetv stainH).

Criterio:UnsottoinsiemeHdiunospaziovettorialeVsuKunsottospaziodiVseesolose1) perogniv,wH,v+wH2) perognivH eperognitK,tvH.

SeHsottospazio1)e2)devonoessereverificate Sevale1),lasommaunoperazioneinternasuH,cheovviamentecommutativae

associativa.Sevale2),ilprodottodiogniscalareperunvettorediHstainH,inoltreperognivettorevH siha0=0v ev=(1)v dunque0HevH.Infineleproprietdelprodottoscalare/vettorevalendoinVvalgonoancheinHedunqueHsottospaziodiV

Sottospazivettoriali

SiaAunamatriceconncolonne,ker AunsottospaziodellospaziovettorialeKn (spaziodellematriciditipo(n,1)suK) Sianov1,v2kerA,alloraA(v1+v2)=Av1+Av2=0+0=0 edunquev1+v2kerA;inoltre

perognitK ,sihaA(tv1)=t(Av1)=t0=0 edunquetv1kerA.

SiaVunospaziovettorialesulcampoKesianov1,v2,,vnVlinsiemeL(v1,v2,,vn)={k1v1+k2v2++knvn|kiK}unsottospaziovettorialediVdettosottospazio(lineare)generatodav1,v2,,vn Sianow1,w2L(v1,v2,,vn),alloraesistonoconki,hiK,1in,taliche

w1=k1v1+k2v2++knvn ew2=h1v1+h2v2++hnvn dacuiw1+w2=(k1+h1)v1+(k2+h2)v2++(kn+hn)vn epertantow1+w2L(v1,v2,,vn );inoltreperognielementokKsihakw1=(kk1)v1+(kk2)v2++(kkn)vn equindikwL(v1,v2,,vn).

SeV=L(v1,v2,,vn)ivettoriv1,v2,,vn sidiconosistemadigeneratoridiVesidicecheVhadimensionefinita(avendouninsiemefinitodigeneratori) SeG={v1,v2,,vn}uninsiemedigeneratoridiV,alloraogniinsiemedivettoriG,

talecheGG VuninsiemedigeneratoridiV

Basediunospaziovettoriale

SiaVunospaziovettorialesuK,B={v1,v2,,vn}sidicebase diVseBuninsiemedigeneratoridiVeduninsiemedivettorilinearmenteindipendenti.

B={v1,v2,,vn} unabaseperVseesoloseognivettorediVsiscriveinunoeunsolomodocomecombinazionelinearedeivettoridiB. OgnibasediVunsistemadigeneratoridiVequindiognivettorediv si

scrivecomecombinazionelinearedeivettoridellabase,inoltresupponiamosiav= k1v1+k2v2++knvn =h1v1+h2v2++hnvn ,daquestosiottiene0= (k1h1)v1+(k2h2)v2++(knhn)vn dacui,essendoivettoridiBlinearmenteindipendenti, k1h1= k2h2=...= knhn=0epertantok1=h1, k2=h2,..., kn=hn.

SeognivettorediVsiscrivecomecombinazionelinearedeivettoridiB,talivettorisonounsistemadigeneratoriperV.Inoltre0 sipuscriverecomecombinazionelinearedeivettoridiBconcoefficientidellacombinazionetuttiugualia0,epoichognivettorediV(equindi0)siscriveinunsolomodocomecombinazionelinearedeivettoridiB,ognicombinazionelinearedeivettoridiBchediacomerisultatolo0 deveavereicoefficientituttinulliequindiivettoridiBsonolinearmenteindipendenti.

Dasistemadigeneratoriabase(scartisuccessivi) Unvettorew combinazionelinearediv1,v2,,vn seesolose

L(v1,v2,,vn,w)=L(v1,v2,,vn) DaunsistemadigeneratoriG={v1,v2,,vn}diV, sipusempre

estrarreunabasediV(inaltreparoleognispaziovettorialedidimensionefinitahaunabase) EliminiamodaivettoridiGtuttigli0, Suglimvettorirestantinonnulli,eseguiamoilseguentealgoritmo

(degliscartisuccessivi):1. i:=2,B:=G2. sevi combinazionelinearedeiprecedentiB:=B\ {vi },3. i:=i+14. seim,tornaalpasso2.,altrimentirestituisciB.

BunabaseinfattiunsistemadigeneratoriperlaprimaaffermazionediquestapaginaedivettoridiBsonolinearmenteindipendentiperchse0 siscrivessecomecombinazionelinearedivettoridiBacoefficientinontuttinulli,ilvettorediBconindicemassimochecomparenellascritturadi0 sipotrebbescriverecomecombinazionelinearedeiprecedentiealloraavrebbedovutoessereeliminatodaB.

Completamentodellabase

SeVunospaziovettorialedidimensionefinitaeu1,u2,,ur uninsiemedivettorilinearmenteindipendentidiV,esistesempreunabasediVchecontieneivettoriu1,u2,,ur . SeVhadimensionefinitahauninsiemefinitodigeneratori

{w1,w2,,wt},quindiancheG={u1,u2,,ur , w1,w2,,wt} unsistemadigeneratoridiV.

ApplichiamolalgoritmodegliscartisuccessiviaG,nessunodegliuivienecancellatoperchperipotesisonouninsiemedivettorilinearmenteindipendentiequindinessunocombinazionelinearedeglialtri.

Dimensionediunospaziovettoriale SiaG={v1,v2,,vn}unsistemadigeneratoridiV,ogniinsiemew1,w2,,wm

divettoridiVconm>nuninsiemedivettorilinearmentedipendenti. SeV=L(v1),cion=1,perogniw1,w2Vw1=t1v1,w2=t2v1 quindit2w1t1w2=0 Ipotesidiinduzione:inognispaziovettorialeconn1generatoriogniinsiemedim>n1vettoriun

insiemedivettorilinearmentedipendenti SiaV=L(v1,v2,,vn)esianow1,w2,,wmV conm>n.Perognii,1imwi=ti1v1+ti2v2++tinvn .Dati1=0

perogniisihaw1,w2,,wmL(v2,,vn)equindiw1,w2,,wm linearmentedipendentiperipotesidiinduzione.Siaallorat110,esiawj=t11wjtj1w1 perognij,2 im.Poichw2,w3,,wmL(v2,,vn)edm1>n1,w2,w3,,wmsonolinearmentedipendentiperipotesidiinduzione,quindiesistonoa2,a3,,am nontuttinullitalichea2w2+a3w3++amwm=0,dacui(a2t21++amtm1)w1+a2t11w2+amt11wm=0 conalmenounait110,quindiw1,w2,,wm sonouninsiemedivettorilinearmentedipendenti.

SeVunospaziovettorialedidimensionefinitaeB={v1,v2,,vn}eB={w1,w2,,wr}sonoduebasidiValloran=r. B,essendounabase,uninsiemedigeneratori.Sefosser>n,ivettoridiBsarebberolinearmente

dipendentiequindinonformerebberounabase,dunquern.Analogamentesimostrachenr edunquesihan=r.

Sidicedimensionediunospaziovettorialedidimensionefinitailnumerodivettorichecompongonounasuabase.

SiaVunospaziovettorialedidimensionen,alloraogniinsiemedigeneratoriformatodamn vettori,ogniinsiemedivettorilinearmenteindipendentiformatodarnvettori.Inparticolareuninsiemedigeneratoriformatodanvettoriunabaseeuninsiemedinvettorilinearmenteindipendentiunabase.

Esempi Lospaziodeivettoriliberidelpianohadimensione2equellodeivettori

liberidellospaziohadimensione3 Lospaziodellematriciditipo(m,n)suuncampoKhadimensionemn,

infattiunasuabase(dettabasecanonica)formatadallematriciEij,1im,1jn, ilcuielementodiposto(i,j)1eicuialtrielementisono0.InparticolarelospazioKn deivettoricolonneconncomponentihadimensionenelasuabasecanonica{ei|1i},doveiilvettoreicuielementisonotuttinulli,eccettolelementodipostoiche1.

Lospaziodeipolinomidigrado

OperazionifrasottospaziSianoVunospaziovettorialesulcampoKeHeWduesottospazidiV LintersezioneinsiemisticaHWunsottospaziodiV(ediHeW)

Sianov1,v2HWetK.Poichv1,v2HedHunsottospaziov1+v2Hetv1H,analogamentepoichv1,v2WeWunsottospaziov1+v2Wetv1W,quindiv1+v2 HW etv1 HW

LunioneinsiemisticaHWnoningeneraleunsottospaziodiV LasommaH+W={h+w|hH,wW}diHeWunsottospaziodiV

edilminimosottospaziochecontieneHeW. Sianov1,v2H+WetK.Esistonoh1,h2H,w1,w2Wtalichev1=h1+w1,

v2=h2+w2 equindiv1+v2=(h1+w1)+(h2+w2)=(h1+h2)+(w1+w2)conh1+h2H,w1+w2W,quindiv1+v2H+W. Analogamantesihatv1=t(h1+w1)=th1+tw1 conth1H,tw1W,quinditv1H+W.DunqueH+Wsottospazio.Inoltre,essendoh=h+0 perognihHeconsiderando0W,sihaHH+Wedanalogamente,essendow=0+w perogniwWeconsiderando0H,sihaWH+W.SiapoiUunsottospaziodiVtalecheHUeWU,allorapoichognihHappartieneadUedogniwWappartieneadU,sihah+wU,dunqueH+W U.

SeHeWhannodimensionefinita,lunionediuninsiemedigeneratoridiHediuninsiemedigeneratoridiWuninsiemedigeneratoridiH+W

FormuladiGrassmann

SianoHeWduespazivettorialididimensionefinitadiV,allorasihadim (H+W)+dim (HW)=dim H+dim W.

Siadim H=n,dim W=m,alloradim (HW)=d,condn,dm. Sia{v1,v2,,vd}unabasediH,perilteoremadicompletamentodellabase

esistonou1,,undH ew1,,wmdW taliche{v1,,vd,u1,,und}siaunabasediHe{v1,,vd,w1,w2,,wmd}siaunabasediW.DunqueH+Wha{v1,,vd,u1,,und,w1,,wmd}comeinsiemedigeneratori

Siaa1v1++advd+b1u1++bndund+c1w1++cmdwmd=0,alloraa1v1++advd+b1u1++bndund=c1w1cmdwmd unvettorediHWequindisipuscriverecomecombinazionelinearediv1,v2,,vd.Dunquec1w1cmdwmd =k1v1++kdvd equindic1w1++cmdwmd+k1v1++kdvd =0 dacui,essendo{v1,,vd,w1,,wmd} uninsiemedivettorilinearmenteindipendenti,siottienec1==cmd=0.Pertantosihaanchea1v1++advd+b1u1++bndund=0 dacui,essendo{v1,,vd,u1,,und}uninsiemedivettorilinearmenteindipendenti,siottienea1==ad=b1==bnd=0.Quindi{v1,,vd,u1,,und,w1,,wmd} uninsiemedivettorilinearmenteindipendentieunabasediH+W.Sihaalloradim (H+W)=n+md.

Sommadirettadisottospazi VsidicesommadirettadiHeW,V=HW,seperognivettorev V

esistonoesonouniciduevettorihH ewW talichev=h+w. V=HWseesoloseV=H+WeHW={0}

SiaV=HW.OvviamenteV=H+W.SiaiHW,allorav=h+w=(h+i)+(wi)doveh+iH,wiW.Perlunicitdellascritturadiv sihaallorah=h+i dacuii=0.

SiaV=H+WeHW={0},alloraovviamenteperognivettorev VesistonoduevettorihH ewW talichev=h+w.Siapoiv=h+w=h+w,allorahh=wwappartieneaHWequindihh=ww=0 dacuih=h,w=w.

SeV=HW,VhadimensionefinitaseesoloseHeWhannodimensionefinitaeinparticolaredim V=dim H+dim W.

SeV=HW,WsidicespaziocomplementarediH(eHspaziocomplementarediW)

SeVhadimensionefinitaedHunsuosottospazio,esistesemprelospaziocomplementarediH. Presaunabase{v1,v2,,vs}diH,lasicompletaadunabase

{v1,,vs,w1,w2,,wr}diVesihaW=L(w1,w2,,wr).

SpaziodidimensionensulcampoK

SiaVunospaziovettorialesuKdidimensionenesiaB={v1,v2,,vn}unabasediV.SappiamocheognivettorevV sipuscrivereinunoeunsolmodonellaforma v=x1v1+x2v2++xnvn;gliscalarix1,x2,,xnsichiamanocomponentidiv rispettoallabaseB.Ilvettorev pu

esserequindiidentificatoconilvettoreo K; Kn Eimmediatoverificarecheperogniv,wV eperognitK siha o=o+o e o o OgnispaziovettorialeVdidimensionensulcampoKpuessere

identificato(unavoltafissataunabasediV)conlospaziovettorialeKn dellematriciditipo(n,1)suK.

w1,w2,,wh sonovettorilinearmenteindipendentidiVseesolosew1| ,w2| ,,wh| sonovettorilinearmenteindipendentidiKn.

Rango(perrighe)diunamatriceASiaAunamatriceditipo(m,n)esianor1,r2,,rm ivettoririgadiAec1,c2,,cn ivettoricolonnadiA.PoniamoRow A=L(r1,r2,,rm)Kn eColA=L(c1,c2,,cn ) Km. SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss.Siha

Row A=Row A. Sianov1,v2,,vm vettoridiunqualsiasispaziovettorialeVsuKetK ,allora

dim L(v1,v2,,vm)=dim L(v1,v2,,vi+tvj, ,vm) DaquantosopraunamossadiGaussconservaladimensionedellospaziodelle

righediunamatrice. rk(A)=dim Row A,inaltreparoleilrangodiAilmassimonumerodirighe

linearmenteindipendentidiA. SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss,allora

rk(A)=rk(A) dim Row A=dim Row A dim Row A=rk(A)

SiaAunamatricedincolonnesuK,allorark(A)+dim ker A=n(Teoremadinullitpirango) ConseguenzaimmediatadelteoremadiRouch Capelli.

Rango(percolonne)diunamatriceA

ColA={b|Ax=b possibile} SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss,

alloradim ColA=dim ColA. {[v11,v21,,vm1]T,[v12,v22,,vm2]T,,[v1n,v2n,,vmn]T}uninsiemedivettori

linearmenteindipendentidiKm seesolose linsiemedivettori{[v11,..,vj1+kvi1,..,vm1]T,[v12,..,vj2+kvi2,..,vm2]T,..,[v1n,..,vjn+k vin,..,vmn]T},conij,kK,uninsiemeivettorilinearmenteindipendentidiKm.

UnamossadiGaussconservaladimensionedellospaziodellecolonne. SeAunamatriceascalark(A)=dim ColA

LecolonnechecontengonoipivotsonounabasediColA rk(A)=dim ColA,inaltreparoleilrangodiAilmassimonumerodi

colonnelinearmenteindipendentidiA. dim ColA=dim ColA=rk(A)

rk(A)=rk (AT) Sianov1,v2,,vm,b Kn.Ivettoriv1,v2,,vm sonolinearmenteindipendenti

seesoloserk([v1|v2||vm])=m,b combinazionelinearediv1,v2,,vm seesoloserk([v1|v2||vm])=rk([v1|v2||vm|b])

RegoladiKroneckerSiaAunamatricesuKditipo(m,n)esiaAunasuasottomatrice UnasottomatriceAdiAsidiceottenutaperorlaturadaAsesiaggiunge

unanuovarigaedunanuovacolonneallerigheecolonnediAscelteperformareA

Unminore diordinerAildeterminantediunasottomatricequadratadiordinerdiA

SiaM=det AunminorediordinerdiA,unminoreorlatodiMildeterminantediunasottomatricediAottenutaperorlaturadaA,ovviamenteogniminoreorlatodiMhaordiner+1.

UnamatriceAharangorseesoloseesisteunminoreMdiAdiordinerdiversoda0etuttiiminoriorlatidiMsononulli. SeAharangor,Aharrigheedrcolonnelinearmenteindipendentiela

sottomatricediAfattaconquellerigheeconquellecolonnehadeterminantediversoda0,inoltrer+1righeedr+1colonnesonosempredipendentipercuiogniminorediordiner+1nullo

SeAhaunminorediordinerdiversoda0,lerrighechecompaiononelminoresonolinearmenteindipendentieAharango r.Unaqualsiasialtrarigadellamatricecombinazionelineareditalirighe,quindirilmassimonumerodirighelinearmenteindipendentidiAerk(A)=r

SottospazidiKn

Sappiamoche: ognisottospaziodiKn hadimensionedn eunqualsiasisottospaziodiKn didimensionen

coincideconKn. esiste(almeno)unsottospaziodiKn didimensionedperognidn.

Comesirappresentaunsottospaziodidimensioned(

CambiamentodibaseSiaVunospaziovettorialedidimensionensuKesianoB={v1,v2,,vn}eC={w1,w2,,wn} duebasidiV PerognivV sihav=x1v1+x2v2++xnvn=y1w1+y2w2++ynwn con

x1,x2,,xn,y1,y2,,yn K,sihacioo K; ep

K; . Ovviamenteperognii,1in,sihawi=z1iv1+z2iv2++znivn conz1i,z2i,,zni K,

ovvero_p __K;_ .LamatriceS=[p |p ||;p]formatadallaccostamentodeivettoridellecoordinatedeivettoridellabaseCrispettoallabaseBsichiamamatricedipassaggiodallabaseBallabaseC.

Siha[w1|w2||wn]=[v1|v2||vn]S

Cambiamentodibase

PerognivV sihav|B=Sv|C. Infattiv=[v1|v2||vn]v|B,maanche v=[w1|w2||wn]v|C equindi

v=[v1|v2||vn]Sv|C Snonsingolare

IlsistemalineareSx=0 hasololasoluzionebanale

Formuledirotazione diunsistemadicoordinatecartesianeortogonalinelpiano

x

y

X

Y

Lecoordinate(x,y)diPrispettoadOxy sonolecomponentidelvettore rispettoallabasedi R2 rappresentatadaiversoridegliassix,y,lecoordinate(x,y)diPrispettoadOxysonolecomponentidelvettore rispettoallabasediR2rappresentatadaiversoridegliassix,y.Sia langolochelassexformaconlassex,iversoridellassexedellasseyrispettoallabaseformatadaiversoridegliassix,y sono [cos,sen] T e[sen,cos] T,quindileformuledirotazionesonox=xcos yseny=xsen +ycos

Applicazionilineari SianoVeWduespazivettorialisullostessocampoK,una

applicazione(funzione)f:VWunaapplicazionelineare se1. perogniv1,v2Vsihaf(v1+v2)=f(v1)+f(v2)(fadditiva)2. perognivV,tK sihaf(tv)=tf(v)(fomogenea).

Unapplicazionelinearef:VKsidiceformalineare.Unapplicazionelinearef:VVsidiceendomorfismo.

f:VWunapplicazionelineareseesoloseperogniv1,v2V;t1,t2Ksihaf(t1v1+t2v2)=t1f(v1)+t2f(v2)

Sef:VWunapplicazionelineare,f(0V)=0W Esempi

SianoVunospaziovettorialesuKdidimensioneneBunasuabase.Lapplicazione|B:VKn definitada|B(v)=v|B perognivV,unapplicazionelineare

SiaAunamatriceditipo(m,n),lafunzionefA:KnKm definitadafA(v)=Av perognivKn unapplicazionelineare(rappresentatadallamatriceA).

Applicazionilineari:fibra,nucleoeimmagine Siaf:VWunapplicazionelineare.PerogniwW lafibra dif

sopraw linsiemef1(w)={vV |f(v)=w}.Lafibradifsu0W sidicenucleo,ker f,dellapplicazionef,ovveroker f={vV|f(v)=0W}.

Siaf:VWunapplicazionelineare.PerognisottoinsiemeUdiV,siponef(U)={wW|f(u)=w perqualcheuU}.Limmaginedi f,Imf,linsiemef(V) ={wW|f(v)=w perqualchevV}.

ker funsottospaziodiV(edlunicafibradifchesottospaziodiV).

Sev appartieneallafibradifsuw,tuttiesoliglielementidellafibradifsuw sonoivettoridellaformav+vker,convkerker f.

SeUunsottospaziodiV,f(U)unsottospaziodiW,inparticolaref(V)unsottospaziodiW.

SeUhadimensionefinita,dim f(U)dim U. SeB={b1,b2,,bn}unabasediU,{f(b1),f(b2),,f(bn)}uninsiemedi

generatori(nonnecessariamenteunabase)dif(U).

Applicazionilineariiniettive,suriettive,biunivoche

Siaf:VWunapplicazionelineare finiettiva seperogniv,vV,vvimplicaf(v)f(v),o

equivalentementesef(v)=f(v)implicav=v finiettivaseesoloseker f={0}

fsuriettivaseImf=W fbiettiva o biunivoca se iniettivaesuriettiva(intalcasofsi

chiamaisomorfismodiVinW) fbiettiva seesoloseker f={0W}eImf=W.

SupponiamocheVeWabbianodimensionefinita. Sefiniettivadim Vdim W Sefsuriettivadim Wdim V Sefbiettiva dim V=dim W

Algebradelleapplicazionilineari

Sianof:VWeg:VWdueapplicazionilinearietK f+g:VW definitada(f+g)(v)=f(v)+g(v)perognivV

unapplicazionelineare tf:VWdefinitada(tf)(v)=tf(v)perognivV unapplicazione

lineare

LinsiemeHomK(V,W)delleapplicazionilinearidiVinWcostituisconounospaziovettorialesulcampoKrispettoallaoperazionisopradefinite.HomK(V,V)ancheindicatoconEndK(V).LinsiemeHomK(V,K)delleformelinearidiVunospaziovettorialesuKchiamatospazioduale diK.

Prodottodiapplicazionilineari SianoV,W,UspazivettorialisuKef:VW,g:WUapplicazioni

lineari.Lafunzionegf:V Udefinitadagf(v)=g(f(v))perognivVsidiceprodotto difpergedunapplicazionelineare

LapplicazioneIV:VVdefinitadaIV(v)=v,perognivV unapplicazionelineare,chiamataidentit ofunzioneidenticasuV.SihaIWf=f IV=f.

Unafunzionef:VWsidiceinvertibile seesisteunafunzioneg:W VtalecheIV=gf eIW=fg.Intalcasogsichiamafunzioneinversa difesidenotaconf1. f1 esisteseesolosefbiunivoca f1definitadaf1(w)=v sef(v)=w

Sef:VWunapplicazionelinearebiunivoca(isomorfismo),alloraf1 unapplicazionelineare(biunivoca).Sef:VWunisomorfismoVeWsidiconospaziisomorfi.

DuespazivettorialididimensionefinitasonoisomorfiseesolosehannolastessadimensionenedintalcasosonotuttiisomorfiaKn.

ApplicazionilinearidiKm inKn associateadunamatrice

SianoAunamatriceditipo(m,n),edfA:KnKm lapplicazionelineareassociataadAovverolapplicazionedefinitadafA(v)=Av perognivKn

ker fA=ker A fA iniettivaseesoloserk(A)=n

ImfA=Col(A) fA suriettivaseesoloserk(A)=m fA biunivocaseesoloseAunamatricequadratadirangomassimo,quindi

condet A0,quindiinverbile,etc.

SianofA:Kn Km efB:Kn Km applicazionilineariassociaterispettivamenteallematriciAeBditipo(m,n),lapplicazionesommaassociataallamatriceA+B

SianofA:Kn Km efB:Km Kr applicazionilineariassociaterispettivamenteallamatriceAditipo(m,n)eallamatriceBditipo(r,m),lapplicazioneprodottofBfA associataallamatriceBA.

ApplicazionilinearidiKm inKn associateadunamatrice

SefA:Kn Km lapplicazionelineareassociataallamatriceAperognih,1hn,lacolonnahdiAlimmaginedelvettoreeh Kn (hesimovettoredellabasecanonicadiKn ,ovverovettorecheha1comecomponentehesimaetuttelealtrecomponentinulle).

SianoA,Bduematriciditiporispettivamente(m,n)ed(r,m),allorark(BA)min (rk(A),rk(B)). SianofA:Kn Km ,fB:Km Kr efBfA:Kn Kr.

ImfBfA=fB(fA(Km))unsottospaziodifB(Kn)=ImfB quindidim ImfBfA=rk(BA)dim ImfB=rk(B).

Inoltredim fB(fA(Km))dim fA(Km)edunquedim ImfBfAdim ImfA dacuirk(BA)rk(A).

Applicazionilinearif:VWconVdidimensione n

SianoVunospaziovettorialecondim V=nesiaB={b1,b2,,bn}unasuabase.Sianow1,w2,,wn vettori(arbitrariamentescelti)inunospaziovettorialeW.Alloraesisteunaedunasolaapplicazionelinearef:VWtalechef(bi)=wi perogniicon1in.fdefinitadaf(x1b1+x2b2++xnbn)=x1w1+x2w2++xnwn.

UnapplicazionelinearefdaVinW,conVdidimensionefinita,completamentedeterminataquandosiconoscanoleimmaginideivettoridiunabasediVmediantef.Inoltreessendodim f(V)dim VpossiamosemprevederefcomeunaapplicazionediVinunospaziovettorialedidimensionefinita.

TeoremadirappresentazioneSianoVeWduespazivettorialisuKcondim V=n,dim W=m,sianoBeCduebasirispettivamentediVeW.AlloraesisteununicamatriceAditipo(m,n)acoefficientiinKtalecheperognivV,w=f(v),siabbiaw|C=A(v|B).LamatriceArappresentalapplicazionelinearefrispettoallebasi BeC.

SiaB={b1,b2,,bn}.SiaAlamatricechehacomecolonnaicolonnaiesimaperogni1in,lecomponentidelvettoref(bi)W,rispettoallabaseC

SiavV ev|B =

x1x2Kxn

alloraf(v)=f(O xibini=1 )=O xif(bini=1 ). SiaC={c1,c2,,cm},percostruzionediAsihaf(bi)=O aijcjmj=1 edunque

f(v)=O xiO a$qcj=O O a$qxini=1mj=1mj=1ni=1 cj doveO aijxini=1 lacomponentejdelvettorecolonnaA(v|B).QuindiilvettorecolonnaA(v|B)f(v)|C.

Conseguenzedelteoremadirappresentazione

SianoVeWduespazivettoriale condim V=nedim W=nesianoBeCduebasirispettivamentediVeW.LafunzioneGcheassociaadogniapplicazionelinearef:VWlamatricecherappresentafrispettoallebasiBeCunisomorfismodellospaziovettorialeHomK(V,W)nellospaziovettorialeMK(n,m)dellematriciditipo(n,m)adelementiinK.

Siaf:VWunapplicazionelineare,conV,Wspazivettorialididimensionefinita.SianoB,BduebasidiVeC ,CduebasidiW.SiaAlamatricecherappresentafrispettoallebasiB,C esianoSeTlematricidipassaggiodallabaseBallabaseBedallabaseCallabaseC rispettivamente.AlloralamatricecherappresentafrispettoallebasiB eCT1AS.

Teoremadinullitpirangoperleapplicazionilineari SianoVunospaziovettorialesuKdidimensionefinitaef:VW

unapplicazionelineare.Ilrango di f,rk f,ladimensionediImf=f(V).

SianoV unospaziovettorialedidimensionenef:VWunapplicazionelineare.Alloran=dim ker f+dim Imf. Ovviamentedim ker f=dn.Sia{u1,u2,,ud}unabasediker f. Perilteoremadicompletamentodellabaseesistonov1,,vndV tali

che{u1,,ud,v1,,vnd}unabasediVe{f(u1),,f(ud),f(v1),,f(vnd)}uninsiemedigeneratoridiW,maf(u1)==f(ud)=0W,quindiuninsiemedigeneratoridiW{f(v1),,f(vnd)}.

Siaa1f(v1)+a2 f(v2)++amdf(vmd)=0W .Alloraf(a1v1++amdvmd)=0W ea1v1+a2v2++amdvmdker f, dacuia1v1++amdvmd=b1u1++bdud,perqualcheb1,b2,,bdK.Essendo{u1,,ud,v1,,vnd}unabasediVseguea1=a2 ==amd=(b1=b2==bd=)0.Dunque{f(v1),,f(vnd)}unabaseperImf.

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Quadriche

GliargomentirelativisitrovanonelfileAppuntidigeometriaanaliticadello

spazio

Esercizi di Algebra Lineare

Claretta Carrara

Indice

Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 11. Soluzioni 3

Capitolo 2. Rette e piani 151. Suggerimenti 192. Soluzioni 21

Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali 471. Suggerimenti 482. Soluzioni 48

Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) 551. Suggerimenti 562. Soluzioni 57

Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) 671. Suggerimenti 692. Soluzioni 69

Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice 831. Suggerimenti 842. Soluzioni 85

Capitolo 7. Rango: Rouche`-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. 951. Suggerimenti 1062. Soluzioni 107

Capitolo 8. Applicazioni lineari 1791. Suggerimenti 1862. Soluzioni 188

Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari 2431. Suggerimenti 2472. Soluzioni 249

Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalita e basi ortonormali 2871. Suggerimenti 2892. Soluzioni 290

Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche 3031. Suggerimenti 3052. Soluzioni 305

Capitolo 12. Rette e piani con le matrici e i determinanti 3211. Suggerimenti 3222. Soluzioni 324

Capitolo 13. Coniche 3371. Suggerimenti 3392. Soluzioni 342

Capitolo 14. Quadriche 3811. Suggerimenti 3822. Soluzioni 385

iii

iv INDICE

Capitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni 4071. Suggerimenti 4082. Soluzioni 408

Avvertenze importanti.

Leserciziario e` scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta diesercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro).

Quasi ogni capitolo e` cos` strutturato: Testo degli esercizi, Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione, Soluzione di tutti gli esercizi proposti.

Leserciziario contiene sostanzialmente: i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi:

Geometria , c.l. in Ingegneria Edile / Architettura, dalla.a 2002/03 alla.a. 2009/2010. Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dellInformazione e dellOrganiz-zazione - Rovereto, dalla.a 2002/03, alla.a. 2006/2007.

Geometria e Algebra, Ingegneria a-l, a.a. 2010/2011.I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l.in Ingegneria e Scienze dellInformazione e dellOrganizzazione - Rovereto, a.a. 2006/2007,tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta.Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R.Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, 2002.

La maggior parte degli esercizi degli appelli desame e delle provette dei precedenti corsi.

CAPITOLO 1

Operazioni tra matrici e n-uple

Esercizio 1.1. Date le matrici

A =

[1 23 1

]B =

[3 01 4

]e dati = 5, = 2, si calcoli AB, BA, A+B, B A, A+ B.

Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:

A =

[1 12 2

]B =

[3 21 4

] =

1

2, = 0

A =

1 0 13 1 12 0 1

B = 3 0 21 4 51 0 0

= 2, = 1Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:

A1 =

1 2 5 33 1 0 24 0 0 2

; A2 = [0 2 54 3 2]; A3 =

5 01 24 55 1

;A4 =

3 51 102 0

; A5 =2 4 14 4 40 0 0

; A6 = [3 1 18 5 3];

calcolare, quando possibile, i prodotti Ai Aj per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Esercizio 1.4. Date le matrici

A =[1 2 3 4

]I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

calcolare i prodotti AI4 e I4A

T .


A =[2 12 3 1] B = [1 3 23 1]

calcolare 3A 2B e ABT .Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A3 della matrice1 1 20 3 1

1 0 1

Esercizio 1.7. Data la matrice

A =

[1 13 2

]calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare seesiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A =

[1 13 3

]A =

[1 13 2

]1

2 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE


A =

[2 00 3

]B =

[1 20 3

]C =

[3 00 3

]calcolare AB, BA, BC e CB.

Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M22(R))

I =

{[a b0 c

]| a, b, c R

}Si verifichi che I e` chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi

di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A,B non nulle tali che AB = 0.

Esercizio 1.12. Sia

A =

[1 10 1

]e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = I2 +

[0 x0 0

]dove , x R.


A =

1 2 30 5 62 1 4

e C = 1 2 01 5 22 1 3

determinare la matrice B tale che A+B = C.


A =

[1 21 3

], B =

[2 11 1

], C =

[1 12 3

], D =

[0 11 2

]stabilire se D e` combinazione lineare di A, B, C.


A =

[1 k0 1

], B =

[2 31 2

], C =

[3 61 3

]stabilire se esistono valori di k per cui C e` combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere talecombinazione lineare.

Esercizio 1.16. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:

u1 = (1, 0) u2 =

(1

2,2

)u3 =

(3, 1

4,5

)u4 =

(0,1

2,2

)u5 = (1, 1, 2,2) u6 =

(0, 0,1

3,3

)Si calcoli quando possibile

ui + uj , ui uTj , ui, con = 0, 2,2, i, j = 1, . . . 6Esercizio 1.17. Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato e` neces-

sariamente reale.

Esercizio 1.18. Si risolva il sistema Ax = b dove

A =

[1 32 4

], x =

[x1x2

]b =

[22]

Esercizio 1.19. Siano A e B matrici 3 3 tali cheAB = BA B M33

Si dimostri che deve necessariamente essere:

A = I3 per qualche R

1. SOLUZIONI 3

Esercizio 1.20. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

a) A =

1 3 20 3 60 0 2

, x =x1x2x3

b = 234

b) A =

4 33 20 1 60 0 0

, x =x1x2x3

b = 344

c) A =

1 3 10 1 10 0 0

, x =x1x2x3

b =340

Esercizio 1.21. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax = b dove

A =

1 1 20 1 10 0 k + 1

, x =x1x2x3

b = 011

ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni.

-

1. Soluzioni


A =

[1 23 1

]B =

[3 01 4

]e dati = 5, = 2, calcolare AB, BA, A+B, B A, A+ B.

Soluzione:

AB =

[1 3 + 2 (1) 1 0 + 2 4

3 3 + (1) (1) 3 0 + (1) 4]=

[1 810 4

]BA =

[3 1 + 0 3 3 2 + 0 (1)1 1 + 4 3 1 2 + 4 (1)

]=

[3 611 6

]A+B =

[1 + 3 2 + 0

3 + (1) 1 + 4]=

[4 22 3

]B A =

[3 1 0 21 3 4 (1)

]=

[2 24 5

]5A+ 2B =

[5 1015 5

]+

[6 02 8

]=

[11 1013 3

]

Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:

A =

[1 12 2

]B =

[3 21 4

] =

1

2, = 0

A =

1 0 13 1 12 0 1

B = 3 0 21 4 51 0 0

= 2, = 1Soluzione:


Comiciamo dalla prima coppia di matrici:

A+B =

[4 31 6

]B A =

[2 13 2

]A+ B =

1

2A+ 0 B = 1

2A =

[12

12

1 1

]AB =

[2 64 12

]BA =

[7 77 7

]A2 = A A =

[3 36 6

]Analogamente per la seconda coppia di matrici:

A+B =

4 0 32 3 41 0 1

B A = 2 0 14 5 63 0 1

A+ B = 2AB =

1 0 07 6 75 0 2

AB = 2 0 211 4 17 0 4

BA =

7 0 121 4 101 0 1

A2 = A A = 3 0 02 1 50 0 3

Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:

A1 =

1 2 5 33 1 0 24 0 0 2

; A2 = [0 2 54 3 2]; A3 =

5 01 24 55 1

;A4 =

3 51 102 0

; A5 =2 4 14 4 40 0 0

; A6 = [3 1 18 5 3];

calcolare, quando possibile, i prodotti Ai Aj per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Soluzione:

Ricordiamo che una matrice e` detta nm se ha n righe e m colonne. Inoltre e` possibile moltiplicare duematrici A e B solamente se

A e` del tipo nm B e` del tipo m k

(cioe` se il numero delle colonne di A e` uguale al numero delle righe di B). Il risultato e` una matrice C deltipo n k.

Scriviamo solo i prodotti che e` possibile effettuare:

A1 A3 =2 3226 410 2

A2 A1 =

[14 2 0 145 11 20 22

]A2 A4 =

[8 2011 10

]A2 A5 =

[8 8 84 4 8

]

A3 A2 =

0 10 258 4 120 23 304 7 23

A3 A6 =15 5 513 9 752 29 117 0 8

A4 A2 =

20 21 2540 28 150 4 10

A4 A6 =49 28 1277 49 31

6 2 2

A5 A1 =

18 8 10 1232 12 20 120 0 0 0

A5 A4 =12 3024 20

0 0

A5 A5 =12 8 148 0 12

0 0 0

A6 A1 =

[2 7 15 1335 21 40 28

]A6 A4 =

[ 8 535 10

]A6 A5 =

[2 8 14 12 12

]

1. SOLUZIONI 5


A =[1 2 3 4

]I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

calcolare i prodotti AI4 e I4A

T .

Soluzione:

Notiamo che la matrice quadrata I4 e` detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche(dei differenti ordini) vengono indicate I.

AI4 =[1 2 3 4

]= A

I4AT = I4

1234

=1234

= AT


A =[2 12 3 1] B = [1 3 23 1]

calcolare 3A 2B e ABT .

Soluzione:

3A 2B = [6 32 9 3] [2 6 43 2] = [8 152 233 1]ABT =

[2 12 3 1] 13231

= [ 12]Notiamo che la matrice

[ 12] e` detta matrice scalare.

Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A3 della matrice1 1 20 3 11 0 1

Soluzione:

Si tratta di eseguire due prodotti:

A3 = A A A =3 4 31 9 42 1 3

1 1 20 3 11 0 1

=6 15 55 26 155 5 6

Esercizio 1.7. Data la matrice

A =

[1 13 2

]calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

Soluzione:

Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Siaquindi

B =

[x yz w

]


la generica matrice 2 2 e calcoliamo il prodotto AB:

AB =

[1 13 2

][x yz w

]=

[x+ z y + w

3x+ 2z 3y + 2w]

Dalla condizione AB = I seguex+ z = 1

y + w = 0

3x+ 2z = 03y + 2w = 1

x = 1 zy = w3(1 z) + 2z = 03(w) + 2w = 1

x = 25y = 15z = 35w = 15

Di conseguenza perche B verifichi la condizione AB = Ideve essere

B =

[25 1535

15

]E immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B e` lamatrice inversa di A cercata.

Metodi piu` efficaci per calcolare linversa di una matrice verranno introdotti successsivamente.

Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare seesiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A =

[1 13 3

]A =

[1 13 2

]Soluzione:

Consideriamo la matrice

A =

[1 13 3

]Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Sia quindi

B =

[x yz w

]la generica matrice 2 2. Si ha

AB =

[1 13 3

][x yz w

]=

[x+ z y + w3x+ 3z 3y + 3w

]Dalla condizione AB = I segue

x+ z = 1

y + w = 0

3x+ 3z = 0

3y + 3w = 1

x = 1 zy = w3(1 z) + 3z = 03(w) + 3w = 1

x = 1 zy = w3 = 0

0 = 1

La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione.Questo indica che la matrice A non ammette inversa.

Consideriamo ora la matrice

A =

[1 13 2

]e sia

B =

[x yz w

]la generica matrice 2 2. Si ha

AB =

[1 13 2

][x yz w

]=

[x z y w

Geometria E Algebra Lineare(Materiale Cherubini Completo)

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