GEOMETRIAEALGEBRALINEAREDispensaufficiale
Geometria ed Algebra lineare (programma di lezioni ed esercitazioni)
VETTORI GEOMETRICI Operazioni algebriche sui vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, modulo, angolo, ortogonalit. Espressione cartesiana del prodotto scalare e vettoriale. GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO Rappresentazioni di punti e rette, distanze, angolo di due rette, parallelismo e perpendicolarit, fasci di rette, circonferenze, fasci di circonferenze. GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO Riferimenti cartesiani nello spazio e loro trasformazioni, equazioni di rette e piani, parametri direttori di rette e piani. Distanze. Rette sghembe e minima distanza. Angoli di rette e piani. Parallelismo e ortogonalit di rette e piani. Fascio di piani. MATRICI Generalit sulle matrici, operazioni, dipendenza lineare, determinante, rango, inversa di una matrice quadrata, matrici ortogonali. SISTEMI LINEARI Nozioni fondamentali, teorema di Cramer, teorema di Rouch - Capelli, procedimento di risoluzione di un sistema lineare, sistemi lineari omogenei. SPAZI VETTORIALI Operazioni tra vettori, sottospazi, dimensione, generatori e basi, somma ed intersezione di sottospazi, cambio di base. FUNZIONI LINEARI Generalit, nucleo ed immagine, funzioni lineari e matrici, funzioni lineari iniettive e suriettive. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Definizione, interpretazione geometrica, polinomio caratteristico, similitudine di matrici, diagonalizzazione, diagonalizzazione ortogonale di matrici reali e simmetriche. SPAZI EUCLIDEI Forme quadratiche, segno, riducibilit, riduzione a forma canonica. Prodotto scalare euclideo in Rn , modulo di vettori, angolo di vettori. Basi ortonormali. CONICHE Nozioni fondamentali sulle curve algebriche. Propriet elementari delle coniche, equazioni canoniche, riduzione a forma canonica, riconoscimento, centro, assi, asintoti di una iperbole. Fasci di coniche. QUADRICHE Sfere, coni, cilindri. Quadriche, quadriche di rotazione, equazioni delle quadriche in forma canonica.
Bibliografia E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli L. Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Editore: Zanichelli.
GeometriaedAlgebralineareAlessandraCherubini
Ricevimento: Marted11.3013.30Gioved.10.3012.30(suappuntamento)
Esercitatore: [email protected]
Testievalutazione
Perlateoria: E.Schlesinger:Algebralineareegeometria;Zanichelli DispensesuBeep (perlapartediconicheequadriche)Pergliesercizi: L.Mauri,E.Schlesinger:Esercizidialgebralineareegeometria;
Zanichelli Eserciziarioallindirizzo:
http://www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/riunisci.pdf
Proveinitinere(oesamescritto)+orale
IntroduzioneGeometria=misuradellaterra Primoapproccio:assiomatico(Euclide),concettiprimitivi+assiomi
diincidenza Perduepuntidistintipassaunaedunasolaretta Pertrepuntinonallineatipassaunoedunsolopiano Seunarettaedunpianosiincontranoinpidiunpuntoalloralarettaappartiene
alpiano Seduepianidistintihannounpuntocomunealloralalorointersezioneunaretta
delleparallele DatiunarettareunpuntoPesisteunaedunasolarettapassanteperPeparallela
adr
Reciprocaposizionediduerette: Incidenti:conunpuntoincomune appartengonoadunostessopiano Parallele:appartenentiadunostessopiano,senzapunticomunistessadirezione Sghembe:nonappartenentiadunostessopiano
Introduzione
Secondoapproccio:geometriaanalitica(Cartesio)ogniproblemageometricovienetradottoinunproblemaalgebrico Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedeinumerirealieipuntidiuna
rettasucuisianofissatiunorigine,unversodipercorrenzaeununitdimisura
Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedellecoppieordinatedinumerireali(coordinate)eipuntidiunpianosucuisianofissatiduerettenonparallele,unversodipercorrenzaperciascunadelleretteeununitdimisura
Vicorrispondenzabiunivocatralinsiemedelleterneordinatedinumerireali(coordinate)eipuntidellospaziosucuisianofissatitrerettepassantiperunostessopuntoenongiacentisuunostessopiano,unversodipercorrenzaperciascunadelleretteeununitdimisura
Curveesuperficinellospazio sonovistecomeilluogodeipuntidellospaziolecuicoordinatesoddisfanorispettivamenteadueequazionieadunaequazionenellevariabilix,y,z (qualchevariabilepotrebbeancheessereomessa).
Curvenelpiano sonoilluogodeipuntidelpianolecuicoordinatesoddisfanoadunaequazionenellevariabilix,y.
Vettoricomelinguaggioperlageometria
Terzoapproccio(quellocheutilizzeremo):linguaggiodeivettoriSapetedallafisicacosaunvettore(applicato),essodeterminatoda:
Puntodiapplicazione Direzione Verso Modulo
Noiutilizzeremovettoriliberideterminatisoloda: Direzione Verso Modulo
Inaltreparoleunvettore(libero)unvettoreapplicatodicuisidimenticailpuntodiapplicazione(ovverounvettoreliberolinsiemedituttiivettoriapplicaticonugualedirezioneversoemodulo,visticomeununicooggetto),unvettoreliberovieneindicatoconv edilsuomodulocon
Sommadivettori
Vinotocomefarelasommadiduevettoriapplicatiinunostessopunto(regoladelparallelogrammo)
Datiduevettoriliberiv,w,lalorosommav+w ilvettorez chehastessadirezioneeglistessimoduloeversodelvettoreapplicatochesiottienesommandoduevettoriapplicatiinunpuntoOeaventirispettivamentestessadirezione,stessimoduloeversodeivettoriv,w.(LadefinizionebenpostaperchnondipendedallasceltadiO).
Lasommagodedelleseguentipropriet Commutativa:perogniv,w sihav+w= w+v Associativa:perogniv,w,u siha(v+w)+u=v+(w+u) Esistelelementoneutro:esisteunvettore0 (vettoredimodulonullo)taleche
perogniv sihav+0=v Esisteloppostodiognivettore:perogniv esisteunvettorecheindichiamo
conv (vettoreconlastessadirezioneelostessomodulodiv,maversoopposto)talechev+(v)=0
Sommadivettori
Leproprietcheabbiamoappenaelencatopossonoessereriassuntedicendochelinsiemedeivettoriliberiformaungruppoabelianorispettoallasomma cheabbiamodefinito.Dalleproprietprecedentisipossonoricavareancheleseguentipropriet: Unicitdellelementoneutro Unicitdelvettoreoppostoadunvettoredato Leggedicancellazionerispettoallasomma:v+w=v+u implicaw=u Esisteedunicalasoluzionediogniequazionex+v=w,tale
soluzionex=(v)+w.
Prodottodiunoscalareperunvettore
Siamotunnumeroreale(scalare)ev unvettore,sichiamaprodottodelloscalaretcolvettorev,ilvettorez=tv che lastessadirezionediv, modulo|t| , versougualeav set>0,oppostoav set
Spaziovettoriale
Def. UnospaziovettorialeVsuuncampoK(chepernoisarsempreolinsiemeQdeinumerirazionaliolinsiemeRdeinumerirealiolinsiemeCdeinumericomplessirispettoalleloroabitualioperazionidisommaeprodotto)uninsiemeV,dettoinsiemedeivettori,sucuidefinitaunoperazionebinariainternadettasomma,+,(ovverounaleggecheodognicoppiaordinatadivettoriassociaunoedunsolovettore),taleche(V,+)siaungruppoabelianoedunoperazioneesternadettaprodottodiunoscalareperunvettore(ovverounaleggecheodognicoppiaordinatadiunoscalareediunvettoreassociaunoedunsolovettore) chegodadellepropriet: Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w sihat(v+w)=tv+tw Perognicoppiadiscalarit,s eperognivettorev siha(t+s)v=tv+sv Perognicoppiadiscalarit,s eperognivettorev siha(ts)v=t(sv) Perognivettorev siha1v=v
Ivettoriliberisulcamporealerispettoallasommaedalprodottoscalarevettoreprimadefinitiformanounospaziovettoriale
Combinazionelineare,vettoriindipendenti,generatori
SiaVunospaziovettorialesuuncampoK,sianov1, v2,, vn V,ognivettorew =t1v1+t2v2++tnvn cont1,t2,,tnK sidicecombinazionelineare div1,v2,,vn egliscalarit1,t2,,tn sidiconocoefficientidellacombinazione
Uninsiemedivettoriv1,v2,,vnV sidicesistemadigeneratoriperVseognivettorediVsiscrivecomecombinazionelinearediv1,v2,,vn
Uninsiemedivettoriv1,v2,,vnV uninsiemedivettorilinearmentedipendentise0 sipuscriverecomecombinazionelinearediv1,v2,,vn acoefficientinontuttinulli,altrimentiuninsiemedivettorilinearmenteindipendenti.
Uninsiemedivettori chesianocontemporaneamenteuninsiemedivettorilinearmenteindipendentiedunsistemadigeneratoridiVsidicebase diV
Osservazioni Ogniinsiemedivettori{0,..}sempreuninsiemedivettorilinearmente
dipendenti Seconsideriamolinsiemedeivettoriliberinelpiano(piprecisamentedei
vettoriparallelialpiano),duevettorisonolinearmentedipendentiseesolosehannolastessadirezione(ilvettore0 siconsideraparalleloadognivettore)
Ognicoppiadivettorinonparallelifralorounabaseperlinsiemedeivettoriliberinelpiano,alloraognialtrovettorev nelpianosiscrive(inunoeunsolmodo)comecombinazionelinearedeivettoridellabase,icoefficientidellacombinazionesonodetticomponentidelvettore vrispettoallabaseconsiderata
Fissareunsistemadiriferimentoinunpianodato,significafissareunorigine(puntoOdelpiano)eunabase(coppiadivettorib1,b2nonparalleli),leretteperOconlestessedirezionirispettivamentedib1,b2sidiconoassidelsistemadiriferimentoelecomponentidelvettorecorrispondentealvettoreapplicato sonodettecoordinate delpuntoP
Osservazioni Seconsideriamolinsiemedeivettoriliberinellospazio,trevettori
u,v,w sonolinearmentedipendentiseesoloseunodiessicombinazionelinearedeirestanti(oequivalentementesetuttietreivettorisonoparalleliadunostessopiano)
Ogniternadivettorilinearmenteindipendenti(nonparalleliadunostessopiano)unabaseperlinsiemedeivettoriliberinellospazio,alloraognialtrovettorev nellospaziosiscrive(inunoeunsolmodo)comecombinazionelinearedeivettoridellabase,icoefficientidellacombinazionesonodetticomponentidelvettore vrispettoallabaseconsiderata
Fissareunsistemadiriferimentonellospazio,significafissareunorigine(puntoO)eunabase(ternadivettorib1,b2,b3nonparalleliadunostessopiano),leretteperOconlestessedirezionirispettivamentedib1,b2,b3sidiconoassidelsistemadiriferimentoelecomponentidelvettorecorrispondentealvettoreapplicatosonodettecoordinate delpuntoP
Proprietdellecomponentidiunvettore SiaVunospaziovettorialesulcampoKunafunzionef:VKsidice
funzionelinearese Perogniv,wV sihaf(v+w)=f(v)+f(w) PerognitK eperognivV sihaf(tv)=tf(v)
Perognivettoreliberov delpianoincuisifissataunabase,indichiamocon(v1,v2)la coppiadicomponentidiv rispettoallabasefissata(ricordatechev1,v2sonoelementidiK)leapplicazioni
f1:VKdefinitadaf1(v)=v1 f2:VKdefinitadaf2(v)=v2
sonofunzionilineariPerognivettoreliberov delpianoincuisifissataunabase,indichiamocon(v1,v2,v3)laternadicomponentidiv rispettoallabasefissata(v1,v2,v3 sonoelementidiK)leapplicazioni
f1:VKdefinitadaf1(v)=v1 f2:VKdefinitadaf2(v)=v2 f3:VKdefinitadaf3(v)=v3
sonofunzionilineari
Conseguenze
IvettoriliberinelpianopossonoessereidentificaticonlinsiemeR2
dellecoppieordinatedinumerireali,R= conlasommaedilprodottoscalarevettoredefinitida + = ,t =
SeAeBsonoduepuntidelpianodicoordinaterispettivamente(x1,y1)e(x2,y2)ilvettoreliberoconlastessadirezioneeversodipuessereidentificatocolvettore
diR2
Conseguenze Ivettoriliberinellospaziopossonoessereidentificaticonlinsieme
R3 delleterneordinatedinumerireali,R= conlasommaedilprodottoscalarevettoredefinitida +
= ,t
=
SeAeBsonoduepuntidelpianodicoordinaterispettivamente(x1,y1,z1)e(x2,y2,z2)ilvettoreliberoconlastessadirezioneeversodi puessereidentificatocolvettore diR3
Coordinatecartesiane(ortogonaliemonometriche) Unvettoredimodulo1sichiamaversore Langolodiduevettoriv ew langoloconvessoformatodadue
vettoriparalleliedequiversiav ew applicatiinunostessopuntoO(questadefinizionenondipendedaO)
Duevettoriv ew sonoortogonali(v w)seformanounangoloretto
Unsistemadiriferimentonelpianounsistemadicoordinatecartesiane ortogonalimonometricheseb1 eb2 sonoversoriortogonali(eb1 sisovrapponeab2 descrivendoinsensoantiorariolangoloretto)
Unsistemadiriferimentonellospaziounsistemadicoordinatecartesianeortogonalimonometricheseb1,b2 ,b3 sonoversoriadueadueortogonaliesequandob1 eb2 hannorispettivamenteilversodelpolliceedellindicedellamanodestra,b3haladirezionedelmedio(ternadestrorsa)
DistanzadiduepuntiincoordinatecartesianeSianov,w duevettoriortogonali,alloradalteoremadiPitagorasiha||v+w||2=||v||2+||w||2.
Siav= rispettoadunabasediversoriadueadueortogonali
(baseortonormale)allora = Nellospazioriferitoadunsistemadicoordinatecartesianesiano
A=(x1,y1,z1)eB=(x2,y2,z2),alloradist(A,B)= =
Sianov,w duevettori;laproiezioneortogonalediv nelladirezionediwunvettorevtaleche
vparalleloaw vvortogonaleaw
Angolodiduevettoriincoordinatecartesiane Sev ew sonovettorinonnullicheformanounangolo alloraper
definizionedicosenov= (dovevlaproiezioneortogonalediv nelladirezionediw)
Sev ew sonovettorinonnullicheformanounangolo,ilprodottoscalarediv ew ilnumerorealedefinitodavw= ,seunodeiduevettorinulloilprodottoscalare0.
Ilprodottoscalarehaleseguentipropriet: Perogniternadivettoriv,w,u,(v+w)u=vu+wu Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w, tvw=t(vw) Perogniv,vv 0evv=0seesolosev=0
Serispettoadunabaseortonormalev= ,w=
allora(dalleproprietdelprodottoscalare)siottienevw=x1x2+y1y2+z1z2,dacui !"" !## !" !# !" !#
Prodottoscalarediduevettori
SiaVunospaziovettoriale sulcampoKsidiceprodottoscalareunafunzionef:VVKcheadognicoppiadivettoriv,wV associaunoscalarevw taleche
Perogniv,w, vw=wv Perogniternadivettoriv,w,u,(v+w)u=vu+wu Perogniscalareteperognicoppiadivettoriv,w, tvw=t(vw) Perogniv,vv 0evv=0seesolosev=0.
Ilprodottoscalarecheabbiamodefinitoprecedentementequindiunparticolareprodottoscalare
Dalladefinizionediprodottoscalaresipossonoricavare: Modulodiunvettore Angolofraduevettori Proiezioneortogonalediunvettorenelladirezionediunaltro
Prodottovettoriale
Ilprodottovettorialediduevettoriv,w definitocomeilvettorevw cheha modulo $% ,dove langoloformatodav,w direzioneperpendicolarealpianoindividuatodaivettoriv,w versotalechelaternav,w,vw siadestrorsa
Ilprodottovettorialehaleseguentipropriet: Perogniv,w vw= wv Perogniternadivettoriv,w,u,eperognicoppiadiscalarit,r
(tv+rw)u=t(vu)+r(w u)(eu(tv+rw)=t(uv)+r(uw)) Perogniv,w vw=0 seesolosev ew sonoparalleli
Serispettoadunabaseortonormalev= ,w=
alloravw (perleproprietdelprodottovettoriale)
Prodottomisto
Ilprodottomistoditrevettoriu,v,w loscalareu(vw) Ilvaloreassolutodelprodottomistou(vw)ilvolumedel
parallelepipedodispigoliu,v,w;taleprodottopositivoselaternadestrorsa,negativoselaternasinistrorsa
Itrevettoriu,v,w sonolinearmentedipendentiseesoloseu(vw)=0
Seu(vw)=0,mavw0,u combinazionelinearediv,w
Serispettoadunabaseortonormaleu= ,v=
,w=&&& allora
u(vw)= '( & & & (daconsideraredopochesarintrodottalanozionedideterminante)
Equazioniparametrichediunarettanellospazio
SupponiamodiriferirelospazioadunsistemadicoordinatecartesianeconorigineO.
Scrivereleequazionidiunarettarparallelaadunvettorev=)* epassanteperA=(x0,y0,z0).
1. UnpuntoP=(x,y,z)appartieneadrseesolose paralleloav+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)dellarettasono
- , ) , * , dovetunparametroreale Laterna(a,b,c)sidiceternadiparametridirettoridellarettar.
Rappresentandov unadirezione,lesuecomponentia,b,c nonpossonoesserecontemporaneamentenulli.Se =1lecomponentidiv sichiamanocosenidirettoridir
Rettaperduepunti
Scrivereleequazionidiunarettarpassanteperipunti(distinti)A=(x0,y0,z0)eB=(x1,y1,z1)1. LarettalarettaperAcondirezione+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)dellarettasonoallora
. , , , , , , dovetunparametroreale Osservatecheleequazionidellarettasipossonoscriverenellaforma/0/0 = "/"0"/"0= #/#0#/#0 sex0x1,y0y1,z0z1
1 /0/0 = "/"0"/"0 , sex0x1,y0y1,z0=z1 e2 , , sey0=y1,z0=z1
Condizionidiparallelismoeperpendicolaritfrarette
Daquantoabbiamovistoprecedentementeabbiamoche Duerettesonoparallele seesoloseleloroternediparametri
direttorisonoproporzionali Dueretteredssonoperpendicolari seesolosedette(a,b,c)una
ternadiparametridirettoridired(a,b,c)unaternadiparametridirettoridissihaaa+bb+cc=0.(Ricordatechedueretteperpendicolarinonsononecessariamenteincidenti)
Notatecheiparametridirettoridiunarettascrittainequazioniparametrichesonolaternadicoefficientidelparametroedingeneralesonodatidalladifferenzadicoordinateomonimediduepuntidistintisullaretta.
Equazioniparametrichediunpianonellospazio
SupponiamodiriferirelospazioadunsistemadicoordinatecartesianeconorigineO. Scrivereleequazionidiunpiano passanteperA=(x0,y0,z0)e
paralleloaivettoriv=)* ,w=
)*1. UnpuntoP=(x,y,z)appartienealpiano seesolose combinazione
linearediv ew
+ = , , ,3. Leequazioni(parametriche)delpianosono
- , ) )3 , * *3 , 3 dovetedusonoparametrireali
Equazionecartesianadelpiano
Eliminandoiparametritedudalleequazioniparametrichedelpianositrovaunequazionedellaformaax+by+cz+d=0(equazione
cartesianadelpiano) o( )* =vw,quindi)* unvettore
ortogonalealpiano.QuestosipotevatrovaredirettamenteosservandocheunpuntoPappartienealpianoperA,B,Cseesolose ortogonaleavw+
Viceversaogniequazioneax+by+cz+d=0rappresentaunpiano
ortogonalealvettore)*
Datalequazionecartesianadiunpianolaternadeicoefficientidelleincognitedettaternadeiparametridirettoridelpianoerappresentaladirezionedellarettanormalealpiano
Pianoper3punti
Scrivereleequazionidiunpianopassantepertrepunti(nonallineati)A=(x0,y0,z0),B=(x1,y1,z1),C=(x2,y2,z2)
IlpianoilpianoperAp)4)55(5)$(4$ e6Leequazioni(parametriche)dellapianosonoallora
. , , , 3 , , , 3 , , , 3 dovet,usonoparametrireali Condizionediallineamentoditrepunti:A=(x0,y0,z0),B=(x1,y1,z1),
C=(x2,y2,z2)sonoallineatiseesoloseivettori e6 sonoparalleli,quindiseesoloseesisteunnumerorealek0taleche
x1x0=k(x2x0),y1y0=k(y2y0),z1z0=k(z2z0)
Condizionidiparallelismoeperpendicolaritfrapianiefrarettaepiano
Duepianisonoparalleli seesoloseleloroternediparametridirettorisonoproporzionali
Duepianisonoperpendicolari seesolose lasommadeiprodottideiloroparametridirettori0
Unarettaeunpianosonoparalleliseesoloselasommadeiprodottideiloroparametridirettori0
Unarettaeunpianosonoperpendicolariseesoloseleloroternediparametridirettorisonoproporzionali
(Ricordarsicheiparametridirettoridiunpianosonoiparametridirettoridiunarettanormalealpiano)
Equazionicartesianediunarettanellospazio
Eliminandoilparametrodalleequazioniparametrichediunaretta sitrovaunsistemadidueequazionilinearinellevariabilix,y,z,quindilarettavienerappresentatacomeintersezionediduepiani.Viceversaseabbiamounsistemaformatodalleequazionididuepianinonparalleli,questosistemarappresentaunaretta.
Unsistema2) * ' 7) * ' 7 rappresentaunarettaseesoloseiduevettori
)* ,)* nonsonoparalleli.
Dataunarettainequazionicartesiane,isuoiparametridirettorisipossonotrovareriscrivendoneleequazioniparametriche,oppuretenendocontocheilvettoredirezionedellarettaortogonalealledirezionidellenormaliaipianichelaindividuanoepertantosono(b1c2b2c1,c1a2c2a1,a1b2a2b1).
Fascidipiani Dataunarettarnellospaziosichiamafascio (proprio)dipianicon
sostegnor linsiemedituttiesoliipianichecontengonolarettar.
Serhaequazioni2) * ' 7) * ' 7 tuttiesoliipianidelfasciodisostegnorhannoequazione
() * ')+() * ')=0 Linsiemedituttiesoliipianiparalleliadunpianodato sichiamafascio
(improprio) dipiani individuatoda.S$)%) * '=0e) * '=0leequazionidi
ediunpianoparalleloedistintoda ,tuttiesoliipianidelfascioimproprioindividuatoda hannoequazione() * ')+() * ')=0
Datalequazione() * ')+() * ')=0diunfasciodipianipotremmopensarediscriverlanellaforma) * ' ) * ')=0,utilizzandoilsoloparametrot=89,maquestoimplica0equindisiperdeilpianodiequazione) * '=0
Puntomediodiunsegmento SianoA=(x1,y1,z1)eB=(x2,y2,z2)duepuntidellospazio.Vogliamo
trovarelecoordinatedelpuntomedioMdelsegmentodiestremiAeB. Ilvettore: paralleloalvettore : = Q3$%'$:
/" /"# /#
: : LecoordinatediMsono(! ,"!" ,#!# )
Distanzadiunpuntodaunpiano
SianoA=(x0,y0,z0)e:ax+by+cz+d=0.Vogliamocalcolareladistanzad(A,)diAda. SiaP =(x1,y1,z1)unpuntodelpiano,cioax1+by1+cz1+d=0. d(A,)ilminimodidist(A,P)alvariarediPsu.Quindid(A,)=dist(A,B)dove
BilpiededellaperpendicolarecondottadaAsu.Nesegueched(A,)ilmodulodelvettoreproiezionedelvettore nelladirezionedelvettorennormalealpiano
Detto langolofra edn ilvettoreproiezionedelvettore nelladirezionedelvettoren ;; = ;; ;; ilcuimodulo ;;
n=)* ,
, , , ,d(A,)= ;; d(A,)= ?0!@"0!A#0!B? !@ !A
Distanzadiunpuntodaunaretta
SianoA=(x0,y0,z0)edrunarettaperP=(x1,y1,z1)conparametridirettori(a,b,c).Vogliamocalcolareladistanzad(A,r)diAdar. d(A,r)ilminimodidist(A,Q)alvariarediQvariasur.Quindid(A,r)=dist(A,B)
doveBilpuntodiintersezionefralarettaredilpianoperAperpendicolareadr.
Siar=)* ilvettoredirezionedir.
Detto langoloC sihaquindid(A,r)= = $%
Posizionereciprocadiduerettenellospazio
Dateleequazioni(parametricheocartesiane)didueretter,s nellospazioperdeciderelalororeciprocaposizione:1. calcoliamoiparametridirettoridiredsesesonodueterneproporzionali
concludiamochelerettesonoparallele2. sequestononaccadescriviamoilsistemaformatodalleequazionidireda
quellediseverifichiamosetalesistemaammettesoluzione.Sehasoluzionelerettesonoincidentisenosonosghembe.Ccomunquedaosservarecheseleequazionidientrambeleretteredssonodateinformaparametricabisognacheilparametrodirednonsiaugualeaquellodisequindiprimadifareilsistemafraleequazionibisognaincasocambiarenomeadunodeiparametri. Perchiarirelasituazione,quandoscriviamounarettainformaparametricanelparametrot
comeserappresentassimolecoordinatediunpuntochesimuovesuunatraiettoriarettilineaalvariaredeltempot.Sefacciamoilsistemadelleequazioneparametrichediduerettereds,entrambescritteinfunzionediunostessoparametrot,ilsistemaammettesoluzioneseesoloesisteunistanteincuiiduepuntisononellastessaposizione.Leduerettesonoincidentiinveceseesoloseesistonodueistantit1 et2 talichenellistantet2 ilpuntodellasecondarettasitrovanellastessaposizioneincuisitrovailpuntosullaprimarettanellistantet1.
Sistemilineari Unaequazionelineare acoefficientiinKnellenvariabilix1,x2,,xn
unequazionedeltipo a1x1+a2x2++anxn=b,ovea1,a2,an,b K. Unasoluzione (nonnsoluzioni!!)dellequazioneunanupla
(1,2,,n)dielementidiK(ciounvettoreinKn)talechea11+a22++ann=b.
Unsistemalinearedim equazioniinn incognite acoefficientiinKunsistemadeltipouninsiemedimequazionilinearinellenincognitex1,x2,,xn) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *L
Sidicesoluzionedelsistemalineare unanupla dielementidiKchesiasoluzioneditutteleequazionidelsistema,ammessochetalenupla esista.
Sistemilineari
Unsistemalinearechenonammettesoluzionisidiceimpossibile,unsistemapossibile hasempresoluzionieddettodeterminato seammetteunaedunasolasoluzione(cheunanupla dielementidiK!)altrimentidettoindeterminato.
Unsistemalinearesidiceomogeneo seitermininotiditutteleequazionidelsistemasonougualia0. Unsistemalineareomogeneosemprepossibileinquantoha
semprelasoluzionex1=x2==xn=0,dettasoluzionebanale. Perisistemilineariomogeneisiamointeressatiatrovare,seesistono,
soluzioninonbanalidetteautosoluzioni delsistema.
Sistemilineari
Ilsistema
) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *Lpusempreesserescrittonellaforma
))K)L + ))K)L +...+ ;
););K)L; =**K*L
pertantopossibileseesoloseilvettore
**K*L combinazionelinearedeivettori ))K)L ,))K)L ,...,
););K)L; .Inparticolareunsistemaomogeneohaautosoluzioniseesolosequestiultimivettorisonolinearmentedipendenti
Sistemiequivalenti
DuesistemilineariS1 edS2 sulcampoKsidiconoequivalenti setutteesolelesoluzionidiS1 sonoanchesoluzionidiS2 (ovviamentequestoimplicachetutteesolelesoluzionidiS2 sianoanchesoluzionidiS1).
DatounsistemaSilsistemaSottenutodaSfacendounasequenzaqualsiasidelleseguentioperazioni: scambiarefralorodueequazioni; moltiplicareentrambiimembridiunaequazioneperunparametro
kK ediversoda0; sommaremembroamembroadunaequazioneunadellerestanti
equazioniequivalenteadS.
Unpodialgebradellematrici
UnatabellaAdimn elementidiuncampoKdispostisumrigheedncolonnesidicematrice ditipo (m,n)
LelementodiKcheappartieneallaiesimarigaeallajesimacolonnadiAsiindicaconaij,elamatricesiscrivenellaforma
A=
a11a21
a12a22
a1n a2nK
am1K
am2M K
amn
aij Sidiconovettoreriga evettorecolonna rispettivamentele
matriciditipo(1,n)ed(m,1). Unamatriceditipo(m,n)puesserevistacome
laccostamentoorizzontaledinvettoricolonna,detticolonnedellamatrice,ocomelaccostamentoverticaledimvettoririga,dettirighedellamatrice.
Unamatriceditipo(n,n)sidicematricequadrata diordinen.
Terminologia SiaAunamatriceditipo(m,n)sichiamatrasposta diAesiindica
conAT (otA;etc)lamatriceditipo(n,m)chesiottienedaAscambiandolerigheconlecolonne(inaltreparolelelementodiposto(i,j)diAT aji).
Sichiamanoelementidiagonali diunamatricequadrataA glielementiaii ,linsiemediquestielementisichiamadiagonaleprincipale diA.
UnamatricequadrataAsichiamadiagonale seaij =0perogniij,siscrivealloraA=diag (a11,a22,,ann)
UnamatricequadrataAsichiamatriangolarealta(bassa)seaij =0perognii>j(i
Sommadimatricieprodottoscalarematrice
DuematriciA aij eB bij sonouguali sesonodellostessotipoeperogniposto(i,j)aij=bij.
SianoA aij eB bij duematricidellostessotipo(m,n),C=A+Blamatrice cij ditipo(m,n)dovecij=aij+bij. Rispettoallasomma,sopradefinita,linsiemedellematricidellostessotipo
(m,n)suuncampoKformanoungruppoabeliano Lelementoneutrolamatrice0(m,n) LoppostodellamatriceA aij lamatriceA aij
SianokK edA aij ,allorakA Naij . Rispettoallasommaealprodottoscalarematrice,sopradefiniti,linsieme
dellematricidellostessotipo(m,n)suuncampoKformanounospaziovettorialesuK
Prodotto(righepercolonne)dimatrici
Sichiamamatriceprodotto (righepercolonne)diunamatriceAaij ditipo(m,n)e diunamatriceB bhk ditipo(n,p)unamatriceC crs ditipo(m,p)definitanelmodoseguente
crs=O arini=1 bis=ar1b1s+ar2b2s++ar nbns Lelementocrs diCilprodotto(righepercolonne)delleresima
rigadiA(vistacomeunamatriceditipo(1,n))conlasesimacolonnadiB(vistacomeunamatriceditipo(n,1))
IlprodottodimatriciNONcommutativo. IprodottiABeBAsonodefinitiedellostessotiposeesoloseAeBsono
matriciquadratedellostessoordine,maancheintalecasoingeneraleABBA SeAB=BA,lematriciAeBsidiconopermutabili.
Ilprodottodimatricigodedellaproprietassociativa. SiaAunamatricequadrataednuninteropositivo,poniamoA1=Aed
An=AAA(nvolte)esihaAnAm=An+m e(An)m=Anm .
Proprietdelprodottodimatrici
PerognikK,k(AB)=A(kB)=(kA)B Valgonoleproprietdistributive(asinistraeadestra)delprodotto
rispettoallasomma: A(B+C)=AB+AC(conAditipo(m,n),B,Cditipo(n,p)) (D+E)F=DF+EF(conD,Editipo(m,n),Fditipo(n,p))
SeAunamatriceditipo(m,n),0(p,m)A= 0(p,n) e A0(n,q)=0(m,q). Esistonomatricinonnulleilcuiprodottolamatricenulla
Esempio: P 77 7 7 77 P = 7 77 7 AB=AC(DA=EA)NONimplicaB=C(D=E) PerognimatriceAditipo(m,n)sihaImA=A=AIn
PerdefinizioneseAquadratadiordinensiponeA0=In (AB)T=BTAT
MetododiGauss
SichiamanomossediGauss ooperazionielementarisullerighediunamatriceleseguentioperazioni Scambiareduerighe Sommareadunarigaunaaltrarigamoltiplicataperk
Esisteunalgoritmo(metododieliminazionediGauss)checonunnumerofinitodioperazionielementaritrasformaognimatriceAinunamatriceascala Siscambianolerigheinmodochelaprimarigasiaquellacolpivotpia
sinistra Seilpivotdellaprimarigaincolonnajsisommaallarigaiperognii>1la
primarigamoltiplicataperaij/a1j,intalmodotuttelerigheeccettolaprimahannotutti0nellacolonnaj(etuttelerighehanno0nellecolonnehconh
Matriciassociateadunsistemalineare
Ilsistemalineare ) ) J );; *) ) J );; *K)L )L J )L;; *L sipuscriverenellaformaAx=b con:Q ) J );K M K)L J )L; RSTUVWXYXVWZX[[VWVX\TV'(5$(]), x=
K; vettoredelleincognite b=
*K*L vettoredeitermininoti. LamatriceC=[A|b]formatadallaccostamentodellacolonnadeitermini
notiallamatricedeicoefficientisichiamamatricecompletadelsistema
MetododieliminazionediGaussperisistemilineari SiaClamatricecompletadiunsistemalineareS.OgnimossadiGauss
applicataaCtrasformaCnellamatricecompletadiunsistemaequivalenteadS
SeconapplicazionisuccessivedimossediGaussportiamoCnellamatriceCinformaascala,ilsistemaSchehaCcomematricecompletahalaforma
(1)
)^_ `` )^_ ` !` ! JJJ )^_ ;; *^_)^_ ` ` ! JJJJ )^_ ;; *^_K)^_ E `E`E J )^_ E ;; *^_E7 *^_ E !dover min (m,n),1j(1)
Sistemiomogenei Laformamatricialediunsistemalineareomogeneodimequazioniinn
incogniteAx=0(m,1),doveAlamatricedeicoefficientiditipo(m,n),x ilvettoreditipo(n,1)delleincognite.
LamatricecompletaC=[A|0]haglistessipivotdiA,quindiilsistemasemprepossibileelinsiemedellesuesoluzionivienespessochiamatoker A
SiarilnumerodipivotdiA(ediC) Ser=nalloraker A={0(n,1)} Ser
TeoremadiRouchCapelli SiaSunsistemalineare(dimequazioni)innincognitesulcampoK,che
scriviamoinformamatricialecomeAx=b.Spossibileseesoloseilrangork(A)dellasuamatricedeicoefficientiugualealrangork([A|b])dellamatricecompleta.Ser=nilsistemaanchedeterminato,ser
Interpretazionegeometricadisistemicon2incognite
SiaSunsistemalinearedinequazioniin2incognite diformaAx=b NelpianoogniequazionediSpuesserepensatacomelequazione
diunaretta Serk(A)=rk([A|b])=2,ilsistemadeterminatoedhaalmenodue
equazioni:duerettesiincontranoinunpuntoP(lecuicoordinatesonolasoluzionedelsistemaS)eleeventualialtreretteappartengonoalfascioconsostegnoP
Serk(A)=rk([A|b])=1,ilsistemapossibilemaindeterminato:lerettecoincidonoconunstessarettarele1 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedir
Serk([A|b])=3erk(A)=2,ilsistemaimpossibileedhaalmenotreequazioni:duedellerettenonsonoparalleleesiincontranoinunpuntoPedunadellealtrerettenonappartienealfasciodisostegnoP
Serk([A|b])=2erk(A)=1,ilsistemaimpossibileedhaalmenodueequazioni:lerettesonorettefraloroparallelenontuttecoincidenti
Interpretazionegeometricadisistemicon2incogniteSiaSunsistemalinearedinequazioniin2incognitediformaAx=b NellospazioogniequazionediSpuesserepensatacome
lequazionediunpianoparalleloallassez Serk(A)=rk([A|b])=2,ilsistemadeterminatoedhaalmenodue
equazioni:ipianiappartengonoadunostessofascioconsostegnolarettadiequazionix=x0,y=y0 ove[x0,y0]T lasoluzionediS
Serk(A)=rk([A|b])=1,ilsistemapossibilemaindeterminato:ipianicoincidonoconunpianoparalleloallassezequindile1 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedellarettaintersezionedelpianocolpianoz=0
Serk([A|b])=3erk(A)=2,ilsistemaimpossibileedhaalmenotreequazioni:duepianinonsonoparalleliesiintersecanolungounarettaredunaltroalmenononappartienealfasciodisostegnor
Serk([A|b])=2erk(A)=1,ilsistemaimpossibileedhaalmenodueequazioni:ipianisonopianifraloroparallelienontutticoincidenti
Interpretazionegeometricadisistemicon3incogniteSiaSunsistemalinearedinequazioniin3incognitediformaAx=b OgniequazionediSpuesserepensatacomelequazionediunpianonello
spazio serk(A)=rk([A|b])=3,Sunsistemapossibileedeterminatoconalmeno3equazioni:i
pianirappresentatidalleequazionihannounoeunsolopuntocomune(cioappartengonoadunastessastelladipianiealmenotrediessinonsonoadueaduecoincidenti),
Serk(A)= rk([A|b])=2,Sunsistemaconalmeno2equazioni,possibilemaindeterminatolecuisoluzionidipendonodaunparametrot:ipianiappartengonoadunostessofasciolacuirettasostegnohaequazioniparametrichedatedalle1 soluzionidelsistemaS
Serk(A)=rk([A|b])=1,Sunsistemapossibilemaindeterminatolecuisoluzionidipendonoda2parametri:ipianisonopianicoincidenti,le2 soluzionidelsistemasonoleequazioniparametrichedelpiano(concuituttiipianicoincidono)
Serk([A|b])=4erk(A)=3,Sunsistemaimpossibileconalmeno4equazioni:treequazionisonoequazionidipianiappartenentiadunastessastellaecalmenounpianochenonappartieneallastella
Serk([A|b])=3erk(A)=2,Sunsistemaimpossibileconalmeno3equazioni: dueequazionisonoequazionidipianinonparallelichequindiindividuanounarettaeglialtripianisonoparalleliataleretta
Serk([A|b])=2erk(A)=1,Sunsistemaimpossibileconalmeno2equazioni: leequazionirappresentanopianifraloroparallelidicuiduealmenodistinti.
MatriciinvertibiliSiaAunamatricequadratadiordinen. UnamatriceBsidiceinversadestradiA(edAsidiceinvertibilea
destra)seAB=In. UnamatriceCsidiceinversasinistra diA(edAsidiceinvertibilea
sinistra)seCA=In. Asidiceinvertibile seinvertibileadestraeasinistra SeAinvertibilelasuainversadestraesinistracoincidono
SianoB,CleinversedestreesinistrediA,BeCsonomatriciquadratediordinen.SihaAB=In eCA=In.MoltiplicandoasinistraperClaprimauguaglianzasihaC(AB)=Ceperlaproprietassociativa(CA)B=C,maCA=In equindiB=C
SeAinvertibilelasuainversaunicaenelseguitosarindicataconA1.
SeAinvertibilealloraAD=AEimplicaD=Ee FA=GAimplicaF=G Cisonomatricinonnullechenonhannoinversa
C.n.s.perlesistenzadellamatriceinversa
Teorema:SiaAunamatricequadratadiordinen.Sonoequivalenti:a)Aammetteinversab)Aammetteinversadestrac)Aammetteinversasinistrad)rk(A)=ne)ilsistemalineareomogeneoAx=0 nonhaautosoluzionif)ognisistemalineareAx=b haunaeunasolasoluzione
Dim.c)e).SiaClinversasinistradiAesiav unasoluzionedelsistemaAx=0.SihaalloraAv=0 equindiC(Av)=C0=0 dacuiperlaproprietassociativadelprodotto(CA)v=0 e,essendoCA=In,v=0
C.n.s.perlesistenzadellamatriceinversa(continua)
e)d)Seguedal(corollarioperisistemiomogeneidel)teoremadiRouchCapellid)f)SeguedalteoremadiRouchCapellif)b)Siaei unvettoreditipo(n,1)ilcuielementodipostoi1,mentretuttiglialtrisono0.OgnisistemaAx=ei per1inhaunaedunasolasoluzionebi.SiaB=[b1|b2|...|bn],sihaAB =[Ab1|Ab2|...|Abn]=[e1|e2|...|en]=In edunqueBlinversadestradiA.Ovviamenteaquestopuntoc)a).Restadaprovarecheb)c)SiaBlinversadestradiA.AlloraBammetteAcomeinversasinistraequindi,poichsappiamochec)b),AhainversadestraD.MaseunamatricehainversasinistraedestraquestecoincidonoedunqueA=DeBA= In
CalcolodellinversacolmetododiGaussJordan
SiadataAunamatricequadratadiordinennonsingolare.VogliamocalcolareA1.1. SappiamocheseAnonsingolare,lasuainversasiottieneaccostandoi
vettorisoluzionedeisistemilineariAx=ei con1in.2. ConsideriamolamatriceD=[A|In],poichAharangonancheDharango
nequindiselaportiamoinformaascalatroviamo
D(0)=
)^ )^7 )^ a )^;a )^;7 77 a M Ka )^;; ^ conaii 0perogni1in3. AggiungiamoallarigaidiD(0),perogniicon1in1,lultimarigadiD(0)
moltiplicataper?bcd ?bdde ,ottenendounamatriceD(1)lacuicolonnanhasololultimoelementodiversoda0
CalcolodellinversacolmetododiGaussJordan(cont)
4. AggiungiamoallarigaidiD(1),perogniicon1in2,larigan1diD(1)
moltiplicataper?cdf ?bdfdfg ,ottenendounamatriceD(2)lacuicolonnan1hasololelementosullarigan1diversoda0.Osservatechenonabbiamotoccatolacolonnanchequindihasololultimoelementodiversoda0.
5. Sicontinuailprocedimentosullacolonnan2dellamatriceD(2)ecosviafinoadottenereunamatricedellaformaD(n1)=[diag (a11,,ann)|B]
6. Moltiplichiamoperogniicon1inlarigaidiD(n1)per ?bcce eotteniamounamatriceD(n)=[In|B].BlinversadiA QuestodipendedalfattocheseAx=b unsistemalinearedinequazioniinnincognite
conrk(A)=nesecoipassiprecedentiriduciamolamatricecompletadelsistema[A|b]allaforma[In|b]abbiamotrasformatoilsistemaAx=b nelsistemaequivalenteInx=blacuiunicasoluzionebedalprecedentepunto1.Infattinoiabbiamocontemporaneamenteridottoognimatrice[A|bi]nellaforma[In|bi]perogniicon1in.
Determinantediunamatricequadrata
LafunzionedeterminanteassociaadognimatricequadrataAdiordinensulcampoKunelementodiK,dettodet A(determinantediA),cosdefinito: Sen=1ovveroA=[a]alloradet A=a,
SeA=) J );K M K); J );; conn>1allorachiamiamo
Aik lamatricequadratadiordinen1chesiottienedaA cancellandolasuaiesimarigaelasuakesimacolonna,
Mik =det Aik minorecomplementaredi aik , Cik =(1)i+k Mik complementoalgebrico diaik,
eponiamodet A=O )_6_ )6 )6;_h J );6;. det
) J );K M K); J );; vieneancheindicatocon) J );K M K); J );;
Determinantedimatricidiordine2e3
SiaA=) )) ) ,calcolaredet A.
C11=a22,C12=a21,dunquedet A=a11a22a12a21.
SiaA=) ) )&) ) )&)& )& )&& ,calcolaredet A.
C11=) )&)& )&& =a22a33a23a32,C12= ) )&)& )&& =a21a33+a23a31,
C13=) ))& )& =a21a32a22a31,dunque
det A=a11(a22a33a23a32)+a12(a21a33+a23a31)+a13(a21a32a22a31)==a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31
RegoladiSarrus:CopiareadestradiAleprimeduecolonnediA) ) )&) ) )&)& )& )&&
) )) ))& )&efarelasommadeiprodottideglielementidelladiagonaleprincipalediAedellesueparalleleuscentidaa12 ea13 (segnateconrigacontinua)menolasommadeiprodottideglielementidelladiagonalesecondariadiAedellesueparalleleuscentidaa11 ea12 (segnateconrigatratteggiata).
LaregoladiSarrus valesolopern=3,NONsigeneralizzapern>3
ProprietdeldeterminanteSiaAunamatricequadratadiordinensulcampoK. I TeoremadiLaplace.IldeterminantediAugualeallasommadei
prodottideglielementidiunasuariga(ocolonna)peririspettivicomplementialgebrici.
det A=det AT. SeAhaunariga(colonna)tuttadi0alloradet A=0. SeAunamatricetriangolare,alloradet A=i )__;_h . SeAottenutadallamatriceAscambiandoduerighe(odue
colonne)alloradet A= det A. Sesiscambialarigaiconlarigai+1,lelementodiposto(i,k)diAuguale
allelementodiposto(i+1,k)diAequindiilcomplementoalgebricodellelementodiposto(i,k)diAloppostodelcomplementoalgebricodellelementodiposto(i+1,k)diA.
Sesiscambianoduerighenoncontiguesieffettuaunnumerodisparidiscambidirighecontigue.
Proprietdeldeterminante
SeunamatriceA haduerighe(colonne)ugualialloradet A=0. Sescambiamoleduerigheuguali,lamatricenoncambiamailsuo
determinantedovrebbecambiaredisegnoe0lunicoelementougualealsuoopposto.
II TeoremadiLaplace.Lasommadeiprodottidiunariga(colonna)diApericomplementialgebricidiunaltrariga(colonna)0.Insimboli:O )j_6k_ 7;_h (O )_j6`k 7;_h )sekh. SiaAlamatriceottenutadaAcopiandonellarigahlarigakdiA.Ahadue
righeugualiequindiilsuodeterminate0eselosviluppiamorispettoaglielementidellarigahO )j_6k_;_h
SeAottenutadallamatriceAmoltiplicandotuttiglielementidiunasuariga(ocolonna)pertK alloradet A=tdet A.
det tA =tn det A.
Proprietdeldeterminante
SeA=
K 6K;conR1,R2,...Rn,B,C vettoririgaditipo(1,n),allora
detA=
KK;+
K6K;.(Lostessovaleperlecolonne)
SeAottenutadaAaggiungendoaunasuariga(colonna)unacombinazionelinearedellerestantirighe(colonne),alloradet A=det A
Proprietdeldeterminante
det A=0seesoloseunariga(colonna)diAcombinazionelinearedellerestantirighe(colonne). SelarigaidiAcombinazionelinearedellerestanti,costruiamolamatriceA
aggiungendoadilacombinazionelinearedellerestanticontuttiicoefficienticambiatidisegno.Ahaunarigadi0edet A=det A.
Sedet A=0anchelamatriceascalaottenutadaApereliminazionegaussianahadeterminanteugualea0equindialmenolultimarigatuttadi0.QuestosignificachelarigadiAcorrispondenteallultimarigadellamatriceascalacombinazionelinearedellerestanti
TeoremadiBinet.SianoAeBduematriciquadratediordinen.Alloradet (AB)=(det A)(det B).
Aammetteinversaseesolosedet A0. SeAammetteinversadaAA1=In sihadet (AA1)=det Adet A1=det In =1 Mostriamochesedet A 0,esisteA1,costruendola(conunnuovoalgoritmo)
Calcolodellinversatramiteicomplementialgebrici
SiaAunamatricequadrataesiaBunamatricequadratadiordinenilcuigenericoelementobik ilcomplementoalgebricoCki diA
AB=diag[det A,det A,,det A] Siadrs lelementodiposto(r,s)diAB,sihadrs=O )E`;`h *`I =O )E`;`h 6I` ,quindi
ser=sperilprimoteoremadiLaplacedrs=detA,sersperilIIteoremadiLaplacedrs=0
Sedet A 0siha/ Blm = Blm =6 66 6 J 6;J 6;K K6; 6; M KJ 6;;
ProprietdellematricinonsingolariSiaAunamatricequadratadiordinen,seAammetteinversasidicecheAnonsingolare(oinvertibile) SeAnonsingolare,ancheA1 nonsingolareesiha(A1)1=A,
inoltredet A1=1/det A SeAnonsingolareAT nonsingolaree(AT)1=(A1)T SiaBunamatricequadratadiordinen.ABnonsingolareseesolo
seAeBsonononsingolarie(AB)1=B1A1
SeAnonsingolarepossiamodefinireAh perogniinterorelativohponendo Ah=AAA(hvolte)seh>0 A0=In seh=0 Ah=A1A1A1 (hvolte)seh
RegoladiCramer
SeAnonsingolareogniequazionematricialedellaformaAX=BconB(eX)ditipo(n,p)haunaeunasolasoluzionedellaformaX=A1B(analogamenteogniequazionematricialedeltipoXA=BconBedXditipo(q,n)haunaedunasoluzionedellaformaX=BA1). A1BsoluzionediAX=B,infattiA(A1B)=(AA1)B=InB=B.SiaCunaltrasoluzione
alloraAC=A(A1B)implicaC=A1B.
UnsistemalinearedinequazioneinnincognitelacuimatricedeicoefficientiAharangomassimohaunaeunasolasoluzionechexi=(det Ai)/(det A),1in,doveAi lamatricechesiottieneda Asostituendolacolonnaiconlacolonnadeitermininoti. SeAx=b lascritturamatricialedelsistema,lasuaunicasoluzionex=A1b.La
componenteidix alloraPn '( O 6k_*k;kh eO 6k_*k;kh losviluppodeldeterminantedellamatriceAisecondoglielementidellasuacolonnai.
SpazivettorialiUnospaziovettorialeVsuuncampoKuninsiemeV,dettoinsiemedeivettori,sucuidefinitaunoperazionebinariainterna,dettasomma,+,ovverounaleggecheadognicoppiaordinatadivettoriv,w associaunoedunsolovettorev+w,taleche(V,+)siaungruppoabeliano,ovvero perogniv,wV sihav+w=w+v (proprietcommutativa) perogniv,w,uV sihav+(w+u)=(v+w)+u (proprietassociativa) esisteunvettore0VtalecheperognivV sihav+0=v (esistenza
dellelementoneutro) perognivV esistev Vtalechev+(v)=0 (esistenzadellopposto)edunoperazioneesterna,dettaprodottodiunoscalareperunvettore,ovverounaleggecheadognicoppiaordinatadiunoscalaretediunvettorevassociaunoedunsolovettoretv,chegodadellepropriet: perognitK eperogniv,wV sihat(v+w)=tv+tw perognit,s K eperognivV siha(t+s)v=tv+sv perognit,s K eperognivV siha(ts)v=t(sv) perogniv V siha1v=v
Esempidispazivettorialieloropropriet Ivettoriliberidelpiano(odellospazio)rispettoalleusualioperazionidisommae
diprodottoscalare/vettoresonounospaziovettorialesuR. Lematricidiunostessotipo(m,n)suuncampoKrispettoalleoperazionidi
sommaeprodottoscalare/matricecheabbiamodefinitoprecedentementesonounospaziovettorialesuK
IpolinomiinunaindeterminataacoefficientiinuncampoKrispettoallusualesommadipolinomieallusualeprodottoscalare/polinomiosonouncampovettorialesuK
IpolinomiinunaindeterminataacoefficientiinuncampoKdigradominoreougualeaduninteropositivon(fissato)rispettoallusualesommadipolinomieallusualeprodottoscalare/polinomiosonouncampovettorialesuK
InumerirealirispettoalleusualioperazionisommaeprodottodinumerirealisonounospaziovettorialesulcampoR.
Ricordiamoleseguentipropriet: Perogniv,w,uV, v+w=v+u implicaw=u (leggedicancellazione) Perogniv,wV esisteunoedunsolovettorex talechev+x=w (x=v+w) PerognitK eperognivV tv=0 seesoloset=0ov=0 (leggedi
annullamentodelprodotto)
DipendenzaeindipendenzalineareSiaVunospaziovettorialesulcampoK.Ricordiamoche: UnvettorevV combinazionelinearedeivettoriv1,v1,,vn se
esistononscalarik1,k2,,kn K,detticoefficientidellacombinazione,talichev=k1v1+k2v2++knvn.
Ivettoriv1,v1,,vn sidiconolinearmenteindipendentisesipuottenereilvettore0 comelorocombinazionelinearesolamenteprendendotuttiicoefficientidellacombinazioneugualia0,altrimentisidiconolinearmentedipendenti,ovverov1,v1,,vn sonolinearmentedipendentiseesistononscalarih1,h2,,hn Kenontuttinullitaliche0=h1v1+h2v2++hnvn v1,v1,,vn sonolinearmentedipendentiseesoloseunodiessi(NONciascuno
diessi)combinazionelinearedeirestanti;inparticolaresev1,v2,,vr sonovettorilinearmenteindipendentiev1,v2,,vr,v sonovettorilinearmentedipendenti,allorailvettorev combinazionelinearediv1,v1,,vr.
SeH={v1,v1,,vn}uninsiemedivettorilinearmentedipendentidiV,alloraogniinsiemedivettoriT,talecheHTuninsiemedivettorilinearmentedipendenti.QuindiseI={w1,w1,,wm} uninsiemedivettorilinearmenteindipendentidiV,alloraogniinsiemedivettoriJ,talecheJIuninsiemedivettorilinearmenteindipendenti
{v}uninsiemedivettorilinearmentedipendentiseesolosev=0
Sottospazidiunospaziovettoriale
UnsottoinsiemeHdiunospaziovettorialeVsulcampoKsidicesottospazio(vettoriale)diVseHasuavoltaunospaziovettorialesuKrispettoallastessasommaeallostessoprodottoscalarevettoredefinitiinV(ciolasommadiduequalsiasivettoridiHunvettorediH,0 stainH,perognivettorev diHanchev stainHeperognitK anchetv stainH).
Criterio:UnsottoinsiemeHdiunospaziovettorialeVsuKunsottospaziodiVseesolose1) perogniv,wH,v+wH2) perognivH eperognitK,tvH.
SeHsottospazio1)e2)devonoessereverificate Sevale1),lasommaunoperazioneinternasuH,cheovviamentecommutativae
associativa.Sevale2),ilprodottodiogniscalareperunvettorediHstainH,inoltreperognivettorevH siha0=0v ev=(1)v dunque0HevH.Infineleproprietdelprodottoscalare/vettorevalendoinVvalgonoancheinHedunqueHsottospaziodiV
Sottospazivettoriali
SiaAunamatriceconncolonne,ker AunsottospaziodellospaziovettorialeKn (spaziodellematriciditipo(n,1)suK) Sianov1,v2kerA,alloraA(v1+v2)=Av1+Av2=0+0=0 edunquev1+v2kerA;inoltre
perognitK ,sihaA(tv1)=t(Av1)=t0=0 edunquetv1kerA.
SiaVunospaziovettorialesulcampoKesianov1,v2,,vnVlinsiemeL(v1,v2,,vn)={k1v1+k2v2++knvn|kiK}unsottospaziovettorialediVdettosottospazio(lineare)generatodav1,v2,,vn Sianow1,w2L(v1,v2,,vn),alloraesistonoconki,hiK,1in,taliche
w1=k1v1+k2v2++knvn ew2=h1v1+h2v2++hnvn dacuiw1+w2=(k1+h1)v1+(k2+h2)v2++(kn+hn)vn epertantow1+w2L(v1,v2,,vn );inoltreperognielementokKsihakw1=(kk1)v1+(kk2)v2++(kkn)vn equindikwL(v1,v2,,vn).
SeV=L(v1,v2,,vn)ivettoriv1,v2,,vn sidiconosistemadigeneratoridiVesidicecheVhadimensionefinita(avendouninsiemefinitodigeneratori) SeG={v1,v2,,vn}uninsiemedigeneratoridiV,alloraogniinsiemedivettoriG,
talecheGG VuninsiemedigeneratoridiV
Basediunospaziovettoriale
SiaVunospaziovettorialesuK,B={v1,v2,,vn}sidicebase diVseBuninsiemedigeneratoridiVeduninsiemedivettorilinearmenteindipendenti.
B={v1,v2,,vn} unabaseperVseesoloseognivettorediVsiscriveinunoeunsolomodocomecombinazionelinearedeivettoridiB. OgnibasediVunsistemadigeneratoridiVequindiognivettorediv si
scrivecomecombinazionelinearedeivettoridellabase,inoltresupponiamosiav= k1v1+k2v2++knvn =h1v1+h2v2++hnvn ,daquestosiottiene0= (k1h1)v1+(k2h2)v2++(knhn)vn dacui,essendoivettoridiBlinearmenteindipendenti, k1h1= k2h2=...= knhn=0epertantok1=h1, k2=h2,..., kn=hn.
SeognivettorediVsiscrivecomecombinazionelinearedeivettoridiB,talivettorisonounsistemadigeneratoriperV.Inoltre0 sipuscriverecomecombinazionelinearedeivettoridiBconcoefficientidellacombinazionetuttiugualia0,epoichognivettorediV(equindi0)siscriveinunsolomodocomecombinazionelinearedeivettoridiB,ognicombinazionelinearedeivettoridiBchediacomerisultatolo0 deveavereicoefficientituttinulliequindiivettoridiBsonolinearmenteindipendenti.
Dasistemadigeneratoriabase(scartisuccessivi) Unvettorew combinazionelinearediv1,v2,,vn seesolose
L(v1,v2,,vn,w)=L(v1,v2,,vn) DaunsistemadigeneratoriG={v1,v2,,vn}diV, sipusempre
estrarreunabasediV(inaltreparoleognispaziovettorialedidimensionefinitahaunabase) EliminiamodaivettoridiGtuttigli0, Suglimvettorirestantinonnulli,eseguiamoilseguentealgoritmo
(degliscartisuccessivi):1. i:=2,B:=G2. sevi combinazionelinearedeiprecedentiB:=B\ {vi },3. i:=i+14. seim,tornaalpasso2.,altrimentirestituisciB.
BunabaseinfattiunsistemadigeneratoriperlaprimaaffermazionediquestapaginaedivettoridiBsonolinearmenteindipendentiperchse0 siscrivessecomecombinazionelinearedivettoridiBacoefficientinontuttinulli,ilvettorediBconindicemassimochecomparenellascritturadi0 sipotrebbescriverecomecombinazionelinearedeiprecedentiealloraavrebbedovutoessereeliminatodaB.
Completamentodellabase
SeVunospaziovettorialedidimensionefinitaeu1,u2,,ur uninsiemedivettorilinearmenteindipendentidiV,esistesempreunabasediVchecontieneivettoriu1,u2,,ur . SeVhadimensionefinitahauninsiemefinitodigeneratori
{w1,w2,,wt},quindiancheG={u1,u2,,ur , w1,w2,,wt} unsistemadigeneratoridiV.
ApplichiamolalgoritmodegliscartisuccessiviaG,nessunodegliuivienecancellatoperchperipotesisonouninsiemedivettorilinearmenteindipendentiequindinessunocombinazionelinearedeglialtri.
Dimensionediunospaziovettoriale SiaG={v1,v2,,vn}unsistemadigeneratoridiV,ogniinsiemew1,w2,,wm
divettoridiVconm>nuninsiemedivettorilinearmentedipendenti. SeV=L(v1),cion=1,perogniw1,w2Vw1=t1v1,w2=t2v1 quindit2w1t1w2=0 Ipotesidiinduzione:inognispaziovettorialeconn1generatoriogniinsiemedim>n1vettoriun
insiemedivettorilinearmentedipendenti SiaV=L(v1,v2,,vn)esianow1,w2,,wmV conm>n.Perognii,1imwi=ti1v1+ti2v2++tinvn .Dati1=0
perogniisihaw1,w2,,wmL(v2,,vn)equindiw1,w2,,wm linearmentedipendentiperipotesidiinduzione.Siaallorat110,esiawj=t11wjtj1w1 perognij,2 im.Poichw2,w3,,wmL(v2,,vn)edm1>n1,w2,w3,,wmsonolinearmentedipendentiperipotesidiinduzione,quindiesistonoa2,a3,,am nontuttinullitalichea2w2+a3w3++amwm=0,dacui(a2t21++amtm1)w1+a2t11w2+amt11wm=0 conalmenounait110,quindiw1,w2,,wm sonouninsiemedivettorilinearmentedipendenti.
SeVunospaziovettorialedidimensionefinitaeB={v1,v2,,vn}eB={w1,w2,,wr}sonoduebasidiValloran=r. B,essendounabase,uninsiemedigeneratori.Sefosser>n,ivettoridiBsarebberolinearmente
dipendentiequindinonformerebberounabase,dunquern.Analogamentesimostrachenr edunquesihan=r.
Sidicedimensionediunospaziovettorialedidimensionefinitailnumerodivettorichecompongonounasuabase.
SiaVunospaziovettorialedidimensionen,alloraogniinsiemedigeneratoriformatodamn vettori,ogniinsiemedivettorilinearmenteindipendentiformatodarnvettori.Inparticolareuninsiemedigeneratoriformatodanvettoriunabaseeuninsiemedinvettorilinearmenteindipendentiunabase.
Esempi Lospaziodeivettoriliberidelpianohadimensione2equellodeivettori
liberidellospaziohadimensione3 Lospaziodellematriciditipo(m,n)suuncampoKhadimensionemn,
infattiunasuabase(dettabasecanonica)formatadallematriciEij,1im,1jn, ilcuielementodiposto(i,j)1eicuialtrielementisono0.InparticolarelospazioKn deivettoricolonneconncomponentihadimensionenelasuabasecanonica{ei|1i},doveiilvettoreicuielementisonotuttinulli,eccettolelementodipostoiche1.
Lospaziodeipolinomidigrado
OperazionifrasottospaziSianoVunospaziovettorialesulcampoKeHeWduesottospazidiV LintersezioneinsiemisticaHWunsottospaziodiV(ediHeW)
Sianov1,v2HWetK.Poichv1,v2HedHunsottospaziov1+v2Hetv1H,analogamentepoichv1,v2WeWunsottospaziov1+v2Wetv1W,quindiv1+v2 HW etv1 HW
LunioneinsiemisticaHWnoningeneraleunsottospaziodiV LasommaH+W={h+w|hH,wW}diHeWunsottospaziodiV
edilminimosottospaziochecontieneHeW. Sianov1,v2H+WetK.Esistonoh1,h2H,w1,w2Wtalichev1=h1+w1,
v2=h2+w2 equindiv1+v2=(h1+w1)+(h2+w2)=(h1+h2)+(w1+w2)conh1+h2H,w1+w2W,quindiv1+v2H+W. Analogamantesihatv1=t(h1+w1)=th1+tw1 conth1H,tw1W,quinditv1H+W.DunqueH+Wsottospazio.Inoltre,essendoh=h+0 perognihHeconsiderando0W,sihaHH+Wedanalogamente,essendow=0+w perogniwWeconsiderando0H,sihaWH+W.SiapoiUunsottospaziodiVtalecheHUeWU,allorapoichognihHappartieneadUedogniwWappartieneadU,sihah+wU,dunqueH+W U.
SeHeWhannodimensionefinita,lunionediuninsiemedigeneratoridiHediuninsiemedigeneratoridiWuninsiemedigeneratoridiH+W
FormuladiGrassmann
SianoHeWduespazivettorialididimensionefinitadiV,allorasihadim (H+W)+dim (HW)=dim H+dim W.
Siadim H=n,dim W=m,alloradim (HW)=d,condn,dm. Sia{v1,v2,,vd}unabasediH,perilteoremadicompletamentodellabase
esistonou1,,undH ew1,,wmdW taliche{v1,,vd,u1,,und}siaunabasediHe{v1,,vd,w1,w2,,wmd}siaunabasediW.DunqueH+Wha{v1,,vd,u1,,und,w1,,wmd}comeinsiemedigeneratori
Siaa1v1++advd+b1u1++bndund+c1w1++cmdwmd=0,alloraa1v1++advd+b1u1++bndund=c1w1cmdwmd unvettorediHWequindisipuscriverecomecombinazionelinearediv1,v2,,vd.Dunquec1w1cmdwmd =k1v1++kdvd equindic1w1++cmdwmd+k1v1++kdvd =0 dacui,essendo{v1,,vd,w1,,wmd} uninsiemedivettorilinearmenteindipendenti,siottienec1==cmd=0.Pertantosihaanchea1v1++advd+b1u1++bndund=0 dacui,essendo{v1,,vd,u1,,und}uninsiemedivettorilinearmenteindipendenti,siottienea1==ad=b1==bnd=0.Quindi{v1,,vd,u1,,und,w1,,wmd} uninsiemedivettorilinearmenteindipendentieunabasediH+W.Sihaalloradim (H+W)=n+md.
Sommadirettadisottospazi VsidicesommadirettadiHeW,V=HW,seperognivettorev V
esistonoesonouniciduevettorihH ewW talichev=h+w. V=HWseesoloseV=H+WeHW={0}
SiaV=HW.OvviamenteV=H+W.SiaiHW,allorav=h+w=(h+i)+(wi)doveh+iH,wiW.Perlunicitdellascritturadiv sihaallorah=h+i dacuii=0.
SiaV=H+WeHW={0},alloraovviamenteperognivettorev VesistonoduevettorihH ewW talichev=h+w.Siapoiv=h+w=h+w,allorahh=wwappartieneaHWequindihh=ww=0 dacuih=h,w=w.
SeV=HW,VhadimensionefinitaseesoloseHeWhannodimensionefinitaeinparticolaredim V=dim H+dim W.
SeV=HW,WsidicespaziocomplementarediH(eHspaziocomplementarediW)
SeVhadimensionefinitaedHunsuosottospazio,esistesemprelospaziocomplementarediH. Presaunabase{v1,v2,,vs}diH,lasicompletaadunabase
{v1,,vs,w1,w2,,wr}diVesihaW=L(w1,w2,,wr).
SpaziodidimensionensulcampoK
SiaVunospaziovettorialesuKdidimensionenesiaB={v1,v2,,vn}unabasediV.SappiamocheognivettorevV sipuscrivereinunoeunsolmodonellaforma v=x1v1+x2v2++xnvn;gliscalarix1,x2,,xnsichiamanocomponentidiv rispettoallabaseB.Ilvettorev pu
esserequindiidentificatoconilvettoreo K; Kn Eimmediatoverificarecheperogniv,wV eperognitK siha o=o+o e o o OgnispaziovettorialeVdidimensionensulcampoKpuessere
identificato(unavoltafissataunabasediV)conlospaziovettorialeKn dellematriciditipo(n,1)suK.
w1,w2,,wh sonovettorilinearmenteindipendentidiVseesolosew1| ,w2| ,,wh| sonovettorilinearmenteindipendentidiKn.
Rango(perrighe)diunamatriceASiaAunamatriceditipo(m,n)esianor1,r2,,rm ivettoririgadiAec1,c2,,cn ivettoricolonnadiA.PoniamoRow A=L(r1,r2,,rm)Kn eColA=L(c1,c2,,cn ) Km. SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss.Siha
Row A=Row A. Sianov1,v2,,vm vettoridiunqualsiasispaziovettorialeVsuKetK ,allora
dim L(v1,v2,,vm)=dim L(v1,v2,,vi+tvj, ,vm) DaquantosopraunamossadiGaussconservaladimensionedellospaziodelle
righediunamatrice. rk(A)=dim Row A,inaltreparoleilrangodiAilmassimonumerodirighe
linearmenteindipendentidiA. SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss,allora
rk(A)=rk(A) dim Row A=dim Row A dim Row A=rk(A)
SiaAunamatricedincolonnesuK,allorark(A)+dim ker A=n(Teoremadinullitpirango) ConseguenzaimmediatadelteoremadiRouch Capelli.
Rango(percolonne)diunamatriceA
ColA={b|Ax=b possibile} SiaAunamatriceascalaottenutadaApereliminazionediGauss,
alloradim ColA=dim ColA. {[v11,v21,,vm1]T,[v12,v22,,vm2]T,,[v1n,v2n,,vmn]T}uninsiemedivettori
linearmenteindipendentidiKm seesolose linsiemedivettori{[v11,..,vj1+kvi1,..,vm1]T,[v12,..,vj2+kvi2,..,vm2]T,..,[v1n,..,vjn+k vin,..,vmn]T},conij,kK,uninsiemeivettorilinearmenteindipendentidiKm.
UnamossadiGaussconservaladimensionedellospaziodellecolonne. SeAunamatriceascalark(A)=dim ColA
LecolonnechecontengonoipivotsonounabasediColA rk(A)=dim ColA,inaltreparoleilrangodiAilmassimonumerodi
colonnelinearmenteindipendentidiA. dim ColA=dim ColA=rk(A)
rk(A)=rk (AT) Sianov1,v2,,vm,b Kn.Ivettoriv1,v2,,vm sonolinearmenteindipendenti
seesoloserk([v1|v2||vm])=m,b combinazionelinearediv1,v2,,vm seesoloserk([v1|v2||vm])=rk([v1|v2||vm|b])
RegoladiKroneckerSiaAunamatricesuKditipo(m,n)esiaAunasuasottomatrice UnasottomatriceAdiAsidiceottenutaperorlaturadaAsesiaggiunge
unanuovarigaedunanuovacolonneallerigheecolonnediAscelteperformareA
Unminore diordinerAildeterminantediunasottomatricequadratadiordinerdiA
SiaM=det AunminorediordinerdiA,unminoreorlatodiMildeterminantediunasottomatricediAottenutaperorlaturadaA,ovviamenteogniminoreorlatodiMhaordiner+1.
UnamatriceAharangorseesoloseesisteunminoreMdiAdiordinerdiversoda0etuttiiminoriorlatidiMsononulli. SeAharangor,Aharrigheedrcolonnelinearmenteindipendentiela
sottomatricediAfattaconquellerigheeconquellecolonnehadeterminantediversoda0,inoltrer+1righeedr+1colonnesonosempredipendentipercuiogniminorediordiner+1nullo
SeAhaunminorediordinerdiversoda0,lerrighechecompaiononelminoresonolinearmenteindipendentieAharango r.Unaqualsiasialtrarigadellamatricecombinazionelineareditalirighe,quindirilmassimonumerodirighelinearmenteindipendentidiAerk(A)=r
SottospazidiKn
Sappiamoche: ognisottospaziodiKn hadimensionedn eunqualsiasisottospaziodiKn didimensionen
coincideconKn. esiste(almeno)unsottospaziodiKn didimensionedperognidn.
Comesirappresentaunsottospaziodidimensioned(
CambiamentodibaseSiaVunospaziovettorialedidimensionensuKesianoB={v1,v2,,vn}eC={w1,w2,,wn} duebasidiV PerognivV sihav=x1v1+x2v2++xnvn=y1w1+y2w2++ynwn con
x1,x2,,xn,y1,y2,,yn K,sihacioo K; ep
K; . Ovviamenteperognii,1in,sihawi=z1iv1+z2iv2++znivn conz1i,z2i,,zni K,
ovvero_p __K;_ .LamatriceS=[p |p ||;p]formatadallaccostamentodeivettoridellecoordinatedeivettoridellabaseCrispettoallabaseBsichiamamatricedipassaggiodallabaseBallabaseC.
Siha[w1|w2||wn]=[v1|v2||vn]S
Cambiamentodibase
PerognivV sihav|B=Sv|C. Infattiv=[v1|v2||vn]v|B,maanche v=[w1|w2||wn]v|C equindi
v=[v1|v2||vn]Sv|C Snonsingolare
IlsistemalineareSx=0 hasololasoluzionebanale
Formuledirotazione diunsistemadicoordinatecartesianeortogonalinelpiano
x
y
X
Y
Lecoordinate(x,y)diPrispettoadOxy sonolecomponentidelvettore rispettoallabasedi R2 rappresentatadaiversoridegliassix,y,lecoordinate(x,y)diPrispettoadOxysonolecomponentidelvettore rispettoallabasediR2rappresentatadaiversoridegliassix,y.Sia langolochelassexformaconlassex,iversoridellassexedellasseyrispettoallabaseformatadaiversoridegliassix,y sono [cos,sen] T e[sen,cos] T,quindileformuledirotazionesonox=xcos yseny=xsen +ycos
Applicazionilineari SianoVeWduespazivettorialisullostessocampoK,una
applicazione(funzione)f:VWunaapplicazionelineare se1. perogniv1,v2Vsihaf(v1+v2)=f(v1)+f(v2)(fadditiva)2. perognivV,tK sihaf(tv)=tf(v)(fomogenea).
Unapplicazionelinearef:VKsidiceformalineare.Unapplicazionelinearef:VVsidiceendomorfismo.
f:VWunapplicazionelineareseesoloseperogniv1,v2V;t1,t2Ksihaf(t1v1+t2v2)=t1f(v1)+t2f(v2)
Sef:VWunapplicazionelineare,f(0V)=0W Esempi
SianoVunospaziovettorialesuKdidimensioneneBunasuabase.Lapplicazione|B:VKn definitada|B(v)=v|B perognivV,unapplicazionelineare
SiaAunamatriceditipo(m,n),lafunzionefA:KnKm definitadafA(v)=Av perognivKn unapplicazionelineare(rappresentatadallamatriceA).
Applicazionilineari:fibra,nucleoeimmagine Siaf:VWunapplicazionelineare.PerogniwW lafibra dif
sopraw linsiemef1(w)={vV |f(v)=w}.Lafibradifsu0W sidicenucleo,ker f,dellapplicazionef,ovveroker f={vV|f(v)=0W}.
Siaf:VWunapplicazionelineare.PerognisottoinsiemeUdiV,siponef(U)={wW|f(u)=w perqualcheuU}.Limmaginedi f,Imf,linsiemef(V) ={wW|f(v)=w perqualchevV}.
ker funsottospaziodiV(edlunicafibradifchesottospaziodiV).
Sev appartieneallafibradifsuw,tuttiesoliglielementidellafibradifsuw sonoivettoridellaformav+vker,convkerker f.
SeUunsottospaziodiV,f(U)unsottospaziodiW,inparticolaref(V)unsottospaziodiW.
SeUhadimensionefinita,dim f(U)dim U. SeB={b1,b2,,bn}unabasediU,{f(b1),f(b2),,f(bn)}uninsiemedi
generatori(nonnecessariamenteunabase)dif(U).
Applicazionilineariiniettive,suriettive,biunivoche
Siaf:VWunapplicazionelineare finiettiva seperogniv,vV,vvimplicaf(v)f(v),o
equivalentementesef(v)=f(v)implicav=v finiettivaseesoloseker f={0}
fsuriettivaseImf=W fbiettiva o biunivoca se iniettivaesuriettiva(intalcasofsi
chiamaisomorfismodiVinW) fbiettiva seesoloseker f={0W}eImf=W.
SupponiamocheVeWabbianodimensionefinita. Sefiniettivadim Vdim W Sefsuriettivadim Wdim V Sefbiettiva dim V=dim W
Algebradelleapplicazionilineari
Sianof:VWeg:VWdueapplicazionilinearietK f+g:VW definitada(f+g)(v)=f(v)+g(v)perognivV
unapplicazionelineare tf:VWdefinitada(tf)(v)=tf(v)perognivV unapplicazione
lineare
LinsiemeHomK(V,W)delleapplicazionilinearidiVinWcostituisconounospaziovettorialesulcampoKrispettoallaoperazionisopradefinite.HomK(V,V)ancheindicatoconEndK(V).LinsiemeHomK(V,K)delleformelinearidiVunospaziovettorialesuKchiamatospazioduale diK.
Prodottodiapplicazionilineari SianoV,W,UspazivettorialisuKef:VW,g:WUapplicazioni
lineari.Lafunzionegf:V Udefinitadagf(v)=g(f(v))perognivVsidiceprodotto difpergedunapplicazionelineare
LapplicazioneIV:VVdefinitadaIV(v)=v,perognivV unapplicazionelineare,chiamataidentit ofunzioneidenticasuV.SihaIWf=f IV=f.
Unafunzionef:VWsidiceinvertibile seesisteunafunzioneg:W VtalecheIV=gf eIW=fg.Intalcasogsichiamafunzioneinversa difesidenotaconf1. f1 esisteseesolosefbiunivoca f1definitadaf1(w)=v sef(v)=w
Sef:VWunapplicazionelinearebiunivoca(isomorfismo),alloraf1 unapplicazionelineare(biunivoca).Sef:VWunisomorfismoVeWsidiconospaziisomorfi.
DuespazivettorialididimensionefinitasonoisomorfiseesolosehannolastessadimensionenedintalcasosonotuttiisomorfiaKn.
ApplicazionilinearidiKm inKn associateadunamatrice
SianoAunamatriceditipo(m,n),edfA:KnKm lapplicazionelineareassociataadAovverolapplicazionedefinitadafA(v)=Av perognivKn
ker fA=ker A fA iniettivaseesoloserk(A)=n
ImfA=Col(A) fA suriettivaseesoloserk(A)=m fA biunivocaseesoloseAunamatricequadratadirangomassimo,quindi
condet A0,quindiinverbile,etc.
SianofA:Kn Km efB:Kn Km applicazionilineariassociaterispettivamenteallematriciAeBditipo(m,n),lapplicazionesommaassociataallamatriceA+B
SianofA:Kn Km efB:Km Kr applicazionilineariassociaterispettivamenteallamatriceAditipo(m,n)eallamatriceBditipo(r,m),lapplicazioneprodottofBfA associataallamatriceBA.
ApplicazionilinearidiKm inKn associateadunamatrice
SefA:Kn Km lapplicazionelineareassociataallamatriceAperognih,1hn,lacolonnahdiAlimmaginedelvettoreeh Kn (hesimovettoredellabasecanonicadiKn ,ovverovettorecheha1comecomponentehesimaetuttelealtrecomponentinulle).
SianoA,Bduematriciditiporispettivamente(m,n)ed(r,m),allorark(BA)min (rk(A),rk(B)). SianofA:Kn Km ,fB:Km Kr efBfA:Kn Kr.
ImfBfA=fB(fA(Km))unsottospaziodifB(Kn)=ImfB quindidim ImfBfA=rk(BA)dim ImfB=rk(B).
Inoltredim fB(fA(Km))dim fA(Km)edunquedim ImfBfAdim ImfA dacuirk(BA)rk(A).
Applicazionilinearif:VWconVdidimensione n
SianoVunospaziovettorialecondim V=nesiaB={b1,b2,,bn}unasuabase.Sianow1,w2,,wn vettori(arbitrariamentescelti)inunospaziovettorialeW.Alloraesisteunaedunasolaapplicazionelinearef:VWtalechef(bi)=wi perogniicon1in.fdefinitadaf(x1b1+x2b2++xnbn)=x1w1+x2w2++xnwn.
UnapplicazionelinearefdaVinW,conVdidimensionefinita,completamentedeterminataquandosiconoscanoleimmaginideivettoridiunabasediVmediantef.Inoltreessendodim f(V)dim VpossiamosemprevederefcomeunaapplicazionediVinunospaziovettorialedidimensionefinita.
TeoremadirappresentazioneSianoVeWduespazivettorialisuKcondim V=n,dim W=m,sianoBeCduebasirispettivamentediVeW.AlloraesisteununicamatriceAditipo(m,n)acoefficientiinKtalecheperognivV,w=f(v),siabbiaw|C=A(v|B).LamatriceArappresentalapplicazionelinearefrispettoallebasi BeC.
SiaB={b1,b2,,bn}.SiaAlamatricechehacomecolonnaicolonnaiesimaperogni1in,lecomponentidelvettoref(bi)W,rispettoallabaseC
SiavV ev|B =
x1x2Kxn
alloraf(v)=f(O xibini=1 )=O xif(bini=1 ). SiaC={c1,c2,,cm},percostruzionediAsihaf(bi)=O aijcjmj=1 edunque
f(v)=O xiO a$qcj=O O a$qxini=1mj=1mj=1ni=1 cj doveO aijxini=1 lacomponentejdelvettorecolonnaA(v|B).QuindiilvettorecolonnaA(v|B)f(v)|C.
Conseguenzedelteoremadirappresentazione
SianoVeWduespazivettoriale condim V=nedim W=nesianoBeCduebasirispettivamentediVeW.LafunzioneGcheassociaadogniapplicazionelinearef:VWlamatricecherappresentafrispettoallebasiBeCunisomorfismodellospaziovettorialeHomK(V,W)nellospaziovettorialeMK(n,m)dellematriciditipo(n,m)adelementiinK.
Siaf:VWunapplicazionelineare,conV,Wspazivettorialididimensionefinita.SianoB,BduebasidiVeC ,CduebasidiW.SiaAlamatricecherappresentafrispettoallebasiB,C esianoSeTlematricidipassaggiodallabaseBallabaseBedallabaseCallabaseC rispettivamente.AlloralamatricecherappresentafrispettoallebasiB eCT1AS.
Teoremadinullitpirangoperleapplicazionilineari SianoVunospaziovettorialesuKdidimensionefinitaef:VW
unapplicazionelineare.Ilrango di f,rk f,ladimensionediImf=f(V).
SianoV unospaziovettorialedidimensionenef:VWunapplicazionelineare.Alloran=dim ker f+dim Imf. Ovviamentedim ker f=dn.Sia{u1,u2,,ud}unabasediker f. Perilteoremadicompletamentodellabaseesistonov1,,vndV tali
che{u1,,ud,v1,,vnd}unabasediVe{f(u1),,f(ud),f(v1),,f(vnd)}uninsiemedigeneratoridiW,maf(u1)==f(ud)=0W,quindiuninsiemedigeneratoridiW{f(v1),,f(vnd)}.
Siaa1f(v1)+a2 f(v2)++amdf(vmd)=0W .Alloraf(a1v1++amdvmd)=0W ea1v1+a2v2++amdvmdker f, dacuia1v1++amdvmd=b1u1++bdud,perqualcheb1,b2,,bdK.Essendo{u1,,ud,v1,,vnd}unabasediVseguea1=a2 ==amd=(b1=b2==bd=)0.Dunque{f(v1),,f(vnd)}unabaseperImf.
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Quadriche
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Esercizi di Algebra Lineare
Claretta Carrara
Indice
Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 11. Soluzioni 3
Capitolo 2. Rette e piani 151. Suggerimenti 192. Soluzioni 21
Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali 471. Suggerimenti 482. Soluzioni 48
Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) 551. Suggerimenti 562. Soluzioni 57
Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) 671. Suggerimenti 692. Soluzioni 69
Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice 831. Suggerimenti 842. Soluzioni 85
Capitolo 7. Rango: Rouche`-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. 951. Suggerimenti 1062. Soluzioni 107
Capitolo 8. Applicazioni lineari 1791. Suggerimenti 1862. Soluzioni 188
Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari 2431. Suggerimenti 2472. Soluzioni 249
Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalita e basi ortonormali 2871. Suggerimenti 2892. Soluzioni 290
Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche 3031. Suggerimenti 3052. Soluzioni 305
Capitolo 12. Rette e piani con le matrici e i determinanti 3211. Suggerimenti 3222. Soluzioni 324
Capitolo 13. Coniche 3371. Suggerimenti 3392. Soluzioni 342
Capitolo 14. Quadriche 3811. Suggerimenti 3822. Soluzioni 385
iii
iv INDICE
Capitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni 4071. Suggerimenti 4082. Soluzioni 408
Avvertenze importanti.
Leserciziario e` scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta diesercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro).
Quasi ogni capitolo e` cos` strutturato: Testo degli esercizi, Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione, Soluzione di tutti gli esercizi proposti.
Leserciziario contiene sostanzialmente: i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi:
Geometria , c.l. in Ingegneria Edile / Architettura, dalla.a 2002/03 alla.a. 2009/2010. Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dellInformazione e dellOrganiz-zazione - Rovereto, dalla.a 2002/03, alla.a. 2006/2007.
Geometria e Algebra, Ingegneria a-l, a.a. 2010/2011.I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l.in Ingegneria e Scienze dellInformazione e dellOrganizzazione - Rovereto, a.a. 2006/2007,tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta.Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R.Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, 2002.
La maggior parte degli esercizi degli appelli desame e delle provette dei precedenti corsi.
CAPITOLO 1
Operazioni tra matrici e n-uple
Esercizio 1.1. Date le matrici
A =
[1 23 1
]B =
[3 01 4
]e dati = 5, = 2, si calcoli AB, BA, A+B, B A, A+ B.
Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:
A =
[1 12 2
]B =
[3 21 4
] =
1
2, = 0
A =
1 0 13 1 12 0 1
B = 3 0 21 4 51 0 0
= 2, = 1Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:
A1 =
1 2 5 33 1 0 24 0 0 2
; A2 = [0 2 54 3 2]; A3 =
5 01 24 55 1
;A4 =
3 51 102 0
; A5 =2 4 14 4 40 0 0
; A6 = [3 1 18 5 3];
calcolare, quando possibile, i prodotti Ai Aj per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Esercizio 1.4. Date le matrici
A =[1 2 3 4
]I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
calcolare i prodotti AI4 e I4A
T .
Esercizio 1.5. Date le matrici
A =[2 12 3 1] B = [1 3 23 1]
calcolare 3A 2B e ABT .Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A3 della matrice1 1 20 3 1
1 0 1
Esercizio 1.7. Data la matrice
A =
[1 13 2
]calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).
Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare seesiste la matrice B tale che AB = BA = I).
A =
[1 13 3
]A =
[1 13 2
]1
2 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE
Esercizio 1.9. Date le matrici
A =
[2 00 3
]B =
[1 20 3
]C =
[3 00 3
]calcolare AB, BA, BC e CB.
Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M22(R))
I =
{[a b0 c
]| a, b, c R
}Si verifichi che I e` chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi
di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.
Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A,B non nulle tali che AB = 0.
Esercizio 1.12. Sia
A =
[1 10 1
]e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che
B = I2 +
[0 x0 0
]dove , x R.
Esercizio 1.13. Date le matrici
A =
1 2 30 5 62 1 4
e C = 1 2 01 5 22 1 3
determinare la matrice B tale che A+B = C.
Esercizio 1.14. Date le matrici
A =
[1 21 3
], B =
[2 11 1
], C =
[1 12 3
], D =
[0 11 2
]stabilire se D e` combinazione lineare di A, B, C.
Esercizio 1.15. Date le matrici
A =
[1 k0 1
], B =
[2 31 2
], C =
[3 61 3
]stabilire se esistono valori di k per cui C e` combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere talecombinazione lineare.
Esercizio 1.16. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:
u1 = (1, 0) u2 =
(1
2,2
)u3 =
(3, 1
4,5
)u4 =
(0,1
2,2
)u5 = (1, 1, 2,2) u6 =
(0, 0,1
3,3
)Si calcoli quando possibile
ui + uj , ui uTj , ui, con = 0, 2,2, i, j = 1, . . . 6Esercizio 1.17. Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato e` neces-
sariamente reale.
Esercizio 1.18. Si risolva il sistema Ax = b dove
A =
[1 32 4
], x =
[x1x2
]b =
[22]
Esercizio 1.19. Siano A e B matrici 3 3 tali cheAB = BA B M33
Si dimostri che deve necessariamente essere:
A = I3 per qualche R
1. SOLUZIONI 3
Esercizio 1.20. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi
a) A =
1 3 20 3 60 0 2
, x =x1x2x3
b = 234
b) A =
4 33 20 1 60 0 0
, x =x1x2x3
b = 344
c) A =
1 3 10 1 10 0 0
, x =x1x2x3
b =340
Esercizio 1.21. Si dica per quali valori di k R il sistema Ax = b dove
A =
1 1 20 1 10 0 k + 1
, x =x1x2x3
b = 011
ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni.
-
1. Soluzioni
Esercizio 1.1. Date le matrici
A =
[1 23 1
]B =
[3 01 4
]e dati = 5, = 2, calcolare AB, BA, A+B, B A, A+ B.
Soluzione:
AB =
[1 3 + 2 (1) 1 0 + 2 4
3 3 + (1) (1) 3 0 + (1) 4]=
[1 810 4
]BA =
[3 1 + 0 3 3 2 + 0 (1)1 1 + 4 3 1 2 + 4 (1)
]=
[3 611 6
]A+B =
[1 + 3 2 + 0
3 + (1) 1 + 4]=
[4 22 3
]B A =
[3 1 0 21 3 4 (1)
]=
[2 24 5
]5A+ 2B =
[5 1015 5
]+
[6 02 8
]=
[11 1013 3
]
Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari , R, calcolareA+B, B A, A+ B, AB, BA, A2:
A =
[1 12 2
]B =
[3 21 4
] =
1
2, = 0
A =
1 0 13 1 12 0 1
B = 3 0 21 4 51 0 0
= 2, = 1Soluzione:
4 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE
Comiciamo dalla prima coppia di matrici:
A+B =
[4 31 6
]B A =
[2 13 2
]A+ B =
1
2A+ 0 B = 1
2A =
[12
12
1 1
]AB =
[2 64 12
]BA =
[7 77 7
]A2 = A A =
[3 36 6
]Analogamente per la seconda coppia di matrici:
A+B =
4 0 32 3 41 0 1
B A = 2 0 14 5 63 0 1
A+ B = 2AB =
1 0 07 6 75 0 2
AB = 2 0 211 4 17 0 4
BA =
7 0 121 4 101 0 1
A2 = A A = 3 0 02 1 50 0 3
Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:
A1 =
1 2 5 33 1 0 24 0 0 2
; A2 = [0 2 54 3 2]; A3 =
5 01 24 55 1
;A4 =
3 51 102 0
; A5 =2 4 14 4 40 0 0
; A6 = [3 1 18 5 3];
calcolare, quando possibile, i prodotti Ai Aj per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Soluzione:
Ricordiamo che una matrice e` detta nm se ha n righe e m colonne. Inoltre e` possibile moltiplicare duematrici A e B solamente se
A e` del tipo nm B e` del tipo m k
(cioe` se il numero delle colonne di A e` uguale al numero delle righe di B). Il risultato e` una matrice C deltipo n k.
Scriviamo solo i prodotti che e` possibile effettuare:
A1 A3 =2 3226 410 2
A2 A1 =
[14 2 0 145 11 20 22
]A2 A4 =
[8 2011 10
]A2 A5 =
[8 8 84 4 8
]
A3 A2 =
0 10 258 4 120 23 304 7 23
A3 A6 =15 5 513 9 752 29 117 0 8
A4 A2 =
20 21 2540 28 150 4 10
A4 A6 =49 28 1277 49 31
6 2 2
A5 A1 =
18 8 10 1232 12 20 120 0 0 0
A5 A4 =12 3024 20
0 0
A5 A5 =12 8 148 0 12
0 0 0
A6 A1 =
[2 7 15 1335 21 40 28
]A6 A4 =
[ 8 535 10
]A6 A5 =
[2 8 14 12 12
]
1. SOLUZIONI 5
Esercizio 1.4. Date le matrici
A =[1 2 3 4
]I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
calcolare i prodotti AI4 e I4A
T .
Soluzione:
Notiamo che la matrice quadrata I4 e` detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche(dei differenti ordini) vengono indicate I.
AI4 =[1 2 3 4
]= A
I4AT = I4
1234
=1234
= AT
Esercizio 1.5. Date le matrici
A =[2 12 3 1] B = [1 3 23 1]
calcolare 3A 2B e ABT .
Soluzione:
3A 2B = [6 32 9 3] [2 6 43 2] = [8 152 233 1]ABT =
[2 12 3 1] 13231
= [ 12]Notiamo che la matrice
[ 12] e` detta matrice scalare.
Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A3 della matrice1 1 20 3 11 0 1
Soluzione:
Si tratta di eseguire due prodotti:
A3 = A A A =3 4 31 9 42 1 3
1 1 20 3 11 0 1
=6 15 55 26 155 5 6
Esercizio 1.7. Data la matrice
A =
[1 13 2
]calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).
Soluzione:
Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Siaquindi
B =
[x yz w
]
6 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE
la generica matrice 2 2 e calcoliamo il prodotto AB:
AB =
[1 13 2
][x yz w
]=
[x+ z y + w
3x+ 2z 3y + 2w]
Dalla condizione AB = I seguex+ z = 1
y + w = 0
3x+ 2z = 03y + 2w = 1
x = 1 zy = w3(1 z) + 2z = 03(w) + 2w = 1
x = 25y = 15z = 35w = 15
Di conseguenza perche B verifichi la condizione AB = Ideve essere
B =
[25 1535
15
]E immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B e` lamatrice inversa di A cercata.
Metodi piu` efficaci per calcolare linversa di una matrice verranno introdotti successsivamente.
Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, linversa di A (cioe` determinare seesiste la matrice B tale che AB = BA = I).
A =
[1 13 3
]A =
[1 13 2
]Soluzione:
Consideriamo la matrice
A =
[1 13 3
]Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Sia quindi
B =
[x yz w
]la generica matrice 2 2. Si ha
AB =
[1 13 3
][x yz w
]=
[x+ z y + w3x+ 3z 3y + 3w
]Dalla condizione AB = I segue
x+ z = 1
y + w = 0
3x+ 3z = 0
3y + 3w = 1
x = 1 zy = w3(1 z) + 3z = 03(w) + 3w = 1
x = 1 zy = w3 = 0
0 = 1
La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione.Questo indica che la matrice A non ammette inversa.
Consideriamo ora la matrice
A =
[1 13 2
]e sia
B =
[x yz w
]la generica matrice 2 2. Si ha
AB =
[1 13 2
][x yz w
]=
[x z y w
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