Esercitazioni di Algebra e Geometria Dott.ssa Sara Ferrari ......Lezione 1 - Esercitazioni di...

Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010

1

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Anno accademico 2009-2010

Dottssa Sara Ferrari

e-mail saraferrariingunibsit

Esercitazioni martedigrave 830-1030

venerdigrave 930-1130

Attenzione le lezioni del venerdigrave iniziano esattamente alle 930

Ricevimento studenti venerdigrave 830-925

presso il dipartimento di matematica (via Valotti)

Le tracce per le esercitazioni saranno reperibili alla

pagina

httpdmingunibsit~stefanopasottialgebrageometriaphp


2

Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK egrave una

lsquotabellarsquo con

m righe

n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al campo KKKK

Esempi di campi sono

QQQQ il campo dei numeri razionali

RRRR il campo dei reali

CCCC il campo dei numeri complessi

Esempio

minus

22

403

π

Egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali


3

La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip

Per rappresentare una generica matrice di m righe e n

colonne useremo la seguente

=

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

MOMM

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola

dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera

minuscola

Notazione piugrave sintetica egrave

( )njmijiaA

11

===

dove aij egrave lrsquoelemento che si trova in posizione (ij)

cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna


4

Nellrsquoesempio precedente

minus=

22

403

πB

b11=-3 b12=hellip b13=hellip

b21=hellip b22=hellip b23=hellip

con bijisin RRRR e gli indici i=12 e j= l 2 3

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso

campo K egrave indicato con Kmn

Qmn

ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali

Rmn ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali

Cmn

ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse

Casi particolari


5

a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a

coefficienti in K

( )naaaA 12111 = isin K1n

b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni

mx1 a coefficienti in K

1

1

12

11

m

m

K

b

b

b

B isin

=M

c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni

nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine

della matrice quadrata


6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM

appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica

Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata C=(c11)

Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate

coefficienti reali

Operazioni con le matrici

La somma di matrici

Siano A B due matrici di K mn

Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita


8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento

ottenuto sommando aij e bij in K

( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici

controllare sempre che abbiano lo stesso

numero di righe e lo stesso numero di colonne


9

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da

elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed

egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A

B+(B+B) e (B+C)+C

a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una

matrice

( )njmijiaA

11

===

egrave possibile calcolare

( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via

Possiamo generalizzare e definire


12

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione

(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K


13

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni

con le matrici

A+B C+D A+C

A - B C ndash D B ndash C

-A 2B -3C -2D

A ndash 2B 2C + D 2A+3D

minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14

Il prodotto tra matrici

Prima di tutto definiamo cosa si intende per

prodotto tra matrice riga e matrice colonna

Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di

Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave

definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A

egrave uguale al numero di righe di B

Esempio

( ) 2363052)4(123

3542

0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=

minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito

Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero

delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di

righe di B


16

Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna

di B puograve essere cosigrave scritto

( ) ( )jh

nh

hinhjhnhhiji babaBA 1

11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave

sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga

di A e la 3-colonna di C egrave

54

)2(52

6002260

52

0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=

minus

minus=sdotCA

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna

di A non egrave definito


17

Definiamo ora il prodotto tra due matrici

date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in

posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima

riga di A per la j-esima colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle

colonne di A egrave uguale al numero delle righe di

B Se il prodotto AB egrave definito la matrice

risultante ha il numero delle righe di A e il

numero delle colonne di B


18

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per

esempio A matrice di R32 e B matrice di R21

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che

AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice

di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=

minussdot+sdot+sdotminus


+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus

minus+sdot+minussdotminus

minussdot+sdot+minussdotminus=

)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56

CA impossibile percheacutehellip

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC

Osservazioni per le matrici quadrate

a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire

ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2


20

b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare

AB e BA (in genere matrici diverse)

c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave

definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j

allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)

In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al

prodotto di matrici) per le matrici quadrate di

ordine n su K ed egrave detta matrice identica

Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21

Esercizio da svolgere

Date le matrici

determinare quando possibile

AB BA CD DC

A2 BC BD

A2 ndash I3 A(A2-3B)

minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


2

Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK egrave una

lsquotabellarsquo con

m righe

n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al campo KKKK

Esempi di campi sono

QQQQ il campo dei numeri razionali

RRRR il campo dei reali

CCCC il campo dei numeri complessi

Esempio

minus

22

403

π

Egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali


3




=

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

MOMM



minuscola


( )njmijiaA

11

===




4


minus=

22

403

πB






Qmn



Cmn


Casi particolari


5


coefficienti in K




1

1

12

11

m

m

K

b

b

b

B isin

=M





6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM




Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=


15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


3




=

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

MOMM



minuscola


( )njmijiaA

11

===




4


minus=

22

403

πB






Qmn



Cmn


Casi particolari


5


coefficienti in K




1

1

12

11

m

m

K

b

b

b

B isin

=M





6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM




Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=


15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


4


minus=

22

403

πB






Qmn



Cmn


Casi particolari


5


coefficienti in K




1

1

12

11

m

m

K

b

b

b

B isin

=M





6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM




Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=


15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


5


coefficienti in K




1

1

12

11

m

m

K

b

b

b

B isin

=M





6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM




Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=


15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


6

=

nnnnn

n

n

n

cccc

cccc

ccac

cccc

C

321

3332313

2322212

1312111

MOMMM




Esempi

513

4 6 32

0 21

RA isin

minus=


15

03122

ReB isin

minus

minus

minus

=


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


7


)( isin

minusminusminus

minus

minusminus

minusminus= R

2055032

082313

3042331

26710254352000101

6

5

MC

π


coefficienti reali


La somma di matrici




8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


8

=

+

=+

nmmm

n

n

nmmm

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

21

22212

12111

21

22212

12111

MOMMMOMM

nm

nmnmmmmm

nn

nn

K

bababa

bababa

bababa

2211

2222221212

1121211111

isin

+++

+++

+++

=MOMM



( ) ( ) ( )njmijiji

njmiji

njmiji babaBA

11

11

11

==

==

== +=+=+

Osservazioni





9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


9





O+A=A+O=A

Esercizio


=

=

=

=

3 50

121

3-0

D

2-22-

6432

001-

C 75403-0102

B 52

02-

3101-A


B+(B+B) e (B+C)+C



somma egrave


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


10

=

minus++minus+

++minus+

++minus+

=

+

=+

)2(725)2(4

604332

0

0100)1(2

2-22-

6432

001-

75403-0102

CB

+

=

5252

6132

101



==

+

=+

54

04-

6202-

52

02-

3101-

52

02-

3101-AA


=

+

+

=++

75403-0102

75403-0102

75403-0102

B)B(B

minus=

minus+

=

211512090306

14108060204

75403-0102


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


11


=

+

+

=++

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

75403-0102

CC)(B

+

=

minusminus

minus

+

+

=

32250

12534

100

222

6432

001

5252

6132

101


matrice

( )njmijiaA

11

===


( )njmijiaAA

11 2

===+ ( )

njmijiaAAA

11 3)(

===++

e cosigrave via



12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


12




=

=

nmmm

n

n

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

22212

12111

21

22212

12111

λλλ

λλλλλλ

λλMOMMMOMM

Esempio

minus

=

minus=minus

623618-12-2-003

2-22-

6432

001-

33C

=

=

3

33

3

3

33

100

2221

23-0

50

121

3-0

2D 2




13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


13



con le matrici

A+B C+D A+C


-A 2B -3C -2D


minus

minus=

=

minus

=

minus

minusminus=02

11

02

10

01-

23

100021102

022113201

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


14






definito

( ) 1112211111

1

12

11

12111 nn

n

n bababa

b

b

b

aaaBA +++=

=sdotM

Osservazione



Esempio

( ) 2363052)4(123

3542


minusminus


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


15

mentre

( )

minus

minus

132

2213

non egrave definito



colonna di B

( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaBA 2211

2

1

21 +++=

=sdotM



righe di B


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


16



( ) ( )jh

nh


11 sum=

==sdot==sdot

Esempio

Date

=

=

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-A




54

)2(52

6002260

52


minus

minus=sdotCA




17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


17






( ) jnnijiji

jn

j

j

niiiji bababa

b

b

b

aaaAB 2211

2

1

21 )( +++=

=M

jh

nh

hi ba 1

sum=

sdot=

Osservazioni







18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


18





di R12

Esempi

=

=

=

100001010

2-22-

6432

001-

C 52

02-

3101-HA


=

=

2-22-

6432

001-

52

02-

3101-AC


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


19

=



+sdot+sdotminus

+sdot+sdotminus



)2(52

600)2(

)2(36100)1(

252

040)2(

231040)1(

)2(52

32

0)1(2

)2(332

10)1()1(

minus

+=

54

252

2340

56


=

=

100001010

2-22-

6432

001-

CH

=

=

2-2-001-64

2-22-

6432

001-

100001010

HC





20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


20




definita

ikj=0 se knej

ikj= 1 se k=j





Esempio

C

2-22-

6432

001-

100010001

2-22-

6432

001-

CI 3 =

=

=

C

2-22-

6432

001-

2-22-

6432

001-

100010001

C I 3 =

=

=


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA


21


Date le matrici


AB BA CD DC

A2 BC BD


minus

minus

=

minus=

minus

minus=

minusminus

minus

=

011431

00

11-

32

110021110

102111211

DCBA

Esercitazioni di Algebra e Geometria Dott.ssa Sara Ferrari ......Lezione 1 - Esercitazioni di...

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