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Storia della MatematicaStoria della Matematica

11a settimana

Critica dei principiCritica dei principi

CantorCantor

•• Georg Cantor Georg Cantor (1845-1918)

• Professore all’università di Halle.

• Fondatore della teoria degli insiemi (1874-1884), con la loro cardinalità.

Fu avversato da Kronecker

I principi ai tempi di CantorI principi ai tempi di Cantor

• Cantor dimostrò la numerabilità dei

razionali e pose il problema dell’ordine di

infinito dei reali (ipotesi del continuo).

• A lui si devono studi sulla continuitàassoluta (funzionefunzione didi CantorCantor) e su insiemidi misura nulla, eppure con la potenza delcontinuo (insiemeinsieme didi CantorCantor)

CantorCantor CantorCantor

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CantorCantor

• La funzione di Cantor è una funzione continua, ma non è assolutamente continua

(non vale la tesi del teor. fond. del calcolo integrale).

• L’insieme di Cantor è quello che rimane quando sono stati tolti tutti i terzi centrali (ad esempio vi appartiene ¼)

CantorCantor

• Cantor chiamò 2T la cardinalità dell’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di T (perché se T avesse un numero finito k di elementi, la sua cardinalità sarebbe 2k)

Ipotesi del continuoIpotesi del continuo

• Ipotesi del continuo:

• Non esistono numeri cardinali compresi trala potenza dei naturali 0א e quella dei reali,che è .0א2

• Cantor cercò a lungo di dimostrarlo, ma poiprese a pensare che fosse falsa.

• Ipotesi generalizzata del continuo:

• Data una cardinalità T non esiste nessunacardinalità compresa tra T e 2T

Ipotesi del continuoIpotesi del continuo

• Nell’ultimo decennio c’è stato ancorainteresse per queste congetture, con unatendenza a confutarle, dimostrando che laloro accettazione avrebbe contraddetto altrecongetture che apparivano maggiormente“evidenti”

ZermeloZermelo e l’assioma e l’assioma

della sceltadella scelta

ZermeloZermelo

•• Ernst Ernst ZermeloZermelo (1871-1953) si occupò dei fondamenti della teoria degli insiemi. Il sistema di assiomi attualmente accettato si dice di Zermelo-Fraenkel.

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ZermeloZermelo

• E’ sua la formulazione dell’assioma della scelta (1904)

ZermeloZermelo

• Assioma della scelta (formulazioneintuitiva):

• dati infiniti sacchi ciascuno con infiniti

fagioli è possibile fare la minestra di fagioli

prendendo un fagiolo da ogni sacco

• Assunto l’assioma della scelta, Zermelo nedimostrò l’equivalenza con l’ipotesi delbuon ordinamento

ZermeloZermelo

• Ipotesi del buon ordinamento:

• Ogni insieme si può mettere in ordine,

scegliendo un primo elemento

Assioma della sceltaAssioma della scelta

• Applicazione dell’assioma della scelta:

• dato un punto P di accumulazione per un

insieme I, esiste una successione di punti di

I che converge a P

Assioma della sceltaAssioma della scelta

• L’assioma della scelta è una congettura?

• Nel 1940 Gödel dimostra che se è coerenteil sistema di Zermelo-Fraenkel privatodell’assioma della scelta, lo è anche se taleassioma vi viene aggiunto, e quindi taleassioma non può essere confutato.

• Il sistema ZF a cui viene aggiuntol’assioma della scelta viene indicato conZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice)

Assioma della sceltaAssioma della scelta

• Del pari l’ipotesi del continuo è coerentecon il sistema ZF sia che questo comprendal’assioma della scelta sia che non locomprenda

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Assioma della sceltaAssioma della scelta

• Nel 1963 Cohen dimostra che sia l’ipotesidel continuo che l’assioma della scelta sonoindipendenti dagli altri assiomi del sistemaZF

• Queste congetture quindi cessano di essereteoremi da dimostrare ma diventanocaratteristiche di sistemi che regolano lateoria degli insiemi

Giuseppe Giuseppe PeanoPeano

• Giuseppe Peano

(1958-1932) Matematico, logico, ideatore di una lingua universale scientifica basata sul latino (latino sine flexione)

Postulati di Postulati di PeanoPeano

• Esiste un numero naturale, 0

• Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

• Numeri diversi hanno successori diversi

• 0 non è il successore di alcun numero naturale

• Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

Dalle funzioni alle distribuzioniDalle funzioni alle distribuzioni

• Il concetto di funzione istituito da Dirichlete l’integrale di Lebesgue non si prestavano a tutti i casi della fisica.

• Dopo una prima generalizzazione ad opera di Heaviside (1850-1925) e la teoria delle funzioni generalizzate della scuola sovietica (Sobolev, Gelfand, Vilenkin) i fisici hanno iniziato ad utilizzare la “funzione” di Dirac

DiracDirac

• Paul Adrien Maurice

Dirac (1902–1984) èstato un fisico ematematico britannicodi famiglia ginevrina;come fisico teoricoviene annoverato tra ifondatori della fisicaquantistica.

DiracDirac

• La delta di Dirac, o impulso di Dirac, èuna funzione generalizzata la cuiintroduzione formale ha spianato la stradaper lo studio della teoria delle distribuzioni.Informalmente la delta di Dirac vale:

δ(x) = 0 per x ≠ 0

∫ δ(x) dx = 1+∞

-∞

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DiracDirac

• Viene utilizzata per rappresentareapprossimativamente fenomeni come ipicchi alti e stretti di alcune funzioni o leloro discontinuità: è lo stesso tipo diastrazione che si fa per la carica puntiforme,la massa puntiforme, l'elettrone puntiforme.

LaurentLaurent SchwartzSchwartz

• Laurent Schwartz(1915-2002)

• E’ famoso per la teoria delle distribuzioni intese come funzionali definiti sulle funzioni C∞ e a supporto compatto

• Fu anche un appassionato entomologo

Il problema di Plateau Il problema di Plateau

• Joseph Plateau pubblicò il suo trattato sullebolle e lamine di sapone nel 1873, ma lebolle avevano già una lunga tradizione inambiente artistico e letterario. Il problemadi Plateau consiste nel trovare, per unagenerica curva nello spazio tridimensionale,la superficie con la minima area possibiledelimitata dalla curva stessa.

Il problema di Plateau: Il problema di Plateau:

ipercuboipercubo

Il problema di Plateau: Il problema di Plateau:

ipercuboipercuboIl problema di Plateau Il problema di Plateau

•• PaulPaul OttoOtto FreiFrei (1925) è un architettotedesco, esponente dello strutturalismo edha realizzato forme particolari.

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Il problema di PlateauIl problema di Plateau

Stadio di Monaco Mannheim: Multihalle

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Il teorema dei quattro colori è un teoremadella matematica che afferma che data unasuperficie piana divisa in regioni connesse,come ad esempio una carta geograficapolitica, sono sufficienti quattro colori percolorare ogni regione facendo in modo cheregioni adiacenti non abbiano lo stessocolore. Due regioni sono dette adiacenti sehanno almeno un segmento di confine incomune

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Ciascuna regione deve inoltre occupare un territorio connesso. È immediato trovare mappe per le quali tre soli colori non sono sufficienti. Non è eccessivamente difficile dimostrare che ne bastano al più cinque

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Tuttavia dimostrare che ne sianostrettamente necessari almeno quattro èparticolarmente complesso, tanto che ladimostrazione di questo teorema harichiesto, tra l'altro, un estensivo ricorso alcomputer, per una delle prime volte nellastoria della matematica.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• La congettura venne presentata per la primavolta nel 1852, quando Francis Guthrie, unostudente di Augustus De Morgan, si accorseche per colorare una mappa delle conteebritanniche erano sufficienti quattro colori.

• La prima, acclamata "dimostrazione", alungo riconosciuta come definitiva, fuformulata nel 1879 da Alfred Kempe.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Nel 1880 Peter Tait annunciò di averetrovato una ulteriore dimostrazione delteorema. Nel 1890 Percy Heawood scoprìl'errore che minava la dimostrazione diKempe, ben undici anni dopo la suaformulazione; l'anno successivo, ad opera diJulius Petersen, anche la dimostrazione diTait fu riconosciuta errata.

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Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• La definitiva dimostrazione del teorema perquattro soli colori è stata fornita nel 1977daparte di Kenneth Appel e Wolfgang Haken,due matematici dell'Università dell'Illinois,grazie a un complesso algoritmoinformatico.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• La dimostrazione si basa sulla riduzione delnumero infinito di mappe possibili a 1.936configurazioni (poi ulteriormente ridotte a1.476), per le quali la validità del teoremaviene verificata caso per caso dal computer.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Qualsiasi mappa può infatti esserericondotta a un numero finito, sebbene assaielevato, di topologie "notevoli" tramiteoperazioni che modificano le relativeposizioni delle regioni che la costituiscono,ma non le proprietà topologiche dellamappa stessa.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Per ridurre al minimo la possibilità dierrore, il programma fu eseguito su duediverse macchine con due algoritmiindipendenti; per completare l'analisi di tuttii casi possibili fu necessario far lavorare icomputer per migliaia di ore. Alla fine,servirono più di 500 pagine per trascrivere amano tutte le verifiche che costituivano ladimostrazione.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Il rivoluzionario utilizzo di algoritmiinformatici per verificare l'esattezza dellacongettura scatenò grandi polemichesull'affidabilità di questi metodi. Il fatto chela dimostrazione fosse basata sull'analisi diuna moltitudine di casi discreti portò alcunimatematici a contestarne l'effettiva validità:

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• sia per l'impraticabilità di una verificamanuale di tutti i casi possibili, sia perl'impossibilità di avere la certezza chel'algoritmo fosse implementato correttamente.

• La logica e la teoria dell'informazione cidicono infatti che non è possibile dimostrarela correttezza di un algoritmo, ma tuttaviasono sufficienti semplici controprove perdimostrarne la non correttezza.

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Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Ad ogni modo, nonostante le accuse discarsa "eleganza", nell'algoritmo non è maistato trovato alcun errore.

• Infine, nel 2000, Ashay Dharwadkerpropose una nuova dimostrazione delteorema che richiede l'utilizzo della teoriadei gruppi.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Il teorema può essere espresso in forma piùcomprensibile sfruttando la teoria dei grafi.In questa formulazione i vertici di ciascungrafo planare possono essere coloratiutilizzando al massimo quattro colori, inmodo tale che due vertici adiacenti nonricevano mai lo stesso colore. In breve, sipuò affermare che "ogni grafo planare è 4-colorabile".

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

• Questa rappresentazione associa ogniregione della mappa a un vertice del grafo;due vertici sono connessi da uno spigolo see solo se le due regioni corrispondentihanno un segmento di bordo in comune.

Il problema dei quattro coloriIl problema dei quattro colori

Il problema dei quattro colori: Il problema dei quattro colori:

generalizzazionegeneralizzazione

• È inoltre possibile considerare il problemadella colorazione su una superficie piuttostoche su un piano. Il problema applicato allasfera è equivalente a quello sul piano. Per lesuperfici chiuse (orientate come il toro onon orientate come il nastro di Möbius) digenere positivo, il massimo numero dicolori necessari dipende dalla caratteristicadi Eulero della superficie

Il problema dei quattro colori : Il problema dei quattro colori :

generalizzazionegeneralizzazione

• Per esempio, il toro ha caratteristica diEulero = 0 e sono necessari al massimosette colori per colorare qualsiasi mappa suuna superficie toroidale.

• La sola eccezione è la Bottiglia di Klein, laquale ha caratteristica di Eulero uguale a 0 erichiede sei colori.

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Il problema dei quattro colori : Il problema dei quattro colori :

generalizzazionegeneralizzazioneBottiglia di KleinBottiglia di Klein

Nastro di Nastro di MöbiusMöbius

Tre matematici Tre matematici

padovanipadovani

Gregorio Gregorio RicciRicci--CurbastroCurbastro

•• Gregorio Gregorio RicciRicci--

CurbastroCurbastro (1853-1925)

• Di Lugo di Romagna,inizia l’università aRoma, ma gli studi siinterrompono nel 1870per la breccia di PortaPia; studia poi aBologna e quindi a Pisa,allievo di Dini.

Gregorio Gregorio RicciRicci--CurbastroCurbastro

• Ricci-Curbastro insegna a Padova variematerie matematiche dal 1880 fino al 1925.

• È l’ideatore del Seminario Matematicocome comunità dei matematici appartenentia tutte le facoltà, struttura che anticipal’odierna struttura dipartimentale introdottacon la riforma del 1980. Al suo nome èintitolato il Seminario stesso e il suo bustosi trova nei locali della Biblioteca.

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Gregorio Gregorio RicciRicci--CurbastroCurbastro

• Nel 1901 pronuncia il“discorso inaugurale”dal titolo “Origini esviluppo dei moderniconcetti fondamentalisulla geometria”, oveespone lo sviluppostorico che ha portatoalle geometrie noneuclidee

Tullio Tullio LeviLevi--CivitaCivita

• Il contributo più importante di Ricci è il calcolo differenziale

assoluto, elaborato insieme al suo allievo padovano Tullio Tullio LeviLevi--

CivitaCivita (1873-1941), fondamento del calcolo tensoriale che sarà la base della teoria della relatività generale.

Tullio Tullio LeviLevi--CivitaCivita

• Levi-Civita contribuisce allo studio degli n

corpi; andrà a Roma nel primo dopoguerra,e contribuirà allo studio delle equazioni diDirac.

• Le leggi razziali del 1938 lo privano dellacattedra e resta isolato dalla comunitàscientifica.

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

•• GiuseppeGiuseppe ColomboColombo detto Bepi (1920-1984)matematico, fisico e astronomo padovano.

• Nono di dieci fratelli, partecipò allacampagna di Russia, fu decorato al valormilitare, fu ferito e rimpatriatofortunosamente.

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Studente alla Scuola Normale di Pisa, poiassistente e infine professore di MeccanicaApplicata presso la facoltà di Ingegneria diPadova. Ha insegnato in varie universitàitaliane e americane, e ha preso parte anumerose ricerche spaziali, sia nella NASAche nell’ESA (Ente Spaziale Europeo).

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Il suo nome è legato al satellitesatellite alal

guinzaglioguinzaglio (Tethered, sviluppato dai primianni ’70) e all'idea di una zattera spazialecreata riutilizzando i serbatoi di propellentelasciati nello spazio dagli Shuttle.

• Un’altra sua idea fu quella di lanciareenormi specchi in orbita per concentrare iraggi solari su alcune zone della Terra perallontanare la nebbia.

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Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Contribuì poi all'impresa del Mariner 10 del1974, tra l'altro proponendo per la primavolta l'uso di una fionda gravitazionale conVenere per far incontrare la sonda conMercurio ben 3 volte; scoprì infattil'accoppiamento tra rivoluzione e rotazionedi Mercurio (il pianeta compie tre rotazioniintorno al proprio asse ogni due rivoluzioniintorno al Sole).

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

Mariner 10

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Mercurio è stato visitato per la prima voltanel 1974-75 dalla sonda statunitenseMariner 10.

• Concepito per l'osservazione di Venere eMercurio, il Mariner 10 venne lanciato il 3novembre 1973 e raggiunse i dintorni diMercurio nel 1974.

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Il Mariner 10 ha teletrasmesso a terrafotografie registrate nel corso di tresuccessivi sorvoli. La sonda si avvicinò finoad alcune centinaia di chilometri dalpianeta, trasmettendo circa 6000 fotografiee mappando il 40% della superficiemercuriana.

Giuseppe ColomboGiuseppe ColomboGiuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Collaborò anche allancio della sondaGiotto, che nel 1986incontrò la cometa diHalley. Il nome venneproposto da lui, inomaggio alla Natività diGiotto della Cappelladegli Scrovegni, in cui èraffigurata la cometa.

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Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Ricordiamo l’osservazione della cometa fatta da Halleynel 1682

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• Ha anche spiegato che una variazione diluminosità dell'anello A di Saturno è dovutaalla sua struttura spiraliforme.

• Ha ottenuto vari premi prestigiosi, tra iquali la medaglia d’oro della NASA.

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• La NASA ha lanciato nel 2004 la sondaMESSENGER, il cui primo passaggioravvicinato di Mercurio, avvenuto il 14gennaio 2008, è stato seguito da un altro(ottobre) e poi da un terzo (settembre 2009)prima dell'ingresso in orbita attorno alpianeta previsto per il 18 marzo 2011. Inseguito al primo “fly-by” di Mercurio, lasonda MESSENGER ha inviato a terra leprime immagini dell'emisfero "sconosciuto"

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• MESSENGER:

• MErcury Surface, Space ENvironment, GEochemistry, and Ranging

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

Mercurio14.1.2008

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

MercurioDicembre 2008

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Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

Mercurio un anno fa12 maggio 2009

Giuseppe ColomboGiuseppe Colombo

• L'ESA (Ente Spaziale Europeo) gli hadedicato una missione BepiColombo

prevista per il 2013-2019, voltaall'esplorazione di Mercurio.