CRESCITA DI POPOLAZIONIBATTERICHE

I batteri (dal greco bacterion, piccolo oggetto) siriproducono per duplicazione. Ogni batterio produce unacopia di sé stesso. Assumiamo che tutte le duplicazioni dibatteri avvengano nello stesso istante (duplicazionesincrona). Indichiamo con Nk la numerosità alla k-simagenerazione di batteri (dopo k eventi di duplicazione), si ha Nk = 2 Nk-1Supponiamo che N0 =1, vale a dire che nella generazioneiniziale ci sia un solo batterio, troviamo facilmente che Nk = 2k è una legge esponenziale

CRESCITA DI POPOLAZIONIBATTERICHE

Supponiamo ora che la duplicazione batterica non siasincrona, vale a dire alcune cellule si duplicheranno primaed altre dopo. Fissiamo un’opportuna unità di tempo, adesempio un’ora, e sia N(t) il numero di batteri al tempo t N(t) = N(t-1) + qN(t-1)dove 0<q<1 è una costante, il termine qN(t-1) esprime lapercentuale dei batteri che si sono riprodotti al passare deltempo da t-1 a t. N(t) = (1+q)N(t-1), se indichiamo con N(0)=N0otteniamo N(t) = (1+q)t N0….ancora una legge esponenziale (quella dell’interessecomposto!)

DECADIMENTO RADIOATTIVO

Consideriamo al tempo t una massa M(t) di un isotoporadioattivo. Al tempo t+1 la massa sarà diminuita, perchéparte degli atomi dell’isotopo si saranno trasformati inatomi di un altro elemento, questa diminuzione èproporzionale alla massa presente M(t+1) = M(t) - qM(t) = (1-q)M(t) , dove 0<q<1quindi 0<1-q<1ovviamente M(t+1)<M(t) M(t) = (1-q)t M0dove M0 è la massa iniziale

FUNZIONI ESPONENZIALI

Diremo funzione esponenziale una funzione f:R→R della forma f(x)=abx dove b>0 è una opportunacostante e a≠0. b è detta base della funzioneesponenziale.Dalle proprietà delle potenzeab-x = a(1/b)x

abcx = a(bc)x

Si deduce che qualsiasi f(x)= abcx può essere consideratacome una funzione esponenziale, a patto di scegliere unabase opportuna

FUNZIONI ESPONENZIALI

La funzione esponenziale preferita dai matematici è

f(x) = ex = exp(x)

dove e=2.7182818284….. è un numero irrazionale notocome costante di Nepero (John Napier matematicoscozzese 1550-1617)

e = limt→+∞ (1+1/t)t = limx→0+ (1+x)1/x

In generale si ha ek = limt→+∞ (1+k/t)t = limx→0+ (1+kx)1/x

FUNZIONI ESPONENZIALI

La successione (funzione che ha per dominio l’insieme deinumeri naturali) f(n)= (1+k/n)n , per k>0, è un esempio difunzione crescente, ma limitata, infatti si può dimostrareche

1+k<(1+k/2)2<(1+k/3)3<...<(1+k/n)n<(1+k/(n+1))n+1<...< <ek

Vedremo che ogni funzione esponenziale può essere scrittanella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx

FUNZIONI ESPONENZIALI

Consideriamo una generica funzione esponenziale f(x)=abx

di base b (b>0), poiché essa dipende da due parametribasterà conoscere due punti del suo grafico perindividuare le costanti a e b, infatti assegnati (x0 ,y0), (x1,y1), dove y0 =f(x0 ), ed y1 =f(x1 ), si hab=(y1/ y0 )1/(x1 - x0 ) a= y0 /bx0

Osserviamo, inoltre che per ogni base b, f(0)=aSe a>0, f(x)>0 per ogni x reale, f(x) non si annulla maiSe a<0, f(x) <0 per ogni x reale, f(x) non si annulla mai

FUNZIONI ESPONENZIALI

Se b>1 , x0 < x1 implica bx0 < bx1 dunque se a>0, f(x)=abx

risulta strettamente crescente, se a<0 risulta strettamentedecrescente

Se 0<b<1 , x0 < x1 implica bx0 > bx1 dunque se a>0, f(x)=abx risulta strettamente decrescente, se a<0 risultastrettamente crescente

FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI

Abbiamo detto che la successione (1+k/n)n , quando k>0,tende crescendo a ek ; in particolare risulta ek > 1+kQuindi per k→+∞ , 1+k tende a +∞ e quindi anche ek

essendo più grande non può che tendere a +∞Avremo quindi: limx→+∞ ex = +∞

limx→-∞ ex = limy→+∞ e-y = limy→+∞ 1/ey = 0

FUNZIONI ESPONENZIALI

TEOREMA DEL CONFRONTO

In particolare il Teorema del confronto (noto cometeorema dei due carabinieri) dice che se, per ogni x vicino ax0 , si ha

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

limx→x0 g(x)=limx→x0 h(x)=L

allora anche limx→x0 f(x)=L

FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI

Poiché si è detto che ogni funzione esponenziale può esserescritta nella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx, corrisponde a c>0una base b>1, mentre a c<0 una base 0<b<1Avremo i seguenti limiti: Per b>1limx→+∞ abx = +∞ se a>0, limx→+∞ abx = − ∞ se a<0limx→-∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0

Per 0<b<1limx→+∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0limx→-∞ abx = +∞ se a>0, limx→-∞ abx = − ∞ se a<0

FUNZIONI ESPONENZIALI: base >1

FUNZIONI ESPONENZIALI: base <1

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

Le funzioni della formaf(x) = a(1- exp(-k(x-x0)) + bsono utili ogni volta che si voglia rappresentare unaquantità che- assume un valore specificato b in un punto specificato- x0 inizia a crescere in maniera quasi lineare per x>x0

- al crescere di x, tende ad appiattirsi verso il valorelimite a+b

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

Le funzioni della formaf(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + bsono utili ogni volta che si voglia rappresentare unaquantità che non ha un punto di partenza preciso, ma perla quale sappiamo che può variare da un valore limiteminimo ad un valore limite massimo, vale a dire che sivuol esprimere un fenomeno di saturazione sia per xtendente a +∞ , che per x che tende a -∞

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

f(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + bAvremo:limx→+∞ f(x)=a+blimx→-∞ f(x)=bf(x0)= b + a/2

Questo tipo di funzioni sono chiamate logistiche, sonotipiche anche nell’ambito di dinamica di popolazioni, adesempio una curva di tipo logistico approssima moltobene la crescita del numero di Drosophila allevate inlaboratorio.

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

Le funzioni logistiche hanno un andamento quasi linearevicino al punto x0 . Avremo modo di mostrare, inseguito, che nell’intervallo [ x1 , x2] , dove x1 , x2 sonogli unici punti in cui la funzione logistica assume ivalorib + a/2 ± a/4, la funzione logistica differisce da unafunzione lineare per meno di un decimo della variazionetotale a

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

Nell’esercizio 2 della Prima prova in itinere, abbiamosupposto che la quantità di semi, calcolata inpercentuale, che germinano entro una settimana dallasemina G dipenda dalla temperatura T del terreno inmodo a tratti lineare; supponiamo invece che G(T) siadel tipo : G(T) = a/(1+ exp(-k(T-T0)) + bIn questo caso il limite inferiore deve esserenecessariamente 0, quindi b=0; il limite superiore deveessere 100, quindi a+b=100 e dunque a=100.Come scegliere T0?

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

T0 deve essere tale che G(T0 ) = b +a/2 = 50Supponiamo di avere i dati sperimentali G(21)=36 eG(26) =71Poiché a/2 -a/4 =25 e a/2 + a/4 = 75, essendo i valori 36e 71 compresi tra 25 e 75, l’intervallo [21, 26] ècontenuto nell’intervallo dove la funzione logistica èquasi lineare; quindi possiamo stimare T0 dallarelazione lineare G(T)= 7T - 111, imponendo 7T0 -111==50, da cui T0 = 23.Rimane da determinare k o, equivalentemente e-k

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENIDI SATURAZIONE

Poniamo e-k = q, abbiamo G(T) = 100/ (1+ qT-23 ).Poiché si ha G(21) =36, possiamo porre 36 = 100/(1+q-2)da cui ricaviamo q=3/4