Didattica speciale delle discipline: MATEMATICA

Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

Maurizio Bernim.berni@adm.unipi.it

Tutti i materiali sono disponibili suhttp://www.dm.unipi.it/fim/didattica_speciale/

Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

Fra

automobile, bicicletta, motocicletta, motoscafo

Chi è l'intruso?

Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

● Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile

● Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo

● Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta

● Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

● Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile

● Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo

● Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta

● Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

● Se considero l'insieme dei veicoli con meno di quattro ruote, allora l'intruso è l'automobile

● Se considero l'insieme dei veicoli terrestri, allora l'intruso è il motoscafo

● Se considero l'insieme dei veicoli dotati di motore,allora l'intrusa è la bicicletta

● Se considero l'insieme dei veicoli la cui guida non richiede il casco, allora l'intruso è il motorino

Insiemi

● Nel linguaggio quotidiano

● gruppi ● raggruppamenti● aggregati● classi● collezioni● ....

● Nel linguaggio matematico

● concetto primitivo (non si dà una definizione,

ma un gruppo di assiomi)

Insiemi

Intuitivamente: si ha un insieme quando non vi sia dubbio se un elemento vi appartiene o no

Termini che andrebbero definiti: ● Elemento● Appartiene

Insiemi: esempi e controesempi

● L'insieme degli alunni della II D;● L'insieme degli alunni simpatici della II D;● L'insieme vuoto● L'insieme dei numeri pari● L'insieme dei numeri pari esprimibili come

somma di due numeri primi● L'insieme degli elementi che sono diversi dai

numeri dispari● {1, *, 17/01/08, giallo, 'aula 71' }

Insiemi

Saper individuare insiemi significa ● Individuare una proprietà● Saper riconoscere quali elementi la

soddisfano e quali no...e quindi iniziare a...

● Classificare

Classificare

La partizione più semplice consiste in:● In un insieme I, considerare una proprietà P● Individuare il sottoinsieme A degli elementi di

I che soddisfano la proprietà A={x Є I : P(x)}

e (di conseguenza) il complementare: B={x Є I : ¬P(x)}

● A e B costituiscono una partizione di I

Classificare

Più in generale classificare significa● Suddividere un insieme in classi

disgiunte● La cui unione sia tutto l'insieme... cioè classificare significa● saper individuare una

PARTIZIONE in più insiemi.

Classificare

In matematica per classificare occorre definire una

RELAZIONE DI EQUIVALENZAcioè una relazione

● Riflessiva● Simmetrica● Transitiva

Classificare

IntuitivamenteEQUIVALENZA

='UGUAGLIANZA' rispetto a qualcosa

caratteristica comune...anzi...

Classificare

Il concetto di 'uguaglianza' in matematica è molto ambiguo

e viene precisato conil concetto di EQUIVALENZA

Classificare per 'numerosità'

Una 'relazione di equivalenza' un po' anomala....

● ...la 'numerosità'● (termine matematico: cardinalità)

...anomala perché manca l'“ambiente” entro cui operare la partizione

Cardinalità

Se tra due insiemi è possibile costruire una corrispondenza biunivoca, si dice che sono equipotenti o che

hanno la stessa cardinalità

...ma è sufficiente questo per 'contare'?

Il concetto di numero

Per 'contare' non basta (e forse non è necessario) mettere in corrispondenza biunivoca grosse classi di insiemi...

Vengono piuttosto individuati rappresentanti 'standard' delle classi (dita, 'tacche', 'calcoli'=sassolini, ...)

...ma non basta ancora...

Il concetto di numeroOccorre la filastrocca dei numeri1, 2, 3, 4, .......(lo 'zero' è un'acquisizione -mai definitiva- molto

successiva)cioè una lista ordinata e potenzialmente infinita di

simboli: il numero non è solo un simbolo, un 'nome', ma anche (con quelli che lo precedono) un rappresentante della classe di cardinalità, e 'racchiude' in sé un concetto apparentemente estraneo: quello di ordine: quella dei numeri è una filastrocca ordinata.

Numero e ordine“Numeri figurati” (pitagorici)Gli “schieramenti”. ● i numeri primi hanno un solo schieramento

possibile: lungo una sola direzione● i numeri composti hanno più schieramenti

possibili, lungo due direzioni

724 24

Numero e ordine“Numeri figurati” (pitagorici)● I numeri “quadrati”: somma dei numeri dispari

64=82=1+3+5+7+9+11+13+15

n2=1+3+5+7+9+11+13+...+(2n-1)

...in generale...

Numero e ordine“Numeri figurati” (pitagorici)● I numeri “triangolari”: somma di tutti i numeri

1+2+...+7=7·8:2=28

In generale: 1+2+...+n = n(n+1):2

Il concetto di numeroLa sua acquisizione prevede (I livello):● Il concetto di “conservazione della quantità” (per

l'aspetto cardinale)● L'abilità di 'confrontare' le numerosità di due

insiemi (per l'aspetto ordinale)

per contare sono necessari entrambi

Il concetto di numeroLa sua acquisizione prevede (II livello):● Sequenziare (per grandezza, temporalmente,

logicamente...) più insiemi o eventi (Piochi)● Riconoscere i 'segni' che denotano le cifre,

associare alle cifre un suono (Piochi)

Il concetto di numeroLa sua acquisizione prevede (III livello):● Saper leggere e scrivere numeri superiori a 10● Saper eseguire 'a mano' le quattro operazioni● ... (significato delle operazioni, strategie di

problem solving....“...La spazialità ha un ruolo chiave

nell'incolonnamento delle cifre per eseguire le operazioni” [Piochi]

Il concetto di numero...in particolare...

● Saper 'applicare' le proprietà delle operazionicommutativa – associativa - distributiva

125x123456789101112x8=...

Ordine

Nel linguaggio comune● Sequenza● Successione● Progressione● Disposizione● .......

Nel linguaggio matematico

Relazione● Riflessiva● Antisimmetrica● Transitiva

Equivalenza e Ordine

...per l'organizzazione della conoscenza.In un certo ambito (insieme) si identifica

qualche caratteristica rispetto alla quale gli oggetti si considerano 'uguali' (relazione di equivalenza

Successivamente, se possibile, si ordinano le classi ottenute.

Equivalenza e Ordine

Esempi:● Equivalenza di frazioni /Ordinamento di

numeri razionali (=classi di equivalenza di frazioni) --> concetto di rapporto

● Equivalenza di segmenti ('uguaglianza', congruenza, isometria...) /ordinamento di lunghezze (=classi di equivalenza di segmenti congruenti) ---> concetto di misura

Esempio 1 ...con le frazioni...

+

=

...con le frazioni...

2 1-- + -- = ...le frazioni non sono 'simili'7 2

4 7 --- + --- = ...la 'complicazione' delle frazioni14 14

...sono le 'stesse' coppie di frazioni?

...con le frazioni...

...sono 'le stesse' frazioni?

Che cosa è una frazione?

Cosa vuol dire 'sommare due frazioni'?

...con le frazioni...

2 4-- e --- non sono la stessa frazione!7 14non si sommano le 'frazioni', ma i numeri

razionali (=classi di equivalenza di frazioni) da esse rappresentati

Esempio 2 - In geometria...Disegnate una figura uguale a questa:

● Quante sono le linee orizzontali?● E quelle verticali?

In geometria...Adesso disegnate un quadratino nella stessa

posizione del mio nella vostra griglia:

In geometria...Ponendo la stessa domanda a uno studente ho

avuto questa risposta: come la interpretiamo?

griglia mia griglia dello studente

ISOMETRIE

= trasformazioni geometriche che conservano le distanze

● Simmetrie assiali● Rotazioni ● Traslazioni● ... e loro composizioni (tra cui le glissosimmetrie)

...tra cui le simmetrie centrali

ISOMETRIE

● Saper riconoscere (anche in natura) figure invarianti rispetto a qualche isometria

● Saper disegnare una figura “uguale” ad una data, rispetto ad una data isometria

● Sapersi 'liberare' dalle isometrie

ISOMETRIE

Sapersi 'liberare' dalle isometrie...significa...

saper scegliere situazioni 'generiche'.Esempi:● Disegna un triangolo qualsiasi, scegli un punto a

caso sulla sua base; scegli un punto a piacere al suo interno...

Un altro esempio notevole di “uguaglianza”

...il teorema di Pitagora

Ordinare

A B C D

Qual è la figura più grande?

(più grande rispetto a che cosa?)

...fino al concetto di grandezza

Per Euclide una classe di grandezze omogenee è un insieme i cui elementi si possono

● Confrontare● Sommare

Il confronto come base per la misura

Per poter 'misurare' una grandezza A rispetto a una grandezza U scelta come unità di misura occorre saper confrontare due grandezze, cioè

● Riconoscere quando sono uguali ● Riconoscere quando, essendo disuguali, una

è 'maggiore' dell'altra

Il confronto: relazioni di equivalenza e di ordine

● Grandezze “uguali” --> --> relazione di equivalenza

● Grandezze “disuguali” --->---> relazione di ordine

Il rapporto: per misurare le grandezze

● Grandezze “uguali” --> --> rapporto 1

● Grandezze “disuguali” --->---> quante volte la minore sta nella maggiore?---> e un sottomultiplo della minore nel resto?---> .... (iterato q.b. anche all'infinito)

Frazioni ridotte ai minimi termini

Una frazione a/b è ridotta ai minimi termini quando numeratore a e denominatore b sono primi tra loro, cioè quando

MCD(a,b)=1.Algoritmo euclideo: ● Sottrazioni successive● Divisioni successive

permette di individuare il MCD di due numeri naturali

Algoritmo euclideo

Esempi:● 2/7 è ridotta ai minimi termini, infatti

7-2-2-2=1● 6/15 non è ridotta ai minimi termini, infatti

15-6=9 9-6=3 6-3=3 3-3=0

S IS TEMA MONETARIO(dalla ricerca OCS E-PIS A 2003)

Sarebbe possibile introdurre un sistema monetario basato soltanto su tagli di 3 e 5?

Più specificatamente, quali valori si otterrebbero su questa base?

Sarebbe desiderabile un tale sistema, se fosse possibile?

...come si può generalizzare?