Corso di Chimica Fisica II

2011

Marina Brustolon

3. Particelle e onde

L’onda di de Broglie

Il principio di indeterminazione

Particelle microscopiche e Particelle microscopiche e onde onde

1. Richiamo sull’interferenza e la diffrazione nell’ottica classica

2. Interferenza di onde nell’esperimento a due fenditure

3. Il comportamento degli elettroni nell’esperimento a due fenditure

4. Elettroni: ONDE o PARTICELLE?

5. Fotoni: ONDE o PARTICELLE? L’effetto fotoelettrico.

Uno strano comportamento degli elettroni

Ma che succede? la diffrazione è un fenomeno che riguarda le onde! E gli elettroni sono particelle. . .

Per capire cosa succede descriviamo un esperimento che in origine era considerato come esperimento “pensato” , cioè impossibile da realizzare.

Figura di diffrazione

Fascio di elettroni

Cristallo di Nickel

Ma prima…richiamiamo alcune proprietà delle onde

elettromagnetiche. . .che ci aiuteranno a capire il comportamento degli elettroni.

L’interferenza

La diffrazione

Interferenza

interferiscono positivamente

Le due onde in fase

interferiscono negativamente

Le due onde sfasate di 180°

Ottica classica

Se le ampiezze fossero eguali l’onda si annullerebbe

DiffrazioneIl fenomeno dell’interferenza è alla base della diffrazione. La diffrazione dei raggi X è l’esperimento più importante per determinare la struttura cristallina di un composto. Reticolo cristallino: gli atomi sono disposti in modo ordinato nello spazio.

Consideriamo gli atomi su una faccia di un cristallo: si possono individuare diversi piani. Possiamo trovare le distanze tra i piani sfruttando l’interferenza tra onde riflesse.

Consideriamo due piani del reticolo.

Due raggi incidenti su piani contigui

vengono riflessi

Sul piano ----- i raggi arrivano sfasati perché hanno percorso distanze diverse: la differenza è AB+BC=2d sin L’interferenza sarà positiva quando:

2d sin = n

Variando possiamo ottenere una figura di diffrazione, cioè una serie di massimi di intensità dovuti a interferenza positiva che ci danno informazioni sulle distanze d tra i piani reticolari.

Variando possiamo ottenere una figura di diffrazione (diffraction pattern), cioè massimi di intensità per i diversi piani reticolari ogni volta che 2di sin = n .

piani reticolari

Esperimento di interferenza delle due fenditure

• Quando un’onda piana (per esempio un’onda elettromagnetica, o anche un’onda meccanica) incontra uno schermo con due fenditure, si creano due onde, tra le quali si produce un’interferenza. A seconda del rapporto di fase

tra le due onde, l’intensità dell’onda risultante

mostra massimi e minimi = figura di interferenza.

• La forma della figura di interferenza dipende dalla lunghezza d’onda.

Onda piana monocromatica

Schermo con due fenditure

Schermo ottico

Interferenza costruttiva massima dove le onde sono in fase

Immagine sullo schermo

Un’altra rappresentazione grafica dello stesso esperimento a due fenditure

Importante: se si chiude una fenditura e l’onda passa attraverso l’altra, non c’è interferenza (v. I1 e I2) .

Se invece le due fenditure sono entrambe aperte, queste si comportano come due sorgenti di luce. Tra le due onde che si generano dalle fenditure c’è allora interferenza, e l’intensità che si misura non è la somma delle intensità per le singole onde.

Per gli oggetti classici la probabilità di passaggio attraverso le due fenditure è eguale alla somma delle probabilità di passaggio attraverso ciascuna delle due.

elettroni

si ottiene una figura d’interferenza come per un’onda !

Se una delle due fenditure è chiusa la distribuzione è come per i proiettili . Ma se entrambe le fenditure sono aperte. . .

Ma quello che è ancora più sorprendente. . .

. . .è che la figura di interferenza si ottiene anche con un singolo elettrone!

Particelle “classiche”

Particelle “quantistiche”

Onde

click

click

Se un elettrone attraversa lo schermo con le due fenditure, dà origine a una figura di diffrazione, e si comporta quindi come un’onda.

Se con un rivelatore riusciamo a stabilire per ogni elettrone la sua posizione all’uscita dalle fenditure, gli elettroni perdono le loro caratteristiche ondulatorie, e si comportano come particelle.

Gli esperimenti sull’interferenza fatti con fasci di elettroni hanno provato brillantemente che le particelle si muovono come onde (Albert Einstein, on Quantum Theory, 1954)

http://www.mozami.net/blog/2008/07/excellent-animation-video-of-the-observer-effect/

L’interferenza c’è anche con un singolo elettrone!

0

vuoto

L’effetto fotoelettrico

0

Il circuito è interrotto e non passa corrente

metallo

La luce che colpisce la superficie dà agli elettroni l’energia per abbandonare il metallo, il circuito si chiude, e passa la corrente.

Come si trasmette l’energia dalla luce agli elettroni? Secondo l’ottica classica, l’onda porta energia in modo continuo, quindi gli elettroni potrebbero accumulare energia fino ad averne abbastanza da poter uscire dal metallo. In realtà…

…solo una radiazione elettromagnetica con una frequenza al di sopra di un valore di soglia 0 fa emettere elettroni al metallo!

Quindi il passaggio di energia dalla radiazione elettromagnetica agli elettroni avviene a quanti interi. Si ripete per la radiazione quello che abbiamo visto per gli oscillatori nel corpo nero.

I quanti di radiazione elettromagnetica si chiamano fotoni, sono indivisibili, e hanno energia: hE

Quindi: le particelle microscopiche hanno anche un carattere ondulatorio; le onde elettromagnetiche hanno anche un carattere corpuscolare.

dove h è la ormai famigliare costante di Planck e è h/2π.

Einstein è stato il primo a studiare e spiegare il fenomeno, e per questo ha avuto il Nobel nel 1921. I fotoni che arrivano sul metallo cedono energia agli elettroni dello strato superficiale del solido. Gli elettroni acquisiscono così l'energia necessaria per rompere il legame e abbandonare il solido. L’intero fotone è assorbito in questo processo, e deve quindi avere l’energia sufficiente per strappare l’elettrone.

La leggi della Meccanica La leggi della Meccanica Quantistica Quantistica

1. La relazione di de Broglie tra momento e lunghezza d’onda

2. Il principio di indeterminazione di Heisenberg

3. Le conseguenze del principio di indeterminazione e la descrizione del moto degli elettroni

La relazione di de BroglieGli elettroni sono allora particelle, o sono onde?

Come descrivere un elettrone con moto rettilineo ed uniforme?

pe-

Momento linearex

Nel 1924, il giovane duca francese Louis de Broglie conseguì il dottorato con una tesi dal titolo Recherches sur la Théorie des Quanta

Nella tesi dimostrava che gli esperimenti sugli elettroni portavano alla conseguenza che ad un elettrone con moto rettilineo ed uniforme e con momento lineare p è associata un’onda con lunghezza d’onda p

h

Voltaggio più basso

Le figure di diffrazione dipendono dalla lunghezza d’onda associata all’elettrone. Se gli elettroni vengono accelerati in modo diverso, la figura di diffrazione cambia. Calcolando l’energia cinetica degli elettroni si trova il loro momento p. La lunghezza dell’onda associata corrisponde a :p

h

Voltaggio più alto

EsercizioQual è la lunghezza d’onda di un elettrone accelerato facendogli attraversare un potenziale =1000 V (1.00 kV)?

Ragionamento. Abbiamo bisogno di ottenere il momento lineare, così potremo applicare la relazione di De Broglie:

p

h

Per ottenere il momento lineare, dobbiamo conoscere l’energia cinetica, che è anche l’energia totale, visto che l’elettrone si muove di moto “rettilineo e uniforme” (se fosse un oggetto classico):

m

pE

2

2

L’energia che l’elettrone ha acquistato, è quella dovuta al potenziale :eE

da cui mEp 2

carica elettrica x differenza di potenzialeCoulomb x Volt

mep 2

Unità di misura e costanti di cui abbiamo bisogno:

L’unico dato numerico è il potenziale, in volts. Il volt è l’unità SI di potenziale, quindi va bene. 1 V x 1 C (Coulomb) = 1 J.

Poi abbiamo bisogno della massa dell’elettrone (m) e della sua carica (e): dalle tabelle troviamo

Cekgm 1931 10602.110109.9

Quindi :

2/12/131931

34

2/1 )()101010(

10

)602.1109.92(

62.6

2 VCkg

sJ

me

h

Controlliamo le unità: dobbiamo ottenere una grandezza in metri. Ricordiamo che 1 J = 1 N x m = 1 kg x m2 x s-2.

mkg

ssmkg

kg

sJ

Jkg

sJ

VCkg

sJ

2/1

2/122

2/1

2/1

2/12/1 )(

)(

)()()(OK!

pmm 8.381088.3 11

mme

h

2/131931

34

2/1 )101010(

10

)602.1109.92(

62.6

2

mme

h

2/147

34

2/1 )10(

10

)185.29(

62.6

2

mme

h

2/148

34

)1010(

10

402.5

62.6

2

m

1010

10225.1

24

34

m

162.3

1010225.1

2434

m1010388.0

Legame chimico: pm100mpm 12101

Ma allora dov’è l’elettrone?

Louis Victor Pierre Raymond duc de Broglie

C’est impossible le savoir!

Onda associata all’elettrone con momento p

L’elettrone è dovunque lungo la traiettoria dell’onda.

E’ impossibile saperlo!

p

h

La lunghezza d’onda di una particella che si muova in presenza di un potenziale.

cinmE

h

2

m

pEcin 2

2

mEp cin 2

Lunghezza d’onda associata al moto di una particella in assenza di potenziale:

Moto di una particella in presenza di potenziale:

VEE cin

VEEcin )(22 VEm

h

mE

h

cin

Il principio di indeterminazione

Heisenberg in 1927.

Più precisamente la posizione di un elettrone è

determinata, meno precisamente è noto il

momento, e viceversa --

Heisenberg, articolo sull’indeterminazione,

1927 p x h /

4

p

h

Momento lineare definito: corrisponde ad un’onda monocromatica delocalizzata lungo la traiettoria classica dell’elettrone. L’incertezza sulla posizione dell’elettrone è infinita.

Prendiamo più onde, a diversa , e sommiamole insieme.

L’onda risultante ha un picco massimo in una posizione che corrisponde alla più probabile posizione dell’elettrone. L’incertezza sulla posizione si è ridotta a x, ma c’è ora un’incertezza sul momento p. p x h /

4

Il significato del principio di indeterminazionep x h /

4 Il significato di questa espressione è il seguente.

1. Si compia un esperimento che ci permetta di misurare la velocità di un elettrone, e contemporaneamente la sua posizione ad un certo istante. 2. Compiremo un certo errore sperimentale, come sempre, ma supponiamo di essere in grado di ridurre l’errore sperimentale in modo da poterlo considerare trascurabile.

3. Ma anche se l’errore sperimentale fosse proprio uguale a zero, non potremmo mai conoscere insieme con precisione momento e posizione, perché il principio di indeterminazione dice che:

4h

xp

Il prodotto della incertezza sul momento e dell’incertezza sulla posizione è eguale alla costante di Planck divisa 4.

Se sommassimo infinite onde, con tutte le lunghezze d’onda possibili, otterremmo una riga infinitamente stretta: questa corrisponderebbe ad una precisa localizzazione (x) dell’elettrone, ma in compenso il momento resterebbe del tutto indefinito

Quando determiniamo la posizione dell’elettrone la misura produce la distruzione dell’onda monocromatica, e la formazione di un “pacchetto d’onda” di una certa ampiezza, che corrisponde all’indeterminazione della posizione.

Alcune considerazioni sul principio di indeterminazione

4h

xp

1. Il principio di indeterminazione chiarisce senza ombra di dubbio l’impossibilità di predire una traiettoria per un elettrone.

2. Il principio di indeterminazione per un oggetto macroscopico è trascurabile. Infatti, poiché p = m v, si ha v = p/m. Ma la massa degli oggetti macroscopici è molto grande, e quindi v è trascurabile.3. Ci sono altre coppie di grandezze che non possono essere determinate entrambe con precisione. Le vedremo in seguito.

“Determinato? Come faccio ad essere più determinato? Io ci vivo sul principio di indeterminazione!”